مساله زیر فضای پایا یکی از مشهورترین و سخت ترین فرضیه حل نشده در نظریه های عملگرهای خطی کراندار است. این مقاله در رابطه با مساله زیر فضای پایا است و در این رابطه چند نتیجه برای عملگرهای مثبت روی شبکه های باناخ است. یک زیر فضای ‏‎v‎‏ از یک فضای برداری ‏‎x‎‏ را ‏‎-t‎‏پایا گویند اگر ‏‎t‎‏ عملگری روی فضای ‏‎x‎‏ باشد به طوری که ‏‎t(v) v‎‏ مساله زیر فضای پایا این است که: آیا یک عملگر خطی پیوسته ‏‎t‎‏ روی فضای برداری ‏‎x‎‏ دارای یک زیر فضای بسته غیر بدیهی است؟ امیدواری وجود دارد که آگاهی از زیر فضاهای پایای عملگرها وسیله ای برای روشن شدن ساختار خود عملگرها باشد. برای مثال در حالتی که عملگرها روی فضاهای متناهی البعد در نظر گرفته شوند قضیه فرم متعادلی جردن نشان می دهد که عملگرها مجموع مستقیمی از عملگرهای خوش رفتار خاصی بروی زیر فضاهای پایای معینی می باشند. این مقاله شامل 5 فصل است. فصل اول شامل تاریخچه و تعاریف اولیه که در فصل های بعدی مورد نیاز است. فصل دوم شامل بعضی مفاهیم اولیه برای آشنایی خواننده با این مساله و بعضی روشها و قضایای اولیه است. فصل سوم با عملگرهای روی فضای ‏‎lp‎‏ شروع شده و یک نمونه از نتایج این بخش این است که: یک عملگر شبه پوچ توان مثبت روی فضای ‏‎lp‎‏ یک زیر فضای پایا است.فصل چهارم که قسمت اصل پایان نامه است. شامل قضایای عمومی مربوط به زیر فضای پایا برای عملگرهای مثبت است. به طور مثال در این بخش ثابت می شود که: اگر ‏‎b‎‏ عملگری مثبت روی شبکه باناخ ‏‎e‎‏ باشد . فرض کنید که یک عملگر مثبت ‏‎s‎‏ روی ‏‎e‎‏ وجود دارد به طوری که ‏‎1.sb<bs‎‏ ‏‎2.s‎‏ یک شبه پوچ توان در نقطه ‏‎r0>0‎‏ پاد است یعنی این که ‏‎limiisnx0ii 1/n=0‎‏ و 3. ‏‎s‎‏ بر روی یک عملگر فشرده غیر صفر غالب باشد. آنگاه عملگر ‏‎b‎‏ دارای یک زیر فضای بسته پایا است. بیشتر این که ما می توانیم این زیر فضای پایا راست یک ایده آل اصلی در ‏‎e‎‏ انتخاب کنیم. فصل آخر در رابطه با دوگامن مساله زیر فضای پایا است و همچنین مساله زیر فضای پایا برای فضاهای ‏‎-am‎‏ فشرده و دانفورد -پتیز است. در بخش آخر خواننده می تواند لیستی از مسائل باز مربوط به مساله زیر فضای پایا را ببیند.