با توجه به نقش ویژه مفهوم توابع باز در ریاضیات، در سالهای اخیر تلاش های گسترده ای مبنی بر تعمیم مفهوم توپولوژی و توابع باز صورت پذیرفته است. مهمترین تعمیم توپولوژی، توپولوژی تعمیم یافته است. از جمله مثال های ملموس برای توپولوژی تعمیم یافته فضاهای سیستم همسایگی تعمیم یافته است که با استفاده از آن می توان یک فضای تعمیم یافته را تولید کرد و با افزودن شرط خاصی می توان عکس آن را انجام داد. عملگرها در تولید توپولوژی های تعمیم یافته و فضاهای همسایگی تعمیم یافته نقش زیادی دارند سیستم همسایگی تعمیم یافته قوی یک نوع سیستم همسایگی تعمیم یافته است؛ در حقیقت، تحدید همان فضای همسایگی تعمیم یافته است. سیستم همسایگی تعمیم یافته قوی همراه با یک ساختار (مجموعه تمام مجموعه های همسایگی تعمیم یافته قوی ) تشکیل یک فضای توپولوژیک تعمیم یافته می دهند. هم چنین مفهوم درون و بستار روی سیستم تعریف می شود. در این سیستم دو نوع پیوستگی sg-پیوسته و (g ,f)-پیوسته تعریف و رابطه ی آنها را با هم بررسی خواهیم کرد.

در این پایان نامه به بررسی مفاهیم مربوط به جدایی پذیری گزینشی خواهیم پرداخت. در فصل اول به طور اجمالی مفاهیم مورد نیاز از نظریه ی مجموعه ها را ارائه می دهیم. در فصل دوم مفاهیم پرکاربرد توپولوژی و خواص توپولوژیکی که ارتباط نزدیک با جدایی پذیری انتخابی دارند را ارائه می دهیم. از این خواص می توان به سفتی چتری شمارش پذیر، خاصیت فرشه و فشرده گونی اشاره کرد. فصل سوم را معرفی و توصیف انواعی از بازی های توپولوژیک و اثبات قضایایی در این بازی ها در برمی گیرد. فصل چهار را به جدایی پذیری گزینشی و ارتباط آن با خواص فرشه و سفتی چتری شمارش پذیر و جدایی پذیری گزینشی در c_p (x) اختصاص داده ایم. در فصل پنجم نیز جدایی پذیری گزینشی راهبردی و حالت خاص تر آن جدایی پذیری گزینشی مارکف را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا به مفهوم فضای دیجیتال توپولوژیک پرداخته می شود سپس برخی از از ویژگی های این فضا مورد بررسی قرار می گیرد. نوع خاصی ار توپولوژی دیجیتال مورد مطالعه قرار میگیرد و مفهمو پیوستگی تابع در این فضا مطالعه می شود همچنین به توسیع توابع پیوسته نیز پرداخته شده است. مفهوم همبندی در این فضا بررسی شده و رده خاصی از مجموعه های عمبند تعریف شده است. در نهایت به بحث دیجیتال سازی پرداخته شده و یک نوع دیجیتال سازی مورد بررسی قرار گرفته است همچنین یک دیجیتال سازی جدید نبز معرفی شده که با استفاده از مفاهیم فصل های قبل به دست امده و در مقایسه با دیجیتال سازی قبلی کارایی بیشتری دارد.

در ‎‎نخستین فصل این پایان‎ ‎‎‎نامه ‎‎پس از بیان مفاهیم ابتدایی و پایه، فضای دیجیتال معرفی می‎‎ شود. سپس توپولوژی روی خط دیجیتال و به طور خاص توپولوژی خالیمسکی و روند ایجاد این توپولوژی مورد مطالعه قرار می گیرد.‎‎ در فصل دوم به معرفی‎ مجاور های مختلف یک نقطه در فضای دیجیتال می‎‎ پردازیم و پس از مطالعه توپولوژی دو بعدی خالیمسکی‏، یک توپولوژی جدید روی فضای دیجیتال به‎‎ نام ? معرفی می شود‏، که ساختار آن بر اساس 4-مجاور و 8-مجاور است‏. سپس قضیه خم جردن دیجیتال مرتبط با توپولوژی مذکور را بررسی می کنیم. در نهایت در رابطه با عملگرهای بستار خارج قسمتی و توپولوژ‎ی‎ های خارج قسمتی توپولوژی ‎?‎‎‎‎‎ بحث شده و نشان داده می شود که توپولوژی های خالیمسکی و مارکوس منطبق بر توپولوژی‎‎ های خارج قسمتی توپولوژی ‎? هستند.

در این پایان نامه، برخی خواص جبری حلقه توابع پیوسته ‎ c(x) ‎ را بررسی می کنیم که در آن ‎ c(x) ‎ حلقه ی توابع حقیقی مقدار پیوسته تعریف شده روی ‎ x ‎ به عنوان فضای کاملاً منظم ‎ t_1 ‎، است. فرض کنید c_psi (x) ‎ و ‎ c_k(x) ‎ به ترتیب ایده آلی از توابع با تکیه گاه شبه فشرده و تکیه گاه فشرده باشد. شرایط معادلی برای این که یک ایده آل از ‎ c(x) ‎، ‎‎ -‎p ‎ایده آل باشد را توصیف می کنیم‎.‎ یادآوری می کنیم فضای ‎ x ‎ را تقریباً فشرده گوییم هرگاه ‎‎ .‎|eta x-x|< 1 ‎ که در آن ‎ eta x ‎ فشرده سازی استون چک ‎x ‎ می باشد‎.‎ سر انجام نشان می دهیم که ‎ c_psi (x) ‎ نمی تواند یک ایده آل اول سره باشد اما ‎ c_k(x) ‎ اول است اگر و فقط اگر x ‎ یک فضای تقریباً فشرده غیرفشرده و ‎بی نهایت‎ یک ‎‎ -‎f ‎نقطه باشد.

‏فرض کنید ‎$ ‎g‎ $‎‏ یک گراف ساده‏‏، ‎$ ‎c(x)‎ $‎ ‏ حلقه ای از تمام توابع پیوسته ی حقیقی مقدار روی فضای کاملاً منظم هاسدورف ‎$ ‎x‎ $‎‏ و ‎$ ‎gamma(c(x))‎‎ $‎‏ گراف مقسوم علیه-صفر در حلقه ی ‎$ ‎c(x)‎ $‎‏ باشد‏، در این پایان نامه ارتباط بین ویژگی های گراف ‎$ ‎gamma(c(x))‎‎ $‎‏‏، ویژگی های حلقه ی ‎$ ‎c(x)‎ $‎‏ و ویژگی های توپولوژیکی فضای ‎$ ‎x‎ $‎‏ بررسی می‏ شود. ‎‎سپس نشان داده می شود عدد خوشه ای گراف ‎$ ‎gamma(c(x))‎‎ $‎‏‏، عدد سوزولین فضای ‎$ ‎x‎ $‎‏ و بعد گلدی حلقه ی ‎$ ‎c(x)‎ $‎‏ باهم معادل اند. مجموعه ی رئوس مرکزی گراف ‎$ ‎gamma(c(x)) $‎‏، یک مجموعه ی غالب است اگر و تنها اگر مجموعه ی نقاط تنهای ‎$ ‎x‎ $‎‏ در ‎$ ‎x‎ $‎‏ چگال باشد اگر و تنها اگر ساکل حلقه ی ‎$ ‎c(x)‎ $‎‏ یک ایده ال اساسی باشد.

فضای توپولوژیک ‎$ x $‎ یک فضای ‎$g _{delta} $-‎بلمبرگ نامیده می شود اگر برای هر تابع حقیقی مقدار ‎$ f $‎ از ‎$ x $‎ یک ‎$g_{delta} $-‎مجموعه چگال در ‎$ x $‎ مانند ‎$ d $‎ وجود داشته باشد به طوری که تحدید ‎$ f $‎ به ‎$ d $‎ پیوسته باشد‎.‎ در این پایان نامه این فضا تحت زیر فضا ها و ابر فضا ها، تصویر ها و تصویر معکوس ها بررسی می شوند و یک فضای ‎$ g_{delta}$-‎بلمبرگ که تعمیمی از تقریباً ‎$ p $-‎فضاهاست را توصیف می کند‎.‎