ما نماد توموگرافیک دوگان عملگر چگالی و مشاهده پذیرها را به عنوان یک نگاشت واکوانتش جدید در اپتیک کوانتومی مطالعه می کنیم. به عنوان یک کار مقدماتی، ما نمادهای توموگرافیک دوگان بعضی از حالت های کوانتومی که مکرراً استفاده می شوند را پیدا می کنیم. همچنین الگوریتمی برای تبدیل معادلات عملـگـری به معادلات دیفرانسیل جزئی شامل نمـادهایـشان مـعرفی می کنیم. از طریق این الـگـوریتم بعضی از معادلات ویژه نمادی - ویژه مقداری در اپتیک کـوانتومی را معرفی می کنیم و آنها را به طور کامل حل می نماییم. به علاوه ما نمایش های تغییر شکل یافته معادله شرودینگر- فون نویمان و معادله راهبر پیدا می کنیم. سرانجام معادله شرودینگر- فون نویمان را برای هامیلتونی مربعی که در مسائل تحریک پارامتری با آن مواجه می شویم به طور کامل حل می کنیم. کلمات کلیدی: نگاشت کوانتش، نگاشت واکوانتش، تابع توزیع شبه احتمال، تقارن دوگانی، نگاشت دوگان، نماد توموگرافیک، نماد توموگرافیک دوگان، معادله شرودینگر- فون نویمان

ما در این پایان نامه تعدادی از تعاریف عملگر فاز و حالت های فاز متناظر آن ها را بررسی می کنیم. توابع توزیع فاز قابل پیش بینی آن ها (در مورد چند حالت دلخواه) با یکدیگر مقایسه می شوند. برای برخی از تعاریف مبتنی بر تعریف حالت فاز از طریق شبه توزیع های منتج از توابع نماد s- پارامتری، نمایش s- پارامتری آن ها مورد مطالعه قرار گرفته اند. ضمناً شبه توزیع های نظیر حالت فاز پگ- بارنت برای هر مقدار پارامتر ترتیب محاسبه شده اند. با توجه به این که در تجربه توموگرام حالت کوانتومی بدست می آید و لذا داشتن نماد توموگرافیک و نماد توموگرافیک دوگان اپراتور فاز سبب می شود که مستقیماً توابع توزیع فاز قابل استخراج باشند ، نمایش توموگرافیک و نمایش توموگرافیک دوگان حالت های فاز محاسبه شده اند.

در نمایش فوک- بارگمن حالت های یک نوسانگر کوانتومی توسط توابع تحلیلی بر صفحه مختلط نمایش داده می شوند. مشاهده پذیرها نیز با توابع دو متغیره مختلط متناظر خواهند شد. به این شکل کل جبر عملگری به روابط بین توابع اسکالر تقلیل می یابد که از نظر محاسباتی امری مفید محسوب می شود. از طرف دیگر نمایش توموگرافیک نیز ابزار جدیدی برای نمایش حالت ها و مشاهده پذیرها در اپتیک کوانتمی است. با این وجود هیچ مطالعه ای برای رابطه متقابل بین نمایش های فوک- بارگمن و توموگرافیک گزارش نشده است . پایان نامه حاضر تلاشی برای یافتن رابطه متقابل بین نمایش های فوک- بارگمن و توموگرافیک است، برای این منظور از تریس اپراتورها بر حسب نمایش بارگمن اپراتورها و نیز ارتباط بین تابع ویگنر با نمایش بارگمن اپراتور چگالی استفاده کردیم و برای نگاشت بارگمن به توموگرافیک و نیز نگاشت بارگمن به توموگرافیک دوگان فرم های متفاوتی بدست آوردیم که می تواند به عنوان متد محاسباتی برای محاسبه نماد توموگرافیک و نماد توموگرافیک دوگان به کار رود.

حالت های همدوس برای تابش الکترومغناطیسی کوانتیده حالت هایی هستند که، بیش از هر حالت دیگر میدان، رفتاری شبه کلاسیک دارند. با توجه به پیشرفت تکنیک های تولید حالت های مختلف کوانتمی برای میدان، معرفی سنجه های غیر کلاسیکی اهمیت ویژه پیدا کرده است. در پایان نامه حاضر ضمن آشنایی با مفاهیم پایه موضوع بر دو نوع سنجه غیر کلاسیکی مرتبط با نمایش فضای فاز تاکید شده است. نوع اول سنجه متکی بر مساحتی از فضای فاز است که تابع ویگنر بر آن منفی است. نوع دوم مرتبط با آثار تداخلی در تابع ویگنر است ( وقتی حالت را به عنوان ترکیب خطی حالت های همدوس در نظر می گیریم ). این سنجه ها در مورد گروه هایی از حالت های کوانتمی محاسبه شده اند. بخصوص حالت هایی دوجمله ای مورد توجه قرار گرفته اند زیرا آنها بطور پیوسته فاصله بین غیر کلاسیک ترین حالت های کوانتمی و کلاسیک ترین آنها را پوشش می دهند. در انتها نیز روشی برای محاسبه سنجه نوع دوم برای حالت هایی مانند شمارگان فوتونی یا حالت چلانده خلا پیشنهاد شده است.

در این پایان نامه ما ترتیب گوسی عملگرهای کانونیک و توابع شبه توزیع وابسته و ارتباط متقابل آنها را با نمایش توموگرافیک حالت مطالعه می کنیم. در ابتدا با مروری به مفاهیم ترتیب - پارامتری و شبه توزیع های متناظر که بطور متعارف در اپتیک کوانتومی برای نمایش عملگر چگالی بکار می روند ایده های اساسی معرفی می شوند. سپس همین فرایند برای نمایش توموگرافیک تکرار می گردد. از ایده های بدست آمده برای معرفی کلاس کلی توابع شبه احتمال با تکیه بر پیچش تابع ویگنر با یک گوسی بهنجار استفاده می گردد. در فصل سوم قضیه کلی ای اثبات می گردد که ارتباط بین مفهوم ترتیب گوسی و ترتیب هندسی ترکیبات خطی مناسبی از عملگرهای کانونیک را مشخص می کند. نهایتاً در فصل چهارم عبارتی برای ضرب ستاره ای نمادهای گوسی بدست خواهد آمد که احتمالاً در مطالعات بعدی برای پیدا کردن ضرب تاره ای نمادهای توموگرافیک می تواند مفید باشد. همچنین روابط مستقیم انتگرالی بین نماد توموگرافیک عملگر چگالی و توابع شبه توزیع گوسی محاسیه شده است.

اغلب لازم است در محاسبه تحول زمانی سیستم های کوانتمی، مثل یک مد میدان الکترومغناطیسی کوانتیده درون کاواک، که در برهم کنش با یک محیط هستند اثر جفت شدگی با محیط در نظر گرفته شود. در فرمالیزم ریاضی این کار به وسیله معادله راهبر برای عملگر چگالی کاهش یافته سیستم انجام می شود. این معادله، یک معادله عملگری بوده و برای حل آن اغلب از نمایش هایی چون تابع ویگنر، تابع گلاوبر-سودارشان و ... استفاده می شود. یکی از روش های کلاسیک برای حل (عددی) معادله راهبر روش پرش های کوانتمی است. در این روش با انتخاب آنسامبلی از بردارهای حالت اولیه و تحول دادن گام با گام آن ها (در زمان) با یکی از دو روش یکانی یا غیر یکانی و بعد اعمال تصادفی پرش کوانتمی تحول آنسامبل و سپس خود اپراتور چگالی محاسبه می شود. از سوی دیگر یک روش جدید برای حل معادله راهبر استفاده از نمایش حالت های درهم تنیده است. این ها حالت های پایه یک سیستم دو بعدی هستند که از ترکیب نوسانگر اصلی و یک نوسانگر مجازی ساخته می شود. این روش برای حل معادله راهبر در حل چند مسئله اپتیک کوانتمی، شامل میرائی، بکار برده شده است و همچنین با استفاده از این روش، یک نوسانگر کوانتومی واداشته (به وسیله یک میدان کلاسیکی) در حضور میرایی را حل کرده و به طور مفصل راجع به آن بحث خواهد شد. هدف از این پایان نامه مطالعه روش های متداول حل معادله راهبر، به ویژه روش حالت های درهم تنیده و بررسی روش پرش های کوانتمی است. در پایان روش پرش های کوانتمی را در نمایش درهم تنیده برده و از طریق آن، مسئله برهم کنش مد میدان درون کاواک با یک باریکه اتمی در دمای صفر را حل خواهیم کرد.

در محاسبه تحول زمانی سیستم های کوانتمی که در برهم کنش با یک منبع هستند اثر جفت شدگی با محیط در معادله مستر در نظر گرفته می شود. معادله مستر معادله ای عملگری برای عملگر چگالی کاهش یافته سیستم است. برای حل این معادله تکنیک های ریاضی وجود دارد که از نمایش ماتریسی عملگر چگالی بر پایه های مختلف بهره می برند. استفاده از حالات درهم تنیده گرمایی و نمایش کت- برداری روش جدیدی برای حل معادله مستر است. در این روش عملگر چگالی بطور منحصر به فردی با یک بردار در فضای هیلبرت یک جفت نوسانگر حقیقی- مجازی متناظر می شود و معادله تحول زمانی برای این بردار نیز خیلی شبیه معادله شرودینگر است. در پایان نامه حاضر ضمن بکارگیری این روش برای سیستم های خطی همچون نوسانگر میرای واداشته کوانتمی این روش مطالعه شده است. ضمنا بخاطر ویژگی های جالب فیزیکی سیستم های غیر خطی یکی از ساده ترین آنها، یعنی محیط کر حل شده است. تابع هوسیمی حالت و حل مسئله از روش تصویر برهم کنش میرایی که نیز به مباحث اضافه گردیده است. نتایج این مباحث به عنوان روش حل برای سایر سیستم های غیر خطی می تواند مفید باشد.

چکیده کلاسیکی بودن یا کوانتمی بودن یک حالت معمولا با توجه به نزدیکی ویژگی های آن به حالات همدوس سنجیده می شود. بنابراین نیاز است شاخص هایی داشته باشیم که این نزدیکی را بطور کمی بیان کنند. بخصوص با توجه به پیشرفت تکنیک های تولید حالت های مختلف کوانتمی برای نور، معرفی سنجه های غیر کلاسیکی اهمیت دارد. در پایان نامه حاضر ضمن آشنایی با مفاهیم پایه موضوع بر نوعی سنجه غیر کلاسیکی مرتبط با نمایش فضای فاز تاکید شده است.