یکی از مهمترین مسایل در علم ژنتیک مقایسه زنجیره های بیولوژیک مانند dna و پروتئین ها می باشد. با توجه به نتیجه مقایسه می توان شباهت زنجیره ها را مشخص کرد. تشابه دو زنجیره نشان دهنده این مطلب است که پدر(نقطه تکامل) هر دو زنجیره یکسان می باشد. بنابراین این شباهت ها منتج به طبقه بندی این زنجیره در خانواده و زیر خانواده ها می گردد. این کار به پیش بینی عملکرد ساختمان ثانویه و همچنین بدست آوردن شجره یک پروتئین کمک می کند. این همانندی دو زنجیره که مفهوم کیفی است را کمی نموده (رتبه محلی نامیده می شود) و مرحله بعدی بررسی معنی داری این کمیت می باشد. حاصل مطالعات فراوان تجربی و تئوریک که در این زمینه انجام شده نشان داد که می توان معنی داری رتبه محلی را از طریق توزیع گامبل بدست آورد. از آنجایی که این رتبه های بزرگ بسیار کمیاب هستند و احتمال تولید آنها بسیار کوچک می باشد لذا از طریق نمونه گیری های معمولی نمی توان به آنها دست یافت. اخیرا برای حل این مشکل روش نمونه گیری از پیشامدهای نادر پیشنهاد شده است که این ایده بر اساس روشی در فیزیک آماری می باشد

برآورد تابع چگالی احتمال از مباحث کاربردی در آمار می باشد، که در تاکنون روش های متفاوتی برای آن ارائه گردیده است.یک دیدگاه که در زمینه برآورد تابع چگالی وجود دارد، برآورد تابع چگالی با داشتن اطلاعات روی گشتاورهای توزیع می باشد. از جمله روش هایی که برای این منظور وجود دارد می توان به اصل ماکزیمم آنتروپی، اصل کمترین تفاوت اطلاعات و اصل کمترین فاصله کای دو اشاره کرد. ‎در این پایاننامه به بررسی اصل کمترین فاصله کای دو که توسط کومار و تانجا ‎ معرفی شده است می پردازیم. نخست به معرفی فاصله کای دو و اصل کمترین فاصله کای دو می پردازیم و سپس روش برآورد تابع چگالی را با داشتن تابع چگالی اولیه و اطلاعاتی در مورد تابع چگالی مجهول را بیان می کنیم. در ادامه برای زمانی که تابع چگالی اولیه یا مشاهده شده توزیع گاما‎ و وایبل و همچنین اطلاعات گشتاوری توزیع، اطلاعاتی در مورد میانگین هندسی، حسابی و یا واریانس می باشد تابع چگالی با کمترین فاصله کای دو را ارائه می دهیم و با مثال های عددی نتایج بدست آمده را تشریح خواهیم نمود. ‎ در پایان به تعمیم روش کومار و تانجا برای برآورد تابع چگالی احتمال توأم با کمترین فاصله کای دو خواهیم پرداخت. همانند حالت تک متغیره، ضمن تعریف فاصله کای دو و اصل کمترین فاصله کای دو در حالت دومتغیره، روش برآورد تابع چگالی احتمال توأم را بیان و سپس با در نظر گرفتن توزیع دیریکله و حاصلضرب دو توزیع نمایی به عنوان توزیع اولیه و اطلاعات رو گشتاور حاصلضرب‎ تابع چگالی را بدست می آوریم.

در فصل 1 به معرفی استنباط بیزی پرداخته ایم در فصل 2 انتگرال گیری مونت کارلو را بررسی کرده ایم و در فصل 3 مدلهای اهیخته را معرفی و به انجام استنباط بیزی برای این مدلها پرداخته ایم.

مدل های نقطه تغییر‎ چندگانه معمولاً بر ناهمگنی و غیر یکنواختی موقتی یا فاصله ی روی داده ها اشاره می کنند. این مدل‎ در دامنه ی وسیعی از مدل بندی آماری مشاهده می شود‏، همچنین برای افزایش انعطاف پذیری در مدل آماری استفاده می شود. هدف این پایان‎‎ نامه انجام استنباط بیزی مدل های نقطه تغییر با استفاده از ایده ی پالایه های ذره است. یک الگوریتم آنلاین دقیق را برای یک کلاس از مسائل نقطه تغییر چندگانه ارائه می کنیم. در این کلاس از مدل ها خصوصیت استقلال شرطی صدق می کند. این الگوریتم بوسیله ی توزیع توام پسین واقعی‏، تعداد و موقعیت نقطه تغییرها را برای یک کلاس از مدل های نقطه تغییرها شبیه سازی می کند. ارزش محاسباتی این الگوریتم دقیق روی تعداد مشاهدات به صورت درجه دوم افزایش می یابد. بعلاوه نشان می دهیم که چگونه می توان ایده های نمونه گیری مجدد در پالایه ذره را برای کاهش ارزش محاسباتی به صورت خطی روی تعداد مشاهدات استفاده کرد و دو الگوریتم نمونه گیری مجدد بهینه ی را برای این مسائل پیشنهاد خواهیم کرد.