سالهاست که آنالیز تواناترین شاخه ریاضیات بوده و مبحث معادلات دیفرانسیل بخش عمده آن است. هدف اولیه ی معادلات دیفرانسیل آن است که وسیله ای برای مطالعه تغییرات جهان مادی فراهم آورد. نظریه معادلات دیفرانسیل، بهترین و عمومی ترین نظریه ریاضی است که به وسیله ی آن بسیاری از قوانین طبیعی و انسانی را می توان تبیین نمود. این نظریه شاخه ای از آنالیز ریاضی است که از دو دسته ی معادلات دیفرانسیل معمولی، و معادلات دیفرانسیل جزئی تشکیل شده است. کار بر روی این نظریه در قرن هفدهم میلادی توسط توابع مقدماتی آغاز شد. در قرن هجدهم میلادی با بررسی تار مرتعش، اولین معادله دیفرانسیل جزئی پدید آمد. سپس اویلر ضمن بررسی شرایط وجود و یکتایی جواب، به حل مسائل مقدار مرزی با استفاده از سری های توانی پرداخت که بعدها این روش توسط فوریه کامل و به نام او ثبت گردید. تاکنون نظریه معادلات دیفرانسیل عرصه بهترین تحقیقات ریاضی بوده و منشأ ابداع نظریه های گوناگون در ریاضی و علوم دیگر گردیده است. هم چنین با توجه به رابطه نزدیک آن با علوم دیگر، مخصوصاً فیزیک به نقش کلیدی و اهمیت وافر آن می توان پی برد. معادلات ناشی از زمینه ی تکنولوژی، بسیار پیچیده هستند. این معادلات معمولاً دارای ضرایب متغیر بوده، غیر خطی هستند، مرزهای نامنظم دارند و به صورت دستگاه های توأم از انواع مختلف (مثلاً سهموی و هذلولوی ) ظاهر می شوند. در ریاضیات محض، روش های حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از شیوه های تحلیلی مانند انتگرالگیری یا بسط به سری خاص، مورد بررسی قرار می گیرد. در این روش ها تأکید بر یافتن عبارت دقیق برای جواب است. متأسفانه مسائل مهم زیادی در مهندسی و علوم، به خصوص مسائل غیر خطی، وجود دارند که روش های تحلیلی یا در آن ها به کار نمی روند و یا به کار گیری آن ها بسیار مشکل است. در این پایان نامه به حل چند نمونه از معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی با استفاده از روش آنالیز هوموتوپی می پردازیم. این پایان نامه شامل چهار فصل به صورت زیر است در فصل اول برخی مفاهیم و تعاریف اولیه در معادلات دیفرانسیل جزئی ارائه می شود. در فصل دوم به معرفی روش آنالیز هوموتوپی پرداخته شده و ساختار کلی این روش بیان می شود. در فصل سوم کاربردهایی از روش آنالیز هوموتوپی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی ارائه شده است. در فصل چهارم به حل مسأله شکار و شکارچی و تجزیه اُزن مرتبه دوم در محلول آبدار و معادله زاخاروف با استفاده از روش آنالیز هوموتوپی اختصاص دارد و با ارائه ی مثال هایی، کارایی این روش نشان داده شده است. برنامه های کامپیوتری این روش برای معادلات فصل چهار در پیوست ارائه گردیده است.

در بسیاری از رشته های علوم و مهندسی، مدل سازی ریاضی مسائل به معادلات دیفرانسیل منجر می شوند. جواب این معادلات دیفرانسیل نقش مهمی در رشته های علوم و مهندسی دارد. بنابراین، حل تحلیلی و عددی این معادلات همیشه مورد توجه ریاضی دانان بوده است. در این پایان نامه، روش تبدیل دیفرانسیل که یک روش توانا برای حل معادلات تابعی است، برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه ی صحیح و کسری به کار رفته و نتایج حاصل از این روش با نتایج به دست آمده از روش تکرار وردشی مقایسه شده است. برای افزایش دقت روش تبدیل دیفرانسیل، روش تبدیل دیفرانسیل اصلاح شده و چندگامی معرفی می شود. مثال های متنوعی برای نشان دادن قابلیت های این روش در پایان نامه آمده است.

در این پایان نامه روش آشفتگی هوموتوپی را برای حل معادلات با مشتقات جزئی مورد استفاده قرار می گیرد و نتایح به دست آمده از این روش با برخی روش های عددی مانند روش مشخصه و روش تفاضلات متناهی صریح مقایسه می شود. این مقایسه برتری روش آشفتگی هوموتوپی نسبت به سایر روش های عددی را نشان می دهد.

در این پایان نامه، روش آشفتگی هموتوپی که یک روش جامع و کارا برای حل انواع معادلات تابعی است، به منظور حل معادلات با مشتقات جزئی به کار می رود. نتایج به دست آمده از این روش با روش تفاضلات متناهی، به عنوان یک روش عددی، مقایسه شده است. برای انجام محاسبات از نرم افزار 13 mapleاستفاده شده است.حجم محاسباتی کم در روش آشفتگی هموتوپی نسبت به حجم محاسباتی بالای مورد نیاز در روش تفاضلات متناهی یکی از مزیت های این روش نسبت به روش تفاضلات متناهی است. علاوه بر این، سرعت همگرایی این روش کارایی آن را برای حل معادلات با مشتقات جزئی روشن می سازد. روش آشفتگی هموتوپی منجر به جواب دقیق و یا حداقل یک جواب تحلیلی- تقریبی می شود که بسیار مفیدتر از جواب عددی به دست آمده از روش تفاضلات متناهی است.

اخیراً، به دلیل نمود فراوان معادلات دیفرانسیل کسری در رشته های مختلف علوم کاربردی مانند مکانیک سیّالات، ویسکوالاستیک، بیولوژی، فیزیک و سایر شاخه های مهندسی، معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی از مرتبه ی کسری، در موارد زیادی مورد مطالعه قرار گرفته اند. در این پایان نامه، دو روش نیمه تحلیلی برای حلّ معادلات دیفرانسیل کسری مطرح شده اند، روش تکرار وردشی و روش تجزیه ی آدومین. سپس جواب های به دست آمده از این دو روش و جواب دقیق، مقایسه شده اند.

در این پایان نامه، روش تکراری وردشی برای حل دستگاه های معادلات دیفرانسیل معمولی به کار برده شد و نتایج به دست آمده از این روش با نتایج حاصل از روش کلاسیک مرتبه ی چهارم رانگه – کوتا مقایسه شدند. در این مقایسه دیده شد که روش تکراری وردشی نسبت به روش رانگه – کوتا، دارای حجم محاسبات کمتری است و از نظر نتیجه به یکدیگر نزدیک هستند. اما در مورد مثال ارائه شده که روش تکراری وردشی برای آن واگرا بود، مشاهده کردیم که روش رانگه – کوتا هم چنان همگرایی را حفظ می کند. این نقص در مورد مثال مطرح شده، با استفاده از تقریب پید بر طرف شد. هم چنین با استفاده از روش دوخطی هیروتا، جواب های 1-، 2-، و 3- سولیتون معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی غیر خطی را به دست آوردیم و از این جواب های دقیق به عنوان شرط اولیه برای روش تکراری وردشی استفاده کرده و تنها با چند تکرار تقریب های خوبی برای جواب دقیق این معادلات به دست آمد. در انتها، مسأله ی همگرایی روش تکراری وردشی به دو طریق مورد بحث قرار گرفت. ابتدا، با ارائه ی روندی جدید برای به دست آوردن جملات سری جواب، شرط کافی برای همگرایی روش بیان شد. سپس با استفاده از قضیه ی نقطه ی ثابت باناخ، شرط کافی برای همگرایی روش بیان شد و با استفاده از این شرط قادر شدیم جواب های دقیق مسائل ارائه شده را به دست آوریم. بنابراین انتظار می رود بتوان از روش تکراری وردشی به عنوان ابزاری برای حل معادلات تابعی خطی و غیر خطی مختلف استفاده کرد. تعیین مرتبه ی همگرایی روش تکراری وردشی و استفاده از این روش برای حل معادلات منفرد می تواند موضوعی برای تحقیق باشد. همچنین می توان از روش دوخطی هیروتا برای حل دستگاه های معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی استفاده کرد.

یکی از روش های قوی برای حل مسائل غیر خطی معادلات دیفرانسیل جزئی و معادلات دیفرانسیل معمولی که در مدل سازی مسائل فیزیکی و مهندسی به کار برده می شود روش های آشفتگی است. در این پایان نامه روش آنالیز هوموتوپی برای حل معادلات تابعی به کار رفته است و نشان داده شده است که روش های آشفتگی هوموتوپی و تجزیه آدومین حالت خاصی از روش آنالیز هوموتوپی هستند. برای نشان دادن قابلیت ها و توانایی های این روش مثال های متنوعی ارائه شده است. برای انجام محاسبات از نرم افزار میپل 13 استفاده شده است.

در این پایان نامه روش تبدیل دیفرانسیل برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و سیستم معادلات دیفرانسل معمولی مورد استفاده قرار می گیرد و نتایج بدست آمده با روش های دیگر مقایسه می شود.این مقایسه برتری روش تبدیل دیفرانسیل نسبت به روش های دیگر را نشان می دهد.مثال های متنوعی برای نشان دادن قابلیت های روش تبدیل دیفرانسیل آمده است.برای انجتم محاسبات از نرم افزار میپل 13 استفاده شده است.

این پایان نامه از شش فصل به صورت زیر تشکیل شده است: در فصل اول برخی از مفاهیم اساسی و تعاریف در معادلات و دستگاه معادلات انتگرال ارائه می شود؛ در فصل دوم به تعاریف و قضایای اصلی در نظریه موجک ها می پردازیم؛ در فصل سوم روش های موجک لژاندر، چبیشف نوع اول و دوم یک بعدی و دو بعدی معرفی شده و ماتریس های عملیاتی مربوط به آن ها نیز به دست آمده اند؛ فصل چهارم به حل دستگاه معادلات انتگرال با روش های موجک لژاندر، چبیشف نوع اول و دوم اختصاص دارد و با ارائه ی مثال هایی کارآیی روش ها نشان داده شده است؛ در فصل پنجم به معرفی روش تکرار وردشی پرداخته شده است و فصل ششم نیز به حل دستگاه معادلات انتگرال با روش تکرار وردشی اختصاص داده شده است. مباحث زیر شامل مطالب جدیدی هستند که در این رساله ارائه می شوند: ( 1 ) ارائه و استفاده از موجک چبیشف نوع دوم بر پایه چندجمله ای های چبیشف نوع دوم ( بخش 3-5 )؛ ( 2 ) تعمیم روش موجک لژاندر، چبیشف نوع اول و دوم برای فضای دو بعدی و محاسبه ماتریس های عملیاتی مشتق و حاصل ضرب برای آن ها ( بخش های 3-3-2، 3-4-2 و 3-5-2 )؛ ( 3 ) تقریب تابع دو متغیره بر حسب موجک و محاسبه کران برای ضرایب موجک و خطای آن ( بخش 3-7 )؛ ( 4 ) تعمیم روش های موجک های لژاندر، چبیشف نوع اول، چبیشف نوع دوم، و تکرار وردشی برای حل دستگاه معادلات انتگرال یک بعدی و دو بعدی ( فصل های چهارم و ششم )؛ ( 5 ) اثبات معادل بودن روش تکرار وردشی با روش تجزیه آدومین ( بخش 5-5-1 ).

در سال های اخیر ارائه و بررسی روش های جدید در حل معادلات تابعی توجه بسیاری از محققان و پژوهشگران را به خود معطوف ساخته است. در همین راستا چندین روش تحلیلی و عددی، ارائه و در حل معادلات تابعی مختلف به کار گرفته شده است. در این رساله روش تحلیل هوموتوپی برای حل معادلات تابعی مورد بررسی قرار می گیرد. فصل اول با ارائه تعریف ها و مقدمات لازم ایده های اساسی موجود در روش تحلیل هوموتوپی هم زمان با حل یک معادله دیفرانسیل ساده مطرح می شود. هم چنین برخی قوانین پای های برای انتخاب مولفه های موجود در روش مورد بررسی قرار گرفته است. این فصل نشان م یدهد که برخلاف روش های عددی و تحلیلی موجود، روش تحلیل هوموتوپی خانواده ای از جواب های تقریبی را با استفاده از مجموعه توابع پایه ای متفاوت، عملگر خطی، تابع کمکی و پارامتر تنظیم همگرایی بیان می کند. هم چنین نشان داده شده است که ناحیه و سرعت همگرایی سری جواب تنظیم نمود. ? حاصل از این روش را نیز می توان با استفاده از پارامتر کمکی

روش های انتگرال اول و بسط بیضوی توابع ژاکوبی، از روش های بسیار مفید برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی هستند که در آن ها علاوه بر به دست آوردن جواب های دقیق، می توان به جواب های تکراری و سولیتونی نیز دست یافت. در این پایان نامه این روش ها برای بسیاری از معادلات و دستگاه ها به کار رفته اند و نتایج به دست آمده حاکی از کارآمدی و سادگی این روش ها است. برای انجام محاسبات از میپل 15 استفاده شده است

در این پایان نامه روش تبدیل دیفرانسیل، برای حل معادلات تابعی از قبیل معادلات دیفرانسیل، معادلات اینتگرو-دیفرانسیل، و دستگاه های آن ها، مطالعه می شود و نتایج حاصل از این روش با نتایج به دست آمده از روش تجزیه آدومین مقایسه می شود. مثال های متنوعی برای نشان دادن برتری این روش آمده است. در فصل آخر روش تعادل همگن معرفی شده است

نظریه سولیتون یکی از مهمترین موضوعات در ریاضیات کاربردی و فیزیک به شمار میرود. روش دوخطی هیروتا مشهورترین روشی است که برای ساختن جوابهای سولیتونی چندگانهی معادلات دیفرانسیل غیرخطی بهکار میرود. در این پایاننامه روش دوخطی هیروتا شرح داده شده و با استفاده از آن جوابهای سولیتونی چندگانهی چند معادله تکامل تدریجی بهدست محاسبه میشوند. به منظور (adm) میآیند. سپس جوابهای تقریبی برای آن معادلات با استفاده از روش تجزیه آدومین گسترش بازههای همگرایی، از تقریب پید استفاده میشود. تمامی محاسبات با استفاده از نرم افزار میپل 15 انجام شده است

روش آشفتگی هوموتوپی تاکنون برای حل تقریبی دسته های مختلف معادلات تابعی، در علوم و مهندسی، به کار رفته است. محققان در تلاش اند به منظور افزایش کارایی، با اصلاحاتی، توانایی این روش را برای حل معادلات تابعی بیشتر کنند. در این پایان نامه، مفاهیم پایه ای روش آشفتگی هوموتوپی بیان، و کاربردهای جدیدی از این روش ارائه می شود. با مطالعه اصلاحات انجام شده در روش آشفتگی هوموتوپی، روش جدید آشفتگی هوموتوپی، که بر پایه انتخاب هوموتوپی و جواب اولیه مناسب استوار است، معرفی می شود. این روش جدید برای حل دسته های گوناگون معادلات تابعی استفاده می شود. مطالعه همگرایی روش جدید در این پایان نامه ارائه شده است. در بخش دیگری از این پایان نامه مفاهیم بنیادی روش تبدیل دیفرانسیل بیان می شود. کاربرد های جدیدی از روش تبدیل دیفرانسیل، در حل تعدادی معادله تابعی مشهور و تعمیم این روش برای حل دستگاه معادلات انتگرال، ارائه شده است. در برخی موارد نتایج حاصل از روش های تبدیل دیفرانسیل و آشفتگی هوموتوپی مقایسه شده است. در پایان رساله، پیشنهادهایی برای ادامه پژوهش در راستای موضوع این تحقیقات ارائه می شود.

روش خطوط یک روش نیمه تحلیلی برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی خطی یا غیرخطی می باشد، که به کمک تفاضلات متناهی، معادلات دیفرانسیل جزیی را به معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول تبدیل می کند. در این پایان نامه ضمن معرفی روش خطوط، از این روش برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی از مرتبه اول و دوم استفاده شده است.

بسیاری از مدل¬های شناخته شده در علوم طبیعی و مهندسی و امروزه در اقتصاد به معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته هستند. بنابراین، تأثیرجواب¬های تحلیلی یا عددی این نوع از معادلات نقش روزافزونی در حیطه تکنولوژی ایفا می¬کند.روش¬های مختلفی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی خطی و غیرخطی وجود دارند. در این پایان نامه، روش خطوط، تفاضلات متناهی و آشفتگی هوموتوپی مورد مطالعه قرار گرفته و نتایج به دست آمده از روش خطوط با نتایج حاصل از روش¬های دیگر با هم مقایسه شده است. مثال¬های متنوعی برای نشان دادن توانایی این روش¬ ارائه شده است.

روش های آشفتگی هوموتوپی و تکرار وردشی توسط جی- هوان خی در سال های 1998 و 1999 برای حل معادلات تابعی پیشنهاد شده اند. در این پایان نامه روش های آشفتگی هوموتوپی و تکرار وردشی برای حل مسائل گوناگونی از معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی، معادلات انتگرال و دستگاه های آن ها به کار رفته اند و برخی ایده های جدید در ضمن حل این معادلات نیز بیان می شود. با مطالعه اصلاحات انجام شده در روش آشفتگی هوموتوپی، روش جدید آشفتگی هوموتوپی که بر پایه انتخاب هوموتوپی و جواب اولیه مناسب استوار است، معرفی می شود. این روش جدید برای حل دسته های گوناگون معادلات تابعی استفاده می شود. روش دیگری که در این پایان نامه مورد بررسی قرار گرفته، روش تکرار وردشی می باشد. همچنین مطالعه همگرایی روش های هوموتوپی تکرار وردشی ارائه شده و در برخی موارد نتایج حاصل از روش جدید آشفتگی هوموتوپی و روش تکرار وردشی مقایسه شده است.

در این پایان نامه با تعریف مفاهیم اولیه آنالیز مجانبی، روش های اختلال که یکی از مهمترین روش های تقریبی تحلیلی در حل معادلات دیفرانسیل به شمار می رود، مورد بررسی قرار می گیرد. در فصل اول پیش زمینه های روش بیان می شود. در فصل دوم با معرفی اختلال منظم و منفرد، دو روش از اساسی ترین روش های اختلال منفرد یعنی روش بسط مجانبی تطبیقی و روش مقیاس چند گانه، شرح داده می شوند. در فصل های سوم و چهارم دو اصلاح از روش لیندستد پوانکاره که یک روش اختلال منفرد می باشد، ارائه شده و برای حل معادلات نوسانی مشهوری مانند دافینگ و ون در پل به کار رفته است.

روش آشفتگی هوموتوپی که یکی از روش های توانا برای حل معادلات تابعی است، برای حل معادلات و دستگاه های انتگرال، دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی و معادلات دیفرانسیل معمولی به کار رفته است. نتایج به دست آمده توانایی و سادگی روش را آشکار می سازد. مثال های متنوعی برای نشان دادن قابلیت ها و توانایی های روش در پایان نامه آمده است. برای انجام محاسبات نرم افزار maple11 استفاده شده است.

در این پایان نامه، از روش تکرار وردشی، برای حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی، که بخش غیرخطی آن دارای ویژگی ضرب کانولوشن می باشد، مورد استفاده قرار گرفته است. برای توضیح روش و نشان دادن کارایی و سادگی این روش چند مثال ارائه شده است. هم چنین، نتایج حاصل از به کار بردن روش با جواب های دقیق مقایسه شده است. خطاهای حاصل از به کار بردن این روش آن قدر کوچک هستند که می توان این روش را در زمره روش های توانا، با قابلیت اعتماد بالا و کارایی خوب برای حل این گونه معادلات دیفرانسیل غیرخطی در نظر گرفت.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.