بررسی گروه های ساده از دیدگاه جبر ترکیبیاتی موضوع جالبی می باشد و این موضوع توسط اسکیم های شرکت پذیر گروه های ساده مورد مطالعه قرار گرفته است. این موضوع برای کوچکترین گروه ساده مورد مطالعه قرار گرفت و ثابت شد که اگر ماتریس های ساختاری اسکیم شرکت پذیر این گروه برابر با ماتریس های ساختاری اسکیم شرکت پذیر مجموعه ای باشد آنگاه این گروه با مجموعه یکریخت می گردد. همچنین این موضوع برای گروه ساده (7,psl(2 بررسی قرار گرفت و ثابت شد که این گروه با مجموعه یکریخت می باشد. اما برای سایر گروه های ساده بررسی هایی انجام نشده است.

فرض کنیم gروی xبصورت انتقالی عمل کند بطوری که تمام زیردرجات ان متناهی باشد گراف مقسوم علیه مشترک از (g,x)رامورد مطالعه قرارداده وعمل gروی xاسکیم شرکت پذیر(x,s)را بوجود می اورد ....

مطالعه ی ساختارهای جبری با استفاده از ویژگیهای گراف، موضوع پژوهشی جالبی در چند دهه ی گذشته بوده است. در این سالها مقالات زیادی چاپ شده است که در آن ها به یک گروه یا یک حلقه (یا در حالت کلی یک ساختار جبری ) یک گراف وابسته شده است. یکی از گرافهای معروف وابسته به یک گروه عبارت است از گراف ناجابجایی که به این صورت تعریف می شود: رئوس این گراف عبارتند از اعضای مجموعه ی اعضای غیرمرکزی و دو رأس مانند x و y به هم وصل می شوند چنانچه x و y با هم جابجا نشوند. بدیهی است که چنانچه g یک گروه آبلی باشد، آنگاه گراف ناجابجایی وابسته به آن تعریف نمی شود. همچنین گراف اول وابسته به یک گروه نیز به این صورت تعریف می شود: رئوس این گراف عبارتند از مقسوم علیه های اول مرتبه ی g و دو رأس مانند p و q به هم وصل می شوند چنانچه g عضوی از مرتبه ی pq داشته باشد. در سال 2006 حدسی به صورت زیر توسط آقایان اکبری، میمنی و عبداللهی ارائه شد: فرض کنیم s یک گروه ساده و g یک گروه دلخواه باشد، اگر گراف های ناجابجایی وابسته به گروههای g و s با هم یکریخت باشد، آنگاه g و s با هم یکریختند. تاکنون اثباتی برای این حدس و یا مثالی در جهت رد این حدس ارائه نشده است. اما این حدس برای همه ی گروههای ساده با گراف اول ناهمبند ثابت شده است. آنچه در این پایان نامه انجام شده، بررسی درست بودن این حدس برای بعضی از گروههای ساده ی متناهی بوده است.

به گروه متناهی g یک گراف ساده به گراف اول وابسته می شود که آن را با ?(g) یا gk(g) نشان می دهیم. در این گراف مجموعه رئوس عبارت است از ?(g) یعنی مجموعه اعداد اول شمارنده |g| و دو راس مانند p و q به هم وصلند هرگاه گروه g عضوی از مرتبه pq داشته باشد در این حالت می نویسیم p~q . فرض می کنیم |g|=p_1^(n_1 ) p_2^(n_2 )…p_k^(n_k ) که در آن p_1< p_2<?<p_k اعداد اول و k یک عدد صحیح مثبت است. در این صورت k تایی مرتب d(g)=(deg?(p_1 ),deg?(p_2 ),…,deg?(p_k ) ) را که در آن deg?(p_i) درجه راس p_i را در گراف اول gk(g) نشان می دهد الگوی درجه g می نامیم. گروه متناهی m را k-بار od –سرشت پذیر گوییم هرگاه دقیقا k گروه غیر یکریخت متناهی موجود باشد که دارای مرتبه و الگوی درجه یکسان با m باشند. بخصوص گروهی را که 1-بار od –سرشت پذیر است به طور خلاصه od –سرشت پذیر گوییم. در این پایان نامه به od –سرشت پذیری گروه های تقریبا وابسته به l_2 (49) می پردازیم. سپس نشان خواهیم داد که گروه های متناوب a_m و a_(m+1) برای m=27,35,51,57,65,77,87,93,95 ، od –سرشت پذیر هستند. همچنین نشان می دهیم برای اعداد m=7,13,19,23,31,37,43,47,53,61,67,73,79,83,89,97 گروه های متقارن s_(m+2) 3-بار od –سرشت پذیر هستند. در واقع با اثبات این مطالب قضیه زیر در خصوص گروه های متناوب و متقارن نتیجه می شود: فرض کنیم m یک عدد صحیح طبیعی باشد به طوری که m?100 در این صورت یکی از گزاره های زیر برقرار است: (الف) اگر 10?m آن گاه گروه های متناوب a_m od –سرشت پذیر هستند، در حالی که گروه های متقارنs_m یا od –سرشت پذیر ند یا 3-بار od –سرشت پذیر ند، (ب) گروه متناوب a_10، 2-بار od –سرشت پذیر است، (ج) گروه متقارن s_10، 8-بار od –سرشت پذیر است. این قضیه مطالعه od –سرشت پذیر ی گروه های متناوب و متقارن از درجه m?100 را کامل می کند.

در این پایان نامه نخست به معرفی و مطالعهء ماتریس هایی خواهیم پرداخت که درایه های آنها در روابط خاصی صدق می کنند. سپس طی بیان و اثبات یک سری از قضایا، طریقهء محاسبهء دترمینان آنها را ارائه خواهیم نمود. بخصوص مطالعهء ماتریس هایی را مد نظر قرار خواهیم داد که دنبالهء متشکل از کهادهای اصلی آنها دنباله های معروفی چون دنبالهء فیبوناچی، لوکاس، جیکوبسال و پل خواهند بود. همچنین از جمله ماتریس های جالبی که در این پایان نامه مورد بررسی قرار خواهند گرفت، ماتریس هایی موسوم به ماتریس پیچش می باشد، در واقع هر ستون این ماتریس ها از پیچش دنبالهء ستون ماقبلش با دنباله ای دلخواه حاصل می شود. در پایان نیز به بررسی دنباله ها و ماتریس هایی می پردازیم که با عمل های دوتایی خاصی تشکیل یک گروه می دهند، نظیر گروه ری اوردن و گروه اپل.

مجموعه مرتبه تمام عناصر یک گروه متناهی مانند g را طیف آن می نامیم. می گوییم گروه متناهی g توسط طیف خود قابل شناسایی است چنانچه برای هر گروه متناهی مانند h از برابری طیف h با طیف g یکریختی گروههای h و g نتیجه شود. در این پایان نامه نشان خواهیم داد گروههای ساده 2d(2^m+1,3)2 توسط طیف خود قابل شناسایی اند.

به گروه متناهی g یک گراف ساده موسوم به گراف اول وابسته می شود که آن رابا ?(g می دهیم. در این گراف مجموعه رئوس عبارت است از ?(g یعنی مجموعه اعداد اول شمارنده |g| و دو رأس p و q به هم وصلند هرگاه گروه g عضوی از مرتبه pq داشته باشد. گروه معین g را r-بار شناسایی پذیر به وسیله گراف اول گوییم هرگاه دقیقا r گروه غیریکریخت مانند h وجود داشته باشد به طوری که ?(h)=?(g . در حالت خاص وقتی یک گروه توسط گراف اول 1-بار شناسایی پذیر است به جهت سادگی آن گروه را شناسایی پذیر به وسیله گراف اول می نامیم در این پایان نامه ابتدا نشان خواهیم داد گروههای ساده 2g_2(q به ازای q=3^{2m+1}>3 و نیز گروههای ساده j_4 و m توسط گراف اول شناسایی پذیرند. همچنین نشان خواهیم داد که گروه ساده تصویری l_3(7) توسط گراف اول 2-بار شناسایی پذیر است. در قسمت دوم این پایان نامه توجهمان را معطوف شناسایی پذیری برخی از گروههای ساده متناهی توسط مرتبه های مولفه ای همبند گراف اول آنها نموده ایم که در ادامه به آن اشاره می کنیم. برای یک عدد طبیعی مانند n مجموعه شمارنده های اول n را با ?(n) نشان می دهیم. اگر(g|=m_1 m_2…m_s(g| که در آن s(g) تعداد مولفه های همبند گراف اول g را نشان می دهدو ?(m_i )=?_i آنگاه m_i را i-امین مولفه گراف اول ?(g)می نامیم برای گروه متناهی g قرار می دهیم oc(g):={m_1,m_2,…,m_(s(g)){ و آن را مجموعه مرتبه های مولفه ای همبند g می نامیم . برای گروه متناهی g تعداد گروههای غیریکریخت با مجموعه مرتبه های مولفه ای همبند مانند oc(g)را با نماد k(oc(g) نشان می دهیم در این پایان نامه همچنین نشان خواهیم داد که به ازای n=2^m?4 اگر q توانی از یک عدد فرد باشدآنگاه k(oc(c_n (q) ) )=k(oc(b_n (q) ) )=2 و اگر q توانی از 2 باشد آنگاه k(oc(c_n (q) ) )=1.

در این پایان نامه اثبات می کنیم تمام گروههای ساده ای که مرتبه آنها دقیقا توسط چهار عدد اول عاد می شود، بجز گروه ساده a_10 ،توسط مرتبه و الگوی درجه آنها سرشت پذیرند.و این نوع سرشت پذیری را od-سرشت پذیری می نامیم. بعلاوه od-سرشت پذیری گروه ساده (u-3(5 و گروههای وابسته به آن را مد نظر قرار می دهیم و اثبات میکنیم (u-3(5 و 2.(u-3(5 سرشت پذیر هستند در حالی که 3.( u-3(5سه مرتبه od-سرشت پذیر میباشد و در انتها اثبات میکنیم u-3(5). s_3سرشت پذیر میباشد.

در این پایان نامه پیکربندی های مرتبط از نوع (4;2,2)متناظر با زوج های مکمل از 2-طرح ها با 2 یا 3 اندازه های اشتراکی را بررسی می کنیم و روابط را روی پارامترهای چنین طرح هایی می سازیم. با استفاده از این روابط نشان می دهیم طرح ویت ( s(5,8,24 با توجه به اسکیم شرکت پذیر روی بلوک های آن تعیین می شود سپس خانواده ای از طرح ها بر مبنای دستگاهی از طرح های متقارن مرتبط را تعریف می کنیم.

ابتدا ارتباط بین کلاس محدودی از شبه حلقه های مسطح و طرح های بلوکی bibd را نشان می دهیم.سپس به بررسی مفهوم شبه حلقه و شبه حلقه های مسطح می پردازیم.همچنین طرح های بلوکی bibdو خاصیت دایره وار بودن آنها را همراه با ساخت مثال هایی بررسی می کنیم.در ادامه با پرداختن به ارتباط شبه حلقه های مسطح و شبه حلقه های ضعیف تقسیم پذیر، روشی برای ساخت طرح های بلوکی pbhbd با استفاده از کلاس خاصی از شبه حلقه های ضعیف تقسیم پذیر، ارائه می گردد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه هدف اصلی ما مطالعه گراف اول وابسته به یک گروه متناهی است.این گراف به صورت زیر تعریف می شود. فرض می کنیم g یک گروه متناهی باشد.گراف اول وابسته به گروه g گرافی است ساده که مجموعه رأسهای آن را مجموعه متشکل از اعداد اولی تشکیل می دهد که مرتبه g را عاد می کنند و دو رأس مانند r و s توسط یک یال به هم وصل می شوند اگر و تنها اگر g شامل عضوی با مرتبه rs باشد. بررسی های انجام شده روی این گراف نشان می دهند که اگر g یک گروه ساده متناهی باشد آنگاه تعداد مولفه های همبندی برای این گراف حداکثر برابر 6 می باشد و آن مولفه های همبندی که فاقد رأس 2 باشند در واقع خوشه هایی از این گراف می باشند. از طرف دیگر مسأله یافتن هم خوشه ها در این گراف از جمله مسایل جالب و حایز اهمیت می باشد. در حقیقت نشان داده می شود وقتی گراف اول وابسته به گروه g دارای هم خوشه ای با حداقل 3 رأس باشد آنگاه گروه g یک گروه حلناپذیر است.

در این پاین نامه نشان می دهیم هر c-جبر امورفیک توسط درجات c-جبر و اعداد با تقریب یکریختی به دست می آید و هر c-جبر امورفیک با ثابت های ساختاری گویا یک فیوژن از c-جبر امورفیک همگن می باشد. همین طور کاربردی از این نوع جبرها را برای اسکیم شرکت پذیر مورد مطالعه قرار می دهیم. در حالت خاص رده بندی اعداد اشتراکی ایوانوف برای اسکیم های شرکت پذیر امورفیک با استفاده از c-جبرهای امورفیک به دست آورده می شود.

جبر مرتبط w را یک جبر مرتبط با طیف ساده می نامند چنانچه ماتریس a درw یافت شودبه طوری که درجه تکرار هر مقدار ویژه آن 1 باشد. در این پایان نامه خواصی از جبرهای مرتبط با طیف ساده را مورد بررسی قرار می دهیم. بخصوص نشان خواهیم داد w یک جبر مرتبط با طیف ساده است اگر و فقط اگر اسکیم وابسته به w منظم و جابه جایی باشد.

دراین پایان نامه به بررسی برخی از ویژگیهای گرافهای قویاً منتظم از جمله ماتریس مجاورت، مقادیرویژه، شرایط وجود وعدم وجود برخی گرافهای قویاً منتظم با توجه به ارتباط بین پارامترهای آن خواهیم.همچنین ارتباط بین بعضی ساختارهای ترکیبیاتی نظیر مربع لاتین، هندسه متناهی، اسکیم و2-طرح ها وگرافهای قویاًمنتظم رابیان می کنیم.بعلاوه توسیع های مختف از گرافهای قویاًمنتظم همچون توسیع دزا و توسیع جهتدار رابررسی خواهیم کرد.بالاخره گرافهای قویاًمنتظم با مقادیر ویژهء مساوی را که موسومند به گرافهای کنفرانس مطالعه می کنیم.

فرض می کنیم g گروهیمتناهی باشد. برای این گروه کمیت هایی تعریف می کنیم و با استفاده از آن ها مفهوم شناسایی پذیری را برای گروه تعریف می کنیم. با استفاده از این کمیت ها نشان می دهیم گروه های خطی خاص تصویری که جزء گروههای ساده نوع لی محسوب می شوند یا شناسایی پذیرند و یا 2 بار شناسایی پذیرند.

این پایان نامه شامل چهار فصل است که در فصل اول به معرفی گراف ها و زیر گراف ها و در فصل دو به خواص گروه های جایگشتی و در فصل سه به معرفی و خواص اسکیم های شرکت پذیر پرداخته شده است. در فصل چهار به بررسی اسکیم های شرکت پذیر دایره بری می پردازیم.

در سال 1988 مفهوم گراف قویاً منتظم جهت دار که به عنوان تعمیم کلاسیک گراف های قویاً منتظم به نوع جهت دار آن توسط دوال معرفی شد. در این پایان نامه این مفهوم را با ایده ای از جبرهای سلّولی بررسی کرده و نشان می دهیم که جبر سلّولی یک گراف قویاً منتظم جهت دار حقیقی یک جبر ناجابجایی از رتبه حداقل 6 است. با استفاده از این ایده به کمک گروههای جبری از گروههای دو وجهی و جبرهای پرچمی از یک 2-طرح اشتاینری به جستجوی گراف های قویاً منتظم جهت دار می پردازیم. با استفاده از نتایج بدست آمده پاسخی مثبت به سوال دوال در مورد وجود یک گراف با پارامتری خاص با 20 رأس داده می شود. وعدم وجود یک گراف با 14 رأس که یک سوال باز در مقاله دوال است ثابت می شود. سرانجام نشان می دهیم گراف های قویاً منتظم جهت دار با پارامتر ?=?=t-1 وجود دارند که عدد ? عدد k-1 را عاد می کند. و عدم وجود یک گراف با پارامتر (32,6,1,1,5) ثابت می شود.

دوال در سال 1988 گراف های جهت دار قویاً منتظم را معرفی کرد. همه چنین گراف هایی که یک گروه خودریختی رأس انتقالی دارند وn ?20 به کمک کامپیوتر مشخص شده اند. ما در این پایان نامه وجود گراف های جهت دار قویاً منتظم را برای یک مجموعه پارامتر مناسب که توسط دوال فهرست شدند نشان می دهیم. همچنین جبرهای پرچمی یک طرح اشتاینری را به منظور بررسی وجود گراف جهت دار قویاً منتظم بیان می کنیم، که به عنوان نتیجه گراف جهت دار قویاً منتظم برای یک مجموعه پارامتر ساخته می شود. سپس برای نشان دادن عدم وجود گراف جهت دار قویاً منتظم برای یک مجموعه پارامتر نیز اثباتی ارائه می دهیم. برای عدد صحیح مثبت r مجموعه br را همه مقادیر k/n در نظر می گیریم که یک ماتریس n × n با درایه های {1و0} وجود دارد به طوری که در هر سطر و ستون آن دقیقاً k تا عدد 1 وجود دارد و رتبه ماتریس r است. برخی خواص مجموعهbr را بررسی می کنیم و با استفاده از آن عدم وجود گراف های جهت دار قویاً منتظم را برای تعداد نامتناهی از مجموعه پارامترهای مناسب نشان می دهیم.

اخیرا برخی روشها برای یافتن فاصله و توزیع وزنی کدهای دوری با استفاده از پایه های گروبنر مطرح شده است. در این پایان نامه، رده ای از کدها را مشخص خواهیم کرد که برای آنها این روشها قابل تعمیم هستند. همچنین نشان خواهیم داد که این رده، شامل کدهای خطی جالب توجه است. این رویکرد، گاهی اوقات، ساختار جبری غیر منتظره ای را در این کدها آشکار میسازد. به علاوه، در رابطه با کدگشایی زیر رده ای از این کدها به تحقیق و مطالعه خواهیم پرداخت که اثبات کننده ی وجود چندجمله ای خطایاب عمومی برای آنهاست.

در این پایان نامه، کدهای شبه دوری روی یک میدان متناهی به عنوان کدهای دوری روی یک حلقه ناجابجایی متشکل از ماتریس های روی یک میدان متناهی مورد مطالعه قرار گرفته اند. چنین دیدگاهی به ما این امکان را می دهد که برخی نتایج شناخته شده پیرامون دنباله های بازگشتی خطی را تعمیم دهیم و یک ساختمان جدید برای برخی کدهای شبه دوری و کدهای خوددوگان ارائه کنیم.

نتایج به دست آمده در مرجع (6) روی محاسبه ی دترمینان ها، با استفاده از توابع مولد روی رده ی کلی تری از ماتریس های پیچشی هستند، در (13) توسیع یافته است. در این پایان نامه به شرح کامل این نتایج می پردازیم. به عنوان یک کاربرد فوری از یافته های جدید، روش یافتن نمایش دترمینانی یک دنباله ی معروف را گسترش خواهیم داد. با ایجاد نمایش های دترمینانی چندجمله ای های چپیچف از نوع اول و نیز اعداد استرلینگ از نوع دوم، ایده ی این روش را مصور خواهیم ساخت.

در این پایان نامه دنباله ای از ماتریس های سه قطری را معرفی نموده ایم. از یک طرف نشان داده ایم دنباله ی اعداد فیبوناچی و لوکاس به عنوان دترمینان هایی از ماتریس های سه قطری می توانند به ترتیب با چند جمله ای های چبیشف از نوع اول و دوم ارتباط پیدا کنند و سپس با محاسبه ی دنباله ی دترمینان چنین ماتریس هایی به صورت بازگشتی، تجزیه های محتلطی از اعداد فیبوناچی و لوکاس را بدست آوردیم.

در این پایان نامه گراف های قویاً منتظم جهت دارکه ماتریس مجاورت آن a، در شرایط زیر صدق می کند را بررسی می کنیم و وجود، عدم وجود و شرایط لازم برای پارامترهای چنین گراف هایی را بررسی کرده و برای رده خاصی از پارامترهای چنین گراف هایی یک همریختی می سازیم a^2 + (µ-?)a – (t-µ)i=µj و aj=ja=kj

در این پایان نامه به بررسی و محاسبه ماتریس هایی خواهیم پرداخت که درایه های آنها به جز درایه های واقع در سطر اول و ستون اول در یک رابطه بازگشتی همگن (گاهی اوقات نا همگن) صدق می کنند. در حقیقت سطر و ستون اول را دنباله هایی مشخص در نظر گرفته (مقادیر اولیه)، سپس سایر درایه ها را از طریق یک رابطه بازگشتی معین به دست می آوریم. سرانجام به محاسبه و بررسی دنباله متشکل از کهادهای اصلی این ماتریس می پردازیم (منظور از کهاد اصلی مرتبه n در یک ماتریس نامتناهی دترمینان زیر ماتریس اصلی حاصل از اولین ‎n+1 سطر و اولین ‎n+1‎ ستون آن می باشد). برای راحتی کار بعضی مواقع شماره سطر و ستون های یک ماتریس نامتناهی را از صفر و بعضی مواقع از یک شروع خواهیم کرد. یکی از اهداف این پایان نامه تجزیه مثلث تعمیم یافته پاسکال به حاصل ضرب یک ماتریس پایین مثلثی، یک ماتریس توپلیتز و یک ماتریس بالا مثلثی است. با توجه به اینکه درایه های واقع بر قطر اصلی ماتریس های پایین مثلثی و بالا مثلثی در این تجزیه عدد ‎1‎ می باشد، به سادگی نتیجه می شود یک مثلث پاسکال تعمیم یافته و ماتریس توپلیتز متناظر آن دارای دترمینان یکسان می باشند. بنابر این مطالعه دترمینان مثلث های پاسکال تعمیم یافته به مطالعه دترمینان ماتریس های توپلیتز تقلیل می یابد. در این پایان نامه به خصوص به دنبال ماتریس هایی نامتناهی با درایه های صحیح خواهیم بود که دنباله متشکل از کهاد های اصلی آن به یک دنباله معروف نظیر دنباله فیبوناچی یا لوکاس منجر شود.‎

نخست od-سرشت پذیری گروههای ساده متناهی که حداکثر شمارنده اول آنها 17 می باشد و دو گروه l(10, 2) , l(11, 2) و گروه خودریختی های aut(l(p, 2) , aut(l(p+1, 2) که در 2^p-1 یک عدد اول مرسن است دوم بررسی خواص گراف توانی وابسته به یک گروه متناهی و زیرگرافی حاصل از حذف راس متناظ با عنصر همانی که نشان داده میشود که گراف توانی آنها چه زمانی گرافی قویا منظم و دو بخشی و مسطح می باشد و این که چه زمانی زیر گراف حاصل از حذف متناظر با عنصر همانی آن همبند است. سپس فرمولی برای تعداد درختهای فراگیر برخی از گروهها ارایه داده و به سرشت پذیری برخی از گروههای متناهی با استفاده از گراف توانی و تعداد درختهای فراگیر می پردازیم. سرانجام سرشت نمایی گروه ماتیو m_12 با استفاده از مجموعه nse

گراف حلپذیر وابسته به یک گروه ساده متناهی، تعمیمی از گراف اول گروههای ساده متناهی میباشد. در واقع در گراف حلپذیر گروه g، مجموعه راس عبارتست از شمارنده های اول مرتبه گروه g،و دو راس مانند p و q زمانی توسط یک یال به یکدیگر وصل میباشند که g دارای زیرگروه حلپذیری مانند h باشد به طوری که مرتبه h توسط p و q عاد شود. در این پایان نامه نشان داده ایم که گراف حلپذیر در گروه ساده متناهی، همواره گرافی همبند است و در عین حال گرافی کامل نیست و اثبات هر دو قسمت یعنی همبندی و ناکاملی توسط قضیه رده بندی گروههای ساده متناهی انجام پذیرفت.

طیف یک گروه متناهی عبارت است از مجموعه ای متشکل از مرتبه عناصر آن گروه. دو گروه را هم طیف گویند هرگاه طیف آنها بر یکدیگر منطبق باشد. ما با کلاس گروههای متناهی هم طیف با گروههای ساده الصاقی و متعامد روی یک میدان از مشخصه مثبت دلخواه، سر و کار داریم. مشخص شده است که هر گروه از این کلاس، یک عامل ترکیبی ناآبلی منحصر بفرد دارد. ما نشان می دهیم که این عامل نمی تواند با یک گروه متناوب یا یک گروه پراکنده یکریخت باشد. همچنین حالتی را در نظر می گیریم که این گروه با یک گروه نوع لی یکریخت باشد.

برای گروه مفروض g, مجموعه متشکل از مرتبه همه عناصر gرا با( ?(gنشان داده و آن را طیف gمی نامیم. بعلاوه تعداد گروههای غیریکریخت با طیف یکسان همچون طیف g را با نماد( h(gنشان می دهیم. می گوییم گروهgتوسط طیف قابل سزشت نمایی است چنانچه 1=( h(gبه عبارت معادل گروه gتنها گروه متناهی با طیف ( ?(gباشد. در این پایان نامه هدف اصلی ما بررسی سرشت نمایی گروههای ساده متناهی تصویری (l_4(2^m و (u_4(2^m می باشد.

برای یک گروه ناآبلی متناهی، گراف ناجابجایی وابسته به آن به این شکل تعریف میشود که راسهای آن تمام عناصر غیرمرکزی گروه میباشد و دو راس بوسیله یک یال به یکدیگر وصل می شوند اگر و فقط اگر با عمل گروه با یکدیگر جابجا نشوند. در این پایان نامه نشان داده ایم که در صورتی که دو گروه ناآبلی پوچتوان با گرافهای ناجابجایی یکریخت نامنظم،مرتبه یکسان دارند. همچنین نشان می دهیم که اگر گراف ناجابجایی وابسته به یک گروه یک گراف چندبخشی کامل است آنگاه این گراف یک گراف قویا منظم با پارامترهای معین میباشد.

فرض کنیم g یک گروه متناهی باشد و نیز فرض کنیم p_1,p_2,..,p_k مام مقسوم علیه های اول مرتبه g باشند کهp_1<p_2<..<p_k.در این صورت گراف اول وابسته به گروه g عبارت است از یک گراف ساده که مجموعه راسهای آن عبارت است از {p_1,...,p_k} و دو راس متمایز p_i و p_j توسط یک یال به هم وصل می باشند اگر و تنها اگر g شامل عنصری از مرتبه p_ip_j باشد. درجه راس دلخواه p_i در این گراف را با( deg(p_i نشان می دهیم و مجموعه k-تایی مرتب شامل درجات رئوس را الگوی درجه g می نامیم و آن را با( d(g نشان می دهیم. بنا به تعریف گروه متناهی h را od-سرشت پذیر گوییم هرگاه برای هر گروه متناهی مانند h با شرایط |h|=|g| و( d(h) = d(g بتوان نتیجه گرفت h با g یکریخت است. در این رساله اطلاعاتی درباره ساختار گروه با استفاده از الگوی درجه آن ارائه می دهیم. همچنین درجه راس 2 و درجه مشخصه میدان را در گراف اول مشخص می کنیم. سپس نشان خواهیم داد برخی از گروههای ساده تصویری( l_4(q و گروههای ساده ( l_6(3 و ( u_4(5 گروههایی od-سرشت پذیرند. در این رساله همچنین تعمیمی از گرافهای اول موسوم به گرافهای حلپذیر را نیز مورد بررسی قرار می دهیم. این گراف عبارت است از گراف ساده ای که مجموعه راسهای آن عبارت است از {p_1,...,p_k} و دو راس متمایز p_i و p_j توسط یک یال به هم وصل می باشند اگر و تنها اگر g شامل زیرگروه حلپذیری باشد که p_ip_j مرتبه آن را بشمارد. درجه راس دلخواه p_i در این گراف را با( deg_s(p_i نشان می دهیم و مجموعه k-تایی مرتب شامل درجات رئوس را الگوی درجه وابسته به گراف حلپذیر گروه g می نامیم و آن را با( d_s(g نشان می دهیم. بنا به تعریف گروه متناهی h را od_s-سرشت پذیر گوییم هرگاه برای هر گروه متناهی مانند h با شرایط |h|=|g| و( d_s(h) = d_s(g بتوان نتیجه گرفت h با g یکریخت است. در این رساله ساختار آن دسته از گروههای متناهی را مورد بررسی قرار می دهیم که گراف حلپذیر آنها گراف ستاره یا دوبخشی هستند. همچنین نشان می دهیم که گروههای ساده پراکنده و برخی از گروههای خطی (l_2(q توسط مرتبه و الگوی درجه گراف حلپذیر وابسته به آنها od_s-سرشت پذیرند.

فرض کنیم ‎g‎ یک گروه باشد. گراف حلپذیر وابسته به گروه متناهی ‎g‎ را با نماد?_s (g) ‎ نشان می دهیم. در این گراف مجموعه رأس عبارت است از ?(g)‎‏، مجموعه مقسوم علیه های اول مرتبه ‎g‎ و دو رأس متمایز مانند ‎p‎ و ‎q‎ توسط یک یال بهم وصل می شوند چنانچه گروه ‎g‎ دارای یک زیرگروه حلپذیر مانند ‎h‎ باشد به طوری که ‎pq‎ مرتبه ‎h‎ را بشمارد. در این پایان نامه خواص معینی از گراف حلپذیر را مورد مطالعه قرار داده و نشان خواهیم داد بسیاری از گروهها توسط مرتبه و الگوی درج? گراف حلپذیر شان به طور یکتا مشخص می شوند.

در سالهای اخیر به یک گروه متناهی گرافهای متعددی وابسته شده است. در حالت کلی می توان بسیاری از خواص یک گروه متناهی را توسط گراف وابسته به آن پیدا کرد و بالعکس. بسیاری از مثالها و نمونه های خاص در نظریه گراف را می توان در چنین گرافهای وابسته ای جستجو کرد. گراف توانی یک گروه متناهی تحت شرایط معینی قادر به شناسایی آن گروه می باشد. در این پایان نامه تلاش خواهیم کرد ارتباط بین یک گروه متناهی و گراف توانی وابسته به آن را مورد بررسی قرار دهیم. برای نمونه تلاش خواهیم کرد به شناسایی گروههای متناهی بپردازیم که تعداد درختهای فراگیر گراف توانی آنها یکسان باشد.‎ ‎

هدف از این رساله بررسی سه موضوع میباشد. نخست مساله وجود یا عدم وجود گرافهای ناجابجایی با ویژگیهای خاص مورد بررسی قرار خواهد گرفت. دوم نشان میدهیم که بعضی از گروههای سیمپلکتیک و همچنین بعضی از گروههای خطی خاص تصویری توسط گراف ناجابجایی شناسایی پذیرند. سوم به شناسایی گروههایی پرداخته شده است که گراف ناجابجایی آنها یک گراف شکافته شده است.