چکیده: در این پایان نامه ابتدا به معرفی فضای فاز و کروشه پواسون می پردازیم. سپس انتگرال پذیری برای نوسانگر هماهنگ را مورد بحث قرار می دهیم. در ادامه تعریف سیستم انتگرال پذیر، قضیه لیوویل و زوج lax را بررسی کرده و وجود ماتریس- r کلاسیک در انتگرال پذیری لیوویل و خاصیت تقابل کمیت های پایستار در ساختار پواسون را مطرح می کنیم. سپس ضمن مرور مفاهیم دو جبرهای لی و قضایای مربوط به آن، جبرهای لی حقیقی دو بعدی و دو جبرهای لی حقیقی دو بعدی معرفی و مطالعه می شود و به دنبال آن به معرفی دو جبرهای لی حقیقی سه بعدی و طبقه بندی دو جبرهای لی حقیقی سه بعدی هم مرز پرداخته و سه تایی های منین را لیست می کنیم و در آخر ساختارهای پواسون گروه های پواسون- لی مربوط به این دو جبرها را بدست می آوریم. در ادامه فرمالیسم کلی ساختن سیستم های انتگرال پذیر کلاسیکی را بررسی کرده و برای جبرهای لی حقیقی دو و سه بعدی نمایش دیفرانسیلی پیدا می کنیم. سپس برای جبرهای لی حقیقی دو و سه بعدی کازیمیر را محاسبه کرده، واز روی آنها سیستم های انتگرال پذیر می سازیم. در ادامه به عنوان یک مثال، طریقه ی ساختن سیستم های انتگرال پذیر به روش ماتریس - r را شرح داده و از این روش برای جبرهای لی حقیقی دو و سه بعدی سیستم های انتگرال پذیر را محاسبه کرده و به صورت جدول لیست می کنیم. همچنین برای دو جبرلی حقیقی دو بعدی (g_2, g ̃_2) با استفاده از انتخاب گروه تقارن و فضای فاز از روی ساختار پواسون، متغیرهای دینامیکی را محاسبه نموده و سیستم های انتگرال پذیر می سازیم. و به دنبال آن برای دو جبر لی حقیقی چهار بعدی a_4,9^0) , 〖( a〗_(4,9.i)^0، ماتریس های-r کلاسیک را محاسبه نموده و با انتخاب گروه تقارن و فضای فاز از روی ساختار پواسون، سیستم های انتگرال پذیر بدست می آوریم.