در این پایان نامه به مطالعه ی گراف های با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به سه ماتریس مجاورت، لاپلاسین و لاپلاسین فاقد علامت می پردازیم. مطالعه ی گراف ها با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به ماتریس مجاورت، اولین بار توسط دوب در سال 1970 مورد توجه قرار گرفت. اولین بررسی ها در مورد گراف های با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به ماتریس لاپلاسین، توسط ون دام و همرز در سال 1995 انجا م گرفت و این کار در مورد لاپلاسین فاقد علامت برای اولین بار در این پایان نامه مورد توجه قرار خواهد گرفت. گراف ها با یک و دو مقدار ویژه ی متمایز نسبت به این سه ماتریس ، به ترتیب گراف های تهی و گراف های کامل می باشند. دو خانواده ی شناخته شده از گراف ها با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس مجاورت، گراف های قویاًً منظم و دوبخشی کامل هستند. رده بندی گراف های غیر منظم و غیر دوبخشی کامل با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس مجاورت، اولین بار توسط همرز مطرح شد. گراف های قویاًً منظم، خانواده ا ی از گراف ها با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس های لاپلاسین و لاپلاسین فاقد علامت نیز می باشند. در این پایان نامه نتایج مهم موجود در مورد گراف های با سه مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به مجاورت و لاپلاسین و نتایج جدید به دست آمده در مورد گراف ها ی با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس لاپلاسین فاقد علامت ارایه خواهد شد و در ادامه ی هر بحث سعی می کنیم مطالعه ای روی گراف های با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز و با طیف صحیح نسبت به این ماتریس ها داشته باشیم.

به ازای اعداد صحیح نامنفی r،s،t یک [r,s,t] –رنگ آمیزی گراف g=(v(g),e(g))، نگاشتی است مثل c ازاجتماع v(g) ?e (g) به مجموعه رنگ های {k-1 ،...،1،0} به طوری که : 1.برای هر دو راس مجاور vi وr vj ? | c(vi)-c(vj) | .2برای هر دو یال مجاور ei وej s ? | c(ei)-c(ej) | .3برای همه ی جفت راس ها و یال های هم وقوع t ? | c(vi)-c(ej) | عدد رنگی [r,s,t] ، r,s,t(g)? ،گراف g عبارتست از کوچک ترین عدد k به طوری که g یک [r,s,t] – رنگ آمیزی را بپذیرد. [r,s,t] –رنگ آمیزی با عدد رنگی [r,s,t] ، r,s,t(g) ? تعمیمی از همه ی رنگ آمیزی های کلاسیک یعنی رنگ آمیزی راسی با عدد رنگی (g)?، رنگ آمیزی یالی با اندیس رنگی (g)? و رنگ آمیزی total با عدد رنگی total ، (g)"? می باشد. در این پایان نا مه بعضی از کران های کلی روی r,s,t(g) ? را بررسی خواهیم کرد و عددرنگی r,s,t(g) ? را زمانی که min{r,s,t}=0باشند را بررسی خواهیم کرد

به دوتایی ‎$h=(v,e)$‎ که ‎$v$‎ مجموعه ای متناهی و ‎$e$‎ مجموعه ای از زیرمجموعه های ‎$v$‎ است ابرگراف می گوییم. اعضای ‎$v$‎ را رئوس و اعضای ‎$e$‎ را یال های ابرگراف ‎$h$‎ می نامیم. به مجموعه ای از یال های ‎$h$‎ که اشتراک دوبه دوی آن ها تهی باشد یک تطابق گوییم. در سال ‎1965‎ اردوش حدس زد که یک ابرگراف ‎$n$‎ رأسی ‎$h$‎ که تعداد رئوس هر یال آن برابر ‎$k$‎ و اندازه بزرگ ترین تطابق آن برابر ‎$s$‎ است دارای یکی از دو ساختار زیر است ‎$h$‎ زیر ابرگرافی کامل روی ‎$sk+k-1$‎ رأس دارد و ‎$n-sk-k+1$‎ رأس دیگر آن، رئوس ‎$h$‎ متعلق به خانواده ای از ابرگراف ها می باشد که یال های آن همه ی ‎$k$‎ تایی هایی را شامل می شود که با یک مجموعه ی مشخص رئوس از اندازه ی ‎$s$‎ اشتراک دارند. ‎end{itemize}‎ برای ‎$k$‎ و ‎$s$‎ دلخواه در حالت کلی، اردوش نشان داد که این حدس برای ‎$n$‎ به اندازه ی کافی بزرگ برقرار است، یعنی تابع ‎$g(k)$‎ وجود دارد که برای ‎$ngeq{g(k)s}$‎ این حدس برقرار است. بیشتر تلاش های صورت گرفته برای اثبات این حدس، سعی در بهبود این کران بوده است. سوداکو و همکارانش در سال ‎2012‎ نشان دادند حدس اردوش برای ‎$n>3k^2s$‎ برقرار است. فرانکل نیز در سال ‎2012‎ این کران را به ‎$n>frac{2k^2s}{log(k)}$‎ بهبود داد و در حالت خاص ‎$k=3$‎، این حدس را به اثبات رسانید. در این پایان نامه به بررسی کران های به دست آمده توسط فرانکل، سوداکو و همکارانش می پردازیم. فرانکل در سال ‎2013‎ موفق شد کران بهتری برای حدس اردوش بیابد که اشاره ی مختصری نیز به آن خواهیم داشت.