در اینپایان نامه روشهای تصویری برای حل معادلات نوع دوم مورد بررسی قرار گرفته است.در ابتدا به طور خاص به روش تصویری گالرکین به عنوان یکی از مهمترین روشهای تصویری پرداخته می شود. در ادامه چند مثال از روش گالرکین اورده می شود. سپس روش تصویری تکراری و روش حل تکراری گالرکین مورد استفاده قرار می گیرد. در هر مورد همگرایی روش مورد بررسی قرار می گیرد.سپس یک چارچوب تئوری برای انالیز همگرایی روش پتروگالرکین و فوق همگرایی روش پترو گالرکین تکراری برای معادلات انتگرال نوع دوم فردهلم را گسترش می دهیم. به عنوان مهمترین مفهوم در انالیز مفهوم بهترین تقریب کلی و زوج منظم از دنباله فضای اصلی x_nو فضای ازمون y_n رامعرفی می کنیم. در فضاهای هیلبرت زوج منظم رادر جملاتی از زاویه ی بین دو دنباله ی فضایا تصویرهایی از بهترین تقریب کلی مشخص می کنیم. چندین ترکیب معین از عناصر پتروگالرکین را برای معادلات یک بعدی معرفی می کنیم و همگرایی روش پتروگالرکین و روش پتروگالرکین تکراری را با به کار بردن عناصرشان ثابت می کنیم.

روش نقطه بیرونی یکی از جدیدترین روش های ارائه شده برای حل مسئله برنامه ریزی خطی می باشد، هدف از تهیه این رساله معرفی این روش و بررسی آن در مسائل برنامه ریزی خطی و همچنین مسائل جریان شبکه می باشد . پایان نامه شامل سه بخش می باشد، فصل اول حاوی تعاریف اولیه و قضایای بنیادی برای آشنایی با برنامه ریزی خطی و مسئله جریان شبکه می باشد . فصل دوم به ارائه روش نقطه بیرونی برای مسئله برنامه ریزی خطی اختصاص دارد، در این فصل به اثبات درستی الگوریتم می پردازیم و با ارائه جداول و نمودارهایی به تفاوت های میان این روش با روش سیمپلکس در تعداد تکرار و زمان اجرای الگوریتم خواهیم پرداخت . در فصل سوم روش نقطه بیرونی برای مسئله جریان شبکه با حداقل هزینه ارائه می شود و با بررسی آن بر روی شبکه و اثبات خوش تعریف بودن الگوریتم، با استفاده از جداول و نمودارهایی به بررسی رابطه بین تعداد تکرارها و زمان اجرای الگوریتم با بعد شبکه (تعداد گره های شبکه) خواهیم پرداخت .

در این رساله روش تاو عملیاتی همراه با تجزیه ادومیان برای حل عددی از معادله انتگرال-دیفرانسیل ولترای غیر خطی و نیز دستگاه معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترای غیر خطی بکار رفته است. همچنین از تقریب پاده برای بهبود بخشیدن جواب حاصل استفاده شده است. این روش ضمن برخورداری از دقت کافی، از محاسبات پیچیده ای نیز برخوردار نیست و در تمامی مراحل از عملیّات ساده ماتریسی استفاده شده است. در انتهای هر فصل مثالهایی آورده شده است که نتایج آنها دقّت و کارآیی خوب روش تاو عملیّاتی را نشان می دهد.

پایه استاندارد که در روش سیمپلکس استفاده می شود تعمیم می یابد تا شامل ماتریس های مستطیلی نیز شود. در این حالت تعداد ستون های ماتریس پایه از تعداد سطرهای ان کمتر است. با استفاده از تجزیه ی lu این ماتریس پایه تجزیه شده و در هر تکرار عامل های lu آن به هنگام می شموند تا بهینگی به دست آید. مزیت این روش نست به روش سیمپلکس استاندارد، اجتناب از دور می باشد. در بخشی از این پایان نامه الگوریتم پیشنهادی روی 50 مسئله بزرگ جهان واقعی امتحان شده و کارآمدی آن اثبات می شود.

در این پایان نامه جواب تقریبی معادلات با مشتقات جزئی خطی و غیر خطی را مطالعه می کنیم که به صورت ترکیب خطی متناهی از rbfها نوشته می شود مبنای کار روش هم محلی می باشد در این روشها همواره یک ماتریس مربعی درونیاب بدست می آید که بسیار بدحالت بوده بنابراین حل دستگاه و محاسبه ی جواب به طور دستی کار سختی بوده برای همین دلیل و همچنین به دلیل بعد بالای ماتریس از نرم افزار مطلب استفاده می کنیم.

برای حل معادلات انتگرالی فردهلم نوع دوم، یک تابعک خطی تعمیم یافته معرفی و یک تقریب نوع پاده تابع مقدار جدید تعریف شده است. به کمک بسط سری توانی جواب ، این روش میتوان یک جواب تقریبی برای حل این معادله انتگرال پیدا کرد . روی پایه چند جمله ایهای متعامد ، دو بیان مفید بسط دترمینان چند جمله ای صورت وچند جمله ای مخرج برای تقریب نوع پاده به صراحت داده شده است.

برای مسائل مقداراولیه یا مرزی شامل معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم با هسته های به طور ضعیف منفرد یا با هسته های ناهموار دیگر، ویژگی های همواری جواب ها را مطالعه می کنیم. تقریب هایی را به جواب و مشتقات یک مسأله مقدارمرزی شامل معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم خطی مرتبهn ام با هسته های به طور ضعیف منفرد یا هسته های ناهموار دیگر می یابیم. این تقریب ها به صورت توابع چندجمله ای تکه ای روی شبکه مدرج هستند که برای یافتن این تقریب ها، روش هم محلی چند جمله ای تکه ای را بکار می بریم. در ادامه با استفاده از شبکه های مدرج، تخمین های همگرایی بهینه و کل را بدست می آوریم. ومرتبه همگرایی کل ومرتبه همگرایی محلی جواب ها را برای همه مقادیر توان شبکه مدرج، برسی می کنیم. درپایان مثال عددی ارائه می شود که درآن نتایج تئوری بخوبی با سرعت همگرایی مطابقت دارد.

مقاله به صورت زیر تشکیل شده است: در بخش بعدی چندجمله ای های لژاندر و ویژگیهای تعامد و بازگشتی آن را بررسی می کنیم. در فصل سوم با استفاده از روش گالرکین طیفی لژاندر، همگرایی برای جوابهای عددی معادلات انتگرال ولترا خطی نوع دوم بدست می آوریم، و همچنین روشهای عددی را پیاده سازی می کنیم. در فصل چهار، ما برخی از نتایج عددی را برای درستی دقت طیفی طرح پیشنهادی که نشان دادیم، منطبق با تجزیه و تحلیل تئوری خیلی خوب ارائه می دهیم، و همچنین مثالهایی به طور عددی آورده شده اند که با نتایج فرضی شرح داده می شوند.

چکیده ندارد.

: روش های عددی مثل روش های تصویری، روش هم محلی، روش نیستروم، روش تجزیه آدومیان و بعضی دیگر برای حل معادلات انتگرال ولترا-فردهلم استفاده می شود. هدف اصلی از این پایان نامه پس از بررسی توابع پایه ای متعامد قطعه ای ثابت و ماتریس عملیاتی به بررسی استفاده از این توابع مختلف و خطای ناشی از این بسط اشاره شده است. در ادامه به بکار گیری توابع پالس بلوکی دو بعدی در حل معادلات انتگرال ولترا غیر خطی پرداخته شده است. در این راستا یک روش کاربردی بر پایه استفاده از توابع پالس بلوکی در حل این نوع معادلات معرفی شده است. با استفاده از توابع پالس بلوکی قطعه ای ثابت و ماتریس عملیاتی انتگرالیری شده از آن معادلات انتگرال به یک دستگاه پایین مثلثی تبدیل می شود که این دستگاه به کمک روشهای مختلف تکراری قابل حل است.در مورد سرعت همگرایی و خطای روش بحث شده است. چندین مثال و نتایج عددی حاصل با استفاده از روش گفته شده مورد بررسی شده است.

توابع مثلثی دو بعدی، پایه ای جدید برای بسط توابع دو متغیره معرفی شده است. خواص توابع مثلثی دو بعدی همانند توابع مثلثی یک بعدی می باشد. در واقع توابع مثلثی متعامد از تجزیه توابع پالس- بلوکی بدست می آید و توابع مثلثی دو بعدی، تعمیمی از نوع یک بعدی آن می باشد. در این روش تمام توابع مجهول و یا معلوم با استفاده از توابع مثلثی بسط داده می شود و با بهره جویی از ماتریس عملگر انتگرال گیری p، به سادگی معادله انتگرالی به دستگاه معادلات جبری تبدیل می شود. از حل این دستگاه، تقریبی از جواب معادله ی انتگرالی بدست می آید. مثال های ارایه شده بیانگر دقت مطلوب روش می باشد.

روش مو جک هار برای حل معادلات انتگرال کسری قابل اجراست. در این پایان نامه در دو فصل اول به طور خلاصه و بیشتر به تعاریف مقدماتی درباره حساب دیفرانسیل کسری و موجک ها و بخصوص موجک هار، خواهیم پرداخت. در فصل سوم، روش موجک هار را برای معادلات انتگرال کسری ولترا و فردهلم اجرا خواهیم کرد، این کار در دو مثال عددی نشان داده خواهد شد، در این مثال ها به بررسی انواع خطاها می پردازیم و خواهیم دید که این روش بسیار ساده است.

چکیده در این پاین نامه ،روش ااختلال هموتوپی را برای حل معادلات انتگرال ولترای خطی و غیر خطی به کار برده ایم و به معرفی روش تبدیل دیفرانسیل پرداخته شده است و سپس روش اختلال هموتوپی رابا روش تبدیل دیفرانسیل برای حل معادلات انتگرال دوبعدی مقایسه کرده ایم.همچنین تعدادی مثال برای مشخص کردن دقت این روش ارایه شده است.از دیدگاه محاسباتی ، روش اختلال هموتوپی موثر و برای استفاده آسان تر است

در این پایان نامه، روش بسط تیلور برای حل تقریبی یک رده از معادلات انتگرال دیفرانسیل کسری خطی شامل انواع فردهلم و ولترا ارائه شده است. با استفاده از بسط تیلورمرتبه mام تابع مجهول در یک نقطه دلخواه، معادله انتگرال دیفرانسیل کسری خطی به طور تقریبی می تواند به یک دستگاه از معادلات برای تابع مجهول خودش و مشتقات مرتبه mام اش تحت شرایط اولیه تبدیل شود. این روش یک فرم حل ساده و بسته برای معادله انتگرال دیفرانسیل کسری خطی ارائه می دهد. علاوه بر این مثال های گویا برای نشان دادن کارایی و دقت روش پیشنهادی معرفی شده اند.

روش تکرار تغییراتی اولین بار توسط هی معرفی شد. برای استفاده از این روش ابتدا لازم است که ضریب لاگرانژ ‎ تعیین شود. روش تکرار تغییراتی، روشی آسان و دقیق برای مسائل با بعد بزرگ می باشد که با همگرایی سریع به جواب دقیق میل می کند. چون با روش استاندارد ‎vim‎ حل مسائل غیرخطی معمولا مشکل است از روش بهبود یافته ‎vim‎ استفاده می کنیم. با روش تکرار تغییراتی بهبود یافته، معادله دافینگ مرتبط با عبارت اجباری انتگرالی و بدون انتگرال را حل می کنیم با این اصلاح نیازی به بدست آوردن ثابتهای مجهول در جواب اولیه نمی باشد. مقایسه نتایج عددی بدست آمده از این روش نشان دهنده دقت مطلوب آن می باشد.

در سه دهه گذشته استفاده از توابع پایه ای شعاعی‎ ‎‎بعنوان یک روش بدون شبکه,‎ ‎‏در‎ علوم مختلف,‎ ‎‏به‎ طور چشم گیری افزایش یافته است. روش توابع پایه ای شعاعی در واقع تعمیم روش چندربعی‎ ‎‎یا‎ به اختصار‎ ‏روش ‎mq‎‏ است که در سال 1968توسط زمین شناسی به نام هاردی‎‎ltrfootnote{hardy}‎‏‎ ارائه شد‎ cite{hardy 1}‎‎‏. هاردی روش مذکور را برای حل مسئله ای در نقشه برداری بوجود آورد. او به تابعی مناسب برای ایجاد نقشه ای با خطای کم از داد‏ه هایی اندک و پراکنده نیاز داشت. برای مثال او توانست این روش را برای رسم نقشه ای از یک صخره‎,‎ با دقت بالا بکار گیرد. روش برای ناهمواریهایی مانند دره ها,‎ ‎‏مناطق‎ ذهکشی,‎ ‎‏قله‎ تپه ها و صخره ها نیز کاربرد داشت. تا آن زمان توابع درونیاب دیگری مانند روش های درونیابی فوریه یا چندجمله ای برای تقریب سطوح در نقشه برداری ارائه شده بود که هر کدام مشکلات خاص خود را داشت. برای مثال روش درونیابی چندجمله ای با داده های اندک,‎ ‎‏قادر‎ به ارائه ی تقریبی دقیق برای تغییرات ناگهانی در سطوح‎,‎ نبود‎cite{hardy 1}‎‏ و یا درونیابی فوریه مشکلاتی با داده های اندک داشت و سری های فوریه,‎ ‎‏تابعی‎ با نوسان زیاد بین نقاط درونیابی ایجاد می کردند ‎‎‎. روش کمترین مربعات بر اساس چندجمله ایها و سری های فوریه نیز برای سطوح نقشه برداری استفاده شده بود‎,‎‏که بعدا‎‏ً پی بردند این روش نیز دقت کافی را برای تقریب داده ها ندارد. این نقیصه ها در روش های مذکور, هاردی را به سمت ارائه روش جدید سوق داد که کم و کاستی های روش های قبلی را نداشته باشد. در نهایت هاردی روش چندربعی را معرفی کرد.

مسائل اغتشاشی غیرعادی یک فضای وسیع و غنی در حال پیشرفت از کشفیات برای ریاضیات و فیزیک و سایر تحقیقات است. روشهای مختلفی وجود دارد که برای حل این مسائل بکار می رود. اساس بسیاری از این اینها شامل بسط های مجانبی است. روشهایی که در این پایان نامه آورده شده عبارتند از بسط مجانبی سازگارشده‏، تقریب به روش ‎‎$ wkb $‎‎‏ ‏، روش مقیاس چندگانه‏، نرمالسازی مجدد‏، روش پوانکاره - لیندستت‏ ‎ltrfootnote{poincare-lindstedt}‎ و روش میانگین گیری است.‎‎ هدف اصلی ‏پایان نامه بیان یک دید کلی و جامع از مسائل اغتشاشی و توضیح روشهای ریاضی برای بدست آوردن جواب تحلیلی برای مسائل اغتشاشی غیرعادی است که بطور دقیق قابل حل نیستند.

سیاست کیفری به معنای واکنش مبتنی بر کیفر جامعه در قبال فعل یا ترک فعلی است که بیانگر ضدیت با ارزش های اساسی متبلور در نظم عمومی،مهار پدیده بزهکاری ومبارزه برعلیه مرتکبان آن که حیات و نظم جامعه را به خطر می اندازند می باشد. جرایم اقتصادی دارای ویژگی های منحصر به فردی از نظر نوع جرم ،مرتکب ،دامنه آثار و نتایج آن به دلیل اینکه این جرایم:نوعاً بزه دیده مشخصی ندارند و اثرات سوءآنها در میان جامعه پخش و توزیع نشده و افکار عمومی را تحریک نمی کنند. و جنبه فراملی داشته، به لحاظ اخلالی که درزندگی مردم ایجاد می کنند موجب ایراد خسارت های جبران ناپذیری به روابط مالی مردم باهمدیگر و مردم با دولت می شوند به بنای حکومت نیز لطمه وارد می کنند و مرتکبان این جرایم ؛ افرادی حرفه ای، زیرک و دارای نفوذ هستند، که با کمک دانش واطلاعات غالبا مبتنی بر رانتی که در زمینه امور اداری و اقتصادی دارند مرتکب جرم می شوند، ضرورت وجود سیاست کیفری منسجم ،هوشمندانه و عاری از عیب ونقص بیشتر احساس می شود در این فعالیت پژوهشی که روش تحقیق با توجه به ماهیت نظری آن توصیفی-تحلیلی از نوع اسنادی است. کاستی های سیاست کیفری ایران در قبال این جرایم با توجه به ابعاد ماهوی و شکلی سیاست کیفری در دو فصل مجزا مورد بحث وبررسی قرار گرفته و در این رهگذر مشکلات مربوط به حوزه قانونگذاری ، خلاء های قانونی ، مجازات ها،نهادهای عدالت کیفری ، اشکال مختلف رسیدگی به جرایم اقتصادی مورد توجه واقع شده است ودر پایان پس از نتیجه گیری پیشنهادات لازم برای رفع کاستی های موجود ارائه شده است.

موضوع تعلیم و تربیت از همان سال های نخستین زندگی بشر جزء موارد ضروری و حیاتی زندگی بوده است. امروزه نیز هر نظام سیاسی برای انتقال ارزش ها، هنجارها، شعارها، فرهنگ و به طور کلی مکتب خود نیاز به نظام تعلیم و تربیت دارد که نظام جمهوری اسلامی ایران نیز از این قاعده مستثنی نیست. نظام فعلی آموزش و پرورش رسمی کشور نظامی تقلیدی وکهنه می باشد که دارای مشکلات فراوانی است و از این رو مقام معظم رهبری حضرت امام خامنه ای این نظام را نیازمند تحول دانسته اند و مسئولان نیز در این راستا اقداماتی را انجام داده اند. این پژوهش نیز به دنبال یافتن اولویت های راهبردی تحول در نظام آموزش و پرورش از دیدگاه مقام معظم رهبری بوده است و در این راستا به بررسی بیانات معظم له در طول سالیان رهبری ایشان پرداخته است که در این میان نهایتا به 6 مضمون سازمان دهنده نهایی رسیده است که عبارتند از: منابع انسانی تحول آفرین، فرهنگ اسلامی آموزش و پرورش، محتوا و روش چالشی و تربیتی، متصدی انقلابی، موثران تحول آفرین و برنامه ریزی راهبردی. در نهایت پس از ترسیم نقشه مفهومی تحول نظام آموزش و پرورش از دیدگاه معظم له به بیان توصیه های خط مشی گذاری در نظام تعلیم و تربیت پرداخته است.

صحیفه سجادیه که به اخت القرآن و زبور آل محمد (ص) معروف است پس از قرآن کریم و نهج البلاغه بزرگ ترین گنجینه گران بهای حقایق و معارف الهی به شمار می رود. این کتاب اثر جاویدان امام سجاد(ع) است که در بر گیرنده 54 دعا در موضوعات مختلف عقیدتی، سیاسی، اجتماعی و فرهنگی می باشد. آرایه های بلاغی، ابزار آراستن کلام و نیکو سخن گفتن است و از آن جایی که این کتاب از زبان امام معصوم (ع) بیان گردیده است از نمونه های بارز فصاحت و بلاغت عربی به شمار می رود. امام سجاد (ع) در دعاهای صحیفه سجادیه با به کارگیری این عناصر به خالصانه ترین و عمیق ترین نوع نیایش با خداوند هستی پرداخته است که در دل و جان خواننده عاشق تاثیر شگرف می گذارد. در این پایان نامه به بررسی آرایه های بلاغی موجود در دعاهای صحیفه سجادیه پرداخته شده است. روش گردآوری مطالب در این مجموعه به صورت «کتابخانه ای» بوده و آنچه از تحقیق و پژوهش در این پایان نامه به دست می آید این است که در غالب دعاهای صحیفه سجادیه بر استفاده از ذکر شریف صلوات بر محمد و آل محمد (ص) تاکید شده است و بیشتر جملات انشائیه که در صحیفه سجادیه به کار رفته است در معنای دعا می باشد.

معادلات انتگرال یکی از ابزارهای مهم در ریاضیات کاربردی و محض است. این نوع معادلات در مدل سازی بسیاری از پدیده های غیرخطی، پدیده های فیزیکی و علوم مهندسی ظاهر می شوند. اکثر پدیده های فیزیکی و مسائل مهندسی مانند دینامیک سیالات، مکانیک کوانتومی، انتقال حرارت، رشد جمعیت و وراثت، مطالعه ی رفتار راکتورهای هسته ای ، انتقال بیماری و ... را می توان از طریق مدل سازی ریاضی آن ها درک کرد. در واقع بعد از بیان فیزیکی این مسائل می توان مدل ریاضی آن را بیان کرد که با توجه به نوع تحلیل به کار رفته و همچنین فرایند مورد مطالعه، معادلات حاصل به شکل معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، معادلات انتگرال یا معادلات انتگرال-دیفرانسیل می باشد. حال فرض کنید یک سیستم فیزیکی با استفاده از معادلات انتگرال و معادلات انتگرال-دیفرانسیل مدل سازی شده باشد. به دست آوردن جواب تحلیلی این معادلات اگر ممکن باشد‏، خیلی دشوار و پیچیده است. با گسترش و پیشرفت کامپیوترها و به وجود آمدن زبان های برنامه نویسی، روش های عددی که تقریبی برای جواب این نوع معادلات به دست می آورند، اهمیت ویژه ای پیدا کردند. از این رو مطالعات قابل توجه و زیادی برای حل معادلات انتگرال و انتگرال-دیفرانسیل یک بعدی انجام شده است. همچنین در سال های اخیر استفاده از محاسبات کسری به طور گسترده ای در علوم مختلف مورد بررسی قرار گرفته است. از این رو حل معادلات شامل انتگرال و مشتق کسری از اهمیت خاصی برخوردار است و افراد بسیاری را برای به دست آوردن روشی سریع و کارا به تکاپو واداشته است. روش تبدیل دیفرانسیل نیز یک روش تحلیلی-تقریبی بر اساس سری تیلور می باشد. این روش نیز کارایی خود را در حل معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، معادلات انتگرال و معادلات انتگرال-دیفرانسیل نشان داده است. اهمیت پایان نامه به دلیل کاربرد برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل خطی و به ویژه غیرخطی می باشد‏، همچنین سرعت بالای محاسباتی نسبت به روش سری تیلور و دقت بالا و کاهش حجم محاسبات باکاهش مراحل حل سری ها‏، از دیگر علل اهمیت پایان نامه می باشد. این‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ روش نتایج قابل قبولی نسبت به روش های قبلی موجود ارائه می دهد و روشی کاربردی و امیدبخش برای کلاس گسترده ای از مسائل خطی و غیر خطی در قضیه ی محاسبات کسری می باشد

مسایل اشتورم-لیوویل کسری که به مسایل مقدار ویژه موسوم هستند در خیلی از مسایل فیزیک، مهندسی و ریاضیات کاربردی ظاهر می شوند.بنابراین این مسایل که در کانون توجه ریاضیدانان و فیزیکدانان قرار گرفته است برای اولین بار حدود 170 سال قبل معرفی شدند. در این پایان نامه به معرفی مسایل اشتورم-لیوویل کسری شامل معادلات دیفرانسیل کسری از مرتبه دلخواه آلفا می پردازیم.مشتق و انتگرال ریمن-لیوویل و مشتقات کاپوتو نقش مهمی در این مسایل ایفا می کنند.این مسایل در دو نوع منظم و نامنظم مورد بررسی قرار گرفتند و در ادامه به بررسی و محاسبه مقادیر ویژه و توابع ویژه آن ها از طریق معادله کسری لژاندر پرداخته شده است. این پایان نامه شامل چهار فصل می باشد که در فصل اول مفاهیم و تعاریف اولیه موردنیاز از جمله تبدیل لاپلاس و تبدیل فوریه که در معادلات دیفرانسیل کسری کاربرد دارند مطرح شده است، در فصل دوم مسایل اشتورم لیوویل عادی معرفی و بررسی شده است و در ادامه به معرفی مشتق و انتگرال کسری ریمن-لیوویل و مشتقات کاپوتو و خواص آنها و انتگرال و مشتق کسری ریمن-لیوویل تابع میتاگ-لفلر و همچنین انتگرال و مشتق کسری ریمن-لیوویل در نیمه محور مختصات پرداخته شده است، در فصل سوم ابتدا مسایل اشتورم-لیوویل کسری که مشتق موجود در معادلات دیفرانسیل آنها از نوع کسری است معرفی و خودالحاق بودن مسایل اشتورم-لیوویل کسری بحث شده است و ساده بودن (از مرتبه تکرار یک) مقادیر ویژه مسایل اشتورم-لیوویل کسری ثابت شده است، در فصل چهارم کاربردهایی از مسایل اشتورم-لیوویل کسری از جمله مسایل اشتورم-لیوویل کسری در محیط های پیوسته و حل معادلات پخش کسری با استفاده از مشتق کسری ریمن-لیوویل زمانی بیان شده است و همچنین به مسایل مقدار ویژه برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم پرداخته شده است و معادله پخش کسری در یک دامنه کراندار و معادله پخش کسری در دامنه نامتناهی تعریف و مثال هایی از این معادلات در این فصل آورده شده است.

بسیاری از پدیده ها در جهان ما اساساً غیرخطی هستند، و توسط معادلات غیرخطی ‎‏بیان شد‎‎‏ه اند. از آنجا که ظهور کامپیوترهای رقمی با عملکرد بالا، حل مسایل خطی را آسان تر می کند. با این حال، به طور کلی به دست آوردن جوابهای دقیق از مسایل غیرخطی دشوار است. روش عددی، به طور کلی محاسبه پیچیده مسایل غیرخطی را اداره می کند. با این حال، دادن نقاط به یک منحنی و به دست آوردن منحنی کامل که اغلب پرهزینه و وقت گیر است. علاوه بر این درک کامل و ضروری از مسایل غیرخطی مشکل است. روش های عددی و تحلیلی، دارای مزایا و محدودیت هایی است. به طور کلی روش های تحلیلی برای مسایل غیرخطی، مانند اختلال وجود دارد و با استفاده از روش های اختلال، بسیاری از خواص و پدیده های جالب و مهم از مسایل غیرخطی حل می شوند. روش های اختلال نقش مهمی در توسعه علوم و مهندسی دارد. این روش به دلیل سادگی در اجرا و دقت بالا، مورد توجه محققان ریاضی، فیزیک و علوم مهندسی در سرتاسر جهان قرار گرفته است. روش ‎$ l‎^{p}‎ $‎ و کاربرد آن درحل مسایل غیرخطی است.‎ روش ‎$ l‎^{p}‎ $‎ ‎‎ برای حل معادله غیرخطی پاره ای انتشار گاز در محیط متخلخل استفاده شده است که روابط جریان گاز حقیقی که در آنها خواص گاز به صورت تابعی ضمنی از دما، فشار و ترکیب بیان می شوند، همواره مورد بحث بوده اند. چرا که معادله انتشار جریان گاز غیرخطی می باشد. روش های مختلفی برای حل تقریبی معادله انتشار گاز حقیقی وجود دارد اما همه آنها دارای محدودیت هایی هستند، مثلاً برخی تنها در دامنه خاصی از فشار‏، ‏جواب می دهند و برخی در فضای غیرحقیقی ‎(لاپلاس)‎ می باشند. روش ‎ ‎$ ‎l‎^{p}‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ $‎ جواب هایی با دقت بالا در فضای حقیقی ارائه داده و نسبت به روش های موجود ساده تر می باشد. همچنین می توان از این روش در تحلیل داده های تولید و چاه آزمایی استفاده نمود و خواص مهم مخزن را نظیرتر سازند، ضریب پیوسته و...تخمین زد‎.‎ اولین بار در سال‎$ 1820 $‎ آبل در یکی از کارهایش با معادله انتگرال مواجه شد. البته نام تعداد زیادی از ریاضیدانان همچون کوشی-فردهلم-ولترا و دیگران به موضوع وابسته است.

در این پایان نامه، یک معاددله ولترا-هامرشتین غیرخطی منفرد ضعیف نوع دوم که با یک عملگر فشرده تعریف شده ارائه شده است و یک درونیاب نوع نیستروم از جواب بر پایه نقاط گاوس-رادو ارائه می دهیم. همچنین همگرایی دورنیاب را اثبات کرده و تقریبهای همگرایی را ارائه می دهیم. برای معادلات جبری غیر خطی، سرعت همگرایی را با استفاده از انتقال هموار بهبود می بخشیم. همچنین برای نشان دادن کارایی و دقت روش پیشنهادی چند مثال عددی ارائه شده است.

مدل سینک گالرکین برای جواب های عددی مسائل غیرخطی استفاده می شود که این مسائل غیر خطی شامل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و چهارم و ششم، همگن و غیرهمگن با شرایط مرزی کرانداری باشد. این طرح در چهار مسئله غیرخطی آزمایش شده است. نتایج بدست آمده نشان می دهد که قابلیت اطمینان و کارایی این الگوریتم بسیار بالاست.

در این پایان نامه یک روش عددی برای حل دستگاه معادلات انتگرال معرفی می گردد. در این روش با استفاده از چندجمله ای های بسل و نقاط هم محلی‏، دستگاه معادلات انتگرال ولترای خطی را به صورت معادله ی ماتریسی در می آوریم. معادله ی ماتریسی به صورت یک دستگاه معادلات خطی با ضرایب بسل مجهول است. با این روش وقتی که جوابهای دقیق چند جمله ای باشند می توانیم جوابهای واقعی را بدست آوریم. همچنین تعدادی مثال برای مشخص کردن دقت و کاربردی از روش و مقایسه با نتایج دقیق آورده شده است.