در این رساله عناصر 4-اِنگل راست و چپ را مورد مطالعه قرار داده و نشان دادیم اگر a یک عنصر دلخواه و b^±1 عناصر 4-اِنگل راست باشند یا این که a^±1 عناصر 4-اِنگل چپ و b یک عنصر دلخواه باشد، آنگاه <a,a^b> یک گروه پوچ توان از کلاس حداکثر 4 است. همچنین نشان دادیم اگر p a^±1 -عنصرهای 4-انگل چپ از g باشند، آنگاه a^4 در رادیکال بئر g و لذا در رادیکال هرش-پلاتکین g است، اگر p=2 و a در رادیکال بئر gاست اگر p یک عدد اول فرد باشد. در ادامه به مطالعه عناصر n-اِنگل راست و بررسی شرایطی برای گروه g که تحت آن شرایط مجموعه عناصر n-انگل راست تشکیل یک زیرگروه دهد پرداخته شده است.

فرض کنید gیک گروه متناهی غیر آبلی است و p یک عدد اول باشد.یک حدس طویل المدت بیان می کند که g دارای یک خودریختی غیر داخلی از مرتبه ی p است .هدف اصلی این پایان نامه این است که نشان دهیم، اگر g یک p-گروه متناهی غیر آبلی باشدکه (((c_g(z(phi(g برابر (phi(g نباشد ،آنگاه g دارای خودریختی غیر داخلی از مرتبه ی p است.همچنین نشان می دهیم که اگر g یک p-گروه متناهی غیر آبلی از رده ی پوچ توانی 2 باشد ،آنگاه g دارای خودریختی غیر داخلی از مرتبه ی pاست که یا عناصرphi(g یا عناصر ((omega_1(z(g و در نهایت عناصر( z(g را ثابت نگه می دارد.

مشخص شده است که <?2(g)=<x|x4=1 تاثیر قوی بر روی ساختار یک 2-گروه g دارد. مثلاً دودوری بودن (?2(g دودوری بودن خود g را نتیجه می دهد. دراین پایان نامه 2-گروه های g طوری که ?2(g)=c2×d که در آن d یک 2-گروه از رده بیشین است را کاملاً مشخص می کنیم. همچنین ساختار یک 2-گروه متناهیg طوری که ?2*(g)?c2×q که در آن q گروه چهارگانی از مرتبه 2nاست را مشخص می کنیم. به علاوه ثابت می کنیم که اگر g یک p-گروه متناهی باشد طوری که (?2(g فوق ویژه است آنگاه, ?2(g)=g. همچنین در صورتی که (?2*(g فوق ویژه باشد, ثابت می کنیم که برایp=2 یا ?2*(g)=g یا g گروه نیم دووجهی از مرتبه 16 و برای ?2*(g)=hp(g) , p>2.

در این پایان نامه 2-گروه های متناهی با دقیقاً سه عنصر از مرتبه2 به طور کامل رده بندی می شوند. ابتدا 2-گروه های فرادوری را رده بندی می کنیم . سپس 2-گروه های غیر فرادوری با دقیقاً سه عنصر از مرتبه 2 را مورد بررسی قرار می دهیم. نشان می دهیم، برای یک زیر گروه نرمال آبلی بیشین w با نمای کوچکتر یا مساوی 4، (c_g(w فرادوری است. اگر w از نوع (4‚4) و مرکز g غیر دوری باشد، آن گاه g دارای زیرگروه فرادوری نرمالی از شاخص حداکثر 4 است و اگر مرکز آن دوری باشد،g دارای زیرگروه فرادوری m از شاخص حداکثر 4 است، طوری که اگر8<|(g/c_g(w|، در g نرمال نیست و اگر 8 =|(g/c_g(w|، در g نرمال است. سپس ساختار g را بر اساس مولدها و روابط مشخص می کنیم. به این ترتیب رده بندی 2-گروه های متناهی با دقیقاً سه عنصر از مرتبه 2 کامل می شود.

در این پایان نامه نشان داده می شود که در هر گروه سوزوکی g از مرتبه s22 ، اگرs یک عدد صحیح فرد باشد g شامل یک مجموعه تفاضلی مرکزی نابدیهی است و در حالتی که s عدد صحیح زوج باشد، g محتوی هیچ مجموعه تفاضلی مرکزی نابدیهی نیست. همچنین ثابت می شود که، اگر در یک گروه دو وجهی dm، m برابر با pt2 باشد که در آن p یک عدد اول و t یک عدد صحیح مثبت است، آنگاه هیچ مجموعه تفاضلی نابدیهی در dm وجود ندارد. در نهایت اثبات می کنیم که، اگرs ?3 یک عدد صحیح فرد و g یک گروه سوزوکی باشد که s22|g|=، آنگاه کدهای دوتایی بر گروه g قابل تعریف است.

گراف g را صحیح نامیم هرگاه تمام مقادیر ویژه ماتریس مجاورت آن متعلق به مجموعه اعداد صحیح باشد. « کدام گراف ها صحیح هستند؟» این سوالی بود که در سال 1973 توسط هاراری و اسچواینک مطرح شد. با استفاده از یکی از نتایج مقاله ی بابای تحت عنوان «طیف گراف کیلی»، که طیف گراف کیلی یک گروه را بر حسب سرشت های تحویل ناپذیر گروه مربوطه بیان می کند، تعدادی خانواده نامتناهی از گراف های صحیح ارایه می کنیم. همچنین گراف های کیلی صحیح با درجه منظمی حداکثر 4 را روی گروه های آبلی تعیین خواهیم کرد. فرض کنید m ماتریس مجاورت، لاپلاسی یا لاپلاسی بدون علامت گراف g باشد. ددر این صورت می گوییم g توسط طیفش بر حسب m تعیین می شود هرگاه گرافی غیر یکریخت و هم طیف بر حسب m با آن گراف موجود نباشد. گرافی را که توسط طیفش تعیین می شود یک گراف ds می نامیم. سوال «کدام گراف ها ds هستند؟» به تقریبا نیم قرن قبل بر می گردد. در آن موقع تصور بر این بود که تمام گراف ها ds هستند. تا اینکه در سال 1957 کولاتز و سینوگویتز یک جفت درخت غیر یکریخت و هم طیف ارایه کردند. در این پایان نامه ثابت می کنیم تمام شبه ستاره ها با ماکسیمم درجه 4 توسط طیف ماتریس لاپلاسیش تعیین می شوند.

فرض کنیم w یک زیر مجموعه ناتهی از یک گروه آزاد باشد. خودریختی ? از یک گروه g را یک خودریختی حاشیه ای می نامیم اگر برای هر x?g داشته باشیم x^(-1) ?(x)?w^* (g)، جایی که w^* (g) زیرگروه حاشیه ای گروه g است. در این پایان نامه ثابت می کنیم که اگر g یک گروه باشد و w یک زیر مجموعه غیرتهی از f_? باشد به طوری که w^* (g)?w(g)?z(g)، آن گاه ?aut?_(w^* ) (g)?hom(g/w(g) ,w^* (g)) و هم چنین برای هر -pگروه متناهی ثابت می کنیم: c_(?aut?_c (g) ) (z(g))=inn(g) اگر و تنها اگر یا g آبلی باشد یا g پوچ توان از رده ی 2 و z(g) دوری باشد. اگر g غیر آبلی باشد و در یکی از شرایط زیر صدق کند rank(g?z(g))?rank(z(g)) (z_2 (g))/z(g) دوری است c_g (z(?(g)))=?(g) و (z_2 (g)?z(?(g)))/z(g) یک گروه آبلی مقدماتی از رتبه ی rs نباشد که r=d(g) و s=rank(z(g))، آن گاه g دارای یک خودریختی مرکزی غیرداخلی از مرتبه ی p است، که عناصر ?(g) را ثابت نگه می دارد. c_(?aut?^? (g) ) (z(?(g)))?inn(g) اگر و تنها اگر یا آبلی مقدماتی باشد یا z(g)=?(g) و z(g) دوری باشد.

چکیده ندارد.

?فزض کٌین ? g?یک گزٍُ ٍ ? n ٍ m?دٍ عذد صحیح هثبت باشٌذ? .?گَیین ? g?در شزط )? comm(m,n?صذق هیکٌذ اگز بزای ّز دٍ? ?? y?هَجَد باشٌذ ب عَری کِ ? .xy = yx?اگز گزٍُ? ?سیزهجوَعِ ? n ٍ m?اس ? g?با اًذاسُّای ب تزتیب ? ،n ٍ m?عٌاصزی چَی ?ٍ x m?? ?? g?در شزط )? comm(m,n?صذق کٌذ? ،?ب اختصار گَیین ? g?یک )?-c(m,n?گزٍُ است?

یکی از مسائل موجود در نظریه گروه ها مطالعه و بررسی گراف های ناجابه جایی و جابه جایی گروهه ای متناهی می باشد. فرض کنیم g یک گروه متناهی باشد. گراف ناجابه جایی یک گروه متناهی g، گرافی است که مجموعه رأس های برابر g-z(g) می باشد به طوری که z(g) مرکزگروه g است و دو رأس x و y در آن مجاورند اگروتنهااگر xy با yx برابر نباشد. یکی از مسائل مورد بررسی در گراف های ناجابه جایی پیدا کردن عدد خوشه ای این گراف است که به دست آوردن آن وابسته به محاسبه اندازه زیرمجموعه غیرجابه جایی بیشین در یک گروه می باشد و با توجه به تعریف گراف ناجابه جایی دیده می شود که عددخوشه ای در یک گراف ناجابه جایی برابر عدد استقلال در گراف جابه جایی می باشد. این پایان نامه چهار فصل است. در فصل اول به بیان تعریف و قضایای اولیه در نظریه گروه ها، مفاهیم مقدماتی گراف و گراف ناجابه جایی می پردازیم. درفصل دوم آن ابتدا به بیان تعریف و ساختار p-گروه های فوق ویژه می پردازیم و در ادامه اندازه مجموعه غیرجابه جایی بیشین فوق ویژه درp-گروه های فوق ویژه را ارائه می دهیم که به تفصیل آمده است. در فصل سوم ابتدا به بیان تعریف ، ساختار و زیرگروه های بیشین در p-گروه های فرادوری می پردازیم و در ادامه اندازه مجموعه غیرجابه جایی بیشین درp-گروه های فرادوری را ارائه می دهیم. درفصل چهارم کران های بالا و پایین برای عدد استقلال گراف جابه جایی ارائه می دهیم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.