در این پایان نامه ابتدا نرم تانسوری ? را روی حاصل ضرب تانسوری دو فضای باناخ تعریف می کنیم و آن را به یک فضای باناخ تبدیل می کنیم. با استفاده از این فضای باناخ جبر عملگرهای ?_انتگرال و جبر عملگرهای ?-هسته ای را تولید می کنیم. پس از آن ضرب های آرنز و آرنز-منظمی جبر عملگرهای ?-هسته ای را مورد بررسی قرار می دهیم که بررسی شامل عملگرهای هسته ای، عملگرهای تقریب پذیر و عملگرهای 2-هسته ای ( به عنوان مثال ی از عملگرهای?- ) نیز است. از آنجا که وقتی جبر عملگرهای ?-هسته ای روی یک فضای باناخ غیر انعکاسی تولید شده باشد، آرنز-منظم نیست، بنابراین میزان آرنز-نامنظم بودن این جبر را مورد بررسی قرار می دهیم. برای این منظور ساختار مرکز توپولوژیک نوع اول و دوم این جبر را مورد بررسی قرار می دهیم. به ویژه نشان می دهیم که مرکز توپولوژیک نوع اول و دوم عملگرهای تقریب پذی ر متمایز هستند و هیچ کدام شامل دیگری نیست و هر دو به طور اکید شامل عملگرهای تقریب پذیر هستند. بر عکس آن برای فضای باناخ خاص تری نشان می دهیم مرکز توپولوژیک نوع اول و دوم عملگرهای هسته ای مساوی هستند. دقیقاً با روش هایی که به کار برده ایم به سادگی می توان مرکز توپولوژیک نوع اول و دوم عملگرهای فشرده را به دست آوریم، حتی اگر جبر عملگرهای فشرده با جبر عملگرهای تقریب پذیر مساوی نباشد.

به منظور تجزیه و تحلیل یک گروه موضعا فشرده دو روش مفید وجود دارد: توابع مثبت معین روی گروه g *c- جبر تولید شده توسط گروه g این پایان نامه به بررسی روش هایی متناظر با روش های فوق روی نیم گروه ها می پردازد. در برخی حالتهای خاص مثل نیم گروه آزاد تولید شده توسط n مولد داریم نیم گروه آزاد تولید شده روی n مولد گروه موضعا فشرده g هسته مثبت معین توابع مثبت معین جبر o_n (c*(g در این راستا در این پایان نامه با جبر o_n آشنا شده و خصوصیات این *c - جبر را مورد بررسی قرار داده و سپس به بررسی هسته toeplitz مثبت معین روی نیم گروه ها می پردازیم.

هدف از این پایان نامه، آشنایی با مفهوم گروه های کوانتومی است. در ابتدا مفاهیم جبرهای هوف و مضرب جبرهای هوف را مورد مطالعه قرار می دهیم سپس تعریف گروه های کوانتومی فشرده را بیان می کنیم. ضروری است که بدانیم گروه های کوانتومی ، کاتگوری تشکیل می دهند که همه گروه های موضعا فشرده مشمول در این کاتگوری اند. اشیا این کاتگوری *c-جبرهای خاص اند و گروه های موضعا فشرده همه اشیا این کاتگوری اند که ویژگی جابه جایی دارند. در این پایان نامه دو نتیجه مهم به دست می آید ابتدا اندازه هار به گروه های کوانتومی فشرده گسترش می یابد سپس نشان می دهیم چگونه مفهوم نمایش های یکانی می تواند برای گروه های کوانتومی نیز بیان شود.

در این پایان نامه بحث بر روی جبرهای باناخ میانگین پذیری تقریبی و شبه میانگین پذیری است. ابتدا به تعریف و خواص میانگین پذیری(انقباض پذیری)می پردازیم.سپس با ارایه ی تعریف میانگین پذیری تقریبی(انقباض پذیری تقریبی)،سعی می کنیم بعضی خواص مشترک و غیر مشترک آن را با میانگین پذیری(انقباض پذیری)بررسی کنیم.در پایان به خواص جبرهای باناخ شبه میانگین پذیر و شبه انقباض پذیر خواهیم پرداخت.

در این پایان نامه ویژگی های باناخ مدول تصویری و انژکتیو و هموار بررسی می شود. ساختار باناخ مدول هموار بررسی شده و در حالت خاص نشان داده می شود که اگر باناخ مدول هموار دارای خاصیت تقریب باشد آنگاه آزاد تقریبی است. خواص باناخ مدول آزاد تقریبی و تصویری تقریبی مورد مطالعه قرار می گیرد. مدول های تصویری تقریبی در بررسی ویژگی های جبر های باناخ دوهموار و میانگین پذیر استفاده می شود.

در این پایان نامه با چهار مفهوم کلی میانگین پذیری: میانگین پذیری تقریبی، میانگین پذیری تقریبی ضعیف، میانگین پذیری تقریبی دوری و n-میانگین پذیری تقریبی ضعیف سروکار داریم. در ابتدا به بیان تعریف و خواص میانگین پذیری (انقباض پذیری) می پردازیم. در ادامه با بیان چهار مفهوم میانگین پذیری، سعی می کنیم خواص موروثی این مفاهیم را مشخص کنیم. نتیجه اصلی ما، تحت بعضی شرایط ضعیف بر روی جبر باناخ aاست، اگر دوگان دوم جبر باناخ (2n-1)میانگین پذیر(تقریبی، ضعیف و تقریبی ضعیف) باشد& آنگاه aنیز چنین است. همچنین اگر جبر باناخ (n+2)-میانگین پذیر تقریبی ضعیف باشد، آنگاه n-میانگین پذیر تقریبی ضعیف است. علاوه بر این رابطه بین خاصیت توسیع تقریبی رد و میانگین پذیری تقریبی ضعیف (میانگین پذیری دوری) را بررسی کردهایم.

در این پایان نامه مطالب متنوعی پیرامون جبرهای باناخ تصویری و دوتصویری بیان می کنیم. قضیه ها و مثالهای مهمی را مطرح کرده و نمونه هایی از جبرهای باناخ تصویری و دو تصویری ارایه می کنیم. خاصیت تصویری چپ و راست و دوتصویری را برای فضای عملگرهای فشرده و فضاهای ال پی و فضای ماتریس های مربعی مرتبه متناهی مورد بررسی قرار داده ایم. همچنین قضیه مهمی پیرامون جمع مستقیم جبرهای باناخ دو تصویری بیان کرده ایم.

در این پایا‏ن نامه‏، به ‏سه مفهوم کلی میانگین پذیری‏، میانگین پذیری ضعیف و ‎-‎n‎ ‎میانگین پذیری ضعیف دوگان دوم جبر باناخ a‎ ‎‏ می پردازیم. در ابتدا مفهوم میانگین پذیری دوگان دوم جبر باناخ را بیان کرده و نشان خواهیم داد که جبر باناخ ‎ ‎a‎ ‎‏ خاصیت میانگین پذیری را از دوگان دوم خود به ارث می برد. در ادامه به بیان مفهوم آرنز منظمی نگاشت های دوخطی روی فضاهای نرم دار می پردازیم‏، سپس شرایطی را که تحت آن دوگان دوم یک اشتقاق خود نیز یک اشتقاق است بررسی می کنیم. نتیجه ی اصلی ما در ارتباط با میانگین پذیری ضعیف و ‎-‎n‎ ‎میانگین پذیری ضعیف دوگان دوم جبرهای باناخ است که برای ‎ ‎n> ‎2‎ ‎‏ نشان خواهیم داد که ‎-‎n‎ ‎میانگین پذیری ضعیف دوگان دوم ‎-‎n‎ ‎میانگین پذیری ضعیف ‎a‎‎‏ را نتیجه خواهد داد. همچنین‎ تحت شرایط خاص میانگین پذیری ضعیف دوگان دوم جبر باناخ ‎ ‎a‎ ‎ میانگین پذیری ضعیف ‎ را نتیجه می دهد.‏

در این پایان نامه به چهار مفهوم کلی میانگین پذیری، میانگین پذیری مشخصه ای، میانگین پذیری مشخصه ای اساسی و شبه میانگین پذیری مشخصه ای می پردازیم. بدین منظور مفاهیمی از قبیل ‎?-میانگین پذیری، ‎?‎-میانگین پذیری اساسی و ‎?‎-شبه میانگین پذیری که در آن ‎?‎ یک مشخصه روی یک جبر باناخ است، را ارائه می دهیم. در ابتدا به بیان تعریف و خواص میانگین پذیری ‎(انقباض پذیری)‎ می پردازیم. شرایطی را که در آن ‎?‎-میانگین پذیری و ‎?‎-میانگین پذیری اساسی معادل می باشند را بیان می کنیم و به این نتیجه دست می یابیم که برای جبرهای باناخ دارای همانی تقریبی کراندار، میانگین پذیری مشخصه ای و میانگین پذیری مشخصه ای اساسی با هم معادلند. تعدادی از خواص موروثی میانگین پذیری مشخصه ای اساسی را بیان می کنیم. سپس به معرفی ‎?-قطر تقریبی و ‎?‎-قطر مجازی می پردازیم و رابطه ی آنها را با ‎?‎-میانگین پذیری مشخص می کنیم و در نهایت نشان خواهیم داد برای جبرهای باناخ با بعد متناهی، میانگین پذیری مشخصه ای و شبه میانگین پذیری مشخصه ای معادل می باشند.

در این پایان نامه پس از معرفی فریم ها و پایه ها، روابط بین آن ها را معرفی میکنیم سپس تقریب متقارن فریم ها را بررسی می کنیم.

دستگاه اعدادمختلط را در نظر می گیریم. آنالیز مختلط رفتار توابع روی c مورد بررسی قرار می دهد. فضای هیلبرت h را در نظر می گیریم. ابتدا توجه کنیم که فضای عملگرهای کراندار و خطی روی h که با نماد (b(h نمایش داده می شود، در حالت یک بعدی دقیقا همان c می باشد. از طرفی (b(h برخی از ویژگی های اساسی c را داراست به طور مثال: مفهوم مزدوج در c به مفهوم الحاق یک عملگر در (b(h تعمیم می یابد. با تکیه بر این روابط اساسی، پوپسکو برخی از تعاریف، مفاهیم و قضایای موجود در آنالیز مختلط را روی فضای عملگرها منتقل نمود. باتوجه به توضیحات فوق (b(h به عنوان تعمیمی ازc و بنابراین گوی واحد (b(h، تعمیمی از d یعنی دیسک واحد خواهد شد. در این پایان نامه در ابتدا با چگونگی انتقال فضای توابع تحلیلی روی d که با نمادa (d شناخته می شود، به فضای توابع تحلیلی رویb(h)1 که با نماد hol(b(h))1 نمایش داده می شود، آشنا خواهیم شد. در ادامه، انتقال برخی از مفاهیم کلاسیک روی فضای توابع تحلیلی رویb(h)1 مورد بررسی قرار می گیرد که برخی از آنها عبارتند از : معرفی شعاع همگرایی یک سری توانی با n ـ متغیر نمادین ( که با هم جابجا نمی شوند) . ارایه فرمول های مشابه آبل و هادامارد. تعمیم مهمترین قضیه آنالیز مختلط یعنی قضیه کشی.

sz0-ایده آل ها بر حلقه چندجمله ای ها بی شک یکی از زیباترین پیوندهای جبر و توپولوژی در ساختار (c(x ظاهر می شود که متشکل است ازتمام توابع پیوسته حقیقی مقدار روی فضای توپولوژی x . این ساختار با دو عمل معمولی جمع و ضرب توابع ، تشکیل یک حلقه می دهد که به حلقه توابع پیوسته معروف است .در مبحث حلقه توابع پیوسته، هدف اصلی ، هدف اصلی ، بررسی ارتباط خواص توپولوژی x و خواص جبری (c(x است .