تعداد قابل توجهی از مسائل ارزشمند علوم و مهندسی قابل بیان به شکل یک مساله بهینه سازی روی دسته تجدید آرایش های یک تابع هستند. چنان که می دانیم مقادیر ویژه بسیاری از معادلات دیفرانسیل پاره ای دارای تعبیر فیزیکی خاصی هستند. بهینه سازی این مقادیر ویژه روی دسته تجدید آرایش های یک تابع مفروض، پاسخ برخی از مسائل مهم فیزیکی است. در این رساله به دنبال مدل سازی یک مساله فیزیکی به صورت یک مساله بهینه سازی روی دسته تجدید آرایش های یک تابع، متناظر با یک مساله مقدار ویژه هستیم. برای پاسخ به مساله فیزیکی، وجود و یکتایی جواب ها و خواص ریاضی و فیزیکی آن ها مورد بررسی قرار خواهند گرفت. به عنوان نمونه حالت های انرژی در یک نقطه کوانتومی در مقیاس نانو توسط معادله شرودینگر مربوطه مدل سازی می شود. در بعضی حالات معادله شرودینگر حاکم بر ساختار کوانتومی به صورت غیر خطی به مقدار ویژه که همان انرژی ذره است، وابسته می باشد. در این مورد، وجود نقطه کوانتومی با اندازه ثابت و ماده همسان چنان که انرژی حالت پایه کمینه گردد، منجر به بررسی وجود جواب یک مساله بهینه سازی روی دسته تجدید آرایش های یک تابع می شود. وجود جواب برای چنین مساله ای ثابت می شود. همچنین یکتایی جواب و خواص هندسی جواب در حالتی که دامنه مساله یک گوی است بررسی می گردد.

با توجه به تمرکز بالای داده های زمین شناسی مهندسی در نواحی ساحلی استان بوشهر، در تحقیق حاضر ویژگی های زمین شناسی مهندسی نهشته های عهد حاضر در نوار ساحلی استان در ارتباط با شرایط مورفولوژی آنها مورد ارزیابی قرارگرفته است. با توجه به نقشه های پهنه بندی لندفرم های منطقه ، پنج لندفرم دشت ساحلی، دشت سیلابی، پهنه ی گلی، دشت ساختاری و مخروط افکنه بیش از ?? درصد از محدوده مورد مطالعه را به خود اختصاص داده است. با بررسی خصوصیات فیزیکی، شیمیایی و مکانیکی انواع رسوبات نهشته شده در لندفرم های یاد شده مورد بررسی قرار گرفتند و مخاطرات زمین شناسی مهندسی از قبیل پتانسیل تورمی نهشته ها، خطر روانگرایی در نهشته های ماسه ای ، شرایط خورندگی خاک و شرایط ظرفیت باربری نهشته های ساحلی، نقشه های پهنه بندی مربوط به آنها تولید گردید. نتایج بدست آمده از تحقیق نشان دهنده ارتباط معنا داری بین شرایط مورفولوژی نهشته ها و خواص مهندسی آنها می باشد و همچنین توجیه کننده این امر است که رسوبات مشابه (از نظر دانه بندی) نهشته شده در شرایط مورفولوژی متفاوت دارای ویژگی های مهندسی متفاوتی هستند. همچنین مشخص گردید نهشته های مربوط به لندفرم مخروط افکنه دارای بهترین شرایط به منظور اجرای طرح های ساحلی و نهشته های پهنه ی گلی دارای بدترین شرایط هستند.

در این پایان نامه به بررسی ایدآل های اوّل و ابتدائی فازی و رادیکال های آنها می پردازیم. ابتدا به تعاریف اصلی و نتایج منطق فازی در فصل اوّل اشاره می کنیم و در فصل دوم به تعاریف و قضایای مربوط به مجموعه ها و ایدآل های فازی پرداخته، درنهایت در فصل سوم خصوصیات ایدآل های ابتدائی فازی ورادیکال آنها درحلقه های تعویض پذیرمورد بحث و بررسی قرارمی گیرد‎.‎ ایدآل ‎$a$‎ از ‎$r$‎ ایدآل ابتدائی فازی است اگر برای هر ‎$a,b in r$‎ داشته باشیم: ‎egin{center}‎ ‎$ ain li(r)‎ ,‎qquad a(ab)geq a(a) rightarrow exists nin n^{+} | qquad a(b^{n})geq a(ab)‎ .‎$‎ ‎end{center}‎ اگر ‎$a$‎ ایدآل فازی حلقه ‎$r$‎ باشد، رادیکال ‎$a$‎ به شکل زیر تعریف می شود: ‎egin{center}‎ ‎$ sqrt{a}(x)=underset{n geq 1}{sup}a(x^{n}).$‎ ‎end{center}‎ درصورتی که ‎$hat{a}$‎ ایدآل فازی حلقه ‎$r$‎ باشد، ‎$hat{a}$‎ ایدآل کاملاً ضعیف اوّل فازی نامیده می شود ‎‎هرگاه، ‎$hat{a}‎ : ‎rlongrightarrow [0,1]$‎ نگاشت ثابتی نبوده و برای هر ‎$x,y in r$‎ داشته باشیم: ‎egin{center}‎ ‎$ hat{a} (xy)=max(hat{a} (x),hat{a} (y))‎. ‎$‎ ‎end{center}‎ در پایان به ازای هر ایدآل ابتدائی فازی یک ایدآل کاملا ضعیف اوّل فازی مرتبط با آن وجود دارد.

رفیزیک, بیشینه یا کمینه کردن انرژی از دید کاربردی از اهمیت فراوانی برخوردار است. که با هدف کم کردن هزینه ها یا دیگر اهداف صورت می گیرد. در این تحقیق، به دنبال بهینه کردن انرژی حالت یا اولین مقدار ویژه ی عملگر لاپلاسین روی ناحیه ‎$dsubsetmathbb{r}^{2}$‎ هستیم که به مسائل بهینه سازی شکلی معروف هستند. بدنبال بهترین شکل برای ناحیه هستیم که انرژی حالت، بهینه شود. ناحیه اصلی ‎$d$‎ می باشد که در آن مانعی به شکل ‎$b$‎ واقع است. تحت شرایط تقارنی خاص زیر، کمینه یا بیشینه کردن مقدار ویژه اصلی ‎$lambda_{1}$‎ لاپلاسین دیریکله روی ‎$dsetminus b$‎ مورد نظر است. ‎egin{enumerate}‎ ‎item‎ برای یک عدد صحیح ‎$ngeq2$‎، ناحیه ‎$d$‎ و مانع ‎$b$‎ نسبت به پرتوهای ‎$dfrac{kpi}{n}$‎ام گذرنده از مرکز برای ‎$k=1ldots n$‎ متقارن می باشند و با چرخش شکل به اندازه ‎$dfrac{2pi}{n}$‎ ویک انعکاس ‎$s$‎ ثابت هستند. ‎item‎ فاصله ی هر نقطه ی ‎$x$‎ ازمرز تا مرکز یکنوا است. یعنی اگر نقطه ‎$x$‎ را روی مرز ناحیه ‎$d$‎ در نظر بگیرید. فاصله ی این نقطه ی ‎$x$‎تا مبدا مختصات، ‎$d(o,x)$‎، به عنوان تابعی از ‎$x$‎، در ناحیه محدود به دو محور تقارن، یکنوا است. ‎end{enumerate}‎ همچنین ‎$ ho(b)subset d$‎ میباشد. یعنی چرخش یافته ‎$b$‎ دوباره داخل ‎$d$‎ قرار دارد. برای این کار از فرمول تغییراتی هادامارد ‎ltrfootnote{hadamard}‎ برای نمایش مقدار ویژه اصلی استفاده می کنیم.