حدس ناکایاما یکی از مهمترین حدس ها در نظریه حلقه هاست و حدس آسلاندر-ریتن ارتباط بسیار نزدیکی با آن دارد. در این پایان نامه ابتدا نشان می دهیم اگر موضعی سازی یک حلقه گرنشتاین در تمام ایده آلهای اول از ارتفاع کمتر یا مساوی ? در حدس آسلاندر-ریتن صدق کند، آنگاه موضعی سازی این حلقه در تمام ایده آلهای اولش در حدس آسلاندر-ریتن صدق می کند. از این مطلب نتیجه می گیریم که هر حلقه نرمال گرنشتاین و هر حلقه گرنشتاین که با هم بعد ? اشتراک کامل باشد در حدس آسلادر-ریتن صدق می کند. سپس دوگانی آسلاندر-ریتن را به حلقه های کوهن-مکالی بسط می دهیم. در ادامه نشان می دهیم x یک عنصر منظم حلقه r باشد و r/xr در شرط آسلاندر-ریتن صدق کند، آنگاه r در شرط آسلاندر-ریتن صدق خواهد کرد. سپس سوالاتی پیرامون این حدس و حدس های دیگر هومولوژیکی بیان خواهیم کرد و دو شرط دیگر sac و sacc را معرفی می کنیم و نشان می دهیم اگر حلقه ای در sacc صدق کند، آنگاه در شرط آسلاندر-ریتن صدق خواهد کرد. در انتها شرط صفر شدن tor روی حلقه های خاصی را بررسی خواهیم کرد.

دراین پایان نامه حدسی از شرایر بیان و ثابت می شود که نشان می دهد در یک حلقه موضعی از نوع کوهن- مکالی شمارا، بعد مکان هندسی منفرد آن حداکثر یک است. بعلاوه نشان داده می شود که در حلقه های کوهن- مکالی موضعی، کوهن- مکالی شمارا بودن تحت موضعی سازی پایدار است. در ادامه ثابت می شود که تحت شرایطی ویژه، تعداد ناشمارا کلاس های یکریختی مدول های تماماً انعکاسی متلاشی نشدنی وجود دارند.

در این پایان نامه قصد داریم خواص مدول های c-گرنشتاین تصویری را روی حلقه های جابحایی مورد بررسی قرار دهیم.درابتدا به بیان مفهوم مدول c-گرنشتاین تصویری می پردازیم سپس بعد c-گرنشتاین تصویری مدول ها را تعریف نموده و نشان می دهیم مدول هایی که بعد c-گرنشتاین تصویری متناهی دارند تقریب های c-گرنشتاین تصویری می پذیرند که تعمیمی از تقریب های کوهن-مکالی ماکسیمال می باشد .در انتها روی یک حلقه موضعی شرط لازم و کافی برای آنکه تقریب c-گرنشتاین مینیمال شود را بیان می کنیم.

در این رساله، نظریه پیوند برای مدول های با بعد گرنشتاین متناهی مورد بررسی قرار می گیرد.ارتباط درجه کاهشی و بعد گرنشتاین و عمق مدول های با پیوند افقی روی یک حلقه جابه جایی و نیمه کامل و نوتری r مورد مطالعه قرار گرفته است. شرایطی که عمق یک مدول با پیوند افقی برابر با درجه کاهشی مدول پیوندی به آن باشد و نیز ارتباط شرط (s_n) برای مدولی با بعد گرنشتاین متناهی که پیوند افقی دارد با صفر شدن مدول های کوهمولوژی موضعی مدول پیوند شده به آن بررسی شده است.

برای یک مدول شبه دوگانی ‎$c$‎، روی یک حلقه جابه‎!‎ جایی نوتری ‎$r$‎، تأثیر مقسوم‎!‎ علیه‎!‎ های صفر دقیق روی رده‎!‎ هایی از ‎$-r$مدول!‎ ها مورد مطالعه قرار می‎!‎ گیرد: ‎$-mbox{g}_c$تصویری!‎ ها‎؛ ‎$-c$تصویری!‎ ها؛ ‎$-c$‎انژکتیوها‎؛ ‎$-c$‎یکدست,ها‎؛ رده اوسلاندر‎؛ رده باس‎. مجموعه رده‎!‎ های یکریختی ‎$-r$مدول!‎ های شبه دوگانی‎، نیز مورد مطالعه قرار گرفته است. با الهام از نتیجه یورگنسن‎،‎ لوشکه‎‎ و ساتر-واگستاف‎، نشان داده می‎!‎ شود که هرگاه حلق? موضعی ‎$r$‎ کوهن-مکالی بوده و مدولی دوگانی و زنجیری مناسب به طول ‎$n$‎ از مدول‎!‎ های شبه دوگانی داشته باشد، آنگاه حلقه‎!‎ ای موضعی گرنشتاین مانند ‎$q$‎ و ایده‎!‎ آل‎!‎ های ‎$i_1‎, ‎cdots‎, ‎i_n$‎ از ‎$q$‎ وجود دارند به طوری که ‎$rcong q/(i_1+cdots+i_n)$ $ و به علاوه به ازای هر ‎$lambdasubseteq {1‎, ‎cdots‎, ‎n}$‎، حلقه ‎$q/(sigma_{lin lambda} i_l)$‎ خواص کوهمولوژی خاصی دارد. این نتیجه تعمیمی از نتیجه یورگنسن، لوشکه و ساتر-واگستاف است و لذا تعمیمی از نتیجه فاکسبی‎‎ و ریتن‎ نیز است. روی یک حلقه شرکتپذیر ‎$s$‎، برای ‎$-(s‎, ‎s)$‎دومدول شبه دوگانی ‎$c$‎، همبافت‎!‎ های ‎$-c$‎کامل مورد بررسی قرار می‎!‎ گیرد. با الهام از بوخوایتز‎‎ و فلنر‎، نشان داده می‎!‎ شود که با استفاده از همبافت‎!‎ های ‎$-c$‎کامل، می‎!‎ توان محکی برای قویاً منظم بودن حلقه ‎$s$‎ ارائه داد.