در این پایان نامه ابتدا مفهوم پایداری معادلات تابعی را معرفی نموده و سپس به تحقیق در مورد مسئله پایداری و فرا پایداری مشتق و مشتق حلقه می پردازیم.

در این پایان نامه نگاشت های *-تقریب جردن و n-همومورفیسم های تقریبی جردن را مورد مطالعه قرار می دهیم و نشان می دهیم که چگونه می توان این نگاشت ها و این n-همومورفیسم ها را به ترتیب با نگاشت های جردن و n-همومورفیسم های حلقه ای تقریب زد. همچنین به بررسی پیوستگی نگاشت های تقریبی جردن بر روی جبرهای باناخ می پردازیم.

در این رساله‎،‎ پایداری و ابرپایداری هایرز-اولام-راسیاس نگاشت های خطی‎،‎ اشتقاق های تعمیم یافته و همریختی ها را در جبرهای باناخ بررسی می کنیم‎.‎ هدف ما این است که پایداری و ابرپایداری این معادلات تابعی را روی جبرهای باناخ که دارای همانی تقریبی هستند‎،‎ تحقیق کنیم. در این راستا‎،‎ پایداری هایرز-اولام-راسیاس اشتقاق های تعمیم یافته را روی جبرهای باناخ دارای همانی تقریبی مرکزی کراندار اثبات می نماییم‎.‎ همچنین‎،‎ در حالتی کلی‎،‎ ابرپایداری اشتقاق های حلقه ای تعمیم یافته و اشتقاق های تعمیم یافته و معادلات مربوط به آنها روی جبرهای باناخ دارای همانی تقریبی دو طرفه نشان داده می شود. ‎ در ادامه بحث‎،‎ پس از تحقیق خواص تابعک های تقریبا‎ً‎ ضربی‎،‎ پایداری و ابرپایداری همریختیهای حلقه ای و جبری را روی جبرهای باناخ یکدار مطالعه می کنیم. ‎ در پایان‎،‎ پایداری نگاشت های خطی بین باناخ مدول های اساسی روی یک جبر باناخ که همانی تقریبی کراندار دارد‎،‎ بررسی می شود

ابتدا به تعریف پیوستگی اتو ماتیک پرداخته و سپس با ارائه مثالهایی معنی آن را گسترش می دهیم. و مثالهایی از توابع خطی - ضربی در این مورد را مطرح میکنیم . در آخر سوال باز ارنست مایکل که آیا هر تابع خطی - ضربی روی جبر فرشه پیوسته است. در فصل اول ابتدا تعریف اولیه را انجام می دهیم و در فصل دوم به مثالهایی برای روشن شدن مفهوم پیوستگی اتوماتیک پرداخته و در فصل آخر مثالهایی از توابع خطی _ ضربی در این مورد مطرح می کنیم. و بررسی این سوال که آیا می توان شرایط این قضیه ها را تضعیف کرد یا از بین برد.

در این پایان نامه ما نرمهای ?-موافق را مورد بررسی قرار می دهیم. نشان می دهیم اگر x یک فضای باناخ باشد و (b(x جبر باناخ حاصل از عملگرهای خطی کراندار باشد، نرم ?-موافق با هر عملگر وجود دارد. سپس نشان می دهیم نرم ?-موافق با دو عملگر t و وارون آن در صورت وارون پذیر بودن وجود دارد.در ادامه نشان می دهیم نرم ?-موافق با تعداد متناهی از این عملگرها که باهم جابجا می شوند نیز وجود دارد. در ادامه این نتجه را برای یک زیرمجموعه فشرده جابجایی از عملگرها تعمیم می دهیم.این نتجه در c*-جبرها به طور خودکار برقرار است.در نهایت ما این نتایج را برای هر جبر باناخ جابجایی دلخواه تعمیم می دهیم.در ادامه به بیان یک مثال کاربردی از انتگرالهای کانتور می پردازیم که از نتایج قضایای اصلی پایان نامه در آن بهره می بریم.

اولین چیزی که پس از شنیدن کلمه پیوستگی به ذهن کسی که با ریاضیات آشنایی مختصری دارد خطور می کند روش اپسیلون- دلتا ‎می باشد,‎ یا قضیه معروف آنالیز ریاضی که بیان می کند "یک نگاشت پیوسته است اگر و تنها اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز (بسته), باز (بسته) باشد." پیوستگی یک خاصیت توپولوژیکی است. بعضی از توابع علاوه بر خواص توپولوژیکی دارای خواص جبری نیز هستند که پیوستگی را می توان با استفاده از آنها نیز ثابت کرد. در این پایان نامه نیز وقتی صحبت از پیوستگی خودکار تابعی می شود منظور همان است.به عنوان مثالی از توابعی که به طور خودکار پیوسته هستند می توانیم به قضایای زیر اشاره کنیم: ‎ الف) هر نگاشت خطی بین دو فضای برداری که بعد دامنه متناهی باشد پیوسته است ب) هر تابعک خطی ضربی روی جبرهای باناخ پیوسته است. شصت سال پیش در سال 1952 ارنست مایکل سوالی با این عنوان طرح کرد که آیا هر تابعک خطی ضربی روی جبرهای فرشه به طور خودکار پیوسته است یا نه؟ در طول این سالها ریاضیدانان روی این سوال بسیار کار کردند اما نتایج اندکی حاصل شد. در واقع نه توانستند به سوال مایکل جواب مثبت دهند و نه توانستند مثال نقضی برای آن ارائه دهند. اما با ایجاد تغییزاتی در سوال مایکل به سوالات جدیدتری پاسخ داده شد. برای مثال در سال 1991 و 1993 ماریا فراغلوپلو و در سال 2008 هنری و نجفی پیوستگی خودکار را برای همومورفیسم ها بررسی کردند و یا در سال 2005 حجازیان, میرزاوزیری و مصلحیان پیوستگی خودکار ‎-‎nهمومورفیسم ها را مورد بررسی قرار دادند. البته در این میان در سال 2001 ریاضیدانی به نام لایوونی ادعا نمود که به سوال مایکل پاسخ مثبت داده و حتی اثبات خود را در مجله ای در بلژیک چاپ نمود اما بعد از مدتی مشخص شد که اثبات ارائه شده ایراد داشته و سوال مایکل همچنان به عنوان یک سوال باز مطرح است. ‎‎این پایان نامه براساس مقاله شماره 11 است و شامل 4 فصل می باشد. در فصل اول تعاریف و قضایای مقدماتی را ارائه می دهیم که در فصل های بعدی مورد نیاز است. طیف, شعاع طیفی, جبرهای ساده, شبه ساده و به طور قوی شبه ساده و همچنین مفهوم ‎‎-nهمومورفیسم را معرفی می کنیم که در واقع گسترش همومورفیسم است. در فصل دوم ابتدا صورت قضیه جانسون را بیان می کنیم و س‎پس‎ سعی می کنیم با بیان قضایایی دیگر زمینه را برای گسترش قضیه جانسون فراهم کنیم و سرانجام نتایجی از این گسترش به دست خواهیم آورد. فصل سوم را نیز با بیان قضیه ریکارت آغاز و پس از بیان قضایایی می توانیم قضیه ریکارت را نیز گسترش دهیم. و در انتها در فصل چهارم پیوستگی خودکار‎‎‎‎-nهمومورفیسم ها را روی جبرهایc-ستاره موضعاً محدب ضربی بررسی می کنیم. لازم به ذکر است که در این پایان نامه همه تعریف ها، لم ها، قضایا، ملاحظه ها و نتایج، شماره متوالی دارند. بعنوان مثال، در بخش ‎3‎ از فصل اول، چهارمین عنوان دارای شماره ‎4-3-1‎ می باشد.

‎‎یکی از مسائل مهم در ریاضیات بحث مربوط به تجزیه چند جمله ای ها می باشد. خانواده چندجمله ای ها تشکیل یک جبر می دهند بنابراین ریاضی دانان پا را فراتر قرار داده و ‎تجزیه‎‎‎‎ را به جبرها توسیع دادند. برای اولین بار کهن در سال ???? نشان داد اعضای جبرهای توپولوژیکی که نرمدار و کامل هستند تحت شرایطی تجزیه می شوند‏، که به قضیه تجزیه کهن معروف شد. سپس سایر ریاضی دانان با الهام گرفتن از کار کهن قضیه تجزیه را در سایر جبرهای توپولوژیکی نتیجه گرفتند. ‎‎زلازکو برای جبرهای توپولوژیکی موضعاً کراندار تحت همان شرایط نشان داد قضیه تجزیه برقرار است.در سال ???? دیکسون قضیه تجزیه را برای جبرهای مترپذیر‏، کامل و موضعاً محدب تحت شرایطی مشابه شرایط قبل نتیجه گرفت. ‎‎در ادامه این سوال مطرح شد‏ که آیا با حذف شرط موضعاً محدب‏،لزوماً قضیه تجزیه برقرار است یا خیر. در سال ???? دکتر انصاری با ارائه مفهوم جدید "بنیادی‎‎"‎ ‎نشان داد که با حذف شرط موضعاً محدب‏، قضیه تجزیه همچنان برقرار است. در حقیقت جبرهای بنیادی تعمیم یافته جبرهای موضعاً محدب و موضعاً کراندار ‎هستند. به عبارت دیگر هر جبر موضعاً محدب‏، بنیادی است و همچنین هر جبر موضعاً کراندار نیز بنیادی می باشد.جبرهای بنیادی هم وجود دارند که موضعاً کراندار و موضعاً محدب نیستند. ‎‎بعد این سوال مهم مطرح شد که علاوه بر قضیه تجزیه چه قضایای دیگری از جبرهای باناخ به جبرهای بنیادی قابل تعمیم است که عنوان این پایان نامه را تشکیل می دهد. ‎شامل‎ سه بخش می باشد. در فصل اول به تعاریف و قضایای مقدماتی می پردازیم که در فصل های بعدی موردنیاز است‎.‎ فصل دوم شامل سه بخش است که در بخش اول مفهوم جبرهای بنیادی را ارائه می دهیم و نتایجی از جبرهای باناخ را که به جبرهای بنیادی تعمیم داده ایم را بیان و اثبات می کنیم.در بخش دوم روابط بین جبرهای بنیادی موضعاً ضربی و جبرهای توپولوژیکی موضعاً کراندار را مورد مطالعه قرار می دهیم و ثابت می کنیم هر جبر توپولوژیکی موضعاً کراندار یک جبر بنیادی موضعاً ضربی است.با آوردن یک مثال نشان می دهیم لزوما یک جبر بنیادی موضعاً ضربی‏، موضعاً کراندار نیست.در بخش سه‏‎،‎ یک نرم روی زیر فضایی از فضای دوگان جبرهای بنیادی موضعاً ضربی معرفی می کنیم. ‎‎فصل سوم شامل دو بخش است که در بخش اول نشان می دهیم نگاشت نمایی را می توان برای جبرهای بنیادی موضعاً ضربی‏، مترپذیر و کامل ‏، تعریف کرد و در بخش دوم که کار اصلی ما در این پایان نامه است تعمیم قضیه گلسن ‏،خان - زلاسکو به جبرهای بنیادی موضعاً ضربی می باشد و در آخر با بررسی موضعاً فشردگی فضای حامل جبرهای بنیادی موضعا ضربی‏، این رساله را به پایان می رسانیم. ‎

نامساوی کلاسیک بوهر بیان می کند که برای هر z,w ? c و برای هر p,q>1 با شرط 1/p+1/q=1، داریم |z+w|^2?p|z|^2+q|w|^2. واسیچ و ککیچ نسخه دیگری از این نامساوی را بیان نمودند که برای هر z_j? c و p_j>0 و r ?1، |?_(j=1)^m?z_j |^r ? (?_(j=1)^m??p_j?^(1/(r-1)) )^(r-1) ?_(j=1)^m?p_j |z_j |^r. در این پایان نامه، تعمیم ماتریسی این نسخه از نامساوی بوهر را به کمک نامساوی های احاطه سازی ضعیف، مقادیر ویژه یک ماتریس و نرم های پایای یکانی ارائه می دهیم.

در این رساله ابتدا مدول های باناخ از جمله مدول های هیلبرت و مدول های فینسلر مورد مطالعه قرار می گیرند و سپس فضاهای عملگری روی این مدول های باناخ مورد بحث واقع می شوند. در بخش دوم از این رساله با گذر از جبرهای باناخ به رده ی دیگری از جبرهای توپولوزیک به نام lmc-جبرها، مجددا انواع مدول ها را روی این رده از جبرهای توپولوژیک را مطالعه می کنیم و نهایتا معطوف فضاهای عملگری و نگاشت های حافظ بر روی مدول های توپولوژیک خواهیم شد.

در این پایان نامه هدف ما توصیف مشتق موضعی پیوسته روی دسته ای از جبرهای باناخ جابجایی است که مربع هر عنصر آن مثبت است و در ویژگی زیر صدق می کند:هر نگاشت دو خطی پیوسته ‎? ازa ×a ‎ به توی یک فضای باناخ دلخواهb ، به طوری که اگرab = 0 ‎ نتیجه دهد ?(a, b) = 0 آنگاه ? در شرط ( ?(ab, c) = ?(a, bc برای هر a, b, c ? a نیزصدق کند.

در این پایان نامه اثبات می کنیم که هر همریختی جبری ناصفر π:c(x) →r ارزیاب شماراست. این مفهوم در اثبات ساده و مستقیم این واقعیت که هر فضای لیندلوف، فشرده حقیقی است به کار می آید.

نتیجه ی اصلی در این پایان نامه بحث روی دو شعاع در جبرهای توپولوژیکی است. اولین مورد آن که نقشی مشابه آنچه در جبرهای باناخ رخ می دهد ایفا می کند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.