در این پایان نامه برخی از خواص برد عددی عملگر ها و غلاف عددی چند جمله ای عملگرها روی یک فضای هیلبرت بیان می کنیم .غلاف عددی چند جمله ای از درجه ی k برای عملگر کراندارa توسط نوانلینا در سال 1993 تعریف شد. غلاف عددی چند جمله ای ها به منظور تخمین نرم f برای کلاس های گوناگونی از توابع f معرفی شد. هنگامی که a یک عملگر نرمال باشد برای تخمین نرم f، طیف a کفایت می کند؛ اما وقتی a نرمال نباشد طیف اغلب این گونه اطلاعات را برآورده نمی کند. یکی دیگر از کاربرد های غلاف عددی چند جمله ای ها ، شناسایی یک محدوده و یک کران بهتر برای طیف عملگر a می باشد. تاکنون اطلاعات چندانی در مورد غلاف عددی چند جمله ای ها به دست نیامده است و بیشتر این اطلاعات در مورد ماتریس ها بوده است . در این پایان نامه سعی می کنیم تعاریف و نتایجی را که تاکنون توسط ریاضیدانان مطرح شده است ، بررسی کنیم . همچنین با توجه به اینکه غلاف عددی چند جمله ای ها ارتباطی تنگاتنگ با برد عددی عملگرها دارد، (به عنوان مثال غلاف عددی چندجملهای از درجه ی 1 برابر بستار برد عددی a است .) قضایا و نتایجی نیز در مورد برد عددی عملگرها بیان و اثبات می کنیم .

فرض کنیمmn (c) فضای همه ی ماتریس های مختلط n×n باشد. نگاشت خطی?mn(c) ?:mn(c) را حافظ تشابه نامیم اگر برای هر دو ماتریس متشابه? mn (c) a,b,?(a) و ?(b) نیز متشابه باشند. در این پایان نامه ابتدا نگاشت های خطی حافظ تشابه بر روی فضای همه ی ماتریس های مختلط n×n را تعیین می کنیم سپس نتایج حاصله را روی حالت نامتناهی البعد گسترش می دهیم و به بررسی نگاشت های خطی حافظ تشابه بر روی جبر همه ی عملگرهای خطی کراندار بر روی یک فضای هیلبرت نامتناهی البعد جدایی پذیر می پردازیم.

هدف ما در این پایان نامه بررسی حل پذیری معادله عملگری c = b ax است. برای این منظور لازم است ابتدا با معکوس داخلی یک عملگر آشنا شویم. در ادامه خواهیم گفت که عملگر a یک معکوس داخلی کران دار دارد اگر و تنها اگر ( a) r بسته باشد. هم چنین شرط لازم و کافی برای این که معادله c = b? cb? aa برای هر معکوس داخلی ? a از a و ? b از b برقرار باشد، حل پذیری معادله c = axb می باشد. خواهیم دید که بسته بودن برد عملگرهای a، b یا c یکی از شرایط حل پذیری معادله c = axb است. نشان می دهیم که یکی از شرایط وجود جواب های مثبت معادله c = axb، عبارت است از ( ? a) r ? ( b) r، که در قضیه (? . 1 .?) و نتیجه (1? . 1 .?) توضیح داده شده است. در این پایان نامه به قضایای مهمی از قبیل قضیه داگلاس و قضیه سباستین و نتایجی از آن ها اشاره خواهیم کرد. هم چنین در انتهای این پایان نامه حالت خاص معادله عملگری c = axb که به صورت ?// ( a ) r q = axb می باشد، را مورد بررسی قرار خواهیم داد. واژه های کلیدی: معادلات عملگری، جواب های مثبت، معکوس تعمیم یافته، معکوس مور-پنروز