در این پایان نامه یک رده جدید از روش ها برای حل عددی دستگاه های معادلات دیفرانسیل سخت ارائه می کنیم، که در آن ضرب های ماتریس-بردار بین توابع نمایی ماتریسی و بردارها با استفاده از روش های زیرفضای کریلف تقریب می شوند. امکان انتخاب طول گام بزرگ تر از مقدار مشخص شده بوسیله شرط پایداری برای روش های صریح و سرعت همگرایی بیشتر تصویرهای زیرفضای کریلف از مزیت های روش های انتشار نمایی است. این روش برای محاسبه جواب دستگاه های سخت بزرگ در یک بازه زمانی طولانی، روشی کارا است. کارایی روش جدید را با مثال های عددی و مقایسه جواب به دست آمده با روش های صریح و ضمنی استاندارد بررسی می کنیم.

در این پایان نامه یک رده جدید از روش ها برای حل عددی دستگاه های معادلات دیفرانسیل سخت ارائه می کنیم، که در آن ضرب های ماتریس-بردار بین توابع نمایی ماتریسی و بردارها با استفاده از روش های زیرفضای کریلف تقریب می شوند. امکان انتخاب طول گام بزرگ تر از مقدار مشخص شده بوسیله شرط پایداری برای روش های صریح و سرعت همگرایی بیشتر تصویرهای زیرفضای کریلف از مزیت های روش های انتشار نمایی است. این روش برای محاسبه جواب دستگاه های سخت بزرگ در یک بازه زمانی طولانی، روشی کارا است. کارایی روش جدید را با مثال های عددی و مقایسه جواب به دست آمده با روش های صریح و ضمنی استاندارد بررسی می کنیم.

روشهای جدیدی را برای حل عددی سیستمهای odeخطی پریشندهمورد بحث قرار داده و برای حل این سیستم به مطالعه و بررسی دو روش که بر اساس روش شیفل می بلشد می پردازیم .روشهای جدید روش شیفل را به یک روش چند گامی تبدیل کرده طوری که ویژگی انتگرالگیری بدون خطای برشی روش شیفل حفظ می شود. از آنجا که مهمترین مساله در روشهای عددی حل این دستگاه ها بحث دقت روش می باشد این روشها در مقایسه با دیگر روشهای چند گامی مشابه که از توابع گرین استفاده می کنند از نظر دقت بدست آمده تفاوت چشمگیری دارند.بئین صورت که در اینجا روش جبری ساده ای برای محاسبه ضرایب صرفنظر از مرتبه آنها از طریق فرمولهای بازگشتی معرفی می شوند.

در این پایاننامه با استفاده از روش های رانگ-کوتای تعمیم یافته روش های دو مرحله ای مرتبه 3 و سه مرحله ای مرتبه 4 به دست می آوریم. که در این پایاننامه روش های l-پایدار و a-پایادار مرتبه 3 ،4و5 ارائه میکنیم.

در این پایان نامه روشهای سازگار را برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی سخت مورد بحث قرار داده و به بررسیدو نوع روش مرتبه دوم برای حل دستگاههای سخت به فرم خودگردان می پردازیم. سپس یک الگوریتم برای انتخاب طول گام سازگار بیان می کنیم. این روند انتخاب طول گام به منظور کنترل رفتار جواب عددی می باشد. برای این الگوریتم یک تابع مانیتور معرفی میکنیم. در الگوریتم بیان شده طول گام تا جایی اصلاح می شود تا تابع مانیتور بین کران های مشخص شده توسط کاربر قرار گیرد. اجرای این روند، این ویژگی را به الگوریتم می دهد که برای مسایل سخت، با دقت نسبتا خوبی قابل بکار گیری باشد. در آخر نحوه اجرای این الگوریتم روی چند مساله سخت نشان داده شده است.

در این پایان نامه روش های تکرار تغییراتی، اختلال هموتوپی و آنالیز هموتوپی برای حل معادله کاواهارا اصلاح شده به کار برده می شوند. هر سه روش دقت قابل ملاحظه ای را برای تقریب جواب های دقیق فراهم می کنند. نتایج عددی نشان می دهد که این روش ها شیوه کارایی را برای حل معادله کاواهارا اصلاح شده فراهم می کنند.

در این پایان نامه به مطاله روش رانگ-کوتای مرتبه چهار از نوع تفاضلات پسرو نیوتن بر اساس تقریب های چبیشف برای حل مسایل مقدار اولیه سخت می پردازیم.همچنین نشان می دهیم که روش را می توان به شکل روش رانگ-کوتای مرتبه چهار فرمول بندی کرد.مزیت روش بی کران بودن ناحیه پایداری است.

در این پایان نامه، برازش نمایی روشهای نوع bdf و bdf-runge-kutta را برای حل دستگاههای سخت مطالعه می کنیم. روشهای متعارف چند گامی خطی مانند bdf و تک گامی مانند رانگ-کوتا چنان ساخته می شوند که برای معادلات دیفرانسیل با جوابهای چند جمله ای، دقیق عمل کنند. روشهای پیشنهاد شده در این پایان نامه، می توانند برای معادلات دیفرانسیلی که جواب آنها ترکیب خطی از یک تابع نمایی با پارامتر a و چند جمله ای است، دقیق عمل کند. در ادامه خصوصیات سازگاری، پایداری و همگرایی روشهای جدید را مطالعه می کنیم و نشان می دهیم که این دسته روشها برای حل مسائل سخت مناسب هستند.

در این پایان نامه، الگوریتم کلی نقطه-درونی اولیه-دوگان برای بهینه سازی خطی ارائه می شود که جستجوی جهت ها به توابع هسته یک متغیره وابسته است که همچنین به عنوان یک معیار تقریبی برای تحلیل الگوریتم استفاده می شود.‎ دسته جدیدی از توابع هسته معرفی شده است که در مرز ناحیه شدنی مقدار متناهی دارد.‎ کران های تکرار برای هر دو روش به روز رساندن با گام بلند و کوتاه نتیجه می شود. نشان داده می شود که روش های به روز رساندن با گام کوتاه همانند روش های نقطه درونی اولیه-دوگان کلاسیک بر مبنای توابع هسته دارای پیچیدگی یکسانی هستند ‎. تا کنون بهترین کران به دست آمده برای روش های به روز رساندن با گام بلند ‎‎ بوده است . همچنین نتایج عددی برای توابع هسته، جهت مقایسه با نتایج دیگر روش ها ارائه می شود.

در این پایان نامه روش های هم محلی برای حل معادلات انتگرال ولترا معرفی می شوند که در آن جواب در هر نقطه گرهی به تعداد جواب در تعداد ثابتی از گره های قبل وابسته است با این هدف که مرتبه ی روش بالا برود بدون اینکه هزینه های محاسباتی افزایش یابند. در این پایان نامه در ابتدا روش های هم محلی برسی می شوند و سپس روش جدید معرفی خواهد شد و مرتبه ی همگرایی و فوق همگرایی و هم چنین پایداری روش بررسی می شود. نتایج عددی به دست آمده در این پایان نامه برتری های روش جدید ساخته شده را نشان می دهد.

در این پایان نامه مسأله حل عددی معادله دیفرانسیل کسری غیر خطی را با استفاده ار تعمیم روش های آدامز-مولتون بررسی می ‍کنیم.روی ویژگی های پایداری روش تمرکز می کنیم.

در این پایان نامه روشهای چندگامی خطی کسری معرفی و خواص پایداری آنها بررسی می شود . سپس روشهایی با بازه پایداری وسیع تر بررسی و کارآیی آنها برای حل مسائل سخت مشخص می شود .

نظریه موجک یک شاخه جدید و در حال ظهور در تحقیقات ریاضی است. در آنالیز سیگنال برای نمایش شکل موج و آنالیز فرکانس-زمان از نظریه موجک به طور گسترده استفاده شده است موجک ها یک خانواده از توابع ساخته شده از انبساط وانتقال یک تابع که موجک مادر خوانده می شود می باشند. موجکی که در این تحقیق مورد استفاده قرار گرفته است موجک cas است که دارای خصوصیات متعامد یکه و محمل فشرده است. معادلات انتگرال-دیفرانسیل در تبدیل یک معادله دیفرانسیل به یک معادله انتگرال نیز نمایان می شوند. در این پایان نامه با استفاده از موجک cas و ماتریس عملیاتی انتگرال کسری معادله انتگرال-دیفرانسیل کسری را به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می کنیم که با حل آن جواب تقریبی مساله به دست می آید.

با قراردادن یک شرط اضافی، یک زیر خانواده از روش های با پایداری صفر بهینه مشخص شده اند که فوق همگرایی از مرتبه p=s+1 دارند.شرط جدید این امکان را به ما میدهد که تعداد ضرایب در یک جستجوی عددی کاهش دهد.

در این رساله، رده ی جدیدی از روش های هم محلی برای حل عددی معادلات انتگرال ولترا ‎vie)‎) مورد بررسی قرار می گیرد.دسته ی جدیدی از روش های چندگامی هم محلی را برای حل دو نوع از معادلات انتگرال ولترای غیرخطی شامل مسائل سخت و غیرسخت معرفی می کنیم. این روش ها که آن ها را روش های چندگامی هم محلی فراضمنی ‎(simcms)‎ می نامیم، برای تقریب جواب در هر زیر بازه، با در نظر گرفتن یک افراز یکنواخت، با استفاده از تعداد معینی از نقاط گامی قبلی و تعداد معینی از نقاط هم محلی زیربازه ی جاری و بعدی به دست می آیند. در ادامه، به منظور ساختن روش های ‎-a‎پایدار از مرتبه ی همگرایی بالاتر که تقریب های هموار تولید می کنند، روش های چندگامی هم محلی هرمیتی ‎(mhcms)‎ را بر اساس درونیابی هرمیت، معرفی می کنیم. این روش ها تقریبی از جواب را در هر زیربازه با استفاده از مقادیر تقریبی جواب و نیز مقادیر تقریبی مشتق آن در تعداد معینی نقطه ی گامی قبلی و تعداد معینی نقطه ی هم محلی تولید می کنند. مرتبه ی همگرایی بالا و ویژگی های پایداری خطی قابل ملاحظه ی روش های چندگامی هم محلی در حل عددی ‎vie‎ یک بعدی، ما را ترغیب می کند تا این روش ها را برای حل عددی ‎vie‎ دوبعدی به کار بریم. همچنین روش های چندگامی هم محلی تکراری را برای حل عددی ‎vie‎ دوبعدی پیشنهاد می دهیم. این روش ها، پس از مستطیل بندی دامنه ی انتگرال گیری برای تقریب جواب در هر مستطیل، وابسته به تعداد معینی از مقادیر تقریبی جواب در نقاط شبکه بندی قبلی و نقاط هم محلی در مستطیل جاری است. برای روش های ساخته شده، مرتبه ی همگرایی روش ها و نیز مرتبه ی فوق همگرایی موضعی بیان می شوند. هم چنین، ویژگی های پایداری خطی روش ها برای هر دو نوع ‎simcms‎ و در ‎mhcms‎ مورد بررسی قرار می گیرد که نشان می دهد که در برخی حالات روش های ‎-a‎پایدار از این دسته روش ها موجود هستند. کارایی روش های ساخته شده و نتایج نظری ثابت شده با استفاده از نتایج عددی و مقایسه ی نتایج حاصل با روش های عددی مشابه مورد تائید قرار می گیرد.

در این پایان نامه ساخت دسته ای از روش های خطی عمومی با خاصیت پایداری رانگ-کوتا با عنوان dimsims مورد بررسی قرار می گیرد. این روش ها در چند جمله ای پایداری خود یک ریشه ی غیر صفر دارند. روش های خطی عمومی به عنوان یک قالب واحد برای مطالعه ی خواص سازگاری، پایداری و همگرایی روش های رایج معرفی شدند.

روشهای خطی عمومی توسط بوچر به منظور ترکیب چهارچوب روشهای متعارف معرفی شد.خطای گسسته سازی موضعی روش های خطی عمومی به دنباله ی تمام نسبت طول گام ها بستگی دارد بنابراین به نظر می رسد به دست آوردن فرمولی دقیق برای تخمین خطای متناظر، عملی نباشد. در این پایان نامه ساختار روش های خطی عمومی در فرم نردسیک با طول گام متغیر را بررسی کرده و درباره خطای گسسته سازی موضعی بحث خواهیم کرد و همچنین رویکردی را شرح خواهیم داد که در آن تخمین خطای گسسته سازی موضعی به طور عددی تعیین می شود.

نظریه احتمال و منطق فازی دو مولفه اساسی در یک سری از روش هایی است که به مسائل عدم قطعیت و عدم دقت می پردازند و نقش مهمی را در آن ها ایفا می کنند. یکی از مسائل بسیار مهم در استنباط آماری مسئله برآورد می باشد. این مسئله تاکنون به دو طریق؛ برآورد نقطه ای و برآورد بازه ای مطرح شده است. به زبان ساده هدف برآورد، تخمین پارامتر نامعلوم تابع چگالی است که مقادیر مشاهدات نمونه از آن به دست آمده اند. %در مسئله برآورد گاهی مشاهدات مربوط به یک متغیر تصادفی نادقیق هستند و یا به صورت نادقیق گزارش می شوند. در این موارد می توان داده های نادقیق را با مجموعه های فازی صورت بندی کرد و آن گاه از آن ها در برآورد استفاده کرد. باکلی در ‎cite{buckley2}‎ روشی را برای برآورد فازی بر اساس داده های قطعی(معمولی) پیشنهاد کرده است. به عبارت دیگر، او یک روش دیگر برای برآورد پارامترها در مدل های آماری با عنوان « extbf{برآورد فازی}» معرفی کرده است. در این پایان نامه با استفاده از یک مجموعه از بازه های اطمینان، این روش را برای ساختن یک عدد فازی مثلثی شکل به عنوان یک برآوردگر برای پارامترهای نامعلوم در مدل های آماری بسط می دهیم. برای این روش بررسی شده یک تابع عضویت صریح و منحصربفرد از این چنین برآوردگرهای فازی را به دست می آوریم. از روش ارائه شده برای به دست آوردن تابع عضویت صریح برآوردگر فازی پارامترهای توزیع های نرمال، نمائی و پواسن استفاده شده است.

روش هم محلی موجک چند تقارنی را برای حل سیستم همیلتونی چند تقارنی با شرایط مرزی متناوب، به کار می بریم. روش هم محلی برای گسسته سازی، بر اساس تابع خودهمبسته از توابع مقیاس دابیشز پایه گذاری می شود. با استفاده از آن سیستم شبه گسسته ای بدست می آید که این سیستم دارای قوانین بقا چند تقارنی شبه گسسته و قوانین بقا انرژی شبه گسسته می باشد. در ادامه با روش متقارن مناسب و بکار بردن انتگرال گیری نسبت به زمان، به قوانین چند تقارنی تمام گسسته می رسیم. با بکار بردن مثال های عددی برای معادله شرودینگر غیر خطی و معادله کاماسا-هلم، دقت بالا، کارایی و ویژگی های بقا را در این روش پیشنهادی بررسی می کنیم.

اکثر پدیده های فیزیکی مانند انتقال خون در رگ، رفتار مدارهای الکتریکی در ماشین آلات یا حرکت ستاره ها در کهکشان ها را می توان از طریق مدل های ریاضی شان درک کرد. این مدل ها اغلب شامل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی ‎(odes)‎ هستند که زمان را به عنوان متغیر مستقل و متغیرهای فیزیکی را به عنوان متغیرهای غیر مستقل دارند. ‎par‎ حال فرض کنید که یک سیستم فیزیکی با استفاده از دستگاه معادلات دیفرانسیل مدل بندی شده است. بسته به این سیستم فیزیکی که مدل بندی شده است، دستگاه ‎odes‎ نتیجه شده به یکی از دو شکل زیر بیان می شود: ‎egin{itemize}‎ ‎item‎ دستگاه غیر خودگردان ‎egin{equation*}‎ ‎y(x)=f(x,y(x))‎, ‎end{equation*}‎ ‎item‎ دستگاه خودگردان ‎egin{equation*}‎ ‎y(x)=f(y(x))‎, ‎end{equation*}‎ ‎end{itemize}‎ که ‎$y:mathbb{r} ightarrowmathbb{r}^m$‎ یک تابع برداری مقدار، ‎$f:mathbb{r} imesmathbb{r}^m ightarrowmathbb{r}^m$ (در حالت غیر خودگردان)، ‎$f:mathbb{r}^m ightarrowmathbb{r}^m$‎ (در حالت خودگردان)، و ‎$m$‎ بُعد دستگاه است. در سیستم های فیزیکی، متغیر مستقل ‎$x$‎ اغلب به عنوان زمان و ‎$y(x)$‎ جواب در ‎$x$‎ را نشان می دهند. واضح است که با در نظر گرفتن ‎$x$‎ به عنوان یک مولفه ی دیگری برای بردار ‎$y$‎، دستگاه های به شکل غیر خودگردان نیز تبدیل به دستگاه های خودگردان خواهند شد. بنابراین در این رساله هم همانند اکثر متون ‎odes‎ فقط معادلات دیفرانسیل در شکل خودگردان در نظر گرفته خواهد شد. ‎par‎ در کل به دست آوردن یک جواب تحلیلی برای این دستگاه ها، اگر هم غیر ممکن نباشد، خیلی مشکل است. از اینرو روش های عددی که جواب های تقریبی برای جواب این دستگاه ها به دست می آورند از اهمیت فوق العاده ویژه ای برخوردارند. اما بطور کلی، دنیای ‎odes‎ به دو نوع دستگاه های سخت‎footnote{stiff}‎ و غیرسخت‎footnote{non-stiff}‎ تقسیم می شود. تعریف مسائل سخت و پدیده ی سختی‎footnote{stiffness}‎ بطور ریاضی خیلی مشکل است. با وجود این، توصیفاتی برای این نوع دستگاه ها را می توان از نوشته های بزرگان این شاخه از علم پیدا کرد. شَمپِین‎footnote{shampine}‎ و براچ‎footnote{burrage}‎ بیان کردند که معادلات سخت مسائلی با ‎$l(overline{x}-x_0)$‎ بزرگ هستند که در آن ‎$l$‎ ثابت لیپشیتز معادله دیفرانسیل و ‎$[x_0,overline{x}]$‎ بازه ی انتگرال گیری است. بوچر‎footnote{butcher}‎ اشاره کرد که دستگاه هایی که در آن جواب ها شامل مولفه ی بشدت میرا هستند، دستگاه سخت هستند. او اضافه کرد که این مسائل در آنالیز عددی خیلی مهم هستند چراکه آنها اغلب در عمل ظاهر می شوند و حلِ آنها با روش های عددی متعارف مشکل است. لمبرت‎footnote{lambert}‎ اشاره کرد که سختی زمانی رخ می دهد که نیاز پایداری بجای نیاز دقت طول گام را محدود کند، و اینکه سختی زمانی رخ می دهد که مولفه هایی از جواب خیلی سریع تر از بقیه میرا شوند. سپس، او تعریفی طرح کرد که به چیزی که در عمل مشاهده می کنیم نزدیک تر است: اگر یک روش با ناحیه ی پایداری متناهی روی یک دستگاه با هر شرط اولیه ای اعمال شود و در یک بازه ی انتگرالگیری مشخص مجبور به استفاده از طول گام بیش از حد کوچک در رابطه با همواری جواب دقیق در آن بازه شویم، دستگاه در آن بازه سخت گفته می شود. ایزرلِس‎footnote{iserles}‎ بیان کرد که یک دستگاه ‎ode‎ سخت است اگر جواب عددی آن با برخی روش های عددی برای دوری از ناپایداری، نیاز به کوچک بودن قابل توجهی از طول گام داشته باشد. برای این منظور، متخصصین آنالیز عددی در این شاخه بدنبال معرفی روش هایی برای حل این نوع دستگاه ها بودند که دارای ناحیه ی پایداری وسیع تری باشند. شروعِ این تحقیقات می توانست در دو مسیرِ روش های تک گامی و روش های چندگامی خطی باشد. اما مانع دوم دالکوئیست‎footnote{dahlquist}‎ که بیان می کند: ‎«‎مرتبه ی یک روش چندگامی خطی ‎$a$--‎پایدار نمی تواند از دو تجاوز کند»، مسیر تحقیقات برای معرفی این چنین روش ها را مشخص نمود. ‎par‎ در سال ‎1966‎، بوچر روش های خطی عمومی‎footnote{general linear methods} (glms)‎ را به عنوان یک قالب واحد برای مطالعه ی خواص سازگاری، پایداری، و همگرایی روش های متعارف (روش های تک گامی، چندگامی خطی، ترکیبی‎footnote{hybrid}،‎ پیشگو--اصلاحگر، تطبیقی‎footnote{adaptive}،‎ شامل نقاط جلوتر، شامل نقاط غیرگامی‎footnote{off-step points}‎ و .‎..)‎ و فرمول بندی روش های جدید معرفی کردند. اما تحقیقات برای معرفی روش هایی با ناحیه ی پایداری وسیع تر و گریز از مانع دالکوئیست در مسیر استفاده از مشتقات بالاتر جواب در روش مانند روش های اُبرِشکُف‎footnote{obreshkov} (از جمله روش های مشتق دوم) و تعمیم شان به روش های نقاط جلوتر و غیرگامی نیز ادامه پیدا کرد که این روش ها را نمی توان در قالب روش های خطی عمومی نوشت. از اینرو بوچر و حجتی در سال ‎2005‎ روش های خطی عمومی با مشتق دوم‎footnote{second derivative general linear methods} (sglms)‎ را معرفی کردند. ‎par‎ در این رساله ضمن مطالعه ی ساختار و ویژگی های ‎lr{,glms}‎ به شرایط همگرایی ‎sglms‎ خواهیم پرداخت و روش هایی از این خانواده که متناسب با دستگاه های سخت باشند، معرفی خواهیم کرد. همچنین مرتبه ی ماکزیمال برای انواع ‎sglms‎ که ماتریس پایداری شان مقادیر ویژه ی زائد ندارد (یعنی تنها یک مقدار ویژه ی ماتریس پایداری غیر صفر است که به این ویژگی، خاصیت پایداری رانگ--کوتا‎footnote{runge--kutta stability}‎ یا به اختصار ‎rks‎ گفته می شود) را با روش های مختلف به دست خواهیم آورد. ‎par‎ در فصل ‎1‎ روش های عددی متعارف برای حل مسائل مقدار اولیه را مرور کرده و سپس به مطالعه ی روش های خطی عمومی می پردازیم و در ادامه به خواص دستگاه های سخت اشاره می کنیم. در فصل ‎2‎ ضمن بیان ساختار ‎lr{,sglms}‎ شرایط پیش-- سازگاری، سازگاری، و صفر--پایداری را معرفی کرده و ثابت می کنیم که سازگاری و صفر--پایداری معادل با همگرایی این روش ها هستند. در فصل ‎3‎ ضمن تقسیم بندی ‎sglms‎ به چهار نوع و معرفی یک زیرکلاس خاص از این دسته روش ها به نام ‎lr{,footnote{second derivative diagonally implicit multistage integration methods}sdimsims}‎ مرتبه ی ماکزیمال برای انواع موازی این روش ها با داشتن خاصیت ‎rks‎ را یافته و روش هایی از این خانواده تا بالاترین مرتبه ی ممکن می سازیم و این فصل را با نتایج عددی برای نشان دادن کارایی روش های ساخته شده به پایان می بریم. مطالعه روی ‎sglms‎ در فصل ‎4‎ ادامه پیدا می کند و بالاترین مرتبه ی ممکن برای روش های متوالی تحت خاصیت ‎rks‎ را به دست آورده و روش هایی از مرتبه ی ‎3‎ و ‎4‎ می سازیم. در انتهای فصل، کارایی روش های ساخته شده را با مثال های عددی نشان می دهیم. فصل ‎5‎ را با مطالعه ی ستاره های مرتبه دار‎footnote{order stars}‎ و مسیرهای مرتبه دار‎footnote{order arrows}‎ شروع کرده و در ادامه ی این فصل موانع مرتبه که در فصل های ‎3‎ و ‎4‎ به دست آمدند را با استفاده از مسیر های مرتبه دار به دست می آوریم. در نهایت مسیرهایی برای تحقیقات بعدی در این زمینه معرفی خواهیم کرد.

محاسبات توابع پایه همچون تابع لگاریتمی، نمایی، مثلثاتی، 1/x و ...، که در dsp، پردازنده¬های گرافیکی، سیستم های مخابراتی و ... به کار برده می شود، بسیار مورد استفاده قرار می¬گیرد. از اینرو محاسبه سریع و دقیق این توابع تاثیر زیادی بر روی عملکرد این سیستم¬ها دارد. اگر چه این توابع با استفاده از نرم-افزارهایی با دقت بالا قابل محاسبه هستند ولی در بیشتر کاربردهایی که به محاسبه متعدد این توابع نیاز است این نرم افزارها بسیار کند عمل می کنند، از اینرو پیاده¬سازی این توابع و حتی توابع ترکیبی به صورت سخت-افزاری نسبت به تحلیل نرم افزاری بویژه با پیشرفت تکنولوژی vlsi مورد توجه قرار گرفته است. پیاده¬سازی سخت¬افزاری بر حسب پارامترهای مورد نیاز با الگوریتم¬های مختلف صورت می گیرد. در این پایان نامه سعی می¬شود الگوریتم ها و روش های محاسبه توابع به صورت سخت افزار بررسی و مقایسه شوند سپس با انتخاب الگوریتم (بهینه) تقریب چندجمله ای تکه ای و با اعمال شرط پیوستگی در نقاط مرزی بین دو بازه مجاور بعضی از ضرایب را برای دو بازه مجاور یکسان در نظر می گیریم و این باعث می شود میزان حافظه مورد نیاز برای ذخیره ضرایب کاهش یابد، در آخر بلوک¬هایی برای محاسبه مستقیم توابع پایه بر اساس این تکنیک بر روی fpga پیاده¬سازی می نماییم.

یافتن جواب تحلیلی برای معادلات انتگرال جز در موارد خاص، مشکل و یا عملاً غیر ممکن است. به همین علت حل عددی این معادلات حائز اهمیت است. روش بلوکی یکی از روش های حل عددی معادلات انتگرال ولترا است. این روش در اصل یک فرآیند برونیابی است که نیاز به مقدار شروع ندارد. به علاوه این روش دارای امتیازاتی هم چون سادگی کاربرد، محاسبه چندین مقدار مجهول به طور همزمان و کارایی برای بازه هایی با طول بزرگ تر از یک نیز می باشد. ‎در این رساله با استفاده از قاعده انتگرال گیری رامبرگ یک روش بلوکی با مرتبه همگرایی بالاتر نسبت به روش های بلوکی موجود، معرفی شده است. هم چنین با افزایش تعداد بلوک ها و یا با استفاده از قاعده سیمپسون به جای قاعده ذوزنقه ای در گام نخست انتگرال گیری رامبرگ می توان مرتبه همگرایی روش را افزایش داد. ‎در ادامه روش برای حل معادلات انتگرال ولترا روی بازه های بزرگ، دستگاه های معادلات انتگرال، معادلات به طور ضعیف منفرد، معادلات انتگرال دو بعدی و معادلات انتگرال دو تأخیری تعمیم داده شده است. سپس آنالیز پایداری روش پیشنهاد شده با در نظر گرفتن مسأله آزمون ‎[y(t)=1+lambda int_{t- au_2}^{t- au_1}y(s)ds, tin[0,t]]‎ بررسی شده است. به این ترتیب که رفتار جواب تحلیلی مسأله آزمون بررسی شده و سپس خاصیت های کمی و کیفی جواب تقریبی بدست آمده است.

در این پایان نامه، برای حل عددی مساله ی مقدار اولیه ی ‎$ y^{}=f(x,y)$‎، ‎$ y(x_{0})=y_{0}$‎، روش تک گامی ‎7-‎مرحله ای هرمیت-بیرخوف-تیلور از مرتبه ی ‎11‎ را معرفی می کنیم که برای حل، از چندجمله ای های درونیاب هرمیت-بیرخوف و ‎$ y^{} $‎ تا ‎$ y^{(6)} $‎ استفاده می کند. این روش، ترکیبی از یک روش رانگ-کوتای ‎7-‎مرحله ای صریح از مرتبه ی ‎6‎ با یک روش تیلور از مرتبه ی ‎6‎ است. با متحد قرار دادن بسط جواب عددی به دست آمده از روش با بسط تیلور جواب دقیق تا مرتبه ی ‎11‎، شرایط مرتبه ی روش به دست می آید. با قرار دادن این شرایط در یک دستگاه نوع واندرموند ضرایب روش تعیین می شود. نتایج عددی حاصل‎‎‏، مزیت استفاده از مشتق های بالاتر را در روش رانگ-کوتا نشان می دهد.

در این پایان نامه، ابتدا مفاهیم اولیه در مورد سیستم های دینامیکی بیان می شود. سپس به بررسی سیستم های همیلتنی، خواص، معادله تغییر و نماهای لیاپانوف این نوع سیستم ها می پردازیم. در ادمه روش سالی را بطور خلاصه برای مدارهای آشوبناک و منظم شرح می دهیم. این شاخص در حالت آشوبناک بطور نمایی به صفر میل می کند، و در حالت منظم حول مقادیر غیر صفر نوسان دارد. سرانجام روش گالی برای تشخیص بین حرکت منظم و آشوبناک بیان می شود. گالی در حالت آشوبناک بطور نمایی به صفر میل می کند و در حالت منظم حول مقادیر غیر صفر نوسان و یا با یک تابع توانی به صفر میل می کند. همچنین نشان می دهیم که ‎$salipropto gali_2$‎ می باشد. این روش در سیستم های همیلتونی با دو و سه درجه آزادی به کار برده می شود و با روش نمای لیاپانوف و سالی مقایسه می گردد.

از سال ها پیش محاسبات کسری برای مدل سازی فرایند های فیزیکی و مهندسی استفاده می شد، اما بعدها معلوم شد بهترین نوع این محاسبات برای توصیف این فرایند ها، معادلات دیفرانسیل کسری می باشد. به همین دلیل برای حل معادلات دیفرانسیل کسری به یک روش قابل اعتماد و یک تکنیک کارا نیاز داریم. در این پایان نامه با هدف حل این معادلات به ساخت ماتریس عملگر مشتق از مرتبه ‎$ alpha $‎ در نوع مشتق کاپوتو پرداخته و با استفاده از توابع بی اسپلاین مکعبی به حل معادلات دیفرانسیل کسری خواهیم پرداخت. مهم ترین ویژگی این روش که باعث می شود از آن استفاده کنیم، این است که مسئله را به دستگاه معادلات جبری تبدیل می کند که به راحتی قابل حل کردن است. در انتهای این پایان نامه نیز نمونه های گویا برای نشان دادن اعتبار و کابرد این تکنیک جدید را، در قالب چند مثال آورده ایم.

در این پایان نامه برنامه در کامپیوتر سری اجرا شده است که نوعی شبیه سازی موازی است نه موازی سازی واقعی.روش ‎ piasدسته ای از روش های نقطه جلوتر ضمنی است که دارای دو گام موازی است. این روش به خانواده ی روش های پیشگو-اصلاحگر تعلق دارد و همانند روش ‎m‎ebdf‎ دارای دو گام پیشگو و یک گام اصلاحگر است. در گام اول هر دو روش از روش چندگامی خطی ‎bdf‎ از مرتبه ی ‎$ k $‎ استفاده می شود. تفاوت اصلی این دو روش مربوط به گام دوم آنها است، به این صورت که در گام دوم روش ‎‎‎‎mebdf‎ از یک روش چندگامی خطی ‎bdf‎ که در گام اول نیز به کار رفته بود، استفاده می شود. در حالی که در گام دوم روش ،‎pias‎ از یک روش چندگامی خطی ضمنی از مرتبه ی k که ضرایب آن همراه با جزئیات بحث شده استفاده می شود. مقدار به دست آمده از پیشگوی اول در گام دوم به کار گرفته نمی شود به همین دلیل گام های اول و دوم مستقل از هم هستند.

در این پایان نامه‏، یک روش پیشگو-اصلاحگر تک گامی برای حل عددی مسائل مقدار اولیه از دیفرانسیل مرتبه اول با دو نقطه ثابت ارائه می دهیم. روشی که حافظ پایداری نقاط ثابت است‏، که نتیجه‏،‎‎‎یک انتگرال کارآمد برای این نوع مسائل است.‎‎ ‎برای مسائل مقدار اولیه با دو نقطه ثابت‏، این روش پیشگو-اصلاحگر تک گامی به طور مناسب اجرا می شود‏، حتی در مورد مسائل سختی که جواب هایش دارای رفتار نوسانی است. ‎برای‎‎‎ این نوع مسائل‏‎،‎ یک روند دقیق را ثابت می کنیم‎‎‏، که در آن خطاها تنها به دلیل گرد کردن جواب هاست. بعضی مثال های عددی عملکرد خوب این روش را نشان می دهد.

در این پایان نامه ویژگی های کرانداری و یکنواختی غیرخطی برای روش های چندگامی خطی بررسی شده است. ما روی روش هایی که در شرط کرانداری ضعیف تر نسبت به ویژگی یکنواختی برای مقادیر شروع دلخواه صدق می کنند، متمرکز می شویم. با این کار تعدادی از روش های چندگامی خطی کاربردی خاص، مشمول این نظریه می شوند. علاوه براین نشان داده می شود که برای چنین روش هایی ویژگی یکنواختی به شرط استفاده از روش های شروع رانگ-کوتا مناسب، هم چنان برقرار است. محدودیت های روی طول گام این ویژگی ها را تضمین می کنند و این محدودیت های طول گام برای ویژگی های کرانداری و یکنواختی نه تنها کافی هستند بلکه لازم هم هستند.

با استفاده روش تکراری ?-بلوکی sor را برای حل دستگاه ax = b که در آن a یک ماتریس مختلط m*n با شرط m بزرگتر مساوی n و رتبه ماتریس a کمتر مساوی n می باشد a را تجزیه وروش تکراری aor به کار می بریم.و بعد شبه همگرایی روشهای aor , jor را مورد بررسی قرار می دهیم. و در نهایت شرایط لازم و کافی را برای شبه همگرایی توسعه می دهیم.وپارامتر بهینه و فاکتور پیوسته همگرایی روش را به دست مل آوریم.

اکثر مسائل مهندسی را می توان توسط معادلات دیفرانسیل معمولی ‎(odes)‎ مدل بندی کرد. در واقع برای توصیف مسائل فیزیکی، شیمیایی و الکتریکی اغلب از ‎odes‎ استفاده می شود که غالباً دستگاه هایی سخت هستند. یک روش عددی کارا برای حل دستگاه های سخت باید از دقت خوب و ناحیه ی پایداری مطلق وسیع و در صورت ممکن ‎$a$-‎پایداری برخوردار باشد. شرط ‎$a$-‎پایداری محدودیت شدیدی برای انتخاب روش های مناسب برای حل دستگاه های سخت تحمیل می کند. در این رساله، روش های کارایی معرفی می کنیم که نسبت به روش های متعارف خواص پایداری و دقت بهتری دارند. به ویژه، هدف ما توسیع ناحیه ی پایداری روش های چندگامی و چندمرحله ای متعارف است. برای انجام این کار، از تکنیک نقاط غیر گامی و نیز مشتقات بالاتر جواب به ترتیب برای ساخت روش های پیوندی ‎hebdf‎ و روش های چندگامی مشتق سوم ‎tdmm‎ استفاده می کنیم. در تحقیقی دیگر، با در نظر گرفتن روش های چندگامی مشتق دوم در قالب روش های خطی عمومی مشتق دوم ‎sglms‎ روش های پریشیده ای از این دسته روش ها می سازیم که با حفظ مرتبه، دارای خواص پایداری بهتری هستند. برای یافتن روش های ‎$a$-‎پایدار از مرتبه ی دلخواه، ‎sglms‎ متوالی و ساخت آنها را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم.

روش های نوع ،‎bdf‎ مسائل مقدار اولیه سخت، ‎$-a(alpha)$‎پایداری، تقریبا ‎$-l$‎پایداری، روش خطوط } ‎egin{abstract}‎ ‎aselineskip = 7.7mm‎ در این پایان نامه، یک روش جدید نوع ‎bdf‎ بر اساس تقریب های چبیشف برای حل عددی دستگاه معادلات دیفرانسیل سخت به دست آمده از اعمال روش خطوط بر روی معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته به زمان پیشنهاد شده است. این روش تقریباً ‎$-l$‎پایدار بوده واز مرتبه سه می باشد. مزیت روش، بی کرانی ناحیه پایداری بوده که برای مقادیر بزرگ ‎$alpha$‎، ‎$-a(alpha)$‎پایدار است. کارایی روش با اعمال آن روی چند دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی سخت نشان داده می شود.

چکیده ندارد.

با روش درون یابی هرمیت اصلاح شده تقریبی برای محاسبه ی انتگرال های مقداراصلی کوشی تعریف کرده و سپس کرانی برای خطای این روش بدست خواهیم آورد.در این پایان نامه یک روش ساده با مرتبه و سرعت همگرایی بالا برای محاسبه ی انتگرال های ‎c.p.v‎. ‎بااستفاده از نوع خاصی از درون یابی چندجمله ای هرمیت که یک سری تیلور است، ارائه می شود.

روش های خطی عمومی توسط بوچر به منظور ترکیب چهارچوب روش های متعارف معرفی شد. خطای گسسته سازی موضعی روش های خطی عمومی به تمام نسبت طول گام هابستگی دارد. دراین پایاننامه،انتشارخطای روش های خطی عمومی برای معادلات دیفرانسیل معمولی که نتایج آن کاربردی دربرآوردهای عددی خطای گسسته سازی موضعی برای روش ازمرتبه ی p و همچنین نتایج حاصل ازآزمایش های عددی که تأییداطمینان ازاین تخمین رامی زندوکاربردهای آن درطراحی استراتژی تغییرطول گام بزرگ ومرتبه برای روش هایی که برپایه ی روش های خطی عمومی هستندبحث می شودوهمچنین ساختارروش های خطی عمومی درفرم نردسیک ?باطول گام متغیررابررسی کرده ودرباره خطای گسسته سازی موضعی وهمچنین رویکردی راکه درآن انتشار خطای گسسته سازی موضعی به طورعددی تعیین می شودراشرح خواهیم داد.

در این پایان نامه روش های خطی عمومی ‎(glms)‎ را برای حل عددی معادلات انتگرال ولترا از نوع دوم که به صورت ‎egin{equation*}‎ ‎y(t)=g(t)+int_{t_0 }^{t} k(t, au,y( au))d au‎ , ‎;;;; tin[t_0‎ ,‎t]‎ ‎end{equation*}‎ می باشد، بررسی می کنیم. رده ای از این روش ها را با مرتبه ‎$p$‎ و مرتبه مرحله ای ‎$q=p$‎ به کار می بریم. ویژگی مهم این رده از روش ها داشتن مرتبه بالا از مراحل داخلی است که از وزن های انتگرال گیری برای حل معادلات انتگرال به دست می آید و همچنین خواص پایداری مطلوب است که ساختار پایداری روش ها بر اساس محک شور می باشد. مثال هایی از این روش ها از مرتبه یک، ‎$p=q=r-1=s=1$‎ و مرتبه دو، ‎$p=q=r-1=s=2$‎ بیان شده است که دارای خاصیت پایداری مطلوب نسبت به معادله آزمون استاندارد و معادله آزمون پیچشی دارند. در پایان، خاصیت‎$a$‎ -پایداری مرتبه یک و دو بررسی شده است که ناحیه پایداری بزرگتری دارند.

روش های عددی متعارف برای حل مسأله ی مقدار اولیه عموماً به دو کلاس اصلی متعلق هستند: روش های چندگامی ‎(چندمقداری)‎ و روش های رانگ-کوتا (چندمرحله ای). روش های خطی عمومی ،‎(glms)‎ توسط بوچر به عنوان قالب واحد برای روش های متعارف معرفی شد. زیرکلاسی از ،‎glms‎ معروف به روش های انتگرال گیری چندمرحله ای ضمنی قطری ‎(dimsims)‎ توسط بوچر معرفی شد و سپس ژاسکویچ و رایت به مطالعه ی بیشتر این روش ها پرداختند. در این پایان نامه مباحث مربوط به پیاده سازی ‎dimsims‎ برای دستگاه های معادلات دیفرانسیل سخت مطالعه می شوند. این مباحث شامل ساخت روش ها، تخمین خطای گسسته سازی موضعی، تکنیک انتخاب و تغییر طول گام هستند.

در این پایان نامه، یک روش بلوکی ضمنی پیوسته تفاضلات پسرو که به اختصار به cbbdf معروف است، برای حل مسائل معادلات دیفرانسیل معمولی سخت معرفی می شود. در این روش در هر مرحله مقدار تقریبی جواب در k نقطه گرهی به طور همزمان محاسبه می شود. یک مقایسه ی کاربردی بین روش بلوکی پیوسته با روش های موجود ارائه شده است. مقایسه ی نتایج عددی به دست آمده از روش، با نتایج مربوط به روش های متناظر از برتری روش مذکور حکایت دارد.

در این پایان نامه دسته روش های انتگرال گیری ‎imex‎ برای حل عددی مسائلی که مولفه های سخت و غیرسخت را همزمان دارند، مورد مطالعه قرار می گیرند.

در رساله حاضر، توابع چندمقیاسی اسپلاین هرمیتی مکعبی به عنوان مولدهایی برای ساخت سیستم چندموجکی غیرمتعامد مطلوب ارائه شده اند. برای نشان دادن توانایی های منحصر به فرد سیستم پیشنهادی، رده ای از معادلات دیفرانسیل معمولی منفرد در بازه های متناهی و سیستم های تأخیری با روش های مبتنی بر ماتریس های عملیاتی انتگرال، مشتق، حاصلضرب و تأخیر مورد بررسی قرار خواهند گرفت.

هدف ازفشرده سازی با اتلاف تصویر، ذخیره داده های موثر تصویر با کاهش افزونگی و حذف اطلاعات کم اهمیت تصویر درعین حفظ کیفیت تصویر درسطح قابل قبول است. بنابراین، همواره سعی می شود که در فشرده سازی با اتلاف تصویر بین تعداد بیت های مورد نیاز برای نشان دادن یک تصویر و کیفیت تصویر فشرده شده تعادل مورد نظر برقرار شود. این برقراری تعادل معمولاً به عنوان مصالحه نرخ-اعوجاج شناخته می شود. تعداد بیت های استفاده شده برای ضبط تصویر فشرده شده را می توان به راحتی و به طور عینی اندازه گیری کرد. با این حال، نزدیکی بین تصاویر فشرده و تصاویر اصلی صرفاً هدف نیست، بلکه ادراک انسان نقش بسیار مهمی را در تعیین درستی و صحت فشرده سازی بازی می کند. به عبارت دیگر دقیق ترین معیار برای تعیین کیفیت تصاویر، نظرخواهی از انسان است.

ساخت دسته جدیدی از روش های دو گامی محلی m-مرحله ای بررسی می شودکه بطور یکنواخت از مرتبه p=q هستند در این روش با کم کردن برخی شرایط درونیابی روش های a-پایدار و l-پایدار جستجو می شود. این روش ها برای دستگاه معادلات دیفرانسیل سخت مناسب می باشند که مثالهایی از این دسته روش ها با p=2,m=1و p=3,m=2بررسی می شوند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.