در این رساله به بحث روی مدول های کوهمولوژی میپردازیم .و نشان میدهیم که تحت شرایط خاص ایدهال های اول وابسته i-امین مدول کوهمولوژی متناهی است

در این پایان نامه نتایجی را که در رابطه با مدول های پروژکتیو گرنشتاین و بعد پروژکتیو گرنشتاین به دست می آید، بررسی می کنیم. هم چنین به اثبات قضایای زیر می پردازیم: (1) فرض کنید ℵ یک کلاس از r- مدول ها باشد که یا حلال پروژکتیوی یا حلال انژکتیوی است. اگر ℵ تحت جمع های مستقیم شمارا یا تحت ضرب های مستقیم شمارا بسته باشد، آن گاه ℵ تحت جمعوند های مستقیم بسته است. (2) کلاس gp(r) ( همه r- مدول های پروژکتیو گرنشتاین ) حلال پروژکتیوی است. به علاوه gp(r) تحت جمع های مستقیم دلخواه و تحت جمعوند های مستقیم بسته است. قضیه ذکرشده در بالا برای مدول های انژکتیو گرنشتاین نیز برقرار است. (3) اگر r نوتری باشد، آن گاه کلاس gf(r) ( همه r- مدول های یکدست گرنشتاین ) حلال پروژکتیوی است. به علاوه کلاس gf(r) تحت جمع های مستقیم دلخواه و تحت جمعوند های مستقیم بسته است.

هدف از این پایان نامه بررسی مفهوم صلب بودن برای یک مدول است. یک مدول با تولید متناهی مانند m را صلب نامند هرگاه برای هر r-مدول مانند i و برای هر iدر n__0 اگر tor_i^r(m,n)=0آنگاه برای هر j>i نیز tor_j^r(m,n)=0. در این پایان نامه می بینیم که هر حلقه ی موضعی و منظم، صلب است. سوالی که توسط جبردانان این حوزه مطرح بود این بود که آیا این خاصیت با جایگذاری فانکتور extبه جای فانکتور tor نیز موجود است؟در این پایان نامه tor_i^r(m,n)=0با کمک مدول تست قوی، به این سوال پاسخ داده شده است.

فرض کنیم r یک حلقه نوتری باشد، و فرض کنیم a ایده آلی از r باشد که dim ra=1 و m را r-مدولی متناهی قرار می دهیم. آنگاه هم متناهی بودن و بعضی دیگر از خصوصیات مدول های کوهمولوژی موضعی (h_a^i (m را بررسی می کنیم. برای یک ایده آل دلخواه a وr-مدول دلخواه m که متناهی فرض نمی شود، مدول های کوهمولوژی موضعی آرتینی را مشخص می کنیم. و همچنین، مجموعه اول های هم وابسته مدول های کوهمولوژی موضعی روی حلقه های موضعی را توصیف خواهیم کرد.

در این رساله برای یک کلاس دلخواه مانند ‎s از ‎r‎- مدول ها، نشان می دهیم که کلاس r- مدول های یکدست ‎s‎- محض پوششی است. فرض کنیم s کلاسی از ‎r- مدول ها و sp‎، ‎si‎ و ‎sf‎ به ترتیب، کلاس r- مدول های تصویری ‎s- محض، کلاس r- مدول های انژکتیو s- محض و کلاس r- مدول های یکدست s- محض باشند. به علاوه، فرض کنیم هر عضو s یکدست s- محض باشد. همانند عملگر مشتق شده ی چپ ‎tor‎ در جبر همولوژیک کلاسیک، بر پایه ی جبر همولوژیک نسبی، عملگر مشتق شده ی چپ ?tor?^sf را معرفی می نماییم. برای یک کلاس دلخواه مانند s از r- مدول های متناهی نمایش پذیر که شامل r ‎است، توصیفی از r- مدول های یکدست s- محض را به صورت زیر ارائه می کنیم: یک r- مدول مانند m‎، یکدست ‎s- محض است اگر و تنها اگر یک مدول با محمل در ‎add(tr(s))‎ باشد. فرض کنیم ‎s کلاسی از ‎r‎- مدول های متناهی نمایش پذیر، شامل r ‎و مجموعه ای مانند‎ s*‎ به عنوان زیرکلاس به گونه ای باشد که برای هر ‎u? s‎، s* ‎u*?‎ را بتوان چنان یافت که u u*?. ثابت می کنیم که کلاس r‎- مدول های انژکتیو s- محض پوشاننده است. همانند عملگر مشتق شده ی راست ext در جبر همولوژیک کلاسیک، بر پایه ی جبر همولوژیک نسبی، از عملگرهای مشتق شده ی راست ?ext?_sp و ?ext?_si استفاده می نماییم. دراین حالت، عملگر ?hom?_r(?,?) با si × sp متعادل راست است. درنتیجه، برای هر دو r‎- مدول m و ‎n‎ و هر 0 n?، خواهیم داشت (m,n) ?ext?_si^n ? (m,n) ?ext?_sp^n. ازاین رو، بعد تصویری ‎s‎- محض جهانی r با بعد انژکتیو s- محض جهانی آن برابر است. ما این پرسش را مطرح می کنیم که آیا می توان کلاسی مانند s از‎r - مدول ها را چنان یافت که همولوژی s- محض به معنایی که وارفیلد معرفی کرده است و همولوژی گرنشتاین بر هم منطبق شوند؟ کلاس r- مدول های تصویری گرنشتاین، کلاس r- مدول های انژکتیو گرنشتاین و کلاس r- مدول های یکدست گرنشتاین را به ترتیب، با ‎gp‎، ‎ giو ‎gf‎ نمایش می دهیم. روی هر حلقه ی جابه جایی مانند ‎r که کلاس ‎ gp‎ پیش پوششی باشد، کلاس r‎‎- مدول های تصویری گرنشتاین و کلاس r‎- مدول های تصویری‎gp ‎- محض بر هم منطبق هستند. نشان می دهیم که وقتی r‎‎ یک حلقه ی نوتری جابه جایی با بعد متناهی باشد، (_ ^?)gi ? ?gp?^? ‎. درنهایت، مفهوم جبر آرتینی گرنشتاین مجازی که بلیجیانیس و ریتن معرفی کرده اند، را تعمیم می دهیم و این مفهوم جدید را به صورت زیر بررسی می کنیم: یک حلقه ی نوتری جابه جایی با بعد متناهی مانند r ‎را گرنشتاین مجازی می نامیم، هرگاه داشته باشیم (_ ^?)gi = ?gp?^?. یک حلقه ی r ‎ گرنشتاین مجازی است اگر و تنها اگر عملگر ?hom?_r(?,?) با gi × gp متعادل راست باشد و اگر و تنها اگر همولوژی گرنشتاین و همولوژی gp‎- محض بر هم منطبق شوند. بر پایه ی جبر همولوژیک نسبی، عملگرهای مشتق شده ی راست ?ext?_gp و ?ext?_gi‎ را در نظر می گیریم. روی یک حلقه ی گرنشتاین مجازی مانند r‎، برای هر r‎- مدول ‎m و هر 0 n?، خواهیم داشت (m,n) ?ext?_gi^n ? (m,n) ?ext?_gp^n. علاوه بر این، از مفهوم ?tor?^sf ‎برای معرفی عملگر مشتق شده ی چپ ?tor?^gf روی یک حلقه ی گرنشتاین مجازی مانند r استفاده می کنیم.

در این رساله کلیه حلقه ها جابجایی و یکدار می باشند و تمامی مدول ها یکانی فرض شده اند و در مورد ویژگی های نظری جبر خاصی که جبر محتوایی نامیده می شود بحث می کنیم.فرض کنید r,mمدول وc تابعی از m,به ایدهآل هایی از rباشد.r,mمدول محتوایی نامیده میشود اگر برای هر xمتعلقm به داشته باشیم xمتعلق به c(x)m . بعد ویژگی های مقدماتی این مدول ها را بیان کردهثابت می کنیم لم ناکایاما به نوعی برای این مدول ها برقرار است.در نهایت جبر محتوایی را تعریف کرده و سرانجام جبر محتوایی ضعیف را معرفی می کنیم.

چ دار است. مطالب موجود در این رساله از دو قسمت ?? در سراسر این رساله حلقه ها جابجایی و ی اختصاصدارد. ?? یل شده است. قسمت اول به مطالعه پوششانژکتیو گرنشتاین یک مدول آرتین ?? تش بعد انژکتیو a کنیم اگر ?? باشد. ثابت م ?? مدول آرتین -r یک a یک حلقه نوتری و r فرضکنیم است a ?? gr(a) دارای یک پوشش انژکتیو گرنشتاین a داشته باشد، آن گاه ?? گرنشتاین متناه که ?? به قسم idr(coker(a ?? gr(a)) < ? است. m بعد انژکتیو مدول idrm منظور از m مدول -r که در آن برای ،?? شود روی حلقه های گرنشتاین پوششانژکتیو گرنشتاین هر مدول آرتین ?? از این مطلبنتیجه م است. ?? ویژه و آرتین در زمینه مدولهای انژکتیو گرنشتاین دو پرسشوجود دارد که هنوز به آنها پاسخ داده نشده است؛ 1) آیا حد مستقیم یک خانواده مستقیم از مدولهای انژکتیو گرنشتاین، انژکتیوگرنشتاین است؟ مدول انژکتیو گرنشتاین باشد. آیا -r یک m یک ایده ال اول آن و p یک حلقه و r 2) فرضکنید مدول انژکتیو گرنشتاین است؟ -rp یک mp کنیم پاسخ مثبت برای پرسش اول پاسخ مثبت به پرسش دوم را در پی خواهد داشت. ?? ثابت م دانیم ?? خواص آن اختصاص دارد. م ?? و برخ ?? قسمت دوم رساله به مطالعه مدول نیمه دوگان پ دهد ?? است. قضایای بسیاری ثابت شده است که نشان م ?? یک مدول نیمه دوگان ?? هر مدول دوگان دارد و لذا یک ?? بعد انژکتیو متناه ?? داشته باشد، آن گاه هرمدول نیمه دوگان ?? خاص ?? اگر حلقه ویژگ کنیم: ?? است. ما در این زمینه مطالب زیر را ثابت م ?? مدول دوگان p باشد. در اینصورت برای هر ایده ال اول ?? مدول نیمه دوگان -r یک c یک حلقه و r فرضکنید و برای e? و e انژکتیو -c است اگر و تنها اگر برای هر دو مدول ?? مدول دوگان -rp یک cp ،r از از p انژکتیو باشد اگر و تنها اگر برای هر ایده ال اول -c مدول -r یک torri (e,e?) ،i > هر 0 مدول -r یک torri (homr(c,er(r/p)),homr(c,er(r/p))) ،i > و برای هر 0 r انژکتیو باشد. -c دو n و m و ?? مدول دوگان -r یک c و ?? یک حلقه از بعد متناه r کنیم اگر ?? همچنین ثابت م انژکتیو گرنشتاین است. -c مدول -r یک m ?r n انژکتیو گرنشتاین باشند، آن گاه -c مدول -r مدول باشد. فرض -r یک m مدول شبه دوگان ساز و -r یک c یک حلقه و r فرض کنید با .gpdcm = gpdrncm باشد. ثابت شده است که c توسط r ?? توسیع بدیه r n c کنید .pdcm =? pdrncm ن است ?? دهیم که مم ?? یک مثال نشان

فرض کنید m یک مدول روی حلقه r باشد بطوریکه هرگاه n زیر مدولی از m و b ایده آلی با تولید متناهی ازr باشد، آنگاه زنجیر افزایشی n:m b ? n : m b2 ? n : m b3 ?… از زیر مدولهای m ایستا باشد. در این مقاله خواص مدولهای فوق بررسی می شود و نشان می دهیم بسیاری از خواص مهم مدولها و حلقه های نوتری برای این دسته از مدولها و حلقه ها برقرار است.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.