روابط بین یک مجموعه ی خودوارون که یک دوتایی (p,i) است به طوری که pیک مجموعه ی ناتهی و i یک زیر مجموعه از جایگشت های خودوارون p است را با گراف ها بیان می کنیم. و رابطه ای که ساختارهای انعکاسی و مجموعه های خودوارون نیمه منظم با هم دارند را بررسی می کنیم. نشان می دهیم متناظر با یک سیستم یه تایی اشتاینر یک شبه گروه نیمه متقارن خودتوان وجود دارد و برعکس از هر شبه گروه نیمه متقارن خودتوان می توان با تعریف مناسب یک عمل دوتایی یک سیستم سه تایی اشتاینر به دست آورد. هم چنین به رابطه ای که یک سیستم سه تایی اشتاینر با تجزیه یک گراف دارد می پردازیم. در این پایان نامه یک گراف دوبخشی را با کمک یک نگاشت دوسویی مختصاتی می کنیم و رابطه ی آن را با دورها و مجموعه های خودوارون بیان می کنیم. در این پایان نامه مفاهیمی چون سیستم سه تایی آفین، فضای آفین تباهیده و ففضای آفین بیان می شوند ورابطه آنها را بررسی می کنیم.

والتر بلاشکه در سال 1928 در کنگره ی ریاضی بولونیا، نظر هندسه دانان را به شبکه ی خم های واقع بر یک رویه جلب نمود. هدف بلاشکه بیان این شبکه ها به شکل یک ساختار هندسه ترکیبی در حوزه ی مبانی هندسه بود. از آن به بعد ریاضی دان هایی مانند رایدمایستر و تامسن به کار در این ضمینه پرداختند. آن ها نشان دادند که برای نمایش هندسی دورها و گروه ها 3-شبکه ها مناسب هستند و توانستند بوسیله ی قضایای بستاری در مورد 3-شبکه ها روش هایی را برای رده بندی دورها ارایه دهند. در ادامه ی تحقیق در مورد ساختارهای مرتبط با شبکه ها هلموت کارتسل به همراه شاگردانش در اواخر قرن بیستم مفهوم ساختارهای حلقوی را بیان کردند. یکی از اهداف مهم در مطالعه ی این ساختارها رده بندی گروه های جایگشتی اکیداً 2 و 3-انتقالی است. آن ها توانشتند بر اساس عمل گروه خودریختی این ساختارها روی نقاط یک رده بندی برای ساختارهای حلقوی بیان کنند. در اوایل قرن بیست و یکم کارتسل جهت مطالعه ی دقیق تر گروه های جایگشتی اکیداً 1، 2 و 3-انتقالی، ساختارهای حلقوی را به ساختارهای حلقوی متقارن و متقارن مضاعف محدود کرد. در فصل دوم این پایان نامه این ساختارها را به طور کامل بررسی می کنیم. در فصل سوم ابتدا گروه های خودریختی روی ساختارهای حلقوی را یادآوری می کنیم. سپس این تعریف ها را به ساختارهای حلقوی متقارن و متقارن مضاعف تعمیم می دهیم. در ادامه ی بحث قضایای اساسی در رابطه با این ساختارها بیان می شوند. در فصل چهارم این پایان نامه مثال هایی از 1، 2 و 3-ساختارهای متقارن مضاعف که به ترتیب وب ها، 2-ساختارهای متقارن مضاعف و ساختارهای هذلولوی متقارن مضاعف هستند بیان و قضایای ذکر شده در فصل سوم روی این به کار برده می شوند. سپس تقارن ها روی وب های متقارن بررسی می شوند. در قسمت پایانی این فصل مفهوم 2-ساختار متقارن نقطه ای بیان و رابطه ی این ساختارها با k-دورها بیان می گردد.

تجزیه چندجمله ای ها یکی از ابزارهای قوی در هندسه ی جبری و جبر محاسباتی است. کاربردهای این مفهوم در ریاضیات و صنعت (به ویزه در زمینه ی حل دستگاه معادلات چندجمله ای) اهمیت مطالعه ی این موضوع را بیشتر می کند. ارائه ی روشهایی برای محاسبه تجزیه یک چندجمله ای روی حلقه چندجمله ای ها و میدان ها همواره مورد توجه ریاضیدانان بوده است. در این پایان نامه روش برلکمپ را برای تجزیه یک چندجمله ای تک متغیره روی میدانهای متناهی ارائه می کنیم. این الگوریتم، اولین الگوریتم کاربردی در زمینه تجزیه چندجمله ای ها روی میدانهای متناهی است که ئایه ی بسیاری از الگوریتم هایی است که تاکنون برای تجزیه چندجملهایها ارائه شئه است. سئس با استفاده از این روش به محاسبه تجزیه ی چندجمله ایهای تک متغیره و چندمتغیره با ضرایب صحیح و همچنین با ضرایب در توسیع متناهی از یک میدان میپردازیم. در پایان کاربرد تجزیه چندجمله ایها در تجزیه اولیه ایده الها را مطالعه می کنیم. برای این منظور روش مونیکو و گائو و همکارانش را برای محاسبه ی تجزیه اولیه یک ایده ال چندجمله ای صفر بعدی روی میدانهای به ترتیب نامتناهی و متناهی ارائه می کنیم.

چکیده: یک مجموعه ی جایگشتی (p,a) را متقارن می نامیم هرگاه برای هر a,b متعلق به p، دقیقا یک جایگشت در a وجود داشته باشد به قسمی که a و b را به هم تصویر کند. در این پایان نامه دو روش برای به دست آوردن یک ساختار جبری از یک مجموعه ی جایگشتی متقارن ارائه می شود. در هر یک از این دو روش شرایطی را روی مجموعه ی جایگشتی مطرح می کنیم که این ساختارها یک دور یا چپ-دور می شوند و حتی در یکی از آنها یک دور جابجایی خواهیم داشت. در ادامه ی بحث به بررسی روابط بین عمل این دورها می پردازیم. در پایان برخی از کاربردهای این ساختارها را در هندسه مطلق بررسی می کنیم. در این مجموعه ی جایگشتی متقارن مورد نظر مجموعه ی خودوارون منظم از بازتاب های نقطه ای در هندسه ی مطلق است.

قانون کسینوس های هذلولوی یکی از نتایج هندسه با قدمتی بیش از یک قرن است. ریشه ی اصلی این قانون جمع نسبیتی سرعت های مجاز است که در مقاله ی معروف آلبرت اینشتین در زمینه ی نظریه ی نسبیت(1905)مطرح شد. این مطلب به وسیله ی زومرفیلد در سال 1909 بر حسب توابع مثلثاتی هذلولوی به عنوان نتیجه ای از قانون جمع سرعت های مجاز(کمتر از سرعت نور) بیان شد. پس از وی وارچاک در سال 1912 تعبیر نتایج زومرفیلد را برای مدل کلاسیک هندسه هذلولوی(مدل بلترامی-کلاین)بیان کرد. این تعبیر نخستین مطلب در مورد رابطه ی هندسه ی هذلولوی و نسبیت اینشتین است. در این پایان نامه بر اساس کارهای دو ریاضیدان برجسته ی معاصر، پروفسور هلموت کارتسل و پرفسور آبراهام اونگار با روشی نو چشم اندازهای جدیدی از هندسه ی هذلولوی به کمک جایرو فضای برداری گشوده می شود. این رهیافت شباهت های عمیقی با رهیافت معمولی فضای برداری در هندسه ی اقلیدسی دارد. این شباهت ها به ما امکان می دهد که دانش مربوط به هندسه ی اقلیدسی و فیزیک کلاسیک نیوتنی وابسته به آن را به شکل شهودی به هندسه ی هذلولوی و فیزیک نسبیتی مربوط کنیم. بردارهای جایرو که همان بردارهای سرعت نسبیتی اینشتین هستند، بردارهای هذلولوی به حساب می آیند و قانون جمع جایرو همان قانون جمع سرعت نسبیتی خواهد بود. بردارهای هذلولوی(جایرو بردار) به عنوان کلاس های هم ارزی از پاره خط های جهت دار هذلولوی مطرح می شوند که جمع آن ها بر اساس قانون جمع متوازی الاضلاع هذلولوی به دست می آید، همان گونه که بردارهای معمولی در فضای اقلیدسی کلاس های هم ارزی از پاره خط های جهت دار هستند که بر اساس قانون متوازی الاضلاع اقلیدسی جمع می شوند.

چکیده یک ساختار حلقوی (p;g1;g2; k) 2- ساختار نامیده می شود هرگاه p, k ) ) یک فضای وقوعی باشد. ساختار حلقوی (p;g1;g2; k) متقارن نامید ه می شود هر گاه برای هر دو حلقه ی a و b عضو k، بازتاب خطی ? از p به p با ضابطه ی (p) = [[p]2 ? a]1 ? [[p]1 ? a]2 ? حلقه ی b را به a تصویر کند. در این پایان نامه 2-ساختارهای متقارن بر اساس اندازه ی مجموعه ی (p ? k) برای هر زوج ثابت (p,k) با شرط p??kبه سه رده ی زیر تقسیم می شوند: (i) یک زوج (p, k) ?? p × k وجود دارد به قسمی که 1 <|((p ? k |. (ii) یک زوج (p, k) ?? p × k وجود دارد به قسمی که 1 = ((p ? k. (iii) یک زوج (p, k) ?? p × k وجود دارد به قسمی که 1= |((p ? k |. همچنین نشان داده می شود که هر ‎2- ساختار متقارن (p;g1;g2; k) از رده ی iii)) متقارن نقطه ای است؛ یعنی هر دو زنجیر متعامد در k دقیقاً در یک نقطه اشتراک دارند. اگر := { آن گاه زوج (p, یک مجموعه ی منظم خود وارون پایا است. بنا بر این (p,+) دور به دست آمده ‏در نقطه ی o ?? p یک k- دور 2- تقسیم پذیر یکتا است. در فصل چهارم مثال هایی از ‎2- ساختار های متقارن نقطه ای را مطرح می کنیم.

نخستسن بار صفحه های لاگر به عنوان هندسه ی خطوط و دایره های جهت دار در صفحه ی اقلیدسی مطرح شدند. در صفحه ی اقلیدسی یک دایره هم به عنوان مجموعه ای از نقاط و هم به عنوان مجموعه ای از خطوط مماس بر آن در نظر گرفت. با توجه به این که خط و دایره صفحه را به زیر مجموعه ی مجزا تقسیم می کنند، برای دایره ها و خطوط صفحه ی اقلیدسی می توان دو جهت مختلف در نظر گرفت. اگر خطوط جهت دار گذرنده را به عنوان نقاط صفحه ی لاگر در نظر بگیریم همراه با دایره های جهت دار و بافه های خط های جهت دار گذرنده از یک نقطه ی دلخواه نخستین مدل صفحه ی لاگر به دست می آید. این مدل یک ویژگی اساسی دارد که به آن ویژگی میکلی می گویند. از چشم انداز هندسی صفحه های لاگر از سال 1963 به وسیله ی بنز و مویرر شروع شد. یکی از مباحث مهم در هندسه، مساله رده بندی است. در مورد صفحات تصویری یک رده بندی کلاسیک منسوب به لنز و بارلوتی وجود دارد. صفحه های لاگر حالت خاصی از صفحه های موسوم به صفحه های بنز هستند. علاوه بر صفحات لاگر صفحات موبیوس و مینکوفسکی نیز جزء صفحات بنز محسوب می شوند. می توان به کمک رده بندی لنتز بارلوتی برای صفحه های بنز یک رده بندی مشابه ارائه کرد. مهم ترین موضوع مورد نظر ما صفحه های لاگر تخت و مطالعه یک رده از آن ها بر اساس رده بندی کلاین ویلینگ هوفر است. هم چنین در این پایان نامه یک شرط وجودی برای صفحه های لاگر تخت از رده ی iii.b ارائه می شود و برای زیر رده های iii.b.1 و iii.b.3 مثال هایی بیان خواهد شد.

فرض کنیم ‎$m$‎ یک عدد طبیعی، ‎$ mathbb{z}_{m} $‎ حلقه ی رده های مانده ای به پیمانه ی ‎$ m $‎ و ‎$ u(mathbb{z}_{m}) $‎ گروه اعضای وارون پذیر آن باشد. برای عدد صحیح مثبت ‎$ u$‎، ‎$mathbb{ z}_{m}^{(2 u)} $‎ را مجموعه ی همه ی ‎$ 2 u $-‎تایی های ‎$ (a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ) $‎ از اعضای ‎$mathbb{ z}_{m} $‎ درنظر می گیریم به طوری که ‎$a_{1}mathbb{z}_{m}+a_{2}mathbb{z}_{m}+cdots‎ ‎+a_{2 u}mathbb{z}_{m}=mathbb{z}_{m}$.‎ رابطه ی هم ارزی ‎$ sim $‎ روی ‎$ mathbb{z}_{m}^{(2 u)} $‎ را به صورت زیر تعریف می کنیم ‎[ (a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ) sim (b_{1}ldots‎ ,‎b_{2 u} ) longleftrightarrow exists lambdain u(mathbb{z}_{m})‎ , ‎ ‎ ‎(a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ) = lambda (b_{1},ldots‎ ,‎b_{2 u}‎ ) .‎]‎ رده ی هم ارزی شامل ‎$ (a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u}) $‎ را با ‎$ [a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u} ]$‎ و مجموعه همه ی رده های هم ارزی را با ‎$widetilde{mathbb{z}}_{m}^{(2 u)} $‎ نشان می دهیم. فرض کنیم ‎egin{equation*}‎ ‎mathbf{k^{(2 u)}} = left(‎ ‎egin{array}{cc}‎ ‎0 & i^{( u)} ‎ -‎i^{( u)} & 0‎ ‎end{array} ight)‎, ‎end{equation*}‎ که در آن ‎$i^{( u)}$‎ ماتریس همانی از مرتبه ی ‎$ u$‎ است. یادآوری می کنیم که گروه سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{2 u}(m)$‎، پیمانه ی ‎$ m $‎ و از درجه ‎$2 u$‎ نسبت به ماتریس ‎$k^{(2 u)}$‎ مشتمل بر همه ی ماتریس های ‎$2 u imes 2 u$‎ مانند ‎$t$‎ روی ‎$mathbb{z}_m$‎ است به طوری که ‎$tk^{(2 u)}t^{t}=k^{(2 u)}$‎، که در آن ‎$t^t$‎ ترانهاده ی ماتریس ‎$t$‎ است. گراف سیمپلکتیک به پیمانه ی ‎$m$‎ که با ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ نشان می دهیم، گرافی است که رأس های آن مجموعه ی ‎$widetilde{mathbb{z}}_{m}^{(2 u)} $‎ است و دو رأس ‎$[a_{1},ldots‎ ,‎a_{2 u}]$‎ و ‎$[b_{1},ldots‎, ‎b_{2 u}]$‎ مجاورند اگر و تنها اگر ‎$[a_{1},ldots,a_{2 u}]k^{(2 u)}[b_{1},ldots,b_{2 u}]^{t}in u(mathbb{z}_{m})$‎. در این پایان نامه گراف سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ به پیمانه ی ‎$m$‎ را در دو حالت ‎$m=pq$‎ و ‎$m=p^{n}$‎، که در آن ‎$p$‎ و ‎$q$‎ دو عدد اول متمایز و ‎$n$‎ عدد صحیح است، بررسی می کنیم. نشان می دهیم گراف سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ ترایای کمانی است، به ویژه گروه سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{2 u}(m)$‎ به صورت ترایا روی مجموعه ی رأس های گراف ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ با تعریف ‎egin{eqnarray*}‎ ‎&&{ m sp}^{(2 u )}_m imes { m sp}_{2 u} (m)longrightarrow { m sp}^{(2 u)}_m ‎ ‎&& ([x_1‎, ‎x_2‎, ‎ldots‎ , ‎x_{2 u} ]‎, ‎t) mapsto (x_1‎, ‎x_2,ldots‎ , ‎x_{2 u} )t‎ ‎end{eqnarray*}‎ عمل می کند. در ادامه به تعیین زیرمدارهای گروه سیمپلکتیک ‎${ m sp}_{2 u}(m)$‎ روی گراف ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ و تعداد رأس های ‎${ m sp}_{m}^{(2 u)}$‎ می پردازیم.

فرض کنید g یک گروه متناهی باشد. گراف مولد (gamma(g گرافی با مجموعه رئوس عناصر غیر همانی g است که در آن دو راس a,b مجاور هستند اگر و تنها اگر زیرگروه تولید شده توسط آنها برابر g باشد. در این سخنرانی گراف مولد یک گروه را بررسی می کنیم به ویژه گراف مولد حاصل ضرب پیچشی s توسط { c-{m را بررسی می کنیم که در آن s گروه ساده متناهی و {c-{m گروه دوری از مرتبه m است. عدد صحیح مثبت m را طوری تعیین می کنیم به طوری که (gamma(g شامل یک دور همیلتونی باشد

در این پایان نامه ابتدا شبکه ، حلقه ، خودریختی ، ساختارحلقوی و... معرفی می شوند و سپس به بررسی خواص خودریختی های ساختارهای حلقوی بیشین پرداخته می شود.