در این پایان نامه مجموعه های موجک قاب در r توصیف شده است. سپس شرایط لازم و کافی برای اینکه مجموعه e بتواند یک مجموعه موجک قاب باشد ، در قالب قضایایی بیان شده است. شرح کاملی از مجموعه های موجک قاب تنگ و مجموعه های موجک قاب پارسوال ارائه و در ادامه همین مطالب به فضاهای با بعدهای بالاتر گسترش داده شده است. در انتهای پایان نامه پس از ارائه مقدماتی بر آنالیز تجزیه چند گانه ، تابع شاخص قابی معرفی و شرایط لازم و کافی برای اینکه مجموعه e بتواند یک مجموعه تابع شاخص قاب باشد بیان شده است.

در این پایانامه قاب ها و g- قاب ها را بررسی می کنیم،که g- قاب ها تعمیمی از قاب ها هستند و بیشترین کاربرد قاب ها در انتقال داده ها در فیزیک می باشد. از مزیت مهمی که یک قاب نسبت به یک پایه متعامد یکه دارد این است که اگر عضوی از اعضای قاب حذف شود نتیجه حاصل ممکن است یک قاب باشد، ولی چنین چیزی برای پایه ها امکان پذیر نمی باشد.گوییم عملگر u روی یک فضای باناخ معکوس پذیر است اگر به اندازه کافی به عملگر همانی نزدیک باشد.ولی ما در این پایانامه شرایط ضعیفتری برای معکوس پذیری uارایه می دهیم.آشفتگی عملگر ها و کاربرد آن در نظریه قاب ها را نیز بیان می کنیم و دیده می شود که این عملگر ها تا چه حد تحت تغییرات کوچک پایدار باقی می مانند.

چکیده قاب ها ابتدا در سال 1952 توسط دافین ( duffin ) و شفر ( schaeffer ) با کار بر روی سری های فوریه ی غیر هارمونیکی معرفی شدند و در سال 1986 به وسیله ی دوبیچز ( daubechies ) و گراسمن ( grossman ) و مه یر ( mayer ) بیش از پیش شناسانده شدند و از خواص قاب ها در طبقه بندی فضاهای تابعی ، پردازش سیگنال ها و خیلی زمینه های دیگر استفاده کردند . در فصل اول این پایان نامه ، تعاریف ، نکات و قضایای مورد نیاز فصل های بعدی را به صورت مختصر و فهرست وار آورده ایم . در فصل دوم ابتدا تعریفی از شبه قاب و ساختمان آن را برای زیر فضاها در یک فضای هیلبرت جدایی پذیر h ( pffs ) ارائه می کنیم و اهمیت pffs ها را به عنوان یک عنصر اساسی و مهم در ساختمان موجک های هموار و متقارن بیان می کنیم و به رابطه ی بین pffs ها و قاب ها برای زیر فضای x از h ، اشاره می کنیم .از دیگر کاربردهای مهم و مفید pffs ، ترمیم سیگنال های صوتی می باشد . سرانجام در فصل سوم ، g-قاب ها را که قاب های تعمیم یافته ای ، شامل قاب های معمولی ، عملگرهای خطی و معکوسپذیر و کراندار هستند را تعریف می کنیم . سپس خیلی از خواص و ویژگی های اساسی g-قاب ها را ذکر کرده و آن ها را با خواص قاب ها ، مقایسه می کنیم و همچنین تعمیمی از پایه های رایس ، پایه های متعامد یکه و دنباله های بسل را بیان می کنیم و در انتها به عنوان کاربردی از g -قاب ها و خواص آن ها ، حل های اتمی برای عملگرهای خطی کراندار را ارائه می دهیم .

چکیده مفهوم قاب ها در فضاهای هیلبرت نخستین بار در سال 1952 به وسیله دیوفین و شیفر با مطالعه بر روی سری های فوریه غیر هارمونیکی معرفی شدند. قاب ها ابزارهای اساسی در متراکم سازی داده ها، نظریه نمونه گیری، نور شناسی و کاهش اثر اتلاف داده ها در سیستم های انتقال داده به شمار می آیند. امروزه با توجه به گسترش کاربرد های قاب، انواع مختلف قاب معرفی شده اند. از آن جمله قاب های مخلوطی (قاب-های زیر فضا ها) است که نخستین بار توسط کاسازا و کیتونیک و فورناسر معرفی شد. این قاب ها تعمیم طبیعی نظریه قاب ها می باشد که با ساختار قاب های عمومی از قاب های موضعی در یک فضای هیلبرت مرتبط است. در این پایان نامه به بررسی مشخصه های قاب های مخلوطی در ارتباط با عملگرهای ترکیب و تجزیه می پردازیم و سعی داریم این مشخصه ها را به نوع پیوسته قاب های مخلوطی گسترش دهیم. در فصل اول این پایان نامه به بیان تعاریف و قضایایی از آنالیز حقیقی و آنالیز تابعی می پردازیم که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار خواهد گرفت. در فصل دوم ابتدا تعریفی از قاب را برای فضاهای هیلبرت ارائه می دهیم و عملگر قابی را تعریف و خواص آن را بررسی می کنیم سپس به ساختار نوع پیوسته قاب ها اشاره خواهیم کرد. در فصل سوم قاب های مخلوطی (قاب های زیر فضاها) را تعریف می کنیم و در ادامه برخی از مشخصه های قاب های مخلوطی را بیان می کنیم. در فصل چهارم مفهوم قاب های مخلوطی را تعمیم می دهیم و در نهایت اختلال قاب های مخلوطی پیوسته را بررسی می کنیم.

بیشترین کاربرد قاب ها در انتقال داده ها می باشد. مزیت مهمی که یک قاب نسبت به یک پایه دارد این است که اگر عضوی از قاب حذف شود نتیجه حاصل ممکن است قاب باشد در حالی که پایه ها چنین خاصیتی ندارند. هدف اصلی از این پایان نامه فراهم آوردن یک زبان و ابزار برای مطالعه قاب ها و پایه های ریس در فضاهای باناخ از دیدگاه نیم ضرب داخلی می باشد. همچنین خواص و ویژگی های سودمند قاب ها و پایه های ریس در این فضا مورد مطالعه قرار می گیرد. در فصل اول تعاریف و قضایای مقدماتی را که در فصل های بعدی از آنها استفاده می کنیم بیان می شود. از جمله این مفاهیم می توان به فضاهای نرمدار و عملگرهای خطی بر آنها و همچنین فضاهای باناخ اشاره کرد. در فصل دوم مفهوم قاب و پایه ریس در فضای هیلبرت تعریف می شود و ویژگی های آنها مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین عملگر قاب معرفی و خواص آن بررسی می شود. در فصل سوم با توجه به اینکه فضاهای باناخ فاقد ضرب داخلی می باشند، مفهوم نیم ضرب داخلی معرفی می شود که با استفاده از آن می توان مفاهیمی را که در فضای هیلبرت تعریف شده اند به فضاهای باناخ تعمیم داد. البته نیم ضرب داخلی هنگامی به یک ابزار کاربردی تبدیل می شود که به صورتی که در این فصل تعریف می شود، پیوسته باشد. در فصل چهارم مفهوم قاب ها و پایه های ریس را با استفاده از نیم ضرب داخلی در فضاهای باناخ معرفی کرده و خواص و ویژگی های آنها را مورد مطالعه و بررسی قرار میدهیم.

در این پایان نامه قاب های باناخ را در فضای باناخ بررسی می کنیم و شرایطی را روی یک قاب باناخ به دست می آوریم تا از وجود یک فرمول بازسازی مطمئن شویم. در این راستا مفهوم تجزیه اتمی را بیان می کنیم تا به ویژگیهایی از فضاهای باناخ همچون جدایی پذیری و انعکاسی دست یابیم. ‎ در فصل اول به تعاریف مقدماتی ازآنالیز می پردازیم. بعضی از این مفاهیم عبارتند از تعریف نرم, عملگرها, عملگر الحاقی, فضای هیلبرت و قضایای مربوط به آن می باشد. در فصل دوم قاب و مفاهیم اولیه مربوط به آن را بیان می کنیم و به معرفی انواع قاب ها, عملگرهای قاب و پایه های ریس می پردازیم. در فصل سوم به معرفی قاب های باناخ می پردازیم و تجزیه اتمی را بیان می کنیم ‎.‎‎‎ ‎‎و بالاخره در فصل چهارم به بیان رابطه بین تجزیه اتمی و فضای دوگان و بازتابی فضاها می پردازیم.‎ ‎‎‎

در این پایان نامه برخی نتایج جدید برای g-قاب ها در هیلبرت*c-مدول ها را ارایه می دهیم.آنگاه یک عملگر a-خطی کراندار معرفی می کنیم.با استفاده از این عملگر خواصی ازg- قاب ها و پایهg- ریس در هیلبرت*c- مدول را مشخص می کنیم.در پایان برخی تساوی ها و نامساوی های مهم برای قاب ها وg- قاب ها را در هیلبرت *c-مدول ثابت می کنیم.

در این تحقیق بعضی از خواص اساسی در مورد پایه های ریس مدولی و دوگان هایش را مورد بررسی قرار می دهیم. یعنی شرایط لازم و کافی را برای دوگان های پایه ریس, که پایه ریس هستند را به دست می آوریم. به ویژه پایه ریس مدولی که دوگان منحصربفرد دارد را مشخص می کنیم. همچنین ثابت شده است که یک جفت قاب دوگان در فضای هیلبرت می تواند به پایه ریس اتساع داده شود و آن پایه ریس دوگان است که در این تحقیق نشان می دهیم این مطلب برای قاب هیلبرت ‎-c*‎مدول نیز برقرار است.

در این تحقیق برخی نتایج جدید برای قاب ها و پایه ریس در هیلبرت ‎‎c*‎- مدول را ارائه می دهیم. سپس خواص آن ها را در فضای هیلبرت ‎‎c*‎- مدول بررسی می کنیم. در پایان آشفتگی قاب ها و پایه ریس در فضای هیلبرت ‎c*‎- مدول را مشخص می کنیم, یعنی شرط لازم و کافی را تحت آشفتگی پایه ریس در فضای هیلبرت ‎‎c*‎- مدول به دست می آوریم تا پایه ریس باقی بماند‎.

در این پایان نامه ابتدا تعاریفی از قاب و جمع مستقیم در فضاهای هیلبرت را ارائه داده و سپس دنباله ‏‏ی قاب با مجموعه اندیس شمارش پذیر در فضای هیلبرت را تعریف می‏کنیم [2,15]و درادامه شرایط لازم و کافی برای اینکه جمع دو دنباله بسل با عملگرهای مربوط به آن در فضای هیلبرت قاب باشد را در[3,2] بیان می‏کنیم.همچنین خواصی از جمع وجمع مستقیم دنباله‏های قاب در[12,6] بیان کرده که در این راستا شرایط لازم و کافی برای اینکه جمع مستقیم دو دنباله قاب، دنباله قاب باشد را در[11] بیان می‏کنیم. علاوه براین شرایط لازم و کافی را برای جمع مستقیم دو قاب که دنباله ریس باشد را نیز در[4,11] بیان خواهیم کرد ودر آخر شرایطی چون برد بسته بودن را برای عملگرهادر فضای هیلبرت قرار داده که به موجب آن دنباله‏هایی که برای آن عملگر تعریف شده است دنباله‏ی قاب باشد که در[5,9,13] ارائه خواهیم داد.

در این تحقیق قابهای ترکیبی و خاصیت ایزومتری محدودشده را مورد بررسی قرار می دهیم.روشی ساده برای ایجاد قابها،ابتدا تشکیل قابهای موضعی برای هرکدام از زیرفضاها، سپس ساختن قابهای کلی از اجتماع آن ها برای کل فضا می باشد. مطالعه رابطه بین قاب و عناصر موضعی آن به تعریفی از قابهای زیرفضاها منجر می شود.این مفهوم جدید را مطرح می کنیم که پیوند مورد نیاز بین عناصر موضعی را برای ما فراهم می کند و نشان می دهد که قابهای زیرفضاها به صورت تعمیمی از قابها عمل می کنند،یعنی قابهای زیرفضاها از لحاظ ساختار و عملکرد بسیار شبیه به قابها رفتار می کنند.سپس قابهای داری خاصیت ایزومتری محدودشده و قابهای محکم که در این خاصیت صدق می کنند منجر می شوند که تقریبا متعامدند و بنابراین تقریبا هم شیب-مساوی هستند.هم چنین می توانیم قسمت هایی از قاب عای دارای خاصیت ایزومتری محدودشده را با مجموعه متعاند یکه جایگزین کنیم طوری که خاصیت ایزومتری محدودشده آنها حفظ شود

تفکیک پذیر هیلبرت می پردازیم. ضرب گرهای g-قاب ها را در فضای هیلبرت معرفی می کنیم و ویژگی های آنها را بررسی می کنیم. در ادامه مقدماتی از قابها و نگاشت های بسل پیوسته را ارایه می دهیم و سپس به تعریف ضرب گرهای قاب های پیوسته و بسل تعمیم یافته، می پردازیم. همچنین مفاهیم کنترل شده و وزن دار قاب ها را برای مجموعه های پیوسته تعمیم می دهیم. نهایتا اختلال و وابستگی ضرب گر های قاب های پیوسته مورد بررسی قرار می گیرد.