کمیت های متعددی در شکل گیری یک سطح زبر ایفای نقش می کنند؛ از این رو‎‎‏، سطوح زبر در زمره فرایندهای پیچیده ی فیزیک قرار می گیرند. یکی از رهیافت های تحلیل آنها‏، استفاده از فیزیک آماری و مفاهیم فراکتالی می باشد. در این پایان نامه‏، ابتدا سطوح زبر آلومینیومی را در آزمایشگاه تولید می کنیم و در مراحل مختلف رشد‏، مشخصات آماری سطوح مورد نظر را با تعیین کمیتهای مختلفی از جمله زبری، طول همبستگی و طول مارکوف به دست می آوریم. همچنین معادله فوکر پلانک حاکم بر تابع توزیع و معادله لانژون حاکم بر ارتفاع سطوح را مورد بررسی قرار می دهیم. در بخشی دیگر‏، مدلهای رشد را بر روی زیر لایه های مربعی، مثلثی ، لانه زنبوری و زیر لایه های نامنظم وورونو ‎voronoi شبیه سازی نموده و نشان می دهیم نماهای رشد و زبری این مدلها در انباشت روی شبکه های مختلف ناوردا باقی می ماند. با بکارگیری خاصیت سطوح مارکوف‏، رهیافتی تئوری برای تعیین نمای زبری مدل ‎rsos در دو بعد ارائه می کنیم. همچنین در مورد مدل رشد ‎sos (جامد بر جامد) نشان می دهیم که با تغییر ‎ s‎ (اختلاف ارتفاع میان همسایگان مجاور)‏، کلاس جهانی این مدل از ‎rd به kpz ‎‎‎ تغییر می کند و زمان گذار‎‎‎t_‎ imes‎از‎‎‎‎‎‎‎‎ طریق یک رابطه توانی ‎‎با ‎‎s‎مرتبط است. به منظور تحلیل هندسی سطوح زبر‏، در آخرین بخش این رساله، نماهای هندسی کانتورهای سطوح چند فراکتال ساخته شده با روش ضرب آبشاری را مورد مطالعه قرار می دهیم. سطوح چندفراکتال تکینه‏، با استفاده از روش p‎‎‎تولید می شوند؛ سپس سطوح چندفراکتال نرم‏، با تبدیل فوریه سطوح تکینه و با کمک کمیت نرم سازی‎‎h^*‎شبیه سازی می شوند. بعد فراکتالی تعمیم یافته ‎‎‎d(q) ‎‎‎‏، نمای همبستگی کانتورها ‏‏،‎‎‎x_l‏، نمای همبستگی توزیع تجمعی مساحت ‏،‎‎xi‎‎ ‎‏و محیط کانتورها ‏، ‎‎eta‎‏، ‎برای هر دو نوع سطوح ساخته شده تعیین می شوند. نتایج نشان می دهند که روابط مقیاس بندی ویژه برای این کانتورها مشابه با سطوح تک فراکتال است. کمیت ‎‎‎h^*‎نقش مهمی در سطوح چندفراکتال نرم دارد‏. تمام نماهای هندسی این سطوح نرم با نمای ‎‎‎h^*کنترل می شوند. بر خلاف این سطوح‏، نماهای هندسی کانتورهای سطوح تکینه نه فقط به نمای هارست بلکه به طیف چندفراکتالی این سطوح نیز وابسته هستند. همچنین با تعیین بعد فراکتالی تعمیم یافته کانتورهای سطوح تکینه و نرم ‏، نشان می دهیم که این کانتورها خاصیت چندفراکتالی دارند.

در این پایان نامه دو گروه مختلف از سطوح شعاعی تحت بررسی قرار گرفته اند. سطوحی که توسط توده شدن ذرات و تولید آنها برروی سطح به عنوان سیستمی گسسته رشد می کنند‏. این سطوح با شبیه سازی مدل ‎‏rdsr‎‎‏،‎‎ با در نظر گرفتن ملاحظات لازم برای تعریف پله های زمانی‏، مناسب و شعاع اولیه منظور از پله های زمانی‏، زمانی است که به اندازه طول سیستم روی آن ذره فرود می آید. در مدل ‎rdsr‎ ذرات به صورت تصادفی روی سطح فرود می آیند و با مقایسه ارتفاع جایگاه های همسایه روی کمترین ارتفاع می نشینند‏. همچنین براساس کارهای انجام شده در این زمینه‏، برای شبیه سازی سطوح شعاعی‏، اندازه سیستم با زمان متغیر در نظر گرفته می شود. در این پایان نامه تغییرات اندازه سیستم نسبت به زمان با تابعی نمایی توصیف می شود. با توجه به مقایسه ی نمای تابع رشد با عکس نمای دینامیکی که طول همبستگی با آن تغییر می کند‏، می توان اشباع پذیر بودن یا نبودن سیستم را پیش بینی نمود. همچنین نماهای بحرانی اندازه گیری شده و کلاس جهانی آن تعیین گردیده است. در گروه دیگر‏، سیستم هایی که با انبساط سیستم به عنوان یک ساختار واحد رشد می کنند بررسی می شوند. در این گروه‏، بررسی توسط حل عددی انجام شده و در آن ذرات تشکیل دهنده ی سیستم اولیه بدون تقسیم شدن و افزایش تعداد ذرات‏، منبسط شده و درنتیجه سطح رشد می کند.

در این تحقیق به بررسی پدیده گذار فاز متحرک در سیستم هایی که از معادلات رشد خطی پیروی می کنند، پرداخته شده است. این سیستم ها در یک محیط غیرهمگن و در حضور بی نظمی های غیرفعال در نظر گرفته شده اند. گذار فاز متحرک در یک نیروی بحرانی اتفاق می افتد. مشابه مسائل پدیده های بحرانی با بررسی رفتار پارامتر نظم می توان این نیرو را محاسبه کرد. در سیستم هایی که در این تحقیق مورد بررسی قرار گرفته اند، سرعت فصل مشترک نقش پارامتر نظم را ایفا می کند. بیشتر مطالعات انجام شده در این زمینه در رژیم بلند مدت صورت گرفته اند. یعنی برای محاسبه برخی از نماهای بحرانی مانند نمای زبری می بایستی سیستم به یک حالت پایدار برسد تا بتوان با استفاده از روابط مقیاس بندی موجود این نما را استخراج کرد. ولی در این تحقیق نشان داده شده است که می توان این نماها را در رژیم کوتاه مدت، یعنی در زمان های اولیه تحول دینامیکی به دست آورد. در این رژیم با معرفی کمیتی که بیانگر رابطه وابسته به زمان برای پارامتر نظم است نمای دینامیکی به طور مستقل قابل محاسبه است. به دلیل اینکه اندازه گیریهای انجام شده در زمان های اولیه از تحول دینامیکی صورت می گیرد و در این بازه هنوز طول همبستگی کوچک است، می توان بر پدیده کند شدگی بحرانی غلبه کرد.

هدف در این پایان نامه بدست آوردن نماهای بحرانی فصل مشترک و تعیین کلاس جهانی مدل های رشد گسسته تحت رشد mbe می باشد. برای این بررسی از شبیه سازی مونت کارلو استفاده شده است. فصل مشترک مدل داس سارما و تامبورنی dt در یک بعد 1+1 و بر روی زیر لایه مسطح با سایز ثابت، ابتدا بدون تکنیک کاهش نویز و سپس با استفاده از تکنیک نویز شبیه سازی شده است و همچنین فصل مشترک مدل wv از شبیه سازی بدست آمد و سپس آنالیز رفتار مقیاس بندی آن ها، مورد بررسی قرار گرفته است و تاثیر سایز محدود بر روی مدلdt بررسی شده است. با استفاده از نماهای بحرانی فصل مشترک بدست آمده، مشخص می شود که مدلdt به کلاس جهانیmbe تعلق دارد. انتظار می رود با استفاده تکنیک کاهش نویز، رفتار مقیاس بندی بهتری حاصل شود و کلاس جهانی مدل dt با استفاده از تکنیک نویز تغییری نکند. در مدل dt هنگامی که سایز محدود در نظر گرفته شود نمای زبری و نمای دینامیکی به سایز سیستم وابسته می شود. مدل ولف و ویلیان wv بعد از گذشت زمان های طولانی به کلاس جهانی ew تعلق می گیرد.

حرکت مایع بر روی سطح زبر شبیه سازی شده است. میزان پیشروی آب روی سطح های زبر مختلف بررسی شده است.