در این رساله،برای حل عددی دستگاه های معدلات دیفرانسیل معمولی سخت بررسی می شوند. یک روش مناسب برای حل عددی دستگاه های سخت باید دقت بالا و ناحیه پایداری وسیع داشته باشد. ما دو دسه روش از روش های چندگامی مشتق دوم به نام های sdmm و sisdmm معرفی می کنیم که از ناحیه پایداری بهتر و دقت بیشتر برخوردار هستند. همچنین خاصیت مثبت بودن یک نقش کلیدی در حل مسائل مقدار اولیه که از به کارگیری روش mol برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وابسته به زمان به دست می آیند،ایفاء می کنند. در این رساله همچنین تحلیلی بر خاصیت مثبت بودن برای دسته روش رانگ-کوتای دومرحله ای انجام می دهیم.