در این پایان نامه درون اساسی گروه های آبلی بی تاب از رتبه ی 3 مورد بررسی قرار می گیرد. برای این کار کافی است گروه های آبلی را به عنوان مدولهایی روی هسته اشان در نظر بگیریم و درون اساسی این مدولها را مور بررسی قرار دهیم.

در این پژوهش گروههای جمعی r^+ را از حلقه هایی تحت عنوان حلقه های مربع صفر r ((zero square ring که در آن بازای هر x?r، x^2=0 ولی r^2?{0} را مطالعه می کنیم. چنین گروههایی را گروهای مربع صفر می نامیم. اگر روی گروه آبلیg نتوان حلقه مربع صفر تعریف کرد آنگاهg را گروه مربع ناصفر می نامیم . گروههای مربع ناصفر را از بین گروههای آبلی تابدار، بخشپذیر و بطور کامل تجزیه پذیر شناسایی می کنیم. همچنین در مورد گروههای مربع صفر پوچ (مربع ناصفر) آمیخته نیز چند قضیه بیان می شود. در این پایان نامه گروههای مربع صفر با استفاده از حلقه های درونریختی گروهها ساخته می شوند. در نتیجه ثابت می شود که تعداد زیادی گروههای مربعی صفر قویاً تجزیه ناپذیر بدون تاب از رتبه متناهی وجود دارد.

هدف از انجام این رساله بررسی ساختار حلقه های روی گروههای بی تاب بوده و سعی بر آن است که با در نظر گرفتن خواص مربوط به برخی پایاهای گروههای بی تاب، که برخی از مهمترین آنها عبارتند از: نوع، رتبه، گروه همه ی ضربهای روی یک گروه و ...، خواص حلقه های روی گروه پیش بینی و تشخیص داده شود یا بالعکس. در منابع [1] و [2] اقدم و نجفی زاده با استفاده از مجموعه نوع برخی گروههای غیرپوچ از رتبه دو، حلقه های روی چنین گروههایی را شناسایی کردند. در این رساله ما این یافته ها را برای هر گروه بی تاب غیرپوچ از رتبه ی دو، توسیع داده و تعیین می کنیم که در یک گروه از رتبه ی دو یا یک گروه کاملاً تجزیه پذیر، چه زیرگروههایی می توانند ایده آل (زیر حلقه)، از هر حلقه روی گروه باشند. ‎همچنین برای گروههای از رتبه سه مشاهده خواهیم کرد که وجود یک حلقه ی غیر صفر روی گروه، محدودیت هایی را روی اعضای مجموعه نوع اعمال می کند. در ادامه نشان خواهیم داد که برخی روابط بین نوعهای جمعوندهای چنین گروههایی، وجود برخی حلقه های خاص روی گروه یا پوچ بودن آن را ایجاب کرده و همچنین گروه mult (a) را برای برخی از گروههای کاملاً تجزیه پذیر از رتبه ی سه مشخص خواهیم کرد. فصل آخر نیز به مجموعه ی هم نوع یک گروه بی تاب از رتبه ی متناهی اختصاص داده شده و در ابتدا سعی بر آن داریم که ارتباطی بین اعضای مجموعه ی نوع و هم نوع بیابیم. سپس اطلاعاتی راجع به مجموعه ی هم نوع یک گروه تجزیه پذیر به دست آورده و در انتها به شناسایی بهتر و معرفی رده ها ی خاصی از گروهها می پردازیم که در آنها شبکه ای از اتومرفیسمهای گروه، زیرگروههای تولید کننده ی گروههای خارج قسمتی را، بروی هم می نگارند.

چکیده ندارد.