این پایان نامه به مطالعه ی نامساوی ریمان-پنروز با استفاده از مفاهیمی همچون انحنای میانگین، جرم هاوکینگ، منیفلدهای تخت مجانبی و . . . می پردازد. سپس در ادامه مقدمات هندسی و فیزیکی مورد نیاز را ارائه می دهیم که شامل انحناهای اسکالر، میانگین و گاوسی است و فرم های بنیادی اول و دوم را معرفی کرده و مثال هایی را بررسی می کنیم و در بخش مقدمات فیزیکی به تعریف تانسور تکانه-انرژی، معادلات اینشتین و نحوه ی بدست آوردن آن، معرفی جرم کل و منیفلد های تخت مجانبی، و به محاسبه ی انحنای اسکالر ،جرم کل و جرم هاوکینگبرای فضا- زمان های مختلف می پردازیم .سپس معادلات تحولی در هندسه را بررسی کرده و آنها را بدست می آوریم که شامل معادلات تحولی متریک، انحنای میانگین، انحنای گاوسی و فرم بنیادی می باشد و در آخر مقدمه ای بر اثبات نامساوی ریمان-پنروز با استفاده از معکوس شار انحنای میانگین و معادلات تحولی را بحث می کنیم.

گوردن-وب و والپر در سال 1991 توانستند به کمک قضیه سونادا اولین مثال های نقض برای سوال معروف کاک با عنوان "آیا می توان شکل یک طبل را شنید؟" در صفحه را ارائه دهند. در مسیر تلاشهایی که از آن به بعد برای ساخت مثالهایی خاص تر و جدیدتر از طبلهای ریاضیاتی غیر یکسان انجام گرفتند, در این رساله سعی شده است تا به معرفی ساختارهای جدیدی تحت اعمال شرایط مرزی مرکب دیریکله- نویمن پرداخته شود. به کمک این مثالها دایره گسترده تری از مثالهای نواحی صفحه ای هم طیف غیر ایزومتر قابل ارائه اند. مثالهایی از قبیل نواحی صفحه ای غیر یکسان همبند و غیر همبند؛ مثالهایی غیر یکسان هموار و غیر هموار؛ مثالهایی بیشتر از دو ناحیه همبند غیر ایزومتر و همچنین به عنوان بخش مهم دیگری به معرفی ساختارهایی مشابه برای مثالهایی با عنوان نواحی همطیف غیر ایزومتر تحت جابجایی شزط دیریکله- نویمن پرداخته می شود.