در این پایان نامه به معرفی آنالیز بازه ای و قضایا و قوانین حاکم بر حساب بازه ها پرداخته و روشهای تائید شده ای را در حل معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال به صورت جداگانه مرور می کنیم. در هر مورد مشکلات پیش رو و راه کارهای مختلف رفع این موانع را با جزئیات بررسی می نماییم. به عنوان بخش اصلی کار به معرفی الگوریتم جدیدی بر اساس بیان متفاوتی از الگوریتم مور پرداخته، سپس به کمک آن کرانهایی برای معادلات انتگرو-دیفرانسیل و معادلات انتگرال دوبعدی ولترا-فردهولم می یابیم. در ادامه تلاش می کنیم تا با معرفی کران های جدیدی به کمک چند جمله ای های تیلور بازه ای، دقت روش پیشنهادی را افزایش دهیم. با حل مثالهای متنوع عددی به همراه تحلیل نتایج بدست آمده نشان می دهیم که روش در عمل قابل اطمینان و کاربردی می باشد و در نهایت با تغییر الگوریتم اقدام به حل یک مساله کاربردی در مهندسی شیمی می نماییم.

تحلیل عددی معادلات دیفرانسیل و انتگرال تأخیری به واسطه اهمیت آنها در مدلسازی عینی و کاربردی برخی پدیده های طبیعی از اهمیت ویژه ای برخورئار هستند. در یکصد سال گذشته کارهای قابل ملاخظه ای در زمینه نظریه، کاربردها و حل عددی این معادلات انجام شده است. در این رساله سعی بر آن است که انواع معادلات انتگرال تأخیری، تاریخچه، کاربردها و نظریه انها و همچنین خواص کمی و کیفی آنها مورد بررسی قرار گیرد. لیکن هدف اصلی این مقاله بررسی و تحلیل معادلات انتگرال تأخیری حالت وابسته، پیاده سازی روش هم محلی تکه ای روی آنها و آنالیز همگرایی و همچنین بررسی چالشهای موجود در حل عددی این نوع از معادلات می باشد. مبنای کار تحقیقاتی در این پایان نامه مبتنی بر مراجع [42]، [5] و [27] می باشد. فصل چهارم بخش اصلی پایان نامه را تشکیل می دهد که منحصراً مربوط به این پایان نامه بوده که یافته های جدید نیز در این فصل گردآوری شده است.

در این پایان نامه بعد از مطالعه مدلسازی ریاضی معادلات پیش بینی وضع هوابه ساده سازی آن پرداخته و از روی معادلات بسیط دستگاه معادلات جزر و مدی لاپلاس استخراج میشود سپس روش های عددی حل این مسئله بیان وبا به کارگیری روش طیفی معادلات حل و جواب عددی با جواب تحلیلی مورد مقایسه قرار میگیرد

در این رساله با بررسی توابع پایه شعاعی و مشتقات مرتبه کسری یک روش کالوکیشن مبتنی بر توابع پایه شعاعی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری با رویکرد کاپیوتو ارائه می نماییم. در این روش با قرار دادن تقریب تابع مجهول بر اساس درونیابی توابع پایه شعاعی معادله دیفرانسیل کسری مورد نظر را حل نموده و ضرایب مجهول تابع درونیاب را بدست می آوریم و به این ترتیب تقریبی از تابع مجهول حاصل می شود. همچنین یک کران بالا برای روش مذکور هنگامی که تابع پایه شعاعی، تابع چندمربعی است، ارائه می نماییم که نتایج عددی صحت نتایج نظری و دقت آنها را نشان می دهد. مقایسه ی این روش با سایر روشهای موجود بیانگر این مساًله است که نتایج بدست آمده دارای دقت خوبی می باشد و علاوه برآن در این روش داده ها می توانند به صورت پراکنده اختیار شوند.

در این رساله به معرفی برخی توابع ویژه از جمله چندجمله ای های متعامد کلاسیک، غیر کلاسیک، گسسته و رده های دیگری از چندجمله ای های متعامد می پردازیم. در ادامه با استفاده از روش کالوکیشن مبتنی بر چندجمله ای های لاگور تعمیم یافته به حل عددی دسته ای از معادلات انتگرال با عنوان معادلات انتگرال نوع سوم پرداخته و همچنین آنالیز همگرایی روش پیشنهاد شده را در فضای سوبولف مطرح می نماییم. در بخش نتایج عددی با به کارگیری چند مثال مختلف و اجرای روش مذکور، نتایج به دست آمده در ارتباط با همگرایی روش را به صورت عملی تایید خواهیم نمود.

مسأله واگذاری (تخصیص) درجه دوم (qap) ، به دلیل دارا بودن ساختار جالب یکی از مسأله های معروف چالش برامگیز در بهینه سازی ترکیبیاتی است. در این پایان نامه، به بررسی وتحلیل آزاد سازی های مختلف ارائه شده برای مسأله های واگذاری درجه دوم تعمیم یافته (gqap) می پردازیم: در این نوع از مسأله ها، m تسهیلات و n مکان به همراه فضای مورد نیاز تسهیلات، فضای موجود در مکان ها، هزینه استقرار تسهیلات، جریان بین تسهیلات و هزینه مسافت بین مکان ها مفروض هستند. می خواهیم هریک از تسهیلات را دقیقا به یک مکان نسبت دهیم به طوری که هر مکان فضای کافی برای همه تسهیلات اختصاص یافته را دارا باشد و مجموع حاصلضرب جریان تسهیلات در هزینه های فواصل متناظر بعلاوه مجموع هزینه های استقرار کمینه شود. این مسأله، تعمیمی از مسأله معروف واگذاری درجه دوم استاندارد است که یکی از مشکل ترین مسأله ها در بهینه سازی ترکیبیاتی به حساب می آید. یک کران پایین جدید برای مسأله های gqap براساس یک آزاد سازی لاگرانژی جدید، معروف به rlt ارائه می شود. در ادامه همچنین، در حالت خاص، مسأله واگذاری درجه دوم را با ماتریس فاصله همینگ یک ابرمکعب یا یک ماتریس فاصله منهتن شبکه های مستطیلی مورد تحلیل قرار می دهیم و چگونگی بدست آوردن کرانه های پایین برای این دو رده از مسأله های qap را بر اساس بهینه سازی نیمه معین (sdp) مطرح می کنیم. نتایج تجربی نشان می دهند که برای مسأله های qap استاندارد با اندازه حداکثر n=200 می توان کران های قوی تری نیز بدست آورد.

مساله تخصیص درجه دوم یکی از مسائل بهینه سازی ترکیبیاتی متعلق به کلاس مسائل np-سخت بوده که دارای کاربرد وسیعی در صنعت می باشد. در این مساله، n مکان و n امکانات وجود دارد. برای هر جفت از مکان ها یک فاصله و برای هر جفت از امکانات یک مقدار جریان یا وزن در نظر گرفته شده است. هدف از مساله، تخصیص امکانات به مکان ها است به طوری که مجموع فاصله ها و جریان های متناظر مینیمم گردد. الگوریتم شناخته شده ای با زمان چندجمله ای برای حل این مساله وجود ندارد و حتی برای مسائل با ابعاد کوچک نیز به زمان محاسباتی طولانی نیاز دارند. از این رو به جای حل دقیق مساله به بررسی روش های تقریبی حل آن می پردازند. یکی از این روش ها، روش رهاسازی نیمه معین و هم مثبت می باشد که در این پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرند.ابتدا انواع خطی سازی های مساله ارائه می شود. سپس با توجه به عملکرد موفق بهینه سازی نیمه معین، رهاسازی های نیمه معین مساله ارائه می شود. در نهایت در فصل آخر پایان نامه مساله تخصیص درجه دوم به صورت یک مساله هم مثبت بیان می شود. از آنجا که حل مساله هم مثبت سخت است، برای مساله معادل هم مثبت، رهاسازی نیمه معین ارائه می شود.

در این پایان نامه یک روند برای تبدیل یک مساله کنترل بهینه عمومی به یک دستگاه معادله جبری دیفرانسیل(dae)تشریح شده است. شرایط لازم کیون-تاکر مسئله کنترل بهینه شامل معادلات دیفرانسیل،شرایط تکمیلی و نامساوی های مربوطه است که این نامساوی ها را می توان با اضافه کردن متغیرهای اضافی و ضرایب لاگرانژ به تساوی تبدیل کرد. مطالعه خواص معادله جبری دیفرانسیل حاصله، از نخستین اهداف ما در این پایان نامه می باشد که در این میان اندیس یک دستگاه dae را تعریف و نشان می دهیم که این پارامتر، میزان خوش وضعی مساله را مشخص می کند. مفهوم اندیس مهارشدنی در مطالعه اندیس در یک روش سیستماتیک استفاده می شود، و در طی این مراحل نشان داده می شود که از کدام مولفه های دستگاه معادلات برای کاهش اندیس باید مشتق گرفته شود. به وسیله مفهوم اندیس مهارشدنی، اندیس یک مساله از اندیس بالا(اندیس 3) را کاهش می دهیم بدون اینکه تعداد معادلات افزایش یابد.

در این ÷ایان نامه ابتدا به معرفی مجموعه های فازی خنواهیم پرداخت سپس معادلات فازی و ویژگی های اصلی و متمایز کننده انها از معادلات اپراتوری معمولی را بیان کرده و با ذکر روش هایی که تا به حال برای حل این معادلات به کار گرفته شده اند به تفصیل به معرفی روشی بر گرفته از روش اویلر برای حل معادلات دیفرانسیل فازی و نیز روش ذوزنقه ای فازی برای حل معادلات انتگرال فازی خواهیم پرداخت.در آ خر در کاری جدید روش های طیفی را با معادلات دیفرانسیل فازی سازگار کرده و به بررسی نتایج عددی حاصله از اعمال روش تاو فازی و هم محلی فازی و مقایسه آنها با نتایج به دست آمده از روش اویلرفازی خواهیم پرداخت که دقت فوق العاده بالا تر روش های طیفی را در حل معادلات دفرانسیل فازی با توابع هموار، نشان می دهند.

روش های طیفی به عنوان یکی از دقیق ترین روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی شناخته شده اند. اما با وجود دقت بالای این روش ها دستگاه معادلات حاصل از معادلات هم مکانی متناظر آنها بسیار بدوضع است و در نتیجه یافتن جواب آنها امری بسیاردشوار. پژوهشگران شاخه آنالیز عددی برای رفع این دسته از مشکلات به تکنیک های پیش اثرگذار متوسل می گردند. دو دسته از عمده ترین پیش اثر گذارهای روش های طیفی پیش اثرگذارهای مبتنی بر روش های تفاضلات متناهی و عناصر متناهی هستند. در سال های اخیر روش هم مکانی مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی به عنوان جایگزینی مناسب برای روش های کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل جزئی مطرح گردیده است. مشکل دستگاه معادلات بزرگ و بدوضع تنها منحصر به روش های طیفی نیست. روش هم مکانی مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی نیز همانند روش شبه طیفی از مشکل بدوضعی دستگاه معادلات متناظر رنج می برد. دراین رساله پس از توصیف پیش اثرگذارهای روش شبه طیفی یک پیش اثرگذار بسیار کارامد که بر پایه روش تفاضلات متناهی است برای روش هم مکانی مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی ارائه می دهیم.

این پایان نامه مشتمل بر 5 فصل می باشد.در فصل اول مفاهیم اولیه و مقدماتی بیان می شود. در فصل دوم روش شبه طیفی را بیان خواهیم کرد.اساس این روش تقریب تابع جواب بر حسب درونیاب لاگرانژ می باشد.در واقع این روش مقادیر تابع جواب را در تعداد متناهی از نقاط می دهد. در فصل سوم مسائل کنترل بهینه بیان می شود. با استفاده از حساب تغییرات و اصل مینیمم پونتریاگین شرایط لازم بهینگی بدست می اید که این جزء روش غیر مستقیم در حل مسائل کنترل بهینه می باشد. در فصل چهارم با استفاده از روش شبه طیفی مسئله کنترل بهینه با یک مسئله برنامه ریزی غیر خطی جایگزین می شود. برای مسئله برنامه ریزی غیر خطی شرایط لازم kkt را نوشته و به ارتباط ضرایب لاگرانژ مرتبط با این مسئله و متغیر هم حالت مرتبط با مسئله کنترل بهینه می پردازیم. قضیه نگاشت هم بردار این ارتباط را نشان می دهد.دو دسته ازنقاط کلوکیشنی را انتخاب می کنیم.1.لژاندر گاوس لوباتو،2. چبیشف گاوس لوباتو. نتایج عددی نشان دهنده دقت بالا این روش را دارند.

در این پایان نامه پس از معرفی مجموعه های فازی، حساب دیفرانسیل و انتگال فازی بنیان نهاده شده است تا زمینه برای حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال فازی مهیا شود. در ادامه برای حل معادلات دیفرانسیل فازی یک روش تحلیلی و چندین روش تکراری از جمله روش رانگه کوتا، سیمپسون، نیستروم، پیشگو اصلاحگر و ... بیان می شود. سپس روش های حل معادله معادله انتگرال فازی مانند آدومیان و نیستروم بررسی می شود. در نهایت روش شبه طیفی را برای حل معادله انتگرال فرهلم نوع دوم توسیع داده و خطای روش را محاسبه می کنیم. همچنین با اثبات قضیه ای مرتبه همگرایی روش بدست می آید. نتایج بدست آمده نشان می دهد این روش بر روش های مشابه برتری چشمگیری دارد.

در این پایان نامه ابتدا معادلات دیفرانسیل جبری (dae) را شرح داده، انواع مختلف این نوع از معادلات را معرفی کرده و ویژگی های مهم آن ها را مطرح می نماییم. سپس برخی از روش های عددی را که تاکنون برای حل این نوع معادلات مورد استفاده قرار گرفته است، معرفی می کنیم و مثال های متنوعی را برای نمایش کارایی این روش هامورد بررسی قرار می دهیم. در ادامه، روش شبه طیفی مبتنی بر چند جمله ای های چبیشف را برای حل معادلات dae خطی اندیس دو شرح می دهیم و با ارائه قضیه ای همگرای این روش را اثبات می نماییم. سپس به معرفی معادلات دیفرانسیل جبری کسری (fdae) پرداخته و از روش شبه طیفی برای حل این معادلات استفاده می کنیم. در ادمه به بررسی همگرایی این دسته از معادلات در حالت خطی و غیر خطی جبری می پردازیم. نهایتا، مثال های متنوعی را که نتایج تئوری حاصل از قضایای مربوط به روش همگرایی روش شبه طیفی را تائید می کند، در نظر گرفته ایم.

محاسبه تابع احتمال r(z,t) که در آن t زملن و z مقدار اولیه است، از جمله مسایل عدم ورشکستگی یک شرکت بیمه با زمان متناهی برای مدیریت ریسک در اقتصاد در نظر گرفته می شود. در این پایان نامه ابتدا یک مدل ریاضی برای r(z,t) را از [3] معرفی کرده و نحوه بدست آوردن مدل مذکور را توضیح می دهیم. سپس به معرفی برخی مدل هایی که در مدل مذکور به شکل معادله انتگرال یا معادله انتگرو دیفرانسیل استفاده شده اند می پردازیم. نهایتا با شبیه سازی برخی داده های آماری از صندوق بیمه کشاورزی شرایط مدل ارایه شده را با استفاده از نرم افزار های spss17 و mintab14 بررسی و با توجه به دانشی که در ارتباط با مدل بدست آورده ایم سعی در تغغیر برخی شرایط و سپس حل مدل موجود پرداخته و نتایج حاصله را تفسیر کنیم.

در این پایان نامه از روش تاو استاندارد برای حل عددی معادلات انتگرال منفرد ضعیف استفاده کرده ایم. این روش بر پایه تقریب تابع مجهول با استفاده از چندجمله ایهای چبیشف بنا نهاده شده است. پس از جایگذاری تقریب تابع مجهول در معادله انتگرال به جای تابع مجهول، از روش انتگرال گیری گاوس استفاده کرده و معادله انتگرالی را تقریب می زنیم. سپس تابع باقیمانده را تعریف کرده و با استفاده از روش گالرکین ضرب داخلی آن با توابع متعامد بکار رفته یعنی چندجمله ای های چبیشف را برابر صفر قرار می دهیم. انتگرال حاصل از این ضرب داخلی را مجددا با روش انتگرال گیری گاوس تقریب می زنیم ونهایتا با جاگذاری نقاط گاوسی در معادله آخر به یک دستگاه معادلات خطی می رسیم که با حل آن ضرایب چندجمله ایهای چبیشف بکاررفته در تقریب تابع مجهول بدست می آید و از آنجا تقریب تابع مجهول میسر می شود. روش مذکور را برای حل عددی 5 نمونه معادله انتگرال فردهلم منفرد ضعیف بکار برده ایم و نتایج آنها را در پایه های چبیشف و لژاندر بدست آورده و ارائه نموده ایم. در نهایت می توان گفت در حالتی که جواب دقیق معادله انتگرال چندجمله ای باشد جواب تقریبی در n بزرگتر یا مساوی درجه چندجمله ای بر جواب دقیق منطبق می شود. همچنین در حالت کلی وقتی که جواب دقیق به قدر کافی هموار است روش تاو می تواند بطور موثری بکارآید ونتیجه مطلوبی تولید کند.

در این رساله، روش تحلیلی- عددی جدیدی مبتنی بر خواصی از چندجمله ای های ماتریسی برای حل دستگاه های معادلات اپراتوری ارائه شده است. بدین منظور ابتدا با استفاده از برخی عناوین جدید در حوزه جبرخطی، چندجمله ای های ماتریسی و تعاریف مرتبط با آن را بیان می کنیم و نظر به ارتباط گسترده مفاهیم جبرخطی و نظریه اپراتورها، با تعریف اپراتور مناسب، معادله چندجمله ای ماتریسی را متناظر با دستگاه معادلات اپراتوری مفروض در نظر گرفته، سپس با تجزیه چندجمله ای ماتریسی با روش های موجود، روشی برای تقریب جواب دستگاه معادلات توسعه داده شده است. پس از بکارگیری تجزیه کانونی، دستگاه مستقل هم ارزی حاصل می شود که حل آن نسبت به دستگاه اصلی ارجح است. مباحث مربوط به تحلیل روش جدید ارائه شده، مورد مطالعه قرار گرفته و در ادامه نشان داده می شود که به دلیل ساختار مناسب تجزیه اسمیت چندجمله ای های ماتریسی، استفاده از آن ها برای حل رده گسترده ای از معادلات بسیار کارآمد می باشد. در این تحقیق، روش معرفی شده بطور خاص برای انواع دستگاه معادلات اپراتوری با ضرایب ثابت، دستگاه معادلات انتگرال و معادلات انتگرال جبری به تفصیل بحث و بررسی شده است. کاربردی از روش پیشنهادی در حل یک مسئله در مکانیک جامدات مطرح شده که کارایی روش را نشان می دهد. نتایج تحلیلی و عددی ارائه شده در این رساله، بهبود محاسباتی چشمگیری را از حیث دقت جواب های محاسباتی و سرعت روش نشان می دهد.

در این رساله به بررسی نظری و عددی دستگاه های مرکب از معادلات انتگرال ولترای نوع اول و دوم ، موسوم به معادلات جبری انتگرال (iaes) می پردازیم. انواع مختلف اندیس که به عنوان یک مفهوم کلیدی در حل پذیری و تحلیل پایداری این نوع معادلات مطرح است را معرفی و نشان می دهیم که افزایش اندیس موجب افزایش پیچیدگی محاسباتی این دسته از معادلات می شود. همچنین با استفاده از این مفهوم، قضایای وجود و یکتایی مربوط به شکلهای مختلف این نوع دستگا ه ها را بیان و روش های عددی مختلفی را بر اساس چند جمله ای های متعامد و تکه ای برای حل عددی معادلات نیمه صریح اندیس یک و دو با هسته های هموار و منفرد ضعیف ارائه می دهیم. به علاوه تحلیل همگرایی هر روش را به طور مجزا بررسی و تخمین های خطا را بر اساس ثابت های لبگ برای چند جمله ای های درونیاب لاگرانژ و خواص چند جمله ای های متعامد و برخی نا مساوی های معروف بدست می آوریم. به دلیل بدوضعی معادلات جبری انتگرالی، بررسی همگرایی روشهای عددی برای این دسته از معادلات از مباحث تحقیقاتی جدید بوده و نتایج همگرایی بدست آمده برای آنها کاملا" با نتایج کلاسیک مربوط به دستگاه های معمولی معادلات انتگرال ولترا مغایر می باشد. نهایتا" روش های عددی پیشنهادی را با مثال های عددی متنوعی برای تایید تخمین های خطای حاصله مورد بررسی قرارداده و در پایان به تحلیل عددی یک مساله کاربردی از دستگاه های iaes با استفاده از روش هم محلی بر اساس چند جمله ای های تکه ای می پردازیم.

در این پایان نامه برخی روش های عددی مانند تفاضل مرکزی، فرمول همیلتنی و روش فرمول عددی آگراوال برای حل مسائل کنترل بهینه کسری در نظر گرفته شده است. وجود و یکتایی جواب برای این مسائل مطرح شده است. حساب تغییرات، لاگرانژ ضربی و فرمول انتگرال کسری جز به جز برای بدست آوردن معادلات اویلر-لاگرانژ این مسائل استفاده شده است. در خاتمه روش شبه طیفی و کالوکیشن را برای این مسائل مطرح می کنیم. برخی مثال های عددی برای نشان دادن کارایی روش بیان شده است.

تحقیقات اخیر روی روشهای عددی‏، بر ایده استفاده از روشهای بدون شبکه‎{meshfree methods}‎ برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی تاکید‏ می کند. یکی از ویژگی های رایج همه روشهای بدون شبکه، توانایی آنها در ساخت تقریب تابع، تنها با استفاده از اطلاعاتی در یک مجموعه از داده های پراکنده می باشد. تعدادی از روشهای بدون شبکه عبارتند از: روش هیدرودینامیکهای ذره ی هموار‎{smooth particle hydrodynamics method} ‎، روش المان پراکنده‎{diffuse element method} ‎، روش گلرکین المان آزاد‎{element-free galerkin method} ‎، روش هسته باز سازنده‎{reproducing kernel particle method} ‎، روش افراز واحد‎{partition of unity method} ‎، روش {hp-clouds} ، روش پترو-گلرکین موضعی بدون شبکه{meshless local petrov–galerkin method} ، روش تفاضلات متناهی ‎{ ‎f‎inite differences} ‎، روش پترو-گلرکین موضعی بدون شبکه مستقیم‎{direct meshless local petrov–galerkin method} ‎} و روش معادله انتگرال مرزی تقابل دوگانی ‎{dual reciprocity boundary integral method} ‎.‎ در چند سال اخیر گروه دیگری از روشهای بدون شبکه که بر اساس توابع پایه ای شعاعی تولید می شوند، برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی توجه بیشتری را به خود جلب کرده اند. در ابتدا توابع پایه ای شعاعی برای درونیابی داده ها ‏در توابع چندمتغیره مطرح شدند. به هر حال، ویژگی بدون شبکه بودنشان انگیزه ای شد تا محققان از آنها برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده کنند. کانزا‎{e.‎ ‎j‎. ‎kansa} ‎، اولین کسی بود که از این توابع برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده کرد ‏و نام روش خود را توابع پایه ای شعاعی سراسری‎‏‎globally radial basis function‎}‎} نامید‎‎. چون ماتریس ضرایب روش کانزا متقارن نبود لذا فشیئور‎{g.‎ ‎e‎. ‎fasshauer} ‎ روش نوع هرمیت را برای تضمین تقارن ماتریس ضرایب ارائه کرد. ماتریس ضرایب متقارن، حل پذیری معادلات خطی مربوطه را تضمین می کند. ‎‏روش‎ های کانزا و فشیئور به طور مستقیم عبارتی از تقریب تابع بوسیله توابع پایه ای شعاعی را در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی جایگزین می کنند. اما شو ‎{shu}‎‎‎‏ و همکاران در سال 2003‏ میلادی نوع دیگری از روش های مبتنی بر ‎{rbf}‎‏ را با بهره گیری از ایده انتگرال گیری دیفرانسیلی {differential quadrature}‎‎مطرح کردند ‏و نام آن را انتگرال گیری دیفرانسیلی بر اساس توابع پایه ای شعاعی برگزیدند. بر خلاف روش کانزا این روش مشتق تابع در یک نقطه را بوسیله ترکیب خطی از همه مقادیر تابع در کل دامنه تقریب می زند. هر دو روش در کنار مزیت های زیادی که دارند، دارای معایبی نیز می باشند که استفاده عملی از آنها را دچار مشکل کرده است. عددحالت ماتریس درونیاب این روش ها با افزایش تعداد نقاط گرهی به سرعت رشد می کند. همچنین، هزینه محاسبات این روش برای مسائل بزرگ بسیار زیاد است. برای رفع این مشکلات تکنیکهای متعددی ارائه شد که یکی از آنها استفاده از روشهای موضعی براساس توابع پایه ای شعاعی می باشد. یکی از روشهای موضعی، روش انتگرالگیری دیفرانسیلی موضعی براساس توابع پایه ای شعاعی می باشد که توسط خود شو در همان سال 2003 ارائه شد. این روش در واقع مشتق تابع در یک گره بصورت یک ترکیب خطی از مقادیر تابع در گرههای مجاور گره مورد نظر بیان می شود. همچنین برای کاهش عدد حالت ماتریس درونیاب اخیراً خانم پازوکی به همراه شابک‎‎{schaback} ‎‎‏ تکنیک تغییر پایه را مطرح کردند‎‎‎‎‎ . در ادامه این فصل به بیان تعاریف اولیه می پردازیم. در فصل دوم جنبه های مختلف توابع پایه ای شعاعی برای تقریب تابع را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم اصول روش های مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی برای حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی ارائه می گردد. پیاده سازی این روش ها برای حل عددی معادله ساین گوردون‎‎{sine-gordon}‎‎‏ در فصل چهارم بررسی و نتایج عددی تحلیل می شوند. نتیجه گیری در فصل پنجم مطرح می شوند.

در این پایان نامه ابتدا به دسته بندی انواع معادلات انتگرالی پرداخته، شرایط لازم برای حل معادلات فردهولم نوع سوم را بیان میکنیم. سپس به توضیح و تشریح روشهای عددی حل معادلات انتکرالی فردهولم نوع دوم و سوم میپردازیم. در این راستا روشهای تفکیک هسته توسط توابع پایه هار، هسته بازسازنده و اسپلاین را برای حل عددی معادلات انتگرال نوع سوم مطرح نموده و در ادامه روش کالوکیشن را برای حل عددی معادلات انتگرال نوع سوم با هسته منفرد بیان و به بررسی برخی روشهای حل عددی معادلات انتگرال نوع سوم جبری میپردازیم.

در این رساله به بررسی و تحلیل همگرایی روشهای طیفی برای حل عددی برخی معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری می پردازیم. بعد از ارائه مقدمات و تعاریف اولیه، ابتدا روش عهم محلی ژاکوبی را برای حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری چندمرتبه ای معرفی می کنیم. با استفاده از قضایای وجود و یکتایی می توان نتیجه گرفت که جوابهای این دسته از معادلات دارای ناهمواریهایی در برخی مشتقات جواب در نقطه آغازین می باشند. این ویژگی باعث می شود که روش هم محلی در شکل معمول برای حل عددی این دسته از معادلات از سرعت همگرایی پایینی برخوردار باشد. برای رفع این مشکل با استفاده از نوعی هموارسازی معادله اصلی را به معادله ای با جواب هموارتر تبدیل می کنیم. همچنین ثابت خواهیم کرد که پس از این هموارسازی روش هم محلی برای حل عددی معادله جدید دارای نرخ همگرایی نمایی می باشد. در ادامه روش تاو محاسباتی را برای حل عددی معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری پیاده سازی می کنیم. همچنین تحلیل همگرایی روش را ارائه داده و نشان می دهیم هنگامیکه جوابهای معادله هموار باشند روش پیشنهادی دارای نرخ همگرایی از مرتبه نمایی است. نهایتاً از روش گالرکین با پایه های ژاکوبی تعمیم یافته برای تحلیل عددی معادلات دیفرانسیل کسری چندمرتبه ای با جوابهای هموار استفاده نموده و از خواص این نوع از توابع متعامد در پیاده سازی روش کمک می گیریم. در تمام روشهای پیشنهادی قضایای وجود و یکتایی دستگاه معادلات جبری بدست آمده از اعمال روش را بررسی می کنیم.

چکیده: نامه، ابتدا مفاهیم اولیه در ارتباط با مسائل کنترل بهینه فردهلم و ولترا و ?? در این پایان های عددی ?? برخی قضایای مرتبط به این مبحث را بیان کرده و سپس با استفاده از روش متفاوت به حل مسائل کنترل بهینه درگیر با معادلات انتگرال غیرخطی ولترا و فردهلم های طیفی بالاخصروش شبه طیفی بر اساس توابع ?? پردازیم. در ادامه به معرفی روش ?? می پایه لاگرانژ پرداخته و با استفاده از این روش، به حل مسئله کنترل بهینه درگیر با معادلات هایی، کارایی ?? پردازیم. در انتهای تمامی فصول با ارائه مثال ?? انتگرال غیرخطی فردهلم می ایم. ?? ها را نشان داده ?? این روش

در این پایان نامه به معرفی آنالیز بازه ای و قوانین حاکم بر حساب بازه ای پرداخته و روش های بازه ای را در حل معادلات دیفرانسیل به صورت جداگانه مرور می کنیم. به عنوان بخش اصلی کار به معرفی الگوریتم بازه ای جدیدی برای حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه n ام می پردازیم که بر مبنای الگوریتم نهر و انتقال مختصات مور است. پس از بیان الگوریتم به حل عددی مثال های متنوع می پردازیم و نتایج به دست آمده را با نتایج قبلی مقایسه می کنیم.

‏در این پایان نامه حل عددی مسایل مقدار ویژه ی منفرد و منظم برای معادلات دیفرانسیل معمولی جهت یافتن مقادیر ویژه و توابع ویژه متناظر مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا به معرفی مسایل استورم لیوویل پرداخته و روش های حل این مسایل را بررسی می کنیم. پس از آن با در نظر گرفتن حالت کلی مسایل مقدار ویژه‏، دو روش عددی ‏پرکاربرد برای تعیین پارامترهای ویژه طوری که مسئله جواب غیر بدیهی داشته باشد‏، ارائه می نماییم. روش کالوکیشن تکه ای و روش ماتریسی ( تفاضلات متناهی‏، باکس‏، پرتابی)‏، روش هایی هستند که برای حل عددی این دسته از معادلات در نظر گرفته ایم. برای نمایش کارایی این روش ها‏، چند مثال عددی را در نظر گرفته ایم.

چکیده ندارد.

‏در این پایان نامه به حل معادلات حاکم بر جریان الکترواسمتیک در میکرو - کانال می پردازیم. تاکنون روش های عددی محدودی برای حل معادلات حاکم بر جریان الکتراسمتیک در میکرو - کانال ها مطرح شده است. از جمله ی این روش ها, روش تفاضلات متناهی‎‎ است که برای حل این دسته از معادلات بکار می رود. ابتدا به طور کامل به معرفی معادلات حاکم ‏بر جریان الکترواسمتیک در میکرو - کانال و شرایط مرزی متناظر پرداخته ایم, سپس روش حجم محدود را برای گسسته سازی و تحلیل میدان جریان دو بعدی غیر قابل تراکم که معادلات حاکم بر آن شامل ناویر - استوکس اصلاح شده (پیوستگی و مومنتم) است تشریح می کنیم و در ادامه به تحلیل روش ‏آشفتگی هوموتوپی برای این دسته از معادلات می پردازیم و در انتها برای نمایش کارایی روش های مطرح شده ‏چند مثال عددی ارائه نموده ایم.

مسائل دیفرانسیلی از نوع کسری موضوع به روزی است که مطالعه آن و روش های عددی کارا برای حل آنها رواج فراوانی یافته است. از جمله روش هایی که برای حل چنین مسائلی به کار گرفته می شود روش های تفاضلات متناهی، کالوکیشن، adiو نظایر آن می باشد. در این پایان نامه هدف بر این است که علاوه بر مطالعه کاربردی چنین معادلاتی به حل مسائل مربوطه در فضای دو بعدی بپردازیم. در این راستا با استفاده از روش عناصر محدود با پایه های b-اسپلاین جواب های مسأله را بهبود خواهیم بخشید و آن را برای حل مسائلی که دامنه هندسی مشخصی نمی باشند تعمیم خواهیم داد.

دراین پایان نامه، از روش های طیفی و روش توابع پایه شعاعی چند مربعی، برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل نوع ولترا استفاده کرده ایم. از میان روش های طیفی به معرفی روش شبه طیفی، گالرکین و پترو - گالرکین که برای حل این نوع معادلات، تا کنون به کار رفته اند، پرداخته ایم. تحلیل خطای این روش ها و همگرایی آن ها نیز مورد بحث قرار گرفته است. هم چنین حل اینگونه معادلات با استفاده از روش تاو( که حالت خاصی از روش پترو-گالرکین است)، روش هم محلی- لژاندر و روش های برنامه ریزی غیر خطی را بررسی نموده ایم و برای نمایش کارایی روش ها، مثال هایی را ارائه نموده ایم. نتایج به دست آمده، نشان داد که روش های برنامه ریزی غیرخطی، همراه با توابع پایه شعاعی چند مربعی می تواند مزیت هایی را نسبت به روش هم محلی، در مواقعی که مساله دارای مشتقات بالایی است، به دنبال داشته باشد.

در این پایان نامه به حل عددی یک معادله ی سهموی و بیضوی توسط روش هم زمان عناصر مرزی و عناصر محدود روی یک ناحیه ی کراندار از r^2 خواهیم پرداخت. مسائلی که در این پایان نامه در نظر گرفته خواهد شد، در مدل سازی معادلات مربوط به حوزه های الکترومغناطیسی ظاهر می شوند.

در‎ این پایان نامه‏، نحوه ی استفاده از روش سینک گالرکین برای برخی از مسائل معکوس سهموی مورد بررسی قرار می گیرد. برای این منظور ابتدا‏، پس از بیان مفاهیم مقدماتی‏، با تابع سینک و خواص آن آشنا ‏می شویم. سپس روش هم محلی و گالرکین را بیان کرده و با در نظر گرفتن توابع پایه ای سینک برای آن ها‏، این دو روش را برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی مورد استفاده قرار می دهیم. در ادامه مفهوم مسائل مستقیم و معکوس و همچنین خوش وضعی و بدوضعی این مسائل را تشریح می نماییم. سرانجام با تمرکز بر روش سینک گالرکین‏‏، برخی از مسائل معکوس سهموی تک بعدی را در حالت خطی و غیرخطی و دوبعدی را در حالت غیرخطی با روش منظم سازی مارکوارد-لونبرگ حل می کنیم.‎ در آخر ‏جواب های حاصل را در حالات مختلف برای یافتن جواب تقریبی بررسی خواهیم کرد.

هدف از انجام این پایان نامه بررسی روش کالوکیشن مبتنی بر توابع پایه شعاعی برای حل مسائل انتقال گرمایی می باشد.این روش معمولا در سبکی مشابه با تفاضلات متناهی اما با نقاط تصادفی به جای نقاط با شبکه بندی منظم بکار می رود.

محاسبات کسری در چند سال اخیر بازتاب خوبی در علوم و مهندسی داشته است و کارهای قابل ملاحظه ای در زمینه کاربردها و حل عددی معادلات شامل، مشتق از مرتبه کسری انجام شده است. از جمله این معادلات، می توان به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی از مرتبه کسری اشاره کرد که در زمینه های متفاوتی از جمله سیستم های فیزیکی مانند زمین شناسی، علوم محیط زیست، مهندسی برق و مکانیک دارای کاربردهای زیادی می باشند.در این پایان نامه سعی بر آن است که در ابتدا به ذکر تاریخچه مختصری از محاسبات کسری پرداخته و در ادامه با معرفی توابع پایه شعاعی و خواص آن که این روش را نسبت به سایر روش ها متمایز می کند می پردازیم. لازم به ذکر است که در انتها با ارائه چند مثال عددی، دقت و درستی روش را مورد بررسی قرار داده و نتایج بدست آمده را ارائه خواهیم کرد.

چکیده ندارد.