هویت مطالعات مور را تعمیم داد و m-توپولوژی را روی حلقه توابع پیوسته با مقادر حقیقی معرفی کرد. او در مقاله اش ثابت کرد کلاس های خاصی از فضای توپولوژیک x را توسط مشخصه های توپولوژیک، فضای توابع پیوسته با مقدار با m-توپولوژی می توان تعریف کرد.به عنوان مثال فضای x شبه فشرده است اگروفقط اگر فضای توپولوژیک توابع پیوسته با مقدار همراه با m-توپولوژی ، شمارای نوع اول است. در این رساله به بررسی این گزاره می پردازیم که : فضای توپولوژیک x شبه فشرده است اگر و فقط اگر((??(c_m (x برابر با الف صفر باشدو در انتها نشان می دهیم اگر فضای x یک فضای دنباله ای تظریف شده گسسته باشد آنگاه فضای توپولوژیک (c_m (x نیز فضای دنباله ای تظریف شده گسسته است .

پژوهش درباره متمم یک گره در ‎$mathbb{r}^3$‎ یا ‎$s^3$‎ از ابتدای پیدایش نظریه گره ها مورد توجه بوده است. ثابت شده است که هر منیفلد سه بعدی، جهت پذیر بسته و همبند از تشریح دن نابدیهی حول یک پیوند در ‎$s^3$‎ به دست می آید اینجاست که ارتباط اساسی بین گره ها ‎(پیوندها)‎ و منیفلدهای سه بعدی مشخص می شود. نخستین بار تیتز وجود گره نابدیهی را از طریق محاسبه گروه بنیادی متمم گره سه پره نشان داد. او حدس زد که دو نوع از گره ها برابرند اگر و فقط اگر متمم های آن ها با هم هومئومورف باشند. در سال ‎$1988$‎ گوردن و لوکه این حدس را ثابت کردند. در این پایان نامه ویژگی هایی از متمم های گرهی به عنوان منیفلدهای سه بعدی بررسی شده است. پژوهش ها در سالهای اخیر به بررسی متمم گره در ‎$mathbb{r}^3$‎ یا ‎$s^3$‎ محدود نمی شود و متمم گره را دریک منیفلد سه بعدی نیز مورد بررسی قرار می دهد‎.‎ فصل اول به مقدماتی از توپولوژی جبری (گروه بنیادی، گروه همولوژی،...)، هندسه دیفرانسیل (جهت پذیری و انحنا) و نظریه گره ها (گره، پیوند و تافته‎...)‎ اختصاص داده شده است‎.‎ فصل دوم با تعریف خاصیت ‎$p$‎ برای گره، قضیه ای مربوط به اثبات حدس تیتز را ثابت می کنیم. همچنین خانواده نامتناهی از زوج های ‎$(m,k)$‎ که ‎$m$‎ فضای عدسی و ‎$k$‎ گره غیر هذلولوی در ‎$m$‎ می باشد را معرفی می کنیم و ثابت خواهیم کرد که این گره ها بوسیله متمم هایشان در همین فضای لنزی مشخص می شوند‎.‎ در فصل سوم مطالبی را در مورد ساختار های هندسی منیفلد ها، اوربیفلد ها، پوشش شاخه ای و هم شاخصی گره ها بیان کرده و با استفاده از آنها به بررسی چگونگی دسته بندی منیفلد های هذلولوی با استفاده از متمم گره های هذلولوی می پردازیم‎.‎ نهایتا در فصل چهارم سایر رویکرد های مرتبط با فصل های دوم و سوم که در این پایان نامه مجال بررسی آنها فراهم نشد اما به جهت ارتباط با موضوع می تواند زمینه ساز تحقیقات در این مبحث باشد را بیان می کنیم.

بخش معروف به فرض های گزینشی در ریاضیات مربوط به انتخاب تغییرات مفاهیم توپولوژیک کلاسیک نظیر فشردگی یا تفکیک پذیری است که توسط تسابان 1 در [ 28 ] و اسکیپرز 2 در [ 25 ] مورد بررسی قرار گرفت. دراین پایان نامه ما بیشتر بامفهوم تفکیک پذیر گزینشی و تغییراتش سر و کار داریم. این مفهوم اخیراً به طورگسترده مورد توجه بوده است که از این میان میشود به مقاله های [ 2, 4, 6, 7, 18, 21, 23,24] اشاره کرد. این مفهوم برای اولین بار توسط اسکیپرز [ 24 ] در سال 1999 معرفی و مورد مطالعه قرار گرفت، و سپس در سال های بعد توسط دی مایو و مکاریلو[12]، گرونهگ و ساکای [19 ]،و ... مورد بررسی قرار گرفت. بارمن و داو کشف کردند که هر فضای فرشه تفکیک پذیر،تفکیک پذیر گزینشی است. گرونهگ و ساکای متذکر شدند که فضاهای فرشه تفکیک پذیر حتی r- تفکیک پذیر هستند و اگر هیچ نقطه منفردی وجود نداشت،gn-تفکیک پذیر است.

دیمیتری ویکتورویچ آنوزوف dmitri victorovich anosov} (متولد 30 نوامبر 1936 در مسکو) یک ریاضیدان روسی است و به دلیل تلاش های فراوان در نظریه سیستم های دینامیکی شهرت یافته است. دیفئومورفیسم های آنوزوف بوسیله ایشان در سال 1967 در [1] معرفی شدند. دیفئومورفیسم ها و شارهای آنوزوف از مهم ترین و قابل فهم ترین سیستم های دینامیکی هستند. امروزه نظر عموم این است که سیستم های آنوزوف به دلیل نوع کامل از رفتارهای هذلولوی یکپارچه و پیوستگی طبیعی آن ها، در مرکز نظریه سیستم های دینامیکی قرار دارند. امروزه سیستم های هذلولوی ناقص موضوع بسیاری از تحقیق ها است. این سیستم ها پیوندهای محکمی با جبر و همچنین با توپولوژی دارند. دیفئومورفیسم ها و شارهای آنوزوف نمونه های اولیه از سیستم های دینامیکی هذلولوی هستند و ویژگی های استواری خاصی را مانند پایداری ساختار دارند. هر منیفلدی دیفئومورفیسم آنوزوف نمی پذیرد. برای مثال چنین دیفئومورفیشم هایی روی کره وجود ندارند. ساده ترین مثال از منیفلدهای فشرده که پذیرنده دیفئومورفیسم های آنوزوف هستند‏، چنبره می باشد. مسئله کلاس بندی منیفلدهایی که دیفئومورفیسم آنوزوف می پذیرند بسیار مشکل به نظر می رسد و همچنان مانند سال 2005 بدون پاسخ باقی مانده است. تنها مثال هایی که تا کنون شناخته شده اند منیفلدهای فروپوچ می باشند. لذا در این جا سعی شده قضایایی در مورد این که چه فضاهایی می توانند دیفئومورفیسم های آنوزوف بپذیرند جمع آوری شوند. همچنین در این جا سعی شده ارتباطی بین گروه های بلورین فضای اقلیدسی و دیفئومورفیسم های آنوزوف برقرار گردد. بر این اساس این پایان نامه در پنج فصل به شرح زیر جمع آوری شده است. ابتدا بعضی از تعاریف مورد نیاز در این پایان نامه را در فصل اول تحت عنوان تعاریف و مفاهیم اولیه یادآوری می کنیم. در فصل دوم تحت عنوان گروه تبدیلات ابتدا عمل گروه روی یک مجموعه در حالت کلی را معرفی کرده و سپس عمل گروه ایزومتری های فضای اقلیدسی ‎$‎‎mathbb{r}‎^{n}‎‎‎$‎‏ را بررسی می نماییم. در این بخش به بیان قضایای بیبرباخ نیز می پردازیم. سپس آن را در حالت خاص تری برای فضای اقلیدسی دو بعدی بررسی و کاتالوگی را با نقش اصیل ایرانی بته جقه برای گروه های بلورین این فضا ارائه می دهیم. در فصل سوم این پایان نامه عمل آنوزوف از فضای اقلیدسی ‎$‎‎mathbb{r}‎^{n}‎‎‎$‎‏ و بعضی از خواص آن را بررسی می نماییم. و سپس عمل آنوزوف از گروه های لی پوچ توان که در حالت حقیقی حالت خاصی از فضای اقلیدسی ‎$‎‎mathbb{r}‎^{n}‎‎‎$‎‏ هستند را می آوریم و به اثبات قضایایی در این زمینه می پردازیم. در فصل چهارم با عنوان دیفئومورفیسم آنوزوف روی منیفلدهای پوچ بعضی از شرایط لازم برای وجود دیفئومورفیسم های آنوزوف روی منیفلدهای پوچ و همچنین عدم وجود این دیفئومورفیسم ها روی کلاس های خاصی از منیفلدهای پوچ را بررسی می کنیم. یک کلاس بندی کامل از منیفلدهای پوچ از بعد کمتر یا مساوی شش که دیفئومورفیسم آنوزوف می پذیرند را ارائه می دهیم. در آخرین فصل این پایان نامه تحت عنوان دیفئومورفیسم های آنوزوف روی منیفلدهای فروپوچ‏، بعضی مشخصات جبری منیفلدهای فروپوچ را که روی یک گروه لی پوچ توان ‎$‎c‎$‎‎‏-گامی با گروه هولونومی آبلی پذیرنده دیفئومورفیسم آنوزوف پدید آمده اند‏، بررسی می کنیم. همچنین روشی برای ساخت مثال هایی از منیفلدهای فروپوچ دارای دیفئومورفیسم آنوزوف را ارائه می دهیم. در این بخش همچنین قضایایی را در مورد فضاهایی با گروه بیبرباخ که دیفئومورفیسم آنوزوف می پذیرند بیان می کنیم.

در این پایان نامه فضاهای متریک، متریک جزئی، شبه متریک و شبه متریک جزئی مطالعه می شوند. سپس به مطالعه فضاهای متریک تعمیم یافته و متریک جزئی تعمیم یافته پرداخته و مثال ها و قضایایی را در این زمینه اثبات می کنیم. در آخر فضاهای شبه متریک تعمیم یافته و شبه متریک جزئی تعمیم یافته را معرفی کرده و مباحثی را در این زمینه مورد بررسی قرار می دهیم.

هر نگاشت پیوسته ازx‎‏ به s یک همریختی بین جبرهای توابع پیوسته ی حقیقی-مقدار القا می کند.‎ هدف اصلی این پایان نامه بررسی ویژگی های پوشش متناهی بین فضاهای توپولوژیک است. برای این منظور به مطالعه ی خصوصیات جبری همریختی القایی بین جبرهای توابع پیوسته ی حقیقی-مقدار خواهیم پرداخت‏،‎‎ نهایتا ثابت خواهیم کرد که نگاشت پیوسته ی x به s‎ بین منیفلدهای توپولوژیک یک پوشش متناهی شاخه ای است‎‏،‎ یعنی نگاشتی باز و بسته که تارهای آن متناهی است اگروتنها اگر همریختی القایی ‎c(s) به c(x) ‎ صحیح و تخت باشد.‎‎‎‎‎ هدف ما در این پایان نامه‏، بررسی ویژگی های پوشش متناهی بین فضاهای توپولوژیک است که توسط ویژگی های جبری همریختی القایی بین جبر توابع پیوسته ی حقیقی-مقدار انجام می شود. نقطه ی شروع کار ما‏، نتیجه ی معروفی است که بیان می کند که در ارتباط با فضاهای فشرده-حقیقی‏، هر فضای ‎ ‎x‎ ‎ توسط جبر توابع پیوسته ی حقیقی-مقداری که روی آن تعریف می شود‏، معین می گردد و این توابع پیوسته بین این فضاها در تناظری یک به یک با همریختی القایی بین جبرهای توابع پیوسته هستند.منظور ما از یک پوشش متناهی شاخه ای نگاشت پیوسته ی باز و بسته ی xبه s‎‎ با تارهای متناهی است. ‎‎‎

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

این پایان نامه حاوی چهار فصل است . هدف اصلی آن تعمیم قضیه سوان می باشد. در اینجا ارتباطی جالب بین یک مطلب کاملا جبری و یک خاصیت کاملا هندسی به چشم می خورد و جهت برقراری این رابطه، از ابزاری چون توپولوژی آمیخته با هندسه - آنالیز و جبر که بر ستونهای محکم نظریه بافه ها استوار شده، استفاده شده است . فصل یک مقدمات این کار را فراهم می آورد. بخش یک به معرفی و بررسی خواص حلقه توابع پیوسته و حقیقی بر فضای توپولوژیک x می پردازد و هدف آن ارائه قضیه ای است که معادل بودن فشردگی x و ثابت بودن ایده آلهای r(x) را اثبات می کند (1-1-24). مراجع این بخش (6)، (12)، (13)، و بویژه (5) می باشد. این بخش در 2-2 مورد استفاده قرار می گیرد. در بخش دوم با استفاده از تعاریف و قضایای (6) یک نتیجه از لم ناکایاما که در 4-2 مورد استفاده قرار می گیرد اثبات می شود. بخش سوم شامل نظریه کاتگوری است در این بخش چند قضیه (نظیر22 - 3 - 1 و 20 - 3 - 1) که در فصلهای بعد از آن ها استفاده می شود و موجب بیان هم ارزی در قضیه سوآن و تعمیم آن می گیرد اثبات می شود. مراجع این بخش (4)، (8) و (1) می باشد. در فصل دوم برخی از خواص نظریه بافه ها ارائه می شود و به کمک ابزار کاتگوریکی و ساختن کاتگوری بافه و پیش بافه و فضای بافه ای گروههای آبلی یا مجموعه ها مطالب مهمی نظیر 24 - 1 - 2 و 41 - 1 - 2 الی 44 - 1 - 2 اثبات می شود. در بخش دوم مطالب 1-1 مخصوصا قضیه 44 - 1 - 2 اثبات می شود. در بخش دوم مطالب 1 - 1 مخصوصا قضیه 24 - 1 - 1 تعمیم داده می شود (22 - 2 - 2) مراجع این فصل (15)، (11)، (7) و (10) می باشد. در فصل سوم نمایش حلقه و مدول را ارائه می دهیم هدف بخش اول رسیدن به قضیه ای است که وجود یک الحاقی چپ برای فانکتور سکشن را اثبات می کند (18 - 1 - 3) . در بخش دوم با استفاده از مطالب بخش قبل تعاریف جدیدی برای کاملا منظم بودن و فشردگی و پیرافشردگی فضای حلقوی ارائه می شود. لازم به ذکر است که این تعاریف در 2-2 معرفی شده اند. مراجع مورد استفاده این فصل (3)، (10)، (7) و (11) است . فصل چهارم شامل دو بخش است بخش اول به تعریف کلاف برداری می پردازد و سپس فانکتور و خواص آن را معرفی می کند و بالاخره با اثبات 27 - 1 - 4 شکل معمولی قضیه سوآن حاصل می شود در بخش دوم با استفاده از بخش قبل و فصلهای 1 تا 3 و ارائه بعضی از تعاریف و اثبات برخی از قضایا ابتدا تعمیم 27 - 1 - 4 آورده می شود (قضایای عمده ای که در بخش آخر از آنها استفاده می شود عبارتند از 16 - 2 - 3 تا 19 - 2 - 3) سپس با استفاده از مطلب توپولوژی جبری چند کاربرد جالب از قضیه سوان تعمیم یافته نشان داده می شود.