در این پایان نامه درابتدا به معرفی ‎bck-جبرها‎،‎ جبر تفاضلی‎،‎ ابر k-جبرها و شبه اجتماع ابر k-جبرهامی پردازیم و سپس به بررسی سه توپولوژی و خواص آن‎،‎ روی ‎‎bck-جبرهابا پایدار های چپ و راست پرداخته وبه علاوه توپولوژی یکنواخت روی ابر k-جبرها، جبر تفاضلی وشبه اجتماع ابر k-جبرها را مورد مطالعه قرار می دهیم‎ هم چنین به بررسی بعضی از توپولوژی ها روی شبه اجتماع ابرk- جبرها می پردازیم .‎ به علاوه نشان می دهیم که زیر مجموعه ناتهی ناهمبند ‎u‎ و زیر مجموعه سره بسته ‎a‎ از ‎bck-جبر ‎،‎‎x‎ وجود ندارد به طوری که0 عضوی ازu و ‎a‎ همبند باشد.

ساختار bck-جبر نخستین بار توسط دو ریاضیدان ژاپنی به نامهای ایمای و ایزکی، در سال 1966 معرفی گردید. در سال 1934 نظریه ابر ساختار یا چند جبر، توسط مارتی در هشتمین کنفرانس ریاضیدانان اسکاندیناوی معرفی گردید. در سال 2000 برزویی، زاهدی و ی.ب.جون با به کار بستن ابر ساختارها بر روی bck-جبرها مفاهیم ابرbck-جبرها و ابرk-جبرها که هر کدام تعمیمی از bck-جبرها هستند را معرفی نمودند. آنان ساختار ابرbck-ایده آل، ابرbck-ایده آل ضعیف، ابر k-ایده آل،ابر k-ایده آل ضعیف را نیز معرفی نموده و روابط بین آنها را بیان کردند. همچنین آنهاابر k-جبر خارج قسمتی وابسته به یک رابطه هم ارزی ، منظم و خوب یا erg را روی ابر k-جبر h بررسی کردند. در سال 2007 نصر آزادانی و زاهدی روشی را برای ساخت یک ابر k-جبر از هر مرتبه بیان نموده و سپس به معرفی شبه اجتماع ابر k-جبرها و خواص آنها پرداختند. در نهایت قضایایی را راجع به شبه اجتماع ابر k-جبرها بیان کردند. چهارچوب پایان نامه به شرح زیر می باشد: در فصل اول به بیان مفاهیم مقدماتی از bck-جبرها، ابر k-جبرها و ابر bck-جبرها می پردازیم. در فصل دوم با شبه اجتماع ابر k-جبرهاآشنا شده و در فصل سوم ابر k-جبرهای خارج قسمتی را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل چهارم به بررسی ارتباط بین ایده آل i و ابر k-جبر خارج قسمتی h/i می پردازیم.

هدف اصلی از نگارش این پایان نامه بررسی bl-جبرها به عنوان ساختار جبری متناظر با منطق فازی پایه (bl) است.bl-جبرها در راستای اثبات قضیه تمامیت در bl توسط هایک در سال 1998 به وجود آمده اند. توضیح آن که? در منطق فازی پایه- که توسیعی از منطق دو ارزشی است- همانند منطق کلاسیک? مفاهیم مختلف راستی و برهان یکسان هستند. یعنی این که در bl? هر چه که برهان پذیر باشد راست است.(قضیه درستی)? و هر چه راست باشد برهان پذیر است.(قضیه تمامیت). هم چنین? در این پایان نامه گذری کوتاه بر bck-جبرها و دسته ویژه ای از آن با نام جبرهای ایزکی? به عنوان ساختارهای جبری که منطق یکی از خاستگاههای آن ها محسوب می شود داشته? و آن ها را به عنوان رسته های هم ارز با رسته bl-جبرها معرفی خواهیم کرد.

سرگئی نوویکف ? پیشرفت های مهمی در توپولوژی پدید آورد و در این زمینه برنده مدال فیلدز ???? گردید. نوویکف آثار زیادی در زمینه های مختلف ریاضی و فیزیک دارد که بخشی از آثار وی در زمینه ی نظریه ی میدان های ?-بعدی همدیس? موضوع جبری جدید بسیار زیبایی را فراهم کرد. بسیاری از شاخه های ریاضیات و فیزیک از جبر های چپ- متقارن ? یا بطور خلاصه lsa-ها? نشا ?ت می گیرند. این جبر ها? قبلاً? توسط کیلی در???? ? در متن جبر های درخت ریشه دار معرفی شدند. سپس برای مدت طولانی به فراموشی سپرده شدند تا اینکه در سال????? وینبرگ ? مخروط های همگن محدب را با استفاده از جبر های چپ -متقارن طبقه بندی کرد. از این زمان به بعد? مقاله های تحقیقی کاملاً متفاوت زیادی روی lsa-ها منتشر شد . از آن جمله میلنور و آسلاندر ? ارتباط بین منیفلد های مسطح آفینی با گروه های اساسی آن ها را کشف کردند و اخیراً کانز و همکاران? جبرهای چپ- متقارن را در ریاضی-فیزیک? برای نظریه ی میدان کوانتوم معرفی کردند. همچنین lsa-ها در نظریه ی میدان کانفرمال مورد توجه هستند. lsa-ها پذیرنده ی جبر لی هستند? ولی هر جبر لی ساختار lsa را نمی پذیرد . به ویژه? جبرهای لی پوچ توانی وجود دارند که هیچ ساختاری از lsa-ها را نمی پذیرند. lsa-ها را? همچنین جبرهای وینبرگ یا جبرهای بسته ی شرکت پذیر یا پیش جبر لی می نامند. جبر نوویکف نوع خاصی از جبرهای چپ متقارن است. جبرهای نوویکف در مطالعه ی عملگرهای هامیلتون در زمینه ی انتگرال پذیری معادله های دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی مشخصی معرفی شدند. همچنین در مطالعه ی کروشه های پواسون از نوع هیدرودینامیک و عملگر معادله ی یانگ-باکستر ظاهر شدند . بخصوص? جبرهای نوویکف در تناظر دو سویی با رده ی خاصی از جبرهای کانفرمال لی هستند? که اهمیت جبرهای نوویکف در فیزیک نظری را نشان می دهد. همچنین ارتباط بین جبرهای نوویکف و جبرهای ورتکس مشهور است . نوویکف این پرسش را مطرح کرد که آیا جبر نوویکف ساده وجود دارد. زلمانووف نتایجی در این زمینه به دست آورد و آن ها را توسعه داد و نظریه ی جبرهای نوویکف و طبقه بندی آن ها را شروع کرد. از آن پس ساختار جبری جبرهای نوویکف توسط افراد دیگر مطالعه شد و پرسش هایی برای ساختارهای نوویکف پذیر مطرح شد. این پرسش آسان تر از پرسش برای ساختارهای lsa-پذیر است? یک دلیل این است که تعداد جبرهای لی که ساختار نوویکف می پذیرند نسبت به جبرهای لی که ساختار lsa می پذیرند کمتر است

دراین پایان نامه ابتدا به معرفی مجموعه های فازی ومجموعه های نرم وتعاریف مقدماتیbci -جبر می پردازیم. با استفاده از این مفاهیم مجموعه های نرم جمعی و اشتراکی روی یک bci-جبر را بررسی می کنیم. دراین راستا مطالعه ایده آل های مختلف از جمله ایده آل های نرم جمعی، اشتراکی و استلزامی روی یک bci-جبر پی گیری می شود. سپس مفهوم ایده آلی شدن مجموعه های نرم بررسی شده و در پایان، مفهوم ایده آل نرم دو قاب (dfs-ایده آل ) در bci-جبرها، بسته بودن و نحوه ساخت یک dfs-ایده آل جدید ارائه می شود..‎