در این پایان نامه بعضی نامساوی های مربوط به شعاع عددی و نرم عملگرها وماکزیمم قسمت حقیقی برای عملگرهای خطی کراندار در فضاهای هیلبرت وتحت شرایط مناسب برای عملگرهای مشمول و همچنین بعضی از نامساوی های ابتدایی برای یافتن کرانهای بالای اختلاف نرم وشعاع عددی برای عملگرهای خطی کراندار با شرایط ویژه در فضاهای هیلبرت آورده شده اند.

در این پایان نامه ضمن آشنایی با نامساوی ینسن نامساوی های دیگری که به نحوی از نامساوی ینسن گرفته شده اند مورد مطالعه قرار می گیرند. ما در این جا نامساوی های بر گرفته از نامساوی ینسن را بر روی توابع محدب و m-محدب و (alfa,m)-محدب در فضای اندازه پیوسته و گسسته مورد بررسی قرار می دهیم و به کاربردهای آنها نیز اشاره خواهیم کرد

فرض می کنیم a یک ماتریس مختلط از مرتبه m باشد. ابتدا برد عددی ماتریس a را تعریف کرده و ویژگی های مربوط به آن را بررسی می کنیم. با استفاده از این ویژگی ها برد عددی ماتریس های از مرتبه های 2 و 3 را تعیین می کنیم. در ادامه برد عددی مشترک n ماتریس هرمیتی و مختلط از مرتبه را با نماد j نشان می دهیم. هدف اصلی این پایان نامه بازیابی n ماتریس هرمیتی از مرتبه m از برد عددی مشترک آنهاست. این موضوع را برای m=2 و n دلخواه و m=n=3 نشان می دهیم.

اخیراٌ فوجی و همکاران نشان دادند: که برای هر a,b? 0 و p?1 رابطه برای هر s?0 صدق می کند. در حقیقت (*) تعمیم نامساوی ببینو و لموز و پراویدنسیا برای هر ? t ?0 s می باشد . در ادامه نتیجه زیر را نشان می دهیم. 1و2 برقرارند و با هم معادلند. (1) برای هر a? 0و0???1 و b?0 وt?[0,1]و هر عددحقیقی q?0 برای هر s?1 و r?t صدق می کند که ?= , h= (2) اگرa?b ? 0 با a?o آن گاه برای هر t? [0,1] وp?1 رابطه (1) معادل رابطه (?) است

در این پایان نامه نشان می دهیم که اگر s ، t و x عملگرهایی روی فضای هیلبرت مختلط جدایی پذیر h باشند بطوریکه s وt فشرده و مثبت باشند آنگاه مقادیر تکین جابجاگرtx-xs به ?x?(t?s)محدود می شود، در اینجا منظور از ?.?نرم معمولی عملگرهاست. بنابراین برای نرم عملگرهای بطور یکانی پایا داریم ||| tx – xs ||| ? ? x ? ||| t ?s |||. و نشان می دهیم که اگرs و t مثبت و x فشرده باشد، آنگاه برای هر نرم بطور یکانی پایا خواهیم داشت ||| tx – xs ||| ? max (?t?,?s?) |||x|||. علاوه بر این اگر x مثبت باشد برای نرم بطور یکانی پایا داریم ||| tx – xt ||| ? 1/2 ?t? ||| x?x |||. این نامساوی نرم برای نرم معمولی عملگرها بدون شرط فشردگی برقرار است. و همچنین ثابت می کنیم که اگرt=u|t| تجزیه ی قطبی عملگرt باشد، آنگاه برای هر نرم بطور یکانی پایا داریم ||| |u|t|-|t|u|^2 ||| ? ||| t* t-tt* ||| ? ||u|t|+|t|u|| |||u|t|-|t|u|||. کلمات کلیدی : جابجاگر ، عملگر مثبت ، مقادیر تکین ، نرم بطور یکانی پایا.

یکی از کاربردهای توزیع نرمال مختلط, بررسی متغیرهای دو بعدی روی صفحه ی مختصات, یا در حالت کلی متغیرهای با ابعاد بالاتر از دو مثلاً مختصات یک ماهواره در فضا بر اساس ساختمان اعداد مختلط می باشد. ما در این پایان نامه به بررسی توزیع نرمال مختلط در حالت یک متغیره و چند متغیره و بررسی متغیرهای نرمال مختلط و خواص روی آن ها مانند میانگین, واریانس و تابع مشخصه, . . . پرداخته و سعی می نماییم, متغیر های مختلط را بر اساس توزیع-t چند متغیره پیاده سازی نموده و توزیع جدیدی به نام توزیع-t چند متغیره ی مختلط ارائه دهیم و هم چنین با روشی خاص, با ترکیب تابع چگالی یکنواخت و تابع توزیع وایبول تعمیمی از توزیع نرمال مختلط می سازیم.

چکیده: نامساوی های عملگری روی فضای هیلبرت نقش مهمی را در نظریه عملگرها دارد که هدف اصلی این رساله نشان دادن نتایج اخیر درباره ای نامساوی ها، برای توابع پیوسته از عملگرهای خودالحاقی بر فضای هیلبرت مختلط است. ‎ در این پژوهش بعد از معرفی عملگرها، به بررسی برخی از این نامساوی ها پرداخته و ارتباط بین این نامساوی ها را مطرح کرده، و در نهایت کاربردی از عملگرها را در حالت ماتریس های متناهی البعد برای فضای متناهی البعد به کار می بریم.

عملگر توابع محدب دو متغیره به صورت تعمیم غیرجابجایی از نامساوی ینسن مشخص می شود.فرض کنیم f:i×j?r یک تابع دو متغیره تعریف شده بر روی ضرب از دو فاصله باشد و فرض کنیم a و b عملگر خودالحاقی خطی با طیف محدود در فضای هیلبرت است.اگر طیف a مشمول در i باشد و طیف b مشمول در j باشد و ?a=???_i p_j و ?b=???_i q_j به ترتیب تجزیه ی طیف a و b هستند ،پس f((a,b)=? f(?_i,?_j)p_i?q_j تعریف آنالیز تابعی است .این تعریف به آسانی قابل تبدیل به عملگر نرمال و توابع بیشتر از دو متغیر می باشد. در این مقاله ما ضرب تانسوری را به صورت یک ماتریس a?b نمایش می دهیم.در اینجا فرض می کنیم a و b عملگر خطی خودالحاقی با طیف متناهی روی فضاهای هیلبرت باشند. در این پایان نامه درباره ی نامساوی ینسن روی توابع دو متغیره کار می شود که می توان به چند متغیره هم گسترش داد اما با پیچیدگی همراه است‎.‎ در فصل اول تعاریف و قضیه ها‏یی را که در فصول بعدی مورد نیاز است آورده ایم. در جایی که اگر به اثبات این قضیه ها نیاز باشد اثبات آورده شده و گرنه به بیان صورت قضیه اکتفا کرده ایم. در فصل دوم ابتدا ضرب تانسوری را تعریف کرده و برخی خواص آن را یادآور شده سپس یک عملگر یک متغیره را به کل فضای هیلبرت ‎$mathcal{h}$‎ گسترش می دهیم و سپس روی دو متغیره با استفاده از ضرب تانسوری کار می کنیم. در فصل سوم محدب عملگری و یکنوای عملگری را تعریف کرده و به بررسی عملگر خطی کراندار و روابط بین محدب عملگری و یکنوای عملگری و به تعریف میانگین همساز و ا‏رتباط پرداخته و قضیه های مربوط را اثبات می کنیم. در فصل پنجم به بررسی تحدب ماتریسی و تحدب ماتریسی مجزا و تحدب ماتریسی قطری و به روابطی که بین آن ها وجود دارد می پردازیم.

در این رساله، برخی از نسخه های عملگری نامساوی بلمن را ثابت می کنیم. بویژه، ثابت می کنیم که اگر ‎$phi‎: ‎bh o bk$‎ نگاشت خطی مثبت یکانی، ‎$a,b in bh$‎ انقباض، ‎$p>1$‎ و ‎$0 leq lambda leq 1$‎ باشد، آن گاه ‎egin{eqnarray*}‎ ‎ig(phi(1_mathscr{h}-a abla_{lambda}b)ig)^{1/p}gephiig((1_mathscr{h}-a)^{1/p} abla_{lambda}(1_mathscr{h}-b)^{1/p}ig),‎. ‎end{eqnarray*}‎ همچنین نامساوی های بلمن را برای فرم های شبه خطی و نرم های ناوردا بدست می آوریم. در ادامه، نامساوی عملگری ینسن را تظریف می کنیم و سپس با استفاده از آن تظریفی از نامساوی عملگری بلمن را ارئه خواهیم کرد. همچنین، حالتی از آنتروپی نسبی عملگری را که توسط جی.آی. فوجی و ای. کامئی شروع شده، مورد بررسی قرار خواهیم داد. برای دو دنباله ‎$ extbf{a}=(a_1,cdots,a_n)$‎ و ‎$ extbf{b}=(b_1,cdots,b_n)$‎ از عملگرهای مثبت روی فضای هیلبرت، عدد حقیقی ‎$q$‎ و تابع یکنوای عملگری ‎$f$‎ بحث آنتروپی را به صورت زیر تعمیم می دهیم ‎$$‎ ‎s_q^f( extbf{a}| extbf{b}):=sum_{j=1}^na_j^{frac{1}{2}}left(a_j^{-frac{1}{2}}b_ja_j^{-frac{1}{2}} ight)^qfleft(a_j^{-frac{1}{2}}b_ja_j^{-frac{1}{2}} ight)a_j^{frac{1}{2}},‎, ‎$$‎ و سپس کران های بالا و پایینی برای ‎$s_q^f( extbf{a}| extbf{b})$‎ به عنوان یک توسیع از نامساوی ارائه شده توسط تی. فوروتا تحت شرایط معین، بدست خواهیم آورد. بعد از آن، برخی از نامساوی های مربوط به آنتروپی شنون کلاسیک را از آن نتیجه خواهیم گرفت.

در این پایان نامه، ضمن معرفی زیرفضاهای پایا و زیرفضاهای ابرپایا و بردارهای اکسترمال اینفلو، از قضیه مدل منسوب به فویس و پیرسی استفاده نموده و زیرفضاهای ابرپایا برای عملگرهای شبه پوچ توان را معالعه می کنیم. نتیج? اصلی کار این است که اگر t تبدیل شبه آفین شبه پوچ توان و x_n، c-بردار ویژه از t^nt^*n باشد به طوریکه مجموعه { cl{x_n : n?n فشرده است، آنگاه tزیرفضای ابرپایای غیربدیهی دارد. در ادامه نیز قضی? دودنباله را بیان و اثباتی از آن ارائه می دهیم.

چکیده هدف کلی این رساله بررسی ساختار جبر حلال ‎ ra={ t ? l(x) : supm>0 | (1‎ + ‎ma)t (1‎ + ‎ma)-1 | < ? } ‎و جبر ددنز ba = { t ? l(h) :‎ supn>0 |an t a-n < ? }‎ می باشد. نشان می دهیم که وقتی ‎a‎ یک عملگر جبری از درجه ‎2‎ است، ‎ra‎ و ‎ba+i‎ زیرفضای پایای ‎ غیربدیهی دارند. این حکم قوی تر از وجود زیرفضای ابرپایا برای ‎a‎ است وقتی که‎ ra ? {a} ? ‎ می باشد. هم چنین یک خصوصیات کامل از‎ ra ‎ وقتی که ‎ a‎ یک عملگر جبری است، ارائه شده است. در مورد فضای متناهی البعد، یک مثال ساده ارائه می دهیم که نشان می دهد وقتی که عملگر ‎ a‎ یک مقدار ویژه مخالف صفر داشته باشد، آن گاه ‎ r a ‎ به طور سره شامل ‎ {a}?است‎.‎ در این رساله به منظور تجزیه قضیه عملگر - m‎خودتوان از درون یابی لاگرانژ استفاده می کنیم. آن گاه روی پایه این نتیجه جدید یک توصیف از جبر ‎ ra‎ وقتی که ‎ a‎ یک ‎-m ‎خودتوان است ارائه می دهیم و نشان می دهیم که ‎ ra‎ یک زیرفضای پایای غیربدیهی دارد.

یکی از مسا یل اساسی در ریاضی حل معادله خطی tx=y است که در آن t یک عملگر خطی بین فضاهای باناخ می باشد. اگر t معکوس پذیر باشد در این صورت جواب یکتای معادله به صورت x=by خواهد بود که در آن b معکوس t می باشد. در فصل دوم این پایان نامه به بررسی شرایط لازم و کافی برای معکوس پذیری عملگر t پرداخته ومسأ له را به اصل نگاشت انقباض تبدیل می کنیم. از طرفی معکوس پذیری عملگر مسأ له ای مشکل می باشد و بنابراین روش های تقریبی مفید خواهند بود. در فصل های سوم و چهارم تعمیم معکوس عملگرهای خطی بین فضاهای باناخ معرفی شده است. کاربرد این نظریه را در رابطه با حل معادله tx=y بررسی می کنیم . و در این راستا جواب اکسترمال معادله tx=y و بهترین جواب تقریبی از آن را معرفی می کنیم. در ادامه ضوابط برای معکوس تعمیم یافته متری بیان می کنیم. و قضایایی در مورد رابطه معکوس تعمیم یافته متری و بهترین جواب تقریبی ارائه می دهیم.