در این پایان نامه با استفاده از تکنیک های جبری و همچنین کاربردهای جبر خطی و نظریه ماتریس، به مطالعه گرافها می پردازیم. هدف ما انتقال خواص گرافی به خواص جبری است و سپس از نتایج و روش های جبری برای بدست آوردن قضایا در مورد گرافها استفاده می کنیم. این پایان نامه به چهار فصل تقسیم شده: فصل اول با مقدمات نظریه جبری گراف شروع می شود و سپس انواع خاصی از گرافها و خواص طیفی آنها را مطرح می کنیم. در فصل دوم با ماتریس وقوع و ماتریس لاپلاسی که نقش مهمی را در این پایان نامه بازی می کنند، آشنا می شویم و بعضی از ویژگی های آنها را بررسی می کنیم. فصل سوم در مورد خواص طیفی ماتریس لاپلاسی است. در نهایت ، در فصل چهارم در مورد مقدار ویژه مشخصی از ماتریس لاپلاسی، تحت عنوان همبندی جبری گراف، بحث می کنیم.

اعداد حقیقی ‎و p ای هر دو از اعداد گویا توسط روشی به نام کامل سازی بدست آمده اند که کامل سازی می تواند برای هر فضای متریک با استفاده از فاصله های مختلف روی اعداد گویا بکار برده شود: فاصله اقلیدسی معمولی برای اعداد حقیقی و یک فاصله p ای جدید ‎به‎ ازای عدد اول p ، برای اعداد pای. فاصله p ای در "نامساوی مثلثی قوی" صدق می کند که سبب خواص شگفت انگیزی از اعداد p ای می شود و منجر به تفاوت های جالبی از آنالیز حقیقی کلاسیک می شو‎د. از سوی دیگر تشابه ها وقتی ناشی می شوند که حقیقت وابسته به "نامساوی مثلثی قوی" نیست و در این حالت ها اثبات یکسانی در حالت های حقیقی و p ای ‎به ‎کار می ‎رود. هدف اصلی فصل دوم معرفی میدان اعداد p ای، ، تعریف شده برای هر عدد اول p است. در فصل ‎سوم با معرفی آنالیز چند ریزه ساز (mra) کوینکوکس روی ، موجک متناظر با آن را می سازیم.

در این پایان نامه به بررسی تعاریف و قضایایی از انشعاب و گروه برائر می پردازیم. گروه برائر گروهی تابدار است که از رده های هم ارزی ‏روی ‎‎k ‎‎‎‎‎‎-جبرهای ساده ی مرکزی تشکیل شده است. تعریف انشعاب وابسته به ارزیابی می باشد. با استفاده از ارزیابی‏، اعداد ‎‎p ‎‎‎‎‎-ادیک را معرفی کرده و‏ می بینیم گروه برائر اعداد ‎‎ p ‎‎‎‎‎-ادیک‎‏، q‎ /‎ z ‎‎‎‎‎‎ می باشد. ما به وسیله ی انشعاب و کامل سازی نشان می دهیم به ازای عدد اول ‎ l ‎‎‎‎‎‎ و توسیع ‎‎‎ l ‎‎‎‎‎‎ از میدان اعداد گویا‏، گروه برائر وابسته و مولفه ی l ‎‎‎‎‎-تابدار گروه برائر میدان اعداد گویا با هم برابر هستند.‎‎‏

چکیده ندارد.

در این پایان نامه زیرفضای ماتریس ها را به دو دسته کلی تقسیم می کنیم و روی بزرگترین بعد ممکن از این نوع زیرفضاها بحث خواهیم کرد‎.‎ در فصل اول مفاهیمی را در مورد عدد هرویتس رادون، حلقه تقسیم کواترنیون ها و اعداد کیلی و برخی قضایای مقدماتی بیان خواهیم کرد‎.‎ در فصل دوم زیرفضای ماتریس های معکوس پذیر، ماتریس های هرمیتی و پاد هرمیتی معکوس پذیر با درایه هایی از میدان اعداد حقیقی، اعداد مختلط و حلقه تقسیم کواترنیون ها را در نظر می گیریم و بزرگترین بعد ممکن از این نوع زیرفضاها را روی میدان اعداد حقیقی بدست می آوریم‎.‎ در فصل سوم با استفاده از نگاشت های دوخطی کران های پایینی برای بزرگترین بعد ممکن از زیرفضای ماتریس های ‎$ m imes n $‎ با رتبه ثابت روی میدان اعداد حقیقی بدست می آوریم‎.‎ در فصل چهارم بزرگترین بعد ممکن از زیرفضای ماتریس های متقارن حقیقی که هر عضو ناصفر آن رتبه ی کمتر مساوی ‎$ k $‎ دارد را بررسی می کنیم.

ماتریس های کاملاً نامنفی و کاملاً مثبت برخلاف تعریف محدود کننده شان‏، در اکثر زمینه های ریاضیات محض و کاربردی حضور دارند. در این رساله علاوه بر ویژگی های کلی، به بررسی دو مبحث اساسی از این ماتریس ها، حاصل ضرب و توان های هادامارد و مساله کامل سازی پرداخته شده است.

ساختار ماتریس های نمایی eta‎ به صورت یک سری‎ است. هدف اصلی پایان نامه، بررسی ماتریس ‎eta می باشد. به خصوص این که چه موقع eta نامنفی یا مثبت است. یعنی ‎a ‎ چه باشد تا eta نامنفی و یا مثبت باشد. در این پایان نامه ماتریس نهایتاً نامنفی (مثبت) را معرفی و خاصیت پرون فروبینیوس برای ماتریس ها را بررسی کرده و ارتباط آن ها با مجموعه های pfn‎ و wpfn‎ را مشاهده می کنیم. همچنین ماتریس های نهایتاً نمایی نامنفی(مثبت) را مورد بررسی قرار می دهیم و به خصوص اثبات می کنیم که ماتریس های نمایی نامنفی(مثبت) و اساساً نامنفی(مثبت) معادل هستند. علاوه بر این، روش لئونارد را برای بدست آوردن eta معرفی می کنیم. کلمات کلیدی‎: ‎ماتریس های نهایتاً نامنفی، ماتریس های نمایی نامنفی، نقاط با پتانسیل نامنفی، پرون فروبینیوس ،‎ ماتریس متزلر‎، مخروط محدب .

در‎ این پایان نامه به بررسی ماتریس الگوعلامت می پردازیم. ماتریس الگوعلامت‏، ماتریسی است که درایه های آن از مجموعه ی‎‎ {-, 0, + }می باشند. ماتریس الگوعلامت‏، پیش از این نیز مورد توجه دانشمندان علوم ریاضی قرار گرفته ا‎ست‏. به عنوان نمونه‏، سال2008، در کارگاهی در انستیتوی ریاضیات آمریکا با عنوان قضیه ی ماتریس نامنفی: عمومی سازی و کاربردها. ‏دو مسئله اساسی در ریاضیات‏، توجه به ساختار تمام الگوعلامت هایی است که دارای پتانسیل خاصیتp ‎‏ یا ‎‎حافظ خاصیت ‎p ‏‎می‎‎ باشند. هدف از بررسی ماتریس الگو علامت در این پایان نامه‏، برای مثال یافتن ساختار تمام الگو علامت هایی است که دارای پتانسیل نهایتاً مثبت یا حافظ نهایتاً نامنفی (مثبت) می باشند. ‎ کلمات کلیدی‎: ماتریس نهایتاً مثبت‏، الگو علامت دارای پتانسیل نهایتاً مثبت‏، پرون-فروبنیوس‎ ‏،گراف جهت دار‏، ماتریس نهایتاً نامنفی‏، ماتریس نهایتاً نمایی مثبت‏، ماتریس نمایی مثبت‏، الگو علامت‏، حافظ خاصیت ‎p‎

در این پایان نامه میانگین های ماتریسی را مورد توجه قرار می دهیم. همچنین به مطالعه نگاشت های مثبت و نگاشت های کاملا مثبت می پردازیم. ارتباط بین نگاشت های کاملا مثبت و میانگین های ماتریسی را بررسی می کنیم که این موضوع کاربردهای فراوانی در اطلاعات کوانتومی دارد

چکیده ندارد.