یکی از مباحثی که در شاخه های مختلف فیزیک از جمله فیزیک نظری مطرح می شود کوانتش مشاهده پذیر های کلاسیکی است. موضوع این پایان نامه نیز کوانتش به روش حالت های همدوس می باشد. روش های متفاوتی برای تعیین حالت های همدوس وجود دارد که ما در اینجا از روش ویژه برداری استفاده می کنیم . بر اساس این روش حات های همدوس ویژه بردارهای عملگر نابودی هستند. هدف اصلی ما کوانتش مشاهده پذیرهای کلاسیکی با استفاده از روش برزین – گلوبر – گزو بر روی منیفلدهایی است که قسمت فضایی مربوط به فضای فاز آن ها حلقه و کره می باشد. در این پایان نامه ما به کمک هسته گرمایی (heat kernel ) مربوط به معادله گرما روی کره مختلط که توسط برایان هال مطرح شده ، حالت های همدوس مربوط به فضاهای فازی که ایزومورف با حلقه و کره مختلط می باشد را تعیین می نماییم و نشان می دهیم که هسته گرمایی که توسط برایان هال در مورد کره مختلط به دست آورده شده بایستی تصحیح شود. همچنین با انتخاب مقیاس مناسب برای کره مختلط که بر حسب مختصات حقیقی بیان می شود عملگرهای کوانتومی زاویه و فوریه را برای کره مختلط تعیین می نماییم. علاوه برآن نشان می دهیم که ضرب عملگرهای متناظر با مولفه های شعاعی کره مختلط و مزدوج آن ها از جبر ویژه ای به نام جبر ترتیبی تبعیت می کند. در پایان نیز به کمک این جبر توابع وابسته به اندازه حرکت خطی را کوانتیزه نموده و درستی جبر ترتیبی در مورد کره مختلط را تأیید می کنیم.

موضوع این پایان نامه ، کوانتش مشاهده پذیر های کلاسیکی برای ذره جرم دار مربوط به فضای دوسیتر 1+1 روی حلقه مختلط می باشد . فضای دوسیتر 1+1 را می توان به صورت یک هیپربولوئید در فضای مینکوفسکی سه بعدی تجسم نمود . یکی از مباحث جالب در این فضا ، کوانتش مشاهده پذیر های کلاسیکی به روش حالت های همدوس می باشد . در این روش ، ابتدا فضای فاز مربوط به هیپربولوئید را که فضای کتانژانت مربوط به یک حلقه است تعیین نموده ، سپس با استفاده از ویژه بردار های خاص در فضای هیلبرت مربوطه ( حالت های همدوس ) ، مشاهده پذیر های کلاسیکی کوانتیزه می شوند . افرادی همچون برزین ، گلوبر و گزو با استفاده از حالت های همدوس ، به کوانتش مشاهده پذیر های کلاسیکی روی دوسیتر 1+1 پرداخته اند ؛ از این طریق می توان مشاهده پذیر ها را روی دوسیتر 1+1 کوانتیزه نمود ، ولی برای تعمیم به ابعاد واقعی ( دوسیتر 3+1 ) با مشکل روبرو می شویم . هدف اصلی در این پایان نامه ، ارتقاء این روش و رسیدن به یک روش جدید برای کوانتش مشاهده پذیر های کلاسیکی روی دوسیتر 1+1 می باشد . این روش تصحیح یافته مبتنی بر ایزومورف بودن فضای کتانژانت و یک حلقه مختلط که توسط تیمن مطرح گردیده ، می باشد . نشان خواهیم داد که کوانتش مشاهده پذیر ها روی دوسیتر 1+1 دربرگیرنده جبر ترتیبی می باشد . به نظر می رسد که روش کوانتش با استفاده از حلقه مختلط ، به عنوان یک راهکار مناسب برای وارد شدن به ابعاد بالاتر دوسیتر ( برای دوسیتر d +1 ) جوابگو باشد ؛ چرا که جبر ترتیبی قابل تعمیم به ابعاد بالاتر است . امیدواریم که این پایان نامه ، یک دورنمای کلی از موفقیت نسبی کوانتش به این روش را ارائه دهد .

اتم هیدروژن یکی از سیستم های بنیادی در فیزیک می باشد که همواره مورد توجه فیزیکدانان بوده و ویژگی های مختلف آن مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است. در این پایان نامه سعی داریم ویژگی های تقارنی این اتم را بررسی نموده و به بحث در مورد حالت های همدوس آن بپردازیم. بدین منظور ابتدا گروههای تقارنی اتم هیدروژن را معرفی و سپس چگونگی ارتباط تقارن هندسی و دینامیکی آن را با گروههای معرفی شده مطرح می نماییم. در این رهاورد ابتدا گروه تقارن هندسی هامیلتونین را بررسی کرده و سپس گروه تقارن دینامیکی ترازهای اصلی و گروههای مولد طیفی را ( که گذار بین ترازهای مختلف اتم هیدروژن را پوشش می دهند ) مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. در ادامه، این مباحث را مبنای مطالعه حالت های همدوس اتم هیدروژن قرار داده و مجموعه ای از حالت های همدوس را بر پایه نمایش های کاهش ناپذیر گروههای تقارنی طیف گسسته و پیوسته این سیستم بدست می آوریم. برای معرفی این حالت ها از نظرات و نتایج ارائه شده توسط افرادی چون کلودر، گزو، اینوماتا و پولشین استفاده می کنیم و نهایتاً نشان می دهیم که این حالات رسیدن به کمترین عدم قطعیت در اندازه گیری های کوانتومی را ممکن می سازند. به عبارت بهتر عناصر این مجموعه نزدیک ترین حالات به حالات کلاسیکی هستند و می توان آنها را به عنوان ابزاری که ارتباط بین مکانیک کلاسیک و مکانیک کوانتومی اتم هیدروژن را فراهم می سازند در نظر گرفت.

فضا-زمان دوسیتر3+1،جواب معادله انیشتین در حالت خلاء و با ثابت کیهان شناسی مثبت، به صورت یک هذلولیوار چهار بعدی که در فضا-زمان مینکوفسکی پنج بعدی شناور است در نظر گرفته می شود. هدف این پایان نامه کوانتش مشاهده پذیر های کلاسیکی مربوط به حرکت ذره جرم دار روی دوسیتر به کمک حالت های همدوس می باشد. بدین منظور ما ابتدا فضای فاز مربوط به این حرکت ( که مورد نیاز این روش می باشد) را به روش اربیت الحاقی برای گروه تقارنی مربوطه یعنی sp(2,2) تعیین می نمائیم و نشان خواهیم داد که حاصل آن فضای کتانژانت ( (s3 t* می باشد. سپس با توجه به یک ریختی که بین این فضای کتانژانت و کره مختلط sc3 وجود داشت به استخراج حالت های همدوس می پردازیم. البته برای این منظور ، ما از هسته گرمایی ارائه شده توسط هال - میچل برای کره مختلط استفاده می نمائیم. با داشتن این حالت ها نیز اندازه مناسبی که در محاسبات مورد نیاز است را به دست خواهیم آورد . در ادامه با توجه به این حالت های همدوس واندازه مناسب، به کوانتش مشاهده پذیر های کلاسیکی به روش مستقیم (روش برزین-گلوبر-گزو ) می پردازیم و نشان خواهیم داد که این روش به صورت کلی پاسخگوی بحث کوانتش نمی باشد. بر این اساس سعی خواهیم نمود به روش غیر مستقیم این محاسبات را انجام دهیم. همچنین نشان خواهیم داد ما که با داشتن عملگر های مولفه های شعاعی کره مختلط sc3 و مزدوج آنها می توان ضربی بین آنها برقرار نمود ( جبر ترتیبی ) که در تعیین عملگرهای شناخته شده در فیزیک بسیار موثر می باشد.

در این کار حالت های همدوس مربوط به گروه های فشرده خاص مورد مطالعه قرار گرفته است. بطور کلی بررسی حالت های همدوس مربوط به سیستم های فیزیکی از مباحث مهمی است که در دهه های اخیر توجه فیزیکدان ها را به خود معطوف نموده است. این حالت ها، ویژه بردارهایی در فضای هیلبرت می باشند که در حالت کلی سه ویژگی اساسی پیوستگی، نرمالیزه پذیری و رابطه همانی را دارند. روش های مختلفی برای تعیین حالت های همدوس وجود دارد که در این پایان نامه از روش ایجاد حالت های همدوس به کمک نظریه گروه استفاده می نمائیم. البته ما حوزه کار خود را به بررسی گروه های فشرده از نوع su(n) محدود می کنیم. در بررسی این گروه ها نشان می دهیم که عملگرهای مربوط به ایزو اسپین همان عملگرهایی هستند که گروه( su( 2 را تولید می کنند. همچنین نشان می دهیم که حالت های همدوس برای گروه( su( 2 با استفاده از هماهنگ های کروی اسپین در حالت خاص به دست می آیند. با توجه به زیرجبر کارتان گروه( su( 3 بررسی می کنیم که برهم کنش قوی تحت این گروه ناوردا می ماند. در ادامه نشان می دهیم که بهترین روش برای تعیین حالت های همدوس گروه( su( 3 استفاده از نمایش بوزون شوینگر می باشد. سرانجام این روش را برای گروه های( su(n تعمیم می دهیم.

در این پایان نامه مسئله یک ذره باردار در میدان مغناطیسی که به مسئله لاندائو موسوم می باشد از لحاظ کلاسیکی و کوانتومی مورد توجه قرار گرفته است . مسئله لاندائو ابتدا در فضای جابه جا پذیر بررسی شده بود تا اینکه دانشمندان با ارائه نظریه ریسمان و تأیید فضای نا جا به جا در فیزیک به بررسی این مسئله در فضای نا جا به جا پرداختند. حرکت یک ذره باردار تحت تأثیر میدان مغناطیسی ثابت (در فضای جابه جا پذیر و نا جا به جا)روی یک حلقه خواهد بود که گروه دینامیکی متناظر با آن گروه غیر فشرده su(1,1) می باشد (فضای همگن این گروه یک دیسک می باشد). حالت های همدوس مربوط به این حلقه را می توان با توصیف عملگرهای مکان و تکانه یک ذره کوانتومی روی حلقه بیان کرد و از تشابه عملگرهای مربوط به ذره کوانتومی در حال حرکت روی حلقه با عملگرهای مربوط به یک ذره باردار غیر نسبیتی در میدان مغناطیسی ثابت ، حالتهای همدوس یک ذره باردار در میدان مغناطیسی ثابت بیان می شود این حالت های همدوس در فضای نا جابه جا به صورت تابعی پیوسته خواهد بود که این تابع در فضای جابه جا گسسته خواهد بود.

ایده ی حالتهای همدوس ریشه در فیزیک کوانتومی وارتباط آن با فیزیک کلاسیک دارد . واژه ی همدوس از اپتیک می آید و بصورت ویژه توسط گلوبر ( ] 1 [ و ] 2 [ ) در دهه ی 60 میلادی و در ارتباط با مسئله ی گسیل لیزر مطرح گردید . پس از آن نیز توسط کلودر (] 3 [ و ] 4 [) وسادرشان ] 5 [ توسعه یافت . از آن زمان بحث حالتهای همدوس در شاخه های مختلف فیزیک از قبیل: فیزیک هسته ای , فیزیک اتمی , فیزیک حالت جامد و ازجمله در فیزیک نظری گسترش یافت طوریکه کلودر دراین باره می گوید : " حالتهای همدوس زبان طبیعی تئوری کوانتومی هستند" . حالتهای همدوس شکاف بین فیزیک کلاسیک و فیزیک کوانتومی را پرکرده و این دو را به هم پیوند می دهند و از طرفی بسادگی ایجاد می شوند و برای استفاده مطمئن هستند ( ] 17 [ و ] 6 [ ). از طرف دیگر پردازش ماشینی اطلاعات در هر شکلی بر مبنای دیجیتال و محاسبات کلاسیک انجام می شود که در طی نیمه ی دوم قرن بیستم توسعه ی علم کامپیوتر منجر به ایجاد یک روش جدید برای فهم فیزیک شد . در کامپیوترهای معمولی قوانین فیزیک کلاسیک حاکم است . فاینمن به این نتیجه رسید که اگر سیستم فیزیکی که مشخص کننده ی بیت حافظه است به اندازه ی کافی کوچک ساخته شود در اینصورت مدل کلاسیکی در مورد آن معتبر نیست وبرای محاسبات در این اندازه ها باید از مکانیک کوانتومی استفاده کرد. بنابراین کامپیوترهای کوانتومی بر اساس قوانین فیزیک کوانتومی کار می کنند که یک روش بهتر و قدرتمندتر برای پردازش اطلاعات پیش رویمان براساس فیزیک کوانتومی قرار می دهند . حافظه ی کامپیوترهای کوانتومی بر خلاف کامپیوترهای کلاسیکی هیچگاه تمام نمی شود . کارشناسان کامپیوتر دریافته اند که با استفاده از ویژگی های اطلاعات کوانتومی می توان زمان لازم برای حل مسائل عددی را از چند سال به چند دقیقه کاهش داد ] 12 [ . در این کار به بررسی حالتهای همدوس در اطلاعات کوانتومی خواهیم پرداخت بدین منظور در فصل2 مروری کوتاه راجع به گروههای su(2) و su(1,1) خواهیم داشت و به بررسی , جبر لی و نمایشهای کاهش ناپذیر یکانی این دو خواهیم پرداخت . حالتهای همدوس پرلموو که بر اساس حالتهای همدوس تعمیم یافته برروی پایه های جبر لی su(2) و su(1,1) می باشد و همچنین حالتهای همدوس su(2) و su(1,1) پرلمووی پاریته بیان شده اند . به علاوه حالتهای همدوس su(1,1) باروت – جیرادلو و حالتهای همدوس su(1,1) باروت – جیرادلوی پاریته که در بحث اطلاعات کوانتومی بیان شده در فصلهای 3 و 4 کاربرد فراوان دارند ، معرفی می گردد . در فصل3 به بررسی حالتهای همدوس پرلموو درهمتنیده در اطلاعات کوانتومی خواهیم پرداخت . در این راستا عملگر همدوس , روش بوزون شوینگر و تئوری su(2) ی شکافنده های پرتو را برای بررسی برخی موضوعات مهم در اطلاعات کوانتومی از قبیل جابجایی و کپی حالتهای همدوس نوسانگر هماهنگ، بیان می کنیم . همانگونه که پایه ی اساسی اطلاعات در تئوری اطلاعات کلاسیکی , بیت است , پایه ی اساسی اطلاعات در تئوری اطلاعات کوانتومی کیوبیت ( کوانتوم بیت ) است . یک کیوبیت که یک حالت (بردار)در فضای هیلبرت دوبعدی است که کیوبیت را بوسیله ی حالتهای همدوس نشان خواهیم داد . هنگام نمایش آنسامبلی از حالات کوانتومی یا حالات کوانتومی آمیخته بجای بردارهای حالت ما باید از عملگر چگالی استفاده کنیم به همین منظور به بررسی عملگر چگالی خواهیم پرداخت . درهمتنیدگی کوانتومی یک پدیده ی مکانیک کوانتومی بدون تفسیر کلاسیکی است که حالتهای کوانتومی سیستمهای دوتایی یا بالاتر مجبورند با ارجاع به یکدیگر توصیف شوند حتی اگر سیستمهای منفرد , جداشده باشند . درهمتنیدگی کوانتومی فهم پردازش اطلاعات کوانتومی شامل تلپورتیشن , رمزنگاری ومحاسبات کوانتومی را ممکن می سازد و حالتهای همدوس درهمتنیده بعنوان منبع در تلپورتیشن کوانتومی یا در شبکه های کوانتومی استفاده می شوند . حالتهای همدوس درهمتنیده ی دوتایی نوسانگر هماهنگ با استفاده از کپی حالتهای همدوس نوسانگر هماهنگ بیان شده است واگر حالتهای همدوس درهمتنیده ی دوتایی نوسانگر هماهنگ درمحیط خلا جاسازی شود ، درهمتنیدگی آن کاهش می یابد اما نه بطور کامل . حالتهای همدوس su(2) ی درهمتنیده وحالتهای همدوس su(1,1) درهمتنیده بیان شده اند وبه تولید حالتهای همدوس su(2) و su(1,1) درهمتنیده پرداخته ایم . در این فصل به بررسی درجه ی درهمتنیدگی حالتهای همدوس پرلموو درهمتنیده با استفاده از نامساوی بل ، آنتروپی ، ، فیدلیتی مطلوب و اندازه ی درهمتنیدگی e خواهیم پرداخت به عبارت ساده تر با استفاده از نامساوی بل ، آنتروپی ، فیدلیتی مطلوب و اندازه ی درهمتنیدگی e بررسی خواهیم کرد که برای چه دامنه هایی ، حالتهای همدوس پرلموو درهمتنیده ی بیان شده در این فصل , بیشینه ی درهمتنیدگی را دارند و برای چه دامنه هایی ، غیر درهمتنیده یا جدایی پذیر هستند . در فصل 4 به بررسی حالتهای همدوس باروت - جیرادلوی درهمتنیده در اطلاعات کوانتومی خواهیم پرداخت . درهمتنیدگی حالتهای همدوس باروت – جیرادلو برای جبر su(1,1) , حالتهای همدوس باروت – جیرادلو برای جبر کوانتومی و نوسانگر شبه هارمونیک ( pho ) را بررسی می نماییم . حالتهای همدوس su(1,1) باروت - جیرادلوی درهمتنیده بیان شده اند وبه تولید حالتهای همدوس su(1,1) باروت - جیرادلوی درهمتنیده خواهیم پرداخت . همچنین در این فصل به بررسی درجه ی درهمتنیدگی حالتهای همدوس باروت - جیرادلوی درهمتنیده با استفاده از نامساوی بل ، آنتروپی ، فیدلیتی مطلوب و اندازه ی درهمتنیدگی e خواهیم پرداخت . به بیان دیگر با استفاده از معیارهای ذکر شده بررسی خواهیم کرد که برای چه دامنه هایی حالتهای همدوس باروت - جیرادلوی درهمتنیده , بیشینه ی درهمتنیدگی را دارند و برای چه دامنه هایی غیر درهمتنیده یا جدایی پذیر هستند .

دوسیتر 1+1 یک هذلولی وار دو بعدی است که در فضای مینکوفسکی سه بعدی شناور می باشد. این رویه حالت تقلیل یافته جواب معادله اینشتین برای خلا با ثابت کیهان شناسی مثبت می باشد. در این پایان نامه قصد داریم با استفاده از حالت های همدوس و کوانتش به روش برزین، ناجابجایی عملگرهای وابسته به این فضا را مورد بررسی قرار دهیم. گروه تقارنی متناظر با دوسیتر 1+1 گروه غیر فشرده su(1,1)می باشد که فضای همگن آن شامل سه ناحیه داخل، بیرون و روی حلقه واحد می باشد. به همین ترتیب می توان نشان داد که در این مورد نمایش کاهش ناپذیر یکانی گروه بر اساس سه سری اصلی، گسسته و تکمیلی بیان می شود که بررسی حرکت ذره جرم دار روی دوسیتر 1+1 براساس سری اصلی و روی حلقه واحد بیان می شود. در این کار ما فقط بحث خود را معطوف این مورد می نمائیم. بدین منظور ابتدا حالت های همدوس این ذره را در فضای فاز مربوطه تعیین می نمائیم. نشان خواهیم داد که با استفاده از روش اربیت کیریلوو،فضای فاز مربوط به ذره جرم دار اسکالر معادل فضای کتانژانت مربوط به حلقه می باشد که این نیز یکریخت با حلقه مختلط می باشد. به بیان دیگر می بایستی حالت های همدوس روی حلقه مختلط را به دست آوریم. در این کار روش جدیدی برای تعیین این حالت ها ارائه می دهیم که آن را روش هماهنگ های کروی مختلط می نامیم. مزیت این روش آن است که قاعده مند بوده و می توان آن را برای دوسیتر واقعی 1+3 نیز به کار برد. بعد از تعیین حالت های همدوس، کوانتش مشاهده پذیرهای کلاسیکی روی دوسیتر 1+1 به روش برزین را انجام خواهیم داد و سپس با استفاده از این عملگرها ناجابجایی روی این فضا را مورد بررسی قرار می دهیم.

می دانیم که بررسی سیستم‎ هایی با ابعاد بسیار کوچک بوسیله علم مکانیک کوانتومی انجام می گیرد. از طرفی ما اعتقاد داریم زبان رسمی مکانیک کوانتومی، حالت های همدوس می باشد. لذا وارد شدن به بحث این حالت ها برای سیستم های مختلف از اهمیت خاصی برخوردار می باشد‎.‎ در این رساله ما قصد داریم حالت های همدوس را با استفاده از هسته گرمایی‏ برای فضاهای انحنا دار (حلقه حقیقی‏ ‎s‎^1‎ کره حقیقیs^2 ‎ و هذلولی وار ‎h‎^2‎‎‎) بدست آوریم. بدین منظور کار خود را از بررسی معادله ‎‎گرما (که هسته گرمایی حل بنیادی آن در فضاهای ریمانی است‏) آغاز و سپس با روش های ریاضی حالت های همدوس را از هسته گرمایی استخراج می کنیم‎. در این روش هسته گرمایی را با استفاده از ‎‎مباحث ریاضی پیچیده و بخصوص قاعده جمع پواسون تجزیه کرده و سپس حالت های همدوس را از آن استخراج می کنیم. روشی که در این رساله برای بدست آوردن حالت های همدوس بکار گرفته شده، یک روش جدید و کاملاً ابتکاری می باشد‎. ‎‎در پایان ‎‎‎با استفاده از این روش‏، بصورت مستقیم حالت های همدوس ذره جرم دار روی دوسیتر 1+1‎ را بدست می آوریم.

گروه ‎‎$ ‎sl(2, ‎c)‎ $‎‎ یکی از گروه های با بعد کم و مهم در فیزیک است. این گروه به صورت موضعی با گروه لورنتس‏، گروهی که برای بیان مباحث تقارنی طبیعت به کار می رود‏، یک ریخت است. در این نوشتار پس از بررسی چگونگی ارتباط این دو گروه‏، از مختلط کردن گروه ‎$ ‎su(2)‎ $‎ ‏، گروه ‎$ ‎sl(2, ‎c)‎ $‎‎‎‎‎ را ایجاد می نماییم. این کار با تبدیل زوایای اویلر به زوایای اویلر مختلط امکان پذیر است. سپس از طریق بررسی یک نقطه از جبر گروه ‎$ ‎sl(2, ‎c)‎ $ ‎‎ ‏، فضای فاز گروه را تشکیل می دهیم. نکته قابل تأمل آن است که این فضای فاز برای‎ ذره جرم دار‏، ‎‎معادل با فضای کتانژانت ‎$ ‎t^{‎*‎}‎‎(s^{2}) $‎ ‎‎ است و با روش مختلط سازی تیمن می توان نشان داد که با فضای کره مختلط ‎$ ‎s^{‎2‎}_{‎c‎}‎ $‎ یک ریخت می باشد. ‎در ادامه با استفاده از هسته گرمایی روی کره مختلط‏، حالتهای همدوس مربوط به گروه ‎$ ‎sl(2, ‎c)‎ $ و ‎همچنین‎ اندازه مناسب مورد نیاز برای برآورده کردن رابطه همانی این حالتها معرفی می شود.‎در انتها به روش کوانتش برزین نشان خواهیم داد که عملگرهای فوریه نقش عملگرهای نردبانی را بازی می کنند. ‎‎‎‎‎

در قرن گذشته با ارایه نسبیت خاص وبه دنبال آن نسبیت عام فیزیکدانان به اهمیت واژه موضعیت پی بردند ودر همان سالها نظریه دیگری به نام مکانیک کوانتمی تحول شگرفی در دیدگاه دانشمندان پدید آورد در این نظریه بامفاهیمی همچون در هم تنیدگی –اصل عدم قطعیت –اصل برهم نهیبرخوردمیکنیم وبطور محسوسی شاهد بهچالش کشیدن مکانیک کوانتمی ونظریه نسبیت خاص هستیم اولین برخورد این دو نظریه درمقالهepr مطرح گردید ودر ادامه نامساوی بل این قضیه رایک گام پیش برد وطرح آزمایشی برای بررسی عدم سازگاری بین مکانیک کوانتمی ومدلهای متغییر پنهان ارایه داد ونتیجه نامساوی بل این است که موضعیت وواقع گرایی باید کنار گذاشته شود. در این رساله ما ابتدا نامساوی بل وقضیه eprرابررسی کرده ودر ادامه موضعیت به گونه ای خاص کنار گذاشته میشود وآزمایشهای اسپکت رابررسی میکنیم وچگونگی تولید جفت فوتون در هم تنیده وسپس آزمایشهای اسپکت با یک کانال خروجی و دو کانال خروجی وسپس جفت فوتونهای قطبیده خطی همبسته) هم تنیده (که باآنالیزور متغیر زمان اندازه گیری شده وآنالیزور در هر دستگاه با یک سویچ نوری- اپتیکی را بررسی می کنیم. از دو قطبش گر خطیاستفاده شده که با این سویچ عمل می کند ودر یک فرکانس mhz50 هر آنالیزور با مقداری جهشی بین دوجهت در یک زمان کوتاه که آنرا با زمان عبور فوتون، مقایسه می کند که نتیجه می شود که پیش بینی های مکانیک کوانتمی درست است ونامساوی بل تا 5انحراف معیار نادرست است و زمانی که دو فوتون درهم تنیده آلیس وباب باهم، جهت اسپینها عوض می شود بسیار بیشتر از سرعت نور است. واژه های کلیدی عبارتند درهم تنیدگی ،epr ، قطبشگر ، کلید صوتی اپتیکی ، نامساوی بل ، پارامتر مکمل ، موضوعیت.

در دنیای فیزیکی هر کمیتی که نمایش متغیری در فضا یا زمان داشته باشد یک سیگنال است که میتواند اطلاعاتی در مورد وضعیت سیستم فیزیکی بدهد و یا حامل پیام بین ناظرین باشد. اما برای استخراج اطلاعات از سیگنال ها و تشخیص ویژگی های مهم آنها یک تکنیک پردازش سیگنال مناسب, مورد نیاز است. سنتی ترین ابزار آنالیز سیگنال‎,‎ تبدیل فوریه است که بازنمایشی از سیگنال در دامنه فرکانس ارائه میدهد. در این پایان نامه ابتدا تبدیل فوریه را مطرح میکنیم و پس از آن کاربرد تبدیل فوریه در حل معادلات دیفرانسیل و فیلترینگ سیگنال را بررسی خواهیم کرد. هر چند که تبدیل فوریه برای سیگنالهای ایستا ابزاری مناسب است, اما بیشتر سیگنالهای موجود در طبیعت سیگنالهای غیرایستا هستند. در این نوع سیگنالها فرکانس با زمان تغییر میکند و چون تبدیل فوریه مشخص نمیکند فرکانسها در چه زمانهایی رخ داده اند,‎‎می بایستی از تکنیک جدیدتری برای آنالیز سیگنالهای غیرایستا استفاده شود. ‎‎یک راه حل جایگزین برای آنالیز فوریه استفاده از تبدیل فوریه زمان کوتاه است. در این تبدیل سیگنال توسط یک تابع پنجره ای با پهنای خاص, که بر روی محور زمان حرکت داده میشود,‎ ‎محدود‎ شده و تبدیل فوریه آن گرفته میشود. در نتیجه تبدیل فوریه ‎‎زمان کوتاه, بازنمایشی از سیگنال ‎‎را در دامنه زمان فرکانس ارائه میدهد. ‎‎یکی از کاربردهای جالب تبدیل فوریه زمان کوتاه استفاده از آن برای آنالیز سیگنالهای صوتی است که در این پایان نامه از آن برای آنالیز سبکهای مختلف موسیقی استفاده خواهیم کرد. تبدیل فوریه ی ‎‎زمان کوتاه, مقیاسی را برای عرض تابع پنجره ای معرفی می کند و سیگنال را از نقطه نظر این مقیاس آنالیز میکند‎‎. اگر سیگنال جزییات فرکانسی مهمی را خارج از آن مقیاس داشته باشد‎,‎ در آنالیز آن با استفاده از این تبدیل دچار‎ مشکل خواهیم شد. برای رفع این مشکل تبدیل جدیدی را معرفی خواهیم کرد که در آن از مقیاس متغیر استفاده شده است. تبدیل جدید که تبدیل موجک نام دارد سیگنال را از دامنه زمان به دامنه زمان-مقیاس,‎ ‎تبدیل میکند. ‎‎ ‎در تبدیل موجک از یک تابع موج مانند موضعی استفاده میشود که موجک مادر نام دارد. بسته به نوع سیگنال‎,‎ استفاده از موجکهای مادر مناسبتر‎‎ میتواند نتیجه بهتری را در بر داشته باشد. بنابراین تعدادی از موجکهای مهم و پرکاربرد را معرفی خواهیم کرد.‎ در‎‎ انتهای پایان نامه تعدادی از کاربردهای تبدیل موجک در پردازش سیگنال را بررسی خواهیم کرد‎,‎ و نهایتا با استفاده از آن سیگنالهای الکتروآنسفالوگرام را مورد تحلیل قرار خواهیم داد.

در این رساله ابتدا با توجه به اهمیت و کاربرد بسیاری از مفاهیم ریاضی، به بررسی اصول و مقدمات فضای هیلبرت می پردازیم. از آن جایی که فضای هیلبرت متناهی و نامتناهی در مکانیک کوانتومی دارای کاربرد گسترده ای می باشد، ورود ریاضیات در حوزه کوانتوم به طور کامل صورت نگرفته و دارای نواقص و اشکالاتی است. برای مثال در بررسی خودالحاقی بودن عملگرها در محدوده معین‏ مانند چاه پتانسیل نامتناهی شرط خودالحاقی بودن با تناقضاتی روبه رو می شود که ریشه در بررسی عمیق تر جنبه ریاضی موضوع‏‏، تعریف عملگرهای مورد نیاز و تعیین دامنه مشخص برای آن ها‎ دارد. از جمله عملگرهای کاربردی و مهم در مکانیک کوانتومی عملگر تکانه می باشد که به خاطر تعریفش به صورت یک عملگر دیفرانسیلی‏، عملگری بی کران است. به منظور رهایی از مشکل خودالحاقی بودن در محدوده معین، با توجه به مبحث اندیس های کمی وان نیومون‏، توسیع خودالحاقی برای عملگر تکانه درنظر می گیریم. در این راستا از مبحث حالت های همدوس استفاده می نماییم. چون حالت های همدوس بهترین حالت ها برای بیان مکانیک کوانتومی هستند‏، عملگرهای تعریف شده توسط این حالت ها در محدوده معینی مانند چاه پتانسیل نامتناهی واگرا نشده و خوش تعریفند. در نتیجه می توان از شگرد حالت های همدوس برای بررسی دقیق تر ذره در چاه پتانسیل استفاده کرد. با توجه به توصیف حرکت ذره در چاه پتانسیل به کمک حرکت ذره روی حلقه، ابتدا به مطالعه کوانتش حالت های همدوس ذره روی حلقه پرداخته و سپس ‎با‎ در نظر گرفتن فضای هیلبرت مناسب‏، حالت های همدوس ذره در چاه پتانسیل نامتناهی را معرفی می کنیم. این حالت ها باید دارای سه شرط شناخته شده نرمالیزه بودن‏، پیوسته بودن‏ و برقراری رابطه همانی باشند. سپس به کوانتش مشاهده پذیرهای پرکاربردی مانند موقعیت‏، تکانه و انرژی می پردازیم و این مشاهده پذیرها را در حالت حدی تعیین می کنیم. در نهایت در این پایان نامه اصل عدم قطعیت بررسی می شود.