در ابتدا با مضروب های موضعی تقریبی شروع می کنیم و بررسی می کنیم که در چه شرایطی مضروب های موضعی تقریبی ، مضروب می شوند. سپس در فصل بعدی به تبیین ارتباط مضروب ها با اشتقاق ها پرداخته و بررس می کنیم که چه شرایطی لازم است که اشتقاق های موضعی تقریبی ، اشتقاق شوند. در فصی بعدی به تعریف جبر های باناخ موضعاٌ یکال پرداخته و نتایج بدست آمده را برای این جبر ها گسترش می دهیم. در آخر نتایج بدست آمده را بر روی جبر باناخ تولید شده توسط خود توان ها ، جبر باناخ تولید شده توسط خود الحاق ها ، جبر گروهی از sin-گروه و گروه کلاٌ ناهمبند می آوریم.

در این رساله، وقتی که یک مشتق از یک جبر باناخ تعویض پذیر به توی دوگان آن یک عملگر خطی فشرده یا به طور ضعیف فشرده است، مورد نظرمان می باشد. قبل از حالت خاص، نشان می دهیم که اگر هیچ مشتق فشرده ای از جبر باناخ تعویض پذیر $a$ به توی دوگان آن وجود نداشته باشد آنگاه هیچ مشتق فشرده ای از جبر باناخ تعویض پذیر $a$ به توی هر $a$- مدول متقارن وجود ندارد و نتیجه مشابه آن برای فشردگی ضعیف برقرار است. سپس زمانی که مشتق از جبر پیچشی $ell^1(bbb z_+)$ به توی دوگان آن فشرده هستند و وقتی که به طور ضعیف فشرده هستند را مشخص می کنیم. حالت مشتق فشرده نسبتا ساده است و فضای چنین مشتق هایی به آسانی با $c_0(bbb n)$ تعیین می شوند. مشخص کردن مشتق به طور ضعیف فشرده بر حسب زیر مجموعه های انتقال متناهی $bbb z_+$، ترکیبی است.

در این پایان نامه،ما مفهوم زیرفضاهای تکمیل شده تقریبی فضای نرمدارو جبرهای باناخ تصویری تقریبی را مطالعه میکنیم.نشان داده خواهد شد که زیرفضای یک فضای باناخ دارای خاصیت تقریب،این خاصیت را به ارث میبرد اگر و تنها اگر تکمیل شده تقریبی باشد.در این بررسی،نتایج متعدد در مورد رابطه میانگین پذیری و تکمیل شده تقریبی بودن زیرفضا وجود دارد. برای مثال،یک جبر باناخ میانگین پذیرایدآل چپ،راست یا دو طرفه واحد تقریبی راست،چپ یا دوطرفه میپذیرد اگروتنها اگر تکمیل شده تقریبی باشد.

وجود روشی جهت یافتن نقاط بهترین تقریب یک خود نگاشت از دو رویکرد قابل تامل است. اول اینکه مفهوم نقطه بهترین تقریب یک خود نگاشت، تعمیم مفهوم نقطه ثابت است و دوم، قضایای نقطه بهترین تقریب، در مقایسه با قضایای بهترین تقریب این برتری ارزشمند را دارند که از شرط پیوستگی نگاشتها کاسته و روشی برای تقریب زدن نقطه تقریب و بهترین تقریب را بدست می دهد. در این رساله وجود نقطه بهترین تقریب برای نگاشتهای دوری از دو رویکرد متفاوت مورد بررسی قرار گرفته است. در رویکرد اول از مفاهیم توپولوژیکی برای یافتن این نقاط استفاده نموده و در رویکرد دوم از ویژگی های توپولوژیکی کاسته و روابط ترتیب را جایگزین می نماییم.

ما در این مجموعه نشان خواهیم داد اگر l یک نیم مشبکه باشد آنگاه l^1(l) که با ضرب پیچشی یک جبر باناخ است ، دفیفا زمانی یکدست می شود که l بطور یکنواخت موضعا متناهی باشد آنگاه به عنوان یک جبر باناخ ، با فضای باناخ l^1(l) که به ضرب نقطه وار مجهز شده، یکریخت است و در نهایت نشان خواهیم داد که این تکنیک جطور می تواند به اثبات یکدستی جبر های نیم گروه کلیفورد توسیع پیدا بکند.

در این پایان نامه مثالی از فضای باناخ ارائه می دهیم که اندیس عددیش به طور اکیدبزرگتر از اندیس عددی دوگان فضا است. اما حالت های خاصی می توان روی فضا ایجاد کرد که اندیس عددی فضا با اندیس عددی دوگان فضا برابر باشد (مثلاً اگر فضا انعکاسی یا دارای خاصیت رادون نیکودیم باشد). همچنین فضای باناخی ارائه می دهیم که پربار نیست ولی دوگان آن پربار است با این مثال نشان می دهیم که اندیس عددی یک معادل پرباری نیست.همچنین خاصیت های مشخصه برای فضای پرباری روی فضای خارج قسمتی از فضاهای l1(m)ونتایج جدید روی زیر فضاهای c-غنی از c(k) ارائه میدهیم. همچنین نشان می دهیم که فضای پربار ممکن است دوگان پرباری نداشته باشد ولی اگر دوگان دوم فضا پربار باشد حتماً خود فضا پربار است.

نظریه نقطه ثابت کاربردهای متعددی در حل مسائل معادلات دیفرانسیل، نظریه بازی ها و اقتصاد دارد. در این رساله چند نتیجه را برای ‎ نقطه ثابت برخی نگاشت ها و چندتابعی ها بررسی خواهیم نمود. در ادامه، مفهوم چندتابعی های نیم محدب را ارائه و نشان خواهیم داد که این مفهوم مستقل از مفاهیم قدیمی مرتبط است. همچنین نتایجی در خصوص نقطه ثابت چندتابعی های نیم محدب ارائه می کنیم. در سال 2008، سوزوکی تعمیم جدیدی از اصل انقباضی باناخ ارائه داد و بعد از آن برخی محققین آنرا به روش های مختلفی تعمیم دادند. در این رساله با ارائه یک روش جدید نشان خواهیم داد که بسیاری از این نتایج اخیر، حالت خاص این روش هستند. در ادامه به بررسی روش تکراری رایخ خواهیم پرداخت و با ترکیب آن با روش سوزوکی، نتایج جدیدی روی فضاهای متریک و گراف ها ارائه خواهیم نمود. بالاخره، اثباتی از قضیه کریستی روی گراف ها ارائه خواهیم نمود.

چکیده:نظریه نقطه ثابت, به خاطر کاربرد آن در حل معادلات دیفرانسیل و همچنین کاربرد ان در سایر شاخه های ریاضیات و نیز سایر علوم به زمینه مهمی از ریاضیات محض و کاربردی تبدیل شده است . محققین بسیاری تلاش نموده اند بین نظریه نقطه ثابت و گرایش های دیگر ریاضی، بخصوص توپولوژی جبری ارتباط برقرار کنند. بهترین روش برای ایجاد ارتباط، بررسی خواص توپولوژیک مجموعه نقاط ثابت چند تابعی ها است. همچنین افراد بسیاری سعی نموده اند نتایجی را در این زمینه با به کارگیری شرایط مختلف برای چند تابعی ها بدست آورند. در سال ‎2007‎، سنت مارین نتایجی را ارائه نمود که نشان می داد تحت چه شرایطی مجموعه نقاط ثابت مشترک دو چند تابعی می تواند درون بری مطلق برای فضاهای متریک باشد. در این رساله نتایج سنت مارین را تعمیم خواهیم داد. در سال ‎2012‎، صامت‎ و همکارانش روش جدیدی را در نظریه نقطه ثابت با به کارگیری تابعی مانند ‎ به عنوان یک ضریب ارائه نمودند. نتایج آنان بسیاری از نظریه های قدیمی مرتبط نقطه ثابت بخصوص روی فضاهای متریک مرتب را تعمیم می داد. در این رساله با بکارگیری متد سوزوکی و نیز به کارگیری روش جدید صامت و همکارانش، نتایجی ارائه خواهد شد که نتایج قبلی را بهبود خواهد بخشید. در سال های اخیر، نتایج متعددی درباره ی روش های تکراری برای نگاشت های مختلف ازجمله نگاشت های غیرمنبسط و هیبریدی تعمیم یافته ارائه شده اند. در فصل آخر این رساله به بررسی برخی روش های تکراری برای نگاشت های ‎هیبریدی می پردازیم و نتایجی جدید بررسی می شوند که برخی نتایج قدیمی مرتبط در این زمینه را تعمیم می دهند.

نظریه نقطه ثابت زوجی یک روش برای مشخص نمودن برخی ویژگی های فضاهای متریک است. در این رساله قضایای نقطه ثابت زوجی را برای برخی نگاشت ها و توابع مجموع مقدار ارایه خواهیم نمود. همچنین مفهوم نگاشت های ‎?-?-انقباضی را معرفی خواهیم کرد و به بررسی چند قضیه برای نقاط ثابت زوجی چنین نگاشت هایی می پردازیم. در این رساله قصد داریم نشان دهیم که بسیاری از نتایج نقاط ثابت زوجی ‏را می توان با به کارگیری ‎‏یک‎ روش ساده‏، از قضایای موجود نظریه نقطه ثابت بدست آورد. همچنین‏، به بررسی برخی کاربردهای نقطه ثابت زوجی به خصوص معادلات دیفرانسیل برای نگاشتهای انقباضی خواهیم پرداخت.

تاکنون پایداری به مفهوم هایرز-اولام-راسیاس برای بسیاری از معادلات تابعی بررسی شده است.در این رساله پایداری چند معادله تابعی را بررسی خواهیم کرد. در این راستا بعضی نتایج پایداری هایرز-اولام برای نگاشت های مجموعه ای مقدار با استفاده از روش عملگر پیکارد به طور ضعیف را بررسی خواهیم نمود.همچنین،کاربردی از شمول انتگرالی را ارائه و انواع مختلف پایداری اولام برای معادلات انتگرالی نگاشت های مجموعه ای مقدار را بررسی خواهیم کرد. در سال 1991، بیکر روش نقطه ثابت را، که دومین تکنیک ویژه اثبات پایداری هایرز-اولام معادلات تابعی است، به کار برد با به کار بردن روش نقطه ثابت، تعمیم پایداری هایرز-اولام همومورفیسم هاو مشتقات روی جبر های باناخ را ارائه خواهیم داد.

این پایان نامه شامل سه فصل می باشد که در فصل اول به ارائه مقدمات لازم برای آمادگی جهت مطالعه فصلهای بعدی پرداخته شده است. در فصل دوم به ارائه مفاهیمی از میانگین پذیری (انقباض پذیری) تقریبی و روابط بین این مفاهیم می پردازیم و سرانجام در فصل سوم تعمیم های تقریبی از میانگین پذیری مشخصه ای را ارائه داده و چند مثال در این مورد بیان می کنیم. همچنین در این فصل میانگین پذیری مشخصه ای تقریبی را برای برخی از گروه های موضعاً فشرده و نیم گروه های گسسته بررسی می کنیم. در این پایان نامه ثابت می کنیم که یک جبر باناخ میانگین پذیر ضعیف-ستاره است اگروتنهااگر میانگین پذیر مشخصه ای تقریبی است اگروتنهااگر انقباض پذیر مشخصه ای تقریبی است. بعلاوه نمونه هایی ارائه شده است که نشان می دهند میانگین پذیری مشخصه ای تقریبی، میانگین پذیری مشخصه ای یکنواخت تقریبی یکنواخت را نتیجه نمی دهد.

در این ‏پایاننامه ‏قصد داریم به بررسی نامساوی کوشی ـ شوارتز برای عملگرهای مختلط مقدار خود الحاق روی فضاهای هیلبرت بپردازیم. در این راستا مثال های مختلفی ارائه خواهیم نمود. ‎همچنین معکوس نامساوی مثلثی در ‏ ‎ c^{*} ‎ -‏مدول های هیلبرت را بررسی خواهیم نمود. بالاخره معکوس نامساوی های کوشی ـ شوارتز جمعی و ضربی را برای فرم های یک و نیم خطی مورد مطالعه ‏قرار خواهیم داد.

در چند دهه اخیر تلاش های زیادی برای ترکیب کردن نظریه نقطه ثابت با سایر شاخه های ریاضی از جمله معادلات دیفرانسیل،هندسه و توپولوژی جبری صورت گرفته است. درسال ‎2005‎ اچنکیو با ارایه یک اثبات کوتاه برای قضیه نقطه ثابت تارسکی ترکیب نظریه نقطه ثابت و نظریه گراف را شروع کرد. در سال ‎2006‎ اسپینولا و کرک ترکیب این دو نظریه را ادامه دادند و قضایای بسیار مفیدی ارائه نمودند‎‎‏. در سال ‎2008‎ یاچیمسکی با ادامه دادن این ایده ها قضایای مفیدی در باره گراف ها به اثبات رساند‎‎‎. بعداً دونالد ریگان در ‎2008،‎ بوژور در ‎2010،‎ بگ‏،بات و رادویویچ در‎2010،‎ اسپینولا و نیکولای در ‎2011،‎ اوریگان و پتروشل در‎2012،‎ بوژور در ‎2012‎، آل عمرانی نژاد‏، رضاپور و شهزاد در‎2012 ‎‏ ‎‎مقالاتی در این زمینه به چاپ رساندند. اخیراً این زمینه مورد توجه پژوهشگران این گرایش واقع شده است.

نظریه نقطه ثابت یکی از شاخه های مهم و اساسی در ریاضیات و آنالیز خطی و غیرخطی است.مهمترین نتیجه در نظریه نقطه ثابت اصل انقباض باناخ است. حالات مختلفی از این اصل در فضاهای متفاوت ارایه شده است و همچنین تعمیم های متعددی از آن برای نگاشت ها و چندتابعی های از نوع انقباضی به اثبات رسیده است. در این رساله ابتدا مفاهیمی از قبیل نگاشتها و چندتابعی های eta-پذیرفتنی، eta-منقبض، eta-همگرا،eta-psi-xi- انقباضی و غیره را تعریف نموده و به بیان نتایج در ارتباط با نقطه ثابت چنین چندتابعی هایی میپردازیم. همچنین مفهوم نقطه انتهایی را برای یک چندتابعی مطرح و به تعمیم برخی نتایج نقطه انتهایی می پردازیم

بسیاری از نگاشت ها وجود دارند که نقطه ثابت ندارند. در چنین موقعیتی، نقاط ثابت تقریبی نقش مهمی ایفا می کنند. نظریه نقطه ثابت تقریبی کاربردهای فراوانی در اقتصاد، نظریه بازی، برنامه ریزی دینامیکی، آنالیز غیرخطی، نظریه معادلات دیفرانسیل و چندین زمینه دیگر از آنالیز کاربرد دارد. بنابراین تحقیق و پژوهش در این شاخه از اهمیت ویژه ای برخوردار است. در این رساله سعی داریم نتایجی درباره نقطه ثابت تقریبی و نقطه ثابت انواع نگاشت ها بخصوص نگاشت های ‎$-alpha$‎انقباضی تعمیم یافته، انقباض های محدب تعمیم یافته و چند تابعی های را در فضاهای متریک بررسی کنیم. همچنین چند نتیجه درباره نقطه ثابت تقریبی و نقطه ثابت چندتابعی های ‎$-eta$‎انقباضی تعمیم یافته را نیز روی فضاهای متریک بررسی می کنیم.

در این پایان نامه نشان خواهیم داد که اندیس عددی مجموع مطلق فضاهای باناخ کوچکتر یا مساوی ازاینفیمم اندیس های عددی جمعوندهاست و تعدادی مثال در این مورد می آوریم.همچنین نشان می دهیم که اندیس عددی یک فضای باناخ که شامل اجتماع چگال صعودی نسبت به زیرفضاهای1-تکمیل شده می باشد,بزرگتر یا مساوی حد بالای اندیس های عددی آن زیر فضاهاست وبالاخره فضاهای lpنامتناهی البعد دارای همان اندیس عددی هستند. در این مقاله نخست تعریفی از اندیس عددی و شعاع عددی وبرد عددی آورده ایم که فضاهای باناخ حقیقی و مختلط نسبت به اندیس عددی همرفتار نیستند. همچنین روی اندیس عددی فضاهای کخ و بوخنر بحث می کنیم.

در این پایان نامه ابندا تعاریف و قضایای اصلی میانگین پدیری ضعیف را بیان می کنیم سپس به بررسی میانگین پذیری ضعیف جبرهای برلنگ تعویض پدیر می پذدازیم و سپس در مورد 2- میانگین پدیری ضعبف روی جبرهای برلینگ به بررسی مس پردازیم. در فصل آخر نیز به بیان مسایل باز می پردازیم