در این پایان نامه، حل عددی معادلات انتگرال فردهلم و ولترای نوع دوم و معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترا-فردهلم غیر خطی ارائه شده است. معادلات انتگرال فردهلم و ولترای نوع دوم را با استفاده از توابع هیبرید و هار حل می کنیم و جواب تقریبی به دست آمده را با این دو مجموعه از توابع مقایسه می کنیم. معادله انتگرال-دیفرانسیل ولترا-فردهلم را با استفاده از توابع هیبرید حل می کنیم‎. اساس این روش بر روی تقریب زدن توابع است. ویژگی مفید این توابع، به‎‎کارگیری انتگرال حاصل ضرب برداری، ماتریس حاصل ضرب خاص و ماتریس ضرایب با مرتبه بهینه، برای حل معادلات انتگرال است‎. ویژگی اصلی این تکنیک آنست که معادلات انتگرال را به یک مجموعه از معادلات جبری به وسیله بسط جواب معادله انتگرال به توابع پایه ای با ضرایب مجهول، تبدیل می کند‎. مثال های عددی جهت اثبات کارایی این روش ارائه می شود.

توابع پایه b – اسپلاین چند جمله ای های تکه ای از درجه مساوی،هستند. در این پایان نامه نوعی از توابع اسپلاین را معرفی می کنیم به طوری که این توابع چندجمله ای تکه ای، درجات متغیر دارند.(که به اختصار این توابع را توابع cd – اسپلاین می نامیم.) توابع b – اسپلاین زیرحالتی از توابع cd – اسپلاین می باشند یعنی تمام خصوصیات توابع b – اسپلاین در توابع cd – اسپلاین نیز وجود دارد. یکی از کاربردهای توابع b – اسپلاین رسم منحنی هایی است که از قطعات منحنی های چندجمله ای تشکیل شده اند. به این منحنی، منحنی b – اسپلاین گفته می شود. منحنی پارامتری متناظر توابع cd - اسپلاین، که منحنی های cd – اسپلاین نامیده می شوند، نیز شبیه منحنی های b – اسپلاین هستند و خواص مفید زیادی دارند. اگر برای ایجاد یک منحنی، که از قسمت هایی با درجات متفاوت تشکیل شده است، از توابع cd – اسپلاین استفاده کنیم،می توانیم تعداد نقاط کنترل را نسبت به منحنی های b – اسپلاین به میزان مطلوبی کاهش دهیم.

روش شبه طیفی که در این پایان نامه بکار گرفته شده، یک روش موثر با ویژگی های جالب همگرایی، برای حل عددی معادلات انتگرال، دیفرانسیل جزئی و معمولی با استفاده از توابع متعامد کامل است.هدف ما بررسی معادله انتگرال ولترا نوع دوم با هست? منفرد ضعیف است، که چون یکی از نقاط انتهایی بازه ،جواب مسئله است،روش های معمولی در انتهای بازه ها، جواب های دقیقی بدست نمی دهند.روش شبه طیفی برای حل عددی این نوع از معادلات بکار می رود ودر حالت خاص در معادله انتگرال ولترا با هست? منفردضعیف مورد استفاده قرار می گیرد.

در این پایان نامه روش هم مکانی را برای حل معادلات انتگرال ولترای نوع دوم به کار می بریم . برای همین به کمک مقالات دانشجویان و اساتید دانشگاه تارتو روش هم مکانی اسپلاین گام به گام را شرح و مساله همگرایی را برای آن بررسی می کنیم. در فصل یک به بیان تعاریف و مفاهیم مورد نیاز برای این روش می پردازیم. مفاهیمی چون فشردگی منظم بودن و پایداری مربوط به همگرایی عملگرها تعریف شده است. آقای دکتر اوجا در (18) به بررسی پایداری روش پرداخته و شرایط کافی برای آن را بیان کرده است. به کمک این مقاله در فصل دوم روش هم مکانی گام به گام را شرح داده ایم و یک معادله آزمون برای آن مثال زده ایم.آقای کانگرو در(13) همگرایی روش را دنبال کرده که به کمک آن در فصل سوم همگرایی روش را بررسی خواهیم کرد. سپس عملگرهای درونیاب اسپلاین را به طور کامل تعریف ویک قضیه برای همگرایی این عملگرها به عملگر همانی آورده ایم. این قضیه در واقع همگرایی جواب تقریبی (که به صورت یک چند جمله ای قطعه ای است) را به جواب دقیق مورد نظر بررسی می کند. با توجه به شرایط هم مکانی و همواری که در قالب یک دستگاه معادلات می آید می توان ضرایب بسط چند جمله ای تقریبی دلخواه را در هر زیر بازه به دست آورد. با استفاده از عملگرهای درونیاب در معادلات انتگرال ولترای نوع دوم جواب تقریبی را از روش هم مکانی مذکور به طور گام به گام به دست می آوریم.اصطلاح گام به گام به معنای به دست آوردن جواب تقریبی روی هر زیر بازه با توجه به زیر بازه قبلی است که با پیشروی روی زیر بازه ها جواب تقریبی را در کل بازه به صورت چند جمله ای قطعه ای به دست می آوریم. شرایطی که برای شعاع طیفی ماتریس به وجود امده از شرایط هم مکانی و همواری روی هر زیربازه اعمال می کنیم همگرایی یا واگرایی روش را مشخص می کند. در فصل سوم قضایای همگرایی اصلی را که در (18و19) و(5) آمده است بیان کرده و با استفاده از عملگرهای درونیاب اسپلاین معرفی شده روی معادلات انتگرال ولترای نوع دوم شرایط مورد نیاز برای استفاده از قضایای همگرایی کلی را برقرار می سازیم و مطابق قضایای همگرایی اصلی مساله همگرایی جواب تقریبی به جواب اصلی را بررسی می کنیم. در آخر با معرفی انواع اسپلاین همگرایی روش هم مکانی اسپلاین را برای آنها بررسی کرده وسرعت همگرایی آنها را با هم مقایسه می نماییم.

معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه ی دوم، طبقه مهمی از معادلات دیفرانسیل هستند که در بسیاری از علوم، رسیدن به نتایج مطلوب، منوط به حل هرچه دقیق تر این معادلات است. این پایان نامه که برگرفته از مرجع [5] می باشد، برای حل معادلات مقدرا اولیه از این طبقه، روشی ارایه نموده است که با افزایش تعداد نقاط موجود در شبکه، به جواب دقیق تری دسترسی پیدا می کنیم. فصل اول، شامل مباحث مقدماتی از جمله معرفی فضاها و چندجمله ای های متعامد است. در یک قسمت از این فصل به ضرورت استفاده از فضای سوبولف برای چندجمله ای های متعامد پرداخته شده است. در فصل دوم به معرفی روش های عددی انتگرال گیری و علی الخصوص روش هم مکانی گاوس-لژاندر انتقال یافته پرداختیم که روش اصلی و مورد بحث ما می باشد. در فصل سوم به تحلیل خطای این روش پرداخته شده است. البته تحلیل خطا با در نظر گرفتن شرایط تحمیل شده بر تابع مسأله یعنی بررسی شده است و شرایط کافی برای همگرایی استخراج شده است. نهایتاً چند نمونه از مثال های موجود در مرجع [5] با نرم افزار متلب حل شده است که متن اصلی برنامه ارایه خواهد شد. نمودار و جدول حاصل از بررسی خطای نقطه وار چند مثال دیگر از همان مرجع نیز نشان دهنده کارایی این روش می باشد.

مدل سازی و فرمول بندی بسیاری از پدیده های فیزیکی، به معادلات انتگرال-دیفرانسیل و معادلات انتگرال فردهلم با هسته ی به طور ضعیف منفرد و هسته ی کوشی منجر می شوند. تعیین جواب تحلیلی برای این نوع از معادلات مشکل است، بنابراین استفاده از روش هایی که به جواب تقزیبی منجر می شود اجتناب ناپذیر است.از بسط متناهی تیلور و چندجمله ای های برنشتاین برای حل این نوع از معادلات استفاده می شود. در روش استفاده از بسط متناهی تیلور از روش گلرکین جواب تقریبی معادله را به دست می آوریم و در روش استفاده از چندجمله ای های برنشتاین، روش بر پایه ی تقریب چندجمله ای های برنشتاین است.

در این پژوهش از حوزه مقادیر الحاقی w(a,a^2,…,a^k) به منظور مطالعه غلاف عددی چندجمله ای از مرتبه k برای ماتریس مختلط an×n استفاده می شود، توصیفی آنالیزی ازv^2 (a) برای ماتریس نرمال a ارائه شده و نتیجه آن برای تعیین آن دسته از ماتریس های نرمالی که در رابطه v^2 (a)=?(a) صدق می کنند، به کار برده می شود. هم چنین ثابت می شود ماتریس واحد a در رابطه v^2 (a)=?(a) صدق می کند اگر و تنها اگر، مقادیر ویژه اش متعلق به یک شبه دایره باشند. وقتی a=diag(1,?,…,?^(n-1)) که ?=e^(i2?/2)nمی باشد، v^k (a) را برای k?{2}?{j?n:j?n/2} تعیین کرده و در نهایت،برای آن دسته از ماتریس های an×n که a2 هرمیتی می باشد، نشان می دهیم، v^4 (a)=?(a) و توصیفی از v^2 (a) برای آن ارائه می دهیم.

در این پایان نامه به بررسی چند‎ جمله ای های چبیشف می پردازیم و بخصوص در مورد نوع دوم آن ها مطالبی بیان می شود و همینطور کاربرد آنها در نظریه تقریب را تبیین می کنیم. مطالب مهمی در مورد خواص این چند جمله ای ها بیان می شودکه کمتر بهآن پرداخته شده است. همینطور به بیان ساده ای از الگوریتم رمز می پردازیم وسرانجام اتحاد های ترکیبیاتی جدیدی زا از این چند جمله ای ها نتیجه می گیریم.

معادلات انتگرال ولترا رده مهمی از معادلات انتگرال است که در بسیاری از علوم رسیدن به نتایج مطلوب منوط به حل هر چه دقیق تر این معادلات است.این پایان نامه برای حل معادلات انتگرال ولترا روش هم مکانی چند گامی را ارائه نموده است که بدون افزایش محاسبات به جواب دقیق تری دسترسی پیدا می کند.در این پایان نامه به انتگرال گیری عددی برای حل انتگرال های معین می پردازیم.و روش های عددی حل معادلات انتگرال از جمله روش رونگه-کوتا و هم مکانی و ارتباط بین آنها را مورد بررسی قرار می دهیم و سپس به ساختار روش هم مکانی چندگامی برای حل معادلات انتگرال ولترا و صفرپایداری و همگرایی روش می پردازیم..در پایان مثال هایی برای نشان دادن دقت تقریب و اثبات کارایی روش ارائه شده است.

برای حل معادلات انتگرال پریشنده منفرد و معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترا مرتبه اول و معادلات انتگرال-دیفرانسیل تأخیری ولترا، از روش بسط متناهی لژاندر و برای حل معادلات انتگرال ولترا با هسته های لگاریتمی از بسط متناهی چبیشف استفاده می کنیم و به تحلیل خطا و بعد از آن به بررسی مقایسه بین نتایج به دست آمده با دیگر روش ها می پردازیم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.