یکی از روشهای موثر برای حل معادلات پواسون روش جوابهای اساسی است. این روش یک روش بدون شبکه است که در آن هیچ تقسیم بندی روی مرز و دامنه صورت نمی گیرد. در این روش یک مرز مجازی اطراف مرز فیزیکی در نظر گرفته می شود و نقاط چشمه روی این مرز انتخاب می شوند. به این صورت از انطباق نقاط چشمه و میدانی و به دنبال آن از منفرد بودن جواب اساسی جلوگیری می شود. برای حل معادلات پواسون با استفاده از روش جوابهای اساسی ابتدا تقریبی از جواب خصوصی مسئله بدست آورده می شود سپس جواب قسمت همگن مسئله با استفاده از روش جوابهای اساسی برای معادلات همگن تعیین می گردد. برای تقریب جواب خصوصی در این روش از توابع شعاعی پایه استفاده می شود که این توابع با افزایش تعداد نقاط درونیابی منجر به تولید ماتریس درونیاب بدوضع می گردند برای اجتناب از بدوضعی در این پایان نامه روش تجزیه دامنه هم پوش پیشنهاد شده است. این روش با تقسیم دامنه به چند زیردامنه باعث کاهش مرتبه ماتریس درونیاب شده و در نتیجه عدد شرطی آنرا کاهش می دهد. ابتدا روش جواب اساسی برای حل معادله در هر زیردامنه بکار گرفته می شود و سپس با جمع آوری نتایج در زیردامنه ها جواب معادله در کل دامنه به دست می آید.

در این پایان نامه نقش حساب دقت متناهی و غیرنرمالی ماتریس های ضرایب و ماتریس های تکرار در واگراشدن و یا رسیدن به جواب غلط در حین بکارگیری روش های تکراری پایه ای تحت فرمول x(0); x(k+1) = tx(k) + c که برای حل دستگاه معادله خطی ax=b بکار گرفته می شود بررسی خواهد شد. به علاوه تاثیر پیش شرطی سازی بر روی ماتریس های اولیه به منظور کاهش عدد شرطی ماتریس ضرایب و همچنین کاهش شعاع طیفی ماتریس تکرار در بهبود و توانمند سازی روش های تکراری پایه ای بررسی خواهد شد.

در این پایان نامه، دسته ای از روش های عددی برای حل مسائل حساب تغییرات بر پایه روش های شبه طیفی کلاسیک و غیرکلاسیک ارائه می شود. مزیت روش غیرکلاسیک آن است که تابع های وزن اختیاری برای تولید چندجمله ایهای متعامد استفاده می شوند و دامنه ای بزرگتری برای نقاط هم مکانی و ماتریس های مشتق را ممکن می سازند. به وسیله مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ی یک ماتریس سه قطری متناظر چندجمله ا یهای متعامد، گره ها (نقاط هم مکانی) و وزن های انتگرال گیری عددی گاوس ارائه می شوند. روش های شبه طیفی نیز به صورت دو دسته کلاسیک و غیرکلاسیک ارائه می شوند. همچنین در ادامه نتایج عددی برای حل چند مسئله حساب تغییرات آورده شده و به طور ضمنی مورد مقایسه قرار گرفته اند.

روش عناصر مرزی، به عنوان یک تکنیک عددی قوی برای حل بسیاری از معادلات دیفرانسیل جزئی به کار می رود. اما وجود جملات ناهمگن در بسیاری از معادلات، سبب به وجود آمدن انتگرال های دامنه ای در فرمول روش عناصر مرزی می شود که کارایی تکنیک را تا حد زیادی کاهش می دهد. برای مقابله با این مشکل، تکنیک های بسیاری پیشنهاد شده است. در این پایان نامه، به منظور حل مسأله ی ناپایدار انتقال حرارت، از روش عناصر مرزی استفاده می شود که وجود جمله ی ناهمگن وابسته به زمان، باعث می شود یک انتگرال دامنه ا ی در معادله ظاهر شود. برای تبدیل این معادله به یک معادله ی انتگرال مرزی، از دو روش استفاده شده است. در روش اول، ابتدا تابع مجهول وابسته به زمان توسط دنباله ای از توابع پایه ی شعاعی، درونیابی می گردد و برای به دست آوردن معادله ی انتگرال مرزی، از جواب اساسی معادله ی لاپلاس که یک تابع مستقل از زمان است، استفاده می شود. سپس جواب معادله ی انتگرال حاصل، با گسسته سازی مرز ناحیه و صرفاً با انجام انتگرال گیری مکانی به دست می آید. در روش دوم، از جواب اساسی وابسته ی زمانی که کل معادله ی انتقال حرارت، از جمله بخش وابسته به زمان را تحت پوشش قرار می دهد، استفاده می شود. بنابراین معادله ی انتگرال نتیجه شده، شامل انتگرال های مختلط مکانی و زمانی است که برای حل آن از گسسته سازی مرز و متغیر زمانی استفاده می گردد.

هدف اصلی این پایان نامه مطالعه تاثیر روش‎های پیش بهبود از نوع ‎simple‎ بر حل دستگاه‎های معادلات خطی است که در فاز دوم فرآیند حل عددی معادلات دیفرانسیل تراکم ناپذیر ناویر-استوکس‎،‎ یعنی فاز خطی‎سازی‎،‎ ایجاد می گردند. در این پایان نامه ضمن معرفی معادلات دیفرانسیل تراکم‎ناپذیر ناویر-استوکس‎،‎ به دو فاز موجود در روش‎های عددی حل این گونه معادلات یعنی فازهای گسسته‎سازی و خطی‎سازی اشاره خواهد شد‎.‎ سپس روش تکراری نیوتن مورد بحث قرار خواهد گرفت تا به عنوان روش انتخابی در جهت حل دستگاه معادلات غیرخطی‎،‎ حاصل از فاز گسسته‎سازی‎،‎ عهده‎دار فاز خطی‎سازی گردد‎.‎ در هر تکرار روش نیوتن لازم است تا یک دستگاه معادلات خطی حل گردد‎.‎ ماتریس ضرایب اینگونه دستگاه‎های خطی عمدتا بد وضع هستند لذا بهره‎گیری از ایده‎های پیش بهبود سازی امری اجتناب ناپذیر و ضروری است و از این رو قسمت اصلی پایان نامه به معرفی روش‎های تکراری حل دستگاه‎های معادلات خطی و روش‎های پیش بهبودساز از نوع ‎simple‎ و ‎simpler‎ و ترکیب آنها با روش ‎gcr‎ اختصاص داده شده است‎.‎ کدهای ‎matlab‎ مربوط به آزمایش‎های عددی در داخل توابعی از یک نرم‎افزار تخصصی حل معادلات تراکم ناپذیر ناویر-استوکس‎،‎ یعنی ‎ifiss‎، پیاده‎سازی و اجرا گردیده‎اند که همگی افزایش کارایی حاصل از بکارگیری ایده‎های پیش بهبود سازی بر روی روش ‎gcr‎ با اسامی ‎gcr-simple‎ و ‎gcr-simpler‎ را تایید می‎کنند‎.‎

در این پایان نامه، ابتدا نیمه گسسته سازی مکانی معادله گرما را، به عنوان یک مثال از مساله سهموی، با استفاده از روش عنصر متناهی و سپس گسسته سازی کامل مساله را با روش اویلر پسرو انجام می دهیم. در ادامه پس از معرفی بازسازی بیضوی برای تحلیل خطای پسین معادلات نیمه گسسته و کاملا گسسته و بیان تخمین پایداری برای مساله ی پیوسته دوگان، تخمین های خطای پسین را با استفاده از روش های انرژی و دوگان و ترکیب آن ها با بازسازی بیضوی بدست می آوریم.

در این پایان نامه تجزیه متقارن و مثلثی(st) برای ماتریس های نامنفرد بررسی می گردد. به کمک این تجزیه هر ماتریس نامنفرد می تواند به صورت حاصلضرب یک ماتریس متقارن s و یک ماتریس مثلثی t بیان شود . بعلاوه s می تواند معیین مثبت باشد. برای محاسبه تجزیه (st) دو الگوریتم عددی بیان خواهد شد که در آنها s معیین مثبت است . سپس به عنوان کاربردی از تجزیه (st)، سه پیش بهبود دهنده بلوکی برای مسایل نقطه زینی مورد بررسی قرار خواهد گرفت و عدد شرطی برای سه دستگاه متقارن و معیین مثبت تخمین زده خواهد شد. نهایتا پس از اعمال هر یک از سه پیش بهبود دهنده مذکور بر مسئله نقطه زینی که دستگاه معادلات خطی نظیر آن نا متقارن است ، روش عددی گرادیان مزدوج را برای دستگاهای متقارن و معیین مثبت بکار می گیریم و با آزمایشهای عددی تاثیر هر یک از پیش بهبود دهنده ها را بررسی خواهیم نمود.

روش باقیمانده ی مینیمال (minres) برای کلاس خاصی از سیستم های خطی با ماتریس ضرایب نرمال که طیف آنها متعلق به منحنی جبری از درجه ی پایین k می باشد ساخته شده است. تفاوت این روش با روش شناخته شده ی gmres در زیر فضاهایی است که جواب تقریبی به آن تعلق دارد. در این مقاله حالت k=2,3 را بررسی می کنیم. نتایج عددی اری?ه شده برتری روش minres را نسبت به روش gmres نشان می دهد.

در این پایان نامه به مطالعه ی روش فوق تخفیف شتاب دار اصلاح شده ی متقارن (smaor) برای حل دستگاه معادلات خطی تنک می پردازیم. سپس ناحیه ی همگرایی این روش را مورد بررسی قرار می دهیم. نتایج عددی حاصل از به کارگیری روشsmaor ، به همراه روش هایی هم چون فوق تخفیف شتاب دار(aor) و فوق تخفیف شتاب دار اصلاح شده (maor) موید کوچک تر بودن شعاع طیفی ماتریس تکرار روش smaor نسبت به شعاع های طیفی دو روش دیگر می باشند که توضیحی برای همگرایی سریع تر روش smaor می باشد.

اصلاح رتبه ی- یک غیرخطی از مساله ی مقدار ویژه ی متقارن نتیجه ی ارتعاشات ویژه ی ساختارهای مکانیکی با بارهای پیوسته ی کشسان و همچنین محاسبه ی مدهای انتشار در فیبر نوری می باشد. در این پایان نامه ابتدا، وجود و یکتایی مقادیر ویژه اینگونه مسائل را مورد مطالعه قرار می دهیم. سپس سه الگوریتم عددی با اسامی تکرار پیکارد، تکرار نسبت رایلی غیر خطی و روش تقریب خطی متوالی (slam) برای محاسبه ی زوج ویژه ها مورد بررسی قرار خواهند گرفت. در ادامه، همگرایی عمومی روش تقریب توالی خطی (slam) تحت برخی مفروضات اثبات خواهد شد. نتایج عددی نشان می دهند که در میان روش های بررسی شده، روش (slam) توانمندترین روش است.

در این پایان نامه تعدادی پیش بهبوددهنده مثلثی جدید برای مسائل نقطه زینی بر اساس تجزیه متقارن و مثلثی $st$ را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. علاوه بر این, تخمین هایی برای اعداد شرطی دستگاه های پیش بهبودشده به دست خواهد آمد و پارامترهای شبه بهینه را ارائه می کنیم. آزمایش های عددی ویژگی های پیش بهبوددهنده ها را نمایان و تأثیر آن ها بر همگرایی روش گرادیان مزدوج در حل دستگاه های پیش بهبودشده را تائید می کنند.

در این پایان نامه دستگاه های خطی نامعین بلوکی 2*2 را بررسی می کنیم. چنین دستگاه های در بسیاری از کاربردها رخ می دهند.دو روش را بررسی می کنیم که اساس کار آنها اصلاح بلوک (1و1) به گونه ای است که دستگاه سادهتر حل شود. بخش اصلی کار بر روی لاگرانژ افزوده متمرکز است. روشی که بلوک (1و1) را بدون تغییر اندازه اصلاح کند. موضوع انتخاب پارامتر مناسب و عدد شرط دستگاه مورد بحث قرار خواهند گرفت. یک روش تهی سازی بلوک (1و1) نیز معرفی می شود

در این پایان نامه معادله ی انتگرو دیفرانسیل هذلولوی همراه با شرایط مرزی و شرایط اولیه درنظرگرفته شده است. ابتدا خوش وضعی مسأله به معنی اثبات وجود ویکتائی با استفاده از روش تقریب گالرکین مطالعه شده است. یک روش عنصرمتناهی مکان ـ زمان پیوسته از مرتبه ی یک برای مسأله فرموله شده است، پایداری مسأله ی دوگان گسسته اثبات شده است که برای محاسبه ی مرتبه بهینه تخمین خطای پیشین به وسیله ی مساله ی دوگان استفاده شده است. درپایان مسأله با یک مثال تبیین شده است.

در این پایان نامه، یک روش آرنولدی شتاب داده شده ی تطبیقی بر اساس ضرب داخلی وزن دار برای محاسبه ی رتبه ی صفحه ای مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته و خواص آن مطالعه شده است. وزن های عددی بر اساس و منطبق با بردار مانده موجود متناظر با بردار رتبه ی صفحه ای تقریبی به گونه ای تغییر داده شده تا موجب سرعت بخشی و بهبود کارایی همگرایی گردد. نتایج عددی نشان می دهند که روش آرنولدی شتاب داده شده تطبیقی سریعتر از روش نوع-آرنولدی همگرا می شود، به ویژه وقتی عامل تعدیل به یک نزدیک است. با توجه به برتری همگرایی روش های نوع-آرنولدی به روش های قبلی همچون روش توانی و روش برونیابی مربعی، می توان اعلام کرد که روش جدید سریعتر از روش های موجود برای حل مسأله رتبه ی صفحه ای همگرا می گردد.

معادله ی انتگرو دیفرانسیل هذلولوی همراه با شرایط مرزی و شرایط اولیه درنظرگرفته شده است . ابتدا خوش وضعی مسأله به معنی اثبات وجود و یکتایی با استفاده از روش تقریب گالرکین مطالعه شده است. یک روش عنصرمتناهی مکان- زمان پیوسته از مرتبه ی یک برای مسأله فرموله شده است، پایداری مسأله ی دوگان گسسته اثبات شده است که برای محاسبه ی مرتبه بهینه تخمین خطای پیشین به وسیله ی مسئله ی دوگان استفاده شده است. درپایان مسأله با یک مثال تبیین شده است.