در این رساله n-امین مدول کوهمولوژی موضعی ازr-مدول m در یک زیرکاتگوری سر از کاتگوری r-مدولها از پایین (i<n) و از بالا (i>n)مطالعه می شوند. در حالت کلی عمق و رشته های منظم تعریف می شوند. رابطه آنها با کوهمولوژی موضعی نشان می دهد که مطالعه مدولهای کوهمولوژی موضعی یک r-مدول متناهی مولد از بالا در یک زیرکاتگوری سر از کاتگوری r-مدولها فقط به تکیه گاه مدول بستگی دارد.

فرض کنید r یک حلقه ی جابجایی، یکدار و نوتری باشد. نیز فرض کنید که m یک r-مدول بوده و i,j دو ایده آل در r باشند. در این رساله، با معرفی زیرمجموعه ی (w(i,j از (spec(r تعمیمی از کوهمولو‍‍ژی موضعی را ارائه میدهیم که آن را کوهمولو‍ژی موضعی نسبت به دو ایده آل (i,j) خوانده و با نماد (hii,j(m نمایش میدهیم. پس از بررسی خواص اساسی فانکتور hii,j (-) و مجموعه ی (w(i,j، با معرفی همبافت چک تعمیم یافته نشان میدهیم که مدولهای (hii,j(m را میتوان به شکل مدولهای کوهمولوژی همبافت چک تعمیم یافته محاسبه کرد. سپس، تعمیمی از قضایای صفرشدن گروتندیک و لیختن بوم-هارتشورن را ارائه داده و در انتها، به تعمیم قضیه ی دوگان موضعی خواهیم پرداخت.

فرض کنیدr یک حلقه ی جابجایی و نوتری وi یک ایده آل واقعی از آن وm یک r- مدول غیر صفر متناهی مولد باشد. در این پایان نامه ابتدا با شرط اینکه i یک ایده آل m- سره است ، برخی شرایط جدید را فراهم می کنیم تا همه ی توانهای i راتلیف- راش بسته به مدول m باشند سپس آماده می شویم تا به این سئوال پاسخ دهیم که چه موقع n=inآ به بستار راتلیف - راش وابسته به یک مدول توسیع می یابد. درادامه با افزودن این فرض که r یک حلقه ی ناگاتا است و ارتفاع مدول بزرگتر از صفر باشد . تعریف بستار صحیح na را برای هر زیر مدول n از m به تعریف ریس روی یک حوزه توسیع می دهیم و به عنوان نتیجه ای اساسی برای هر زیر مدول nاز m نشان می دهیم دنباله هایی از ایده آل های اول وابسته، صعودی و به ازای هر n بزرگ ایستا هستند.

مفهوم بعد گرنشتاین که توسط اسلاندر و بریدگر برای مدول های با تولید متناهی روی حلقه های نوتری تعریف شده است، در این پایان نامه برای مدول های با نمایش متناهی روی حلقه های مرتبط مطالعه می شود. همچنین تعمیمی از فرمول اسلاند ر ـ بریدگر ثابت می شود و بعنوان پایه برای توسعه نظریه حلقه های مرتبط گرنشتاین به کار گرفته خواهد شد.

در این پایاننامه؛ در بخش اول به بیان مقدماتی می پردازیم که در درک هر چه بهتر این مقاله ، ما را یاری خواهند کرد. در بخش دوم، تاثیر بعد کوهمولوژیکی ایدآل i از یک حلقه نوتری، بر بسته بودن کوهمولوژی موضعی یک مدول متناهی مولد دلخواه بررسی می شود. در بخش سوم، ثابت می کنیم که به ازای هر i و ایدآل i محمل i-امین فانکتور کوهمولوژی موضعی نسبت به i بسته است هرگاه m مدولی متناهی مولد روی یک حلقه موضعی نوتری با بعد حداکثر چهار باشد. در بخش چهارم، به نتیجه مهمی در مورد حلقه نوتری که دارای مشخصه اول p است ، دست می یابیم. در بخش پنجم، تاثیر تعداد مولد های ایدآل i از یک حلقه نوتری بر بسته بودن محمل کوهمولوژی موضعی، بررسی می گردد.

فرض کنید a ,b ایده آلهایی از حلقه نوتری , m ,r- مدولی با تولید متناهی و همچنین a یک r مدول آرتینی باشد brodmann)1979 نشان داد که برای ایده آل i از حلقه r به ازای هر عدد طبیعی n دو دنباله از ایده آلهای اول وابسته برای مدولهای خارج قسمتی خاصی به ازای مقادیر بزرگ n ثابت هستند همچنین shorp)1989دوگان نتیجه فوق را برای مدولهای آرتینی به این صورت نشان داد که هر گاه به ازای مقادیر بزرگ att, ass ,n فانکتور های ext tor با تولید متناهی باشند آنگاه دوگانشان نیز با تولید متناهی خواهد بود همچنین نشان داده ایم که به ازای اعداد صحیح مثبت و ثابت n اثر فانکتر های ext , tor بر مدولهای کوهومولوژی موضعی با تولید متناهی است.

در این پایاننامه خواص حلقه های نوتری شامل پوچساز های کوهمولوژی موضعی مطالعه خواهد شد و نشان داده خواهد شد که این حلقه ها باید زنجیر وار و موضعاً هم بعد باشند. همچنین یک شرط لازم و کافی این حلقه ها اثبات خواهد شد که اگر حلقه موضعاً هم بعد r تصویر همو مورفیکی حلقه کوهن مکالی باشد آنگاه r پوچساز یکنواخت کوهمولوژی موضعی دارد. همچنین در این پایاننامه حدس هونکه در مورد حلقه های با بعد نابیشتر از پنج اثبات خواهد شد.

در این پایان نامه خواص حلقه های نوتری شامل پوچسازهای کوهمولوژی موضعی مطالعه خواهد شد و نشان داده خواهد شد که این حلقه ها باید زنجیروار و موضعا هم بعد باشند. همچنین یک شرط لازم و کافی در خصوص این حلقه ها اثبات خواهد شد و نهایتا ثابت می شود که اگر r یک حلقه موضعا هم بعد و تصویر همومورفیکی حلقه کوهن مکالی باشد آنگاه r پوچساز یکنواخت کوهمولوژی موضعی دارد. همچنین حدس هونیکه در مورد حلقه های با بعد نا بیشتر از پنج مورد بررسی قرار میگیرد.

در این رساله با استفاده از مفهوم a – می نیماکس مدول ها ثابت می کنیم به ازای هر زیرمدول a – می نیماکس n از m))h_a^t مجموعه ی ایده آل های اول وابسته ی n/m))h_a^t متناهی می باشد. فرض کنیم r یک حلقه ی جابه جایی و نوتری و a یک ایده آل از r باشد. همچنین فرض کنیم m یک r – مدول a – می نیماکس و t یک عدد صحیح نامنفی باشند. در این صورت ابتدا نشان می دهیم که برای هر i<t، m))h_a^i مدول a – می نیماکس می باشد و سپس برای هر زیرمدول a – می نیماکس n از مدول m))h_a^t نتیجه می گیریم که r/a ,h_a^t(m)/n ) )?hom?_r، r – مدولی a – می نیماکس است و لذا بعد گلدی مدول n/m))h_a^t متناهی می باشد. با توجه به این امر مجموعه ی ایده آل های اول وابسته مدول n/m))h_a^t متناهی می باشد.

فرض کنید g‎ گرافی با d‎ رأس وr=k[x_1 ,…,x_d] ‎ حلق? چندجمله ای ها روی میدانk ‎ با d‎ متغیر مستقل باشد. فرض کنید ‎ i ‎ ایده آل یالی گراف ‎$ (ایده آل تولید شده توسط تک جمله ای های متمایز با درج? دو) باشد. در این پایان نامه برای تعیین ایده آل های اول وابسته به توان های ‎ i ‎، ساختاری معرفی می شود که با استفاده از این ساختار نشان داده می شود کران بالای مجموعه ایستایی ایده آل های اول وابسته به توانی از ‎ i ‎ در کجا رخ می دهد. در این پایان نامه با مطالعه روی کلاس خاصی از ایده آل های تک جمله ای، به دنبال روشی هستیم که به وسیل? آن بتوان ایده آل های اول مشمول در مجموعه ایده آل های اول وابسته به ایده آل تک جمله ای را تعیین و کران بالایی برای ایستایی این مجموعه را محاسبه کرد. در فصل دوم ابتدا در مورد جبر تک جمله ای ها مطالبی توضیح داده خواهد شد و سپس با استفاده از نظری? گراف ها ارتباط بین ایده آل تک جمله ای و یک گراف، که منجر به تعریف ایده آل یالی می شود، را بیان می کنیم. در فصل سوم با استفاده از خصوصیات گراف ها، ایده آل های اول مشمول در مجموعه ایده آل های اول وابسته به ایده آل یالی یک گراف را تعیین و کران بالایی برای ایستایی این مجموعه ارائه می کنیم.

با یکی گرفتن راسهای گراف g با متغییر های حلفهء چند جمله ای r ایده آل یالی برای گراف تعریف میکنیم.

در این پایان نامه ضمن بررسی یک روش جبری برای وجود دور القایی فرد و در حالت خاص حفره فرد در یک گراف و ایده آل های تک جمله ای را که با بکارگیری عمل قطبی کردن به ایده آل های تک جمله ای آزاد از مربع تبدیل می شوند مطالعه می کنیم. بعلاوه ایده آل های تک جمله ای را که پس از قطبی شدن درخت های ساده گون را تولید می کنند بررسی و نشان می دهیم بسیاری از ویژگی های درخت های ساده گون برای این چنین ایده آل هایی برقرار هستند.

فرض کنید i یک ایده آل منومیال از حلقه چند جمله ای ] x ,..., x [ k=r باشدو) i ( d ماکزیمم درجه مو لدهای مینیمال i باشد.دراین مقاله ما ضمن تعیین نقطه ایستایی ) / r ( ass ,سعی در یافتن کران های بالایی برای چنین نقاطی هستیم.

: فرض کنیدg یک گراف متناهی ساده بامجموعه رئوس v(g)={x1,…,xn } ومجموعه یالهای e(g) بوده و r=k[x1,…,xn] حلقه چندجمله ایهاباn متغیر روی میدان k باشد .ایده آل یالی گراف g ،i(g)، را به صورت زیر تعریف می کنیم .<{xixj| xixj?eg}> i(g)= گراف g را کوهن- مکالی(دنباله وار) گوییم هرگاه حلقه r/i(g)کوهن- مکالی(دنباله وار) باشد. دراین پایان نامه نشان می دهیم تمام گرافهای وتری کوهن- مکالی دنباله وار بوده و دوگان الکساندر ایده آل یالی آنها مولفه وار خطی است. همچنین رابطه رئوس یک گراف وتری با بیشینه وجه هایی از همبافت ساده گون g ،(g)?، که دارای رئوس آزاد هستند مورد بررسی قرار می گیرد.

عنوان پایان نامه:بررسی عمق توانهای ایده آل یالی یک درخت فرض کنیدg یک گراف با n رأس و i(g) ایده آل یالی آن از حلقه چند جمله ایها،r=k[x1,x2,…,xn]،روی میدانk با nمتغیر باشد. فرض کنید i ایده آل یالی یک درخت یا جنگل باشد. در این پایان نامه کرانهای پایینی برای دنباله {depth rit}t?1 بدست می آوریم و نشان می دهیم این کرانهای پایین، نقطه ایستایی دنباله 1? {depth rit}tاست هرگاه g یک درخت باشد.

یک خم بیضوی e یک چند گونای جبری است که با تعریف یک عمل جمع روی نقاط به یک گروه آبلی متناهی مولد تبدیل می شود و ساختار آن بنابر قضیه ی اساسی گروه های آبلی و قضیه ی موردل به صورت e= zr + ztors می باشد. که در آن r? 0 رتبه ی خم بیضوی نامیده می شود. دسته بندی خم های بیضوی با استفاده از رتبه ی آن ها یکی از مسائل کلاسیک می باشد. در این پایان نامه با استفاده از روش 2- نزول به بررسی رتبه ی خانواده ای از خم های بیضوی به صورت y2= x(x-p)(x-2) می پردازیم.

در حلقه نوتری و جابجاییr ، ایده آل i را به طور نرمال آزاد از تاب گوییم هرگاه به ازای هر t?1، ass(r/it) =ass(r/i). در این پایان نامه یک روش بازگشتی برای مطالعه ایده آلهای تک جمله ای آزاد از مربع به طور نرمال آزاد از تاب، ارائه می دهیم و با استفاده از آن نشان می دهیم که اگر i یک ایده آل تک جمله ای آزاد از مربع باشد که به طور مینیمال آزاد از تاب نیست آنگاه کوچکترین توان آن، که دارای ایده آل اول محاطی است از?1(h) بزرگتر خواهد بود که در آن h ابرگراف وابسته به ایده آل i و ?1(h) عدد جورسازی آن می باشد. بعلاوه نشان داده می شود اگر i در خاصیت بسته بندی صدق نکند آنگاه به ازای+1 1? t=،t i دارای ایده آل اول محاطی است. در نهایت ثابت می شود اگر i ایده آل یالی یک گراف باشد آنگاه مجموعه ایده آلهای اول وابسته به توانهای i، یک زنجیر صعودی می باشند.

یک تناظر یک به یک طبیعی بین ایده آلهای تک جمله ای آزاد از مربع و ابرگرافهای ساده متناهی وجود دارد. فرض کنید h یک ابرگراف ساده متناهی با مجموعه رئوس {vh = {x1‎ , ... , ‎xnو مجموعه یالی e‎h = {e1‎ , ... , ‎et}‎ بوده و [r = k[x1 , ‎... , ‎xn حلقه چند جمله ایها با n متغیر روی میدان k باشد. فرض کنید (j(hایده آل پوششی ابر گراف h باشد. در این پایان نامه ما ارتباط رفتار دنباله 1?ass(r/js)}s)}را با خواص رنگ آمیزی ابر گراف h مورد بررسی قرارداده و یک روش جبری برای مشخص نمودن عدد رنگی hارائه می دهیم. نهایتا رابطه بین گرافهای تام و شرط زنجیر اشباع شده برای ایده آلهای اول وابسته توانهای ایده آل پوششی jرا مورد بررسی قرار می دهیم.

رأس x از گراف g را رأس هم احاطه شده می نامیم اگر به ازای رأس y ،همسایگی بست? y زیرمجموع? همسایگی بست? x باشد و گراف g هم پوشش ناپذیر نامیده می شود اگر فاقد یال بوده و یا شامل یک رأس هم احاطه شده مانندx باشد بطوریکه g-x هم پوشش ناپذیر است. نشان می دهیم که گرافهای تجزیه پذیر رأسی فاقد- ( c4,c5)، هم پوشش ناپذیر هستند و ثابت می کنیم اگر g یک گراف خوش پوشش فاقد- (c4,c5,c7 )، باشد آنگاه تجزیه پذیر رأسی بودن و هم پوشش ناپذیری و کوهن- مکالی بودن برای گراف g هم ارزند که بسیاری از نتایج اولیه روی گرافهای دوبخشی و وتری و خیلی خوش پوشش را کامل و یکپارچه می سازد. بعلاوه، ما نظم کستلنومامفورد، (reg(g چنین گرافهایی را مورد مطالعه قرار داده و نشان می دهیم که وقتی g یک گراف تجزیه پذیر رأسی و فاقد- ( c4, c5 ) است آنگاه (reg( g) = im(g . همچنین ثابت می کنیم اگر g گرافی باشد که im(g ) = reg(g ) = m ، آنگاه g یک گراف هم پوشش ناپذیر است که (im(g نشان دهنده عدد جورسازی القایی از گراف g و m(g ) ، عدد جورسازی گراف g است. به ازای هر1 < n، گرافهای همبند gn را چنان می سازیم که در رابط? m(gn ) > cochord(gn ) = reg(gn ) +n صدق می کنند که در آن cochord( g عدد پوششی گراف g است.

فرض‎‎کنید g‎ یک گراف ساد? متناهی با n‎ رأس بوده و r = k[x1 , ... , xn]‎ حلق? چندجمله‎ایها روی میدان k‎ باشد بطوریکه ‎i(g)‎ ایده‎آل یالی و ‎i(g)^?‎ الکساندر دوآل ایده‎آل یالی است. در این پایان‎نامه، نشان داده می‎‎شود که دورهای القایی فرد در گراف g‎ را می‎توان از ایده‎آل‎های اول وابست? 2 ^(i(g)?‎)‎بدست آورد که روشی را جهت تعیین دور‎‎های القایی فرد از طریق اعمال جبری روی یک ایده‎آل نظیر اشتراک، حاصل‎‎ضرب و حاصل‎تقسیم، نتیجه می‎دهد. علاوه براین حدسی را برای ساختن گراف‎های (‎s+1)– رنگ‎پذیر بحرانی از گراف‎های s‎ – رنگ‎‎پذیر بحرانی معرفی می‎کنیم و نشان می‎‎دهیم که اگر این حدس، برای هر عدد طبیعی ‎s‎ برقرار باشد آنگاه هر ایده‎آل تک‎جمله‎ای آزاد از مربع ناآمیخته با ارتفاع 2‎ در حلق? ‎r‎ مانند ‎i‎، یعنی ایده‎آل پوششی گراف ‎g‎، دارای خاصیت پایا می‎باشد، به عبارت دیگر به ازای هر عدد طبیعی ‎s‎، ایده آلهای اول وابسته (r/(i^s زیر مجموعه ایده آلهای اول وابسته ((r/(i^(s+1 است. همچنین بطور جبری ثابت می‎‎شود که این حدس برقرار است اگر عدد رنگی کسری ‎g‎ ، x_(f)(g)‎، در رابط? (x(g) -1<x_(f)(g)<=x(g صدق کند. ‎

در این پایان نامه ما خانواده ی خاصی از ابرگراف ها را که کلاتر می نامیم مورد بررسی قرار می دهیم. و نشان می دهیم که کلاتر های با خاصیت رأسی آزاد لایه پذیراند. همچنین نشان می دهیم که اگر c یک کلاتر ناآمیخته با یک جورسازی کامل از نوع کونیگ بدون دورهایی از طول ‎3‎ یا ‎4‎ باشد، آنگاهc ? لایه پذیر محض است و کلاترهای قابل قبول کامل، ناآمیخته اند. همچنین رابطه ی بین گراف های دو بخشی کوهن-مکالی و لایه پذیری را مورد بررسی قرار می دهیم

فرض کنید g=(v,e) گرافی با مجموعه رئوس v و مجموعه یال e بوده و r=k[x1 , … , xn] حلقه چند جمله ای ها روی میدان k باشد. ایده آل i(g)، را ایده آل یالی گراف گوئیم هرگاه توسط تک جمله ای های xixj تولید شود که درآن {xi,xj} یالی از گراف است. زیرمجموعه ی w از مجموعه رئوس گراف را مستقل گوئیم هرگاه هیچ دو راسی از w مجاور نباشند. رابطه ی بسیار نزدیکی بین ایده آل یالی وهمبافت استقلال گراف،ind(g)، همبافتی با مجموعه رئوس v که وجه های آن مجموعه های مستقل g هستند، وجود دارد. به ازای هر گراف g، بعد تصویری g، pd(g)، همان بعد تصویری r-مدول ri(g) تعریف می شود. ثابت می کنیم که v(g) – i(g) < pd(g) < |v(g)| –{ epsilon(g) , tau(g) } و سر انجام با ارائه ی تعاریفی از ‎ c_{q}( delta ) ‎ و ‎ q-امین گروه همولوژی همبافت استقلال گراف، نتایجی را در باب کراندار کردن بعد تصویری گراف بیان می کنیم

فرض کنیدrحلقه چند جمله ای ها با n متغییرروی میدان k بوده وiیک ایده ال تک جمله ای آزاد از مربع از حلقهr باشد وبرای هر1< s فرض کنید(a ss (ri^s مجموعه ایده الهای اول وابسته بهri^s باشد بسیاری از خانواده های ایده الهای تک جمله ای ازاد ازمربع شناخته شده اند که درخاصیت پایداری برای ایده الهای اول وابسته صدق می کند باطرح این سوال که کدام ایده الهای تک جمله ای ازاد از مربع در خاصیت فوق صدق میکنند خانونده ای از ایده الهای تک جمله ای ازاد از مربع وابسته به یک گراف را معرفی و ثابت می کنیم که دراین خاصیت صدق می کنند در این پایان نامه اعضای (a ss (ri^s وعددپایداری معرفی می شود وویژگی پایداری برای بررسی میشود

در این پایان نامه به بررسی برخی از خواص ترکیبیاتی همبافتهای ساده گون پرداخته می شود. فرض کنید w یک زیر مجموعه v و ? یک همبافت ساده گون روی مجموعه رئوسv باشد. ما ابتدا رنگ آمیزی و رنگ آمیزی جزئی نسبت بهw را در مورد ? بررسی کرده ایم. سپس با ایجاد همبافت ساده گون ?_? که آنرا همبافت ساده گون آویزدار شده جزئی می نامیم، به بررسی خواص آن پرداخته ایم. در ادامه با فرض w=v به نتایج دیگری رسیده ایم و سپس -h بردار یک همبافت ساده گون را بررسی کرده ایم . در پایان به عنوان یک کاربرد همبافتهای استقلال گرافهای کردال را در نظر گرفته ایم.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه بستار راتلیف_ راش یک ایده آل وابسته به یک مدول در یک حلقه جابجایی بررسی شده است. این بستار خود یک فیلترسازی ایده آل هاست. اگر مدول همان حلقه باشد در این صورت این بستار به بستار معمول راتلیف - راش بدل می شود. این بستار به شکل اجتماع نامتناهی از ایده آل هاست. اگر حلقه نوتری باشد کرانی برای این اجتماع بدست می آید. در این پایان نامه مقدار این کران تحت شرایط خاص بررسی شده است. در این پایان نامه همچنین کاربرد این بستار در توابع هیلبرت بیان شده است.