در این رساله اندیس های وینر، ابر وینر، ابر وینر کلی، شولتز، سگد، pi و زاگرب را معرفی می کنیم همچنین چند جمله ایهای این اندیس ها را بیان کرده و ضمن مطالعه چند گراف خاص به ارتباط برخی از اندیس ها با یکدیگر اشاره می کنیم و در انتها با یادآوری عملگرهای جبری روی گراف ها اندیس های وینر، ابر وینر، سگد، pi و زاگرب را روی عملگرهای جبری محاسبه و فرمولی را ارایه می دهیم.

مساله شبکه های جریان چندکالایی، یکی از مهم ترین و واقعی ترین مسائل شبکه های جریان است که کاربرد آن در انواع شبکه های حمل و نقل، توزیع کالا، کامپیوتر و غیره مشهود است. در این مساله، در شبکه، به جای یک نوع جریان چند نوع جریان وجود دارد این مساله یک مساله اندازه بزرک است و روش های حل معمولی برای آن کارا نیست. در این تحقیق این مساله از دو دیدگاه مورد بررسی قرار می گیرد. در دیدگاه اول مساله شبکه های جریان چندکالایی ایستا که پارامترها و متغیرهای آن با زمان تغییر نمی کنند بررسی می شوند که پس از معرفی، مدل بندی و بیان شرایط بهینگی آن، چند روش حل ویژه برای این نوع مساله بیان می گردد. پی از آن ما هزینه تخلیه و بارگیری که یکی از هزینه های مهم در شبکه های حمل و نقل کالاست را در شبکه های چندکالایی مورد بررسی قرار می دهیم که در آن هدف، حداقل کردن همه هزینه هااز جمله هزینه تخلیه و بارگیری است که این نوع هزینه به ازای کالاهای متفاوت، متفاوت در نظر گرفته می شود. سپس روش حلی را مبتنی بر جایگزینی گره با زیر شبکه برای آن ارائه می دهیم. که در یک مطالعه موردی، هزینه تخلیه و بارگیری در شبکه ریلی کشور مورد بررسی قرار گرفته و برای کریدور ریلی شمال - جنوب (بندر عباس-تهران) به کارگرفته شد. در دیدگاه دوم شبکه های جریان چندکالایی متغیر با زمان(پویا) در دو قسمت با زمان گسسته و با زمان پیوسته معرفی و روشهای حلی برای آن ارائه می شود. که این روش ها مبتنی بر ساختن شبکه های توسعه یافته زمانی است که با شرایط متفاوتی که زمان انتقال کالا دارد، تغییر میکند. در قسمت گسسته ما زمان انتظار برای شبکه های چن کالایی را تعریف کرده و روش ساده ای را برای حل آن ارائه می دهیم.

در ابتدا با مفاهیم اندیس هوسویا و مریفیلد-سیمونز آشنا می شویم. سپس با استفاده از تبدیلات کاهشی اندیس هوسویا، گراف با کوچکترین اندیس هوسویا را در گراف های دودوری مشخص می کنیم و در ادامه با استفاده از تبدیلات کاهشی جدیدی گراف با کوچکترین اندیس هوسویا را در میان گراف های سه دوری مشخص می کنیم. در انتها با ساختار نانوستاره ها آشنا می شویم و اندیس هوسویا و مریفیلد-سیمونز دو نوع دندریمر نانوستاره را محاسبه می کنیم.

در فصل اول با اندیس توپولوژیک هوسویا آشنا می شویم و آن را برای بعضی گراف های خاص محاسبه می کنیم و گراف های با بزرگ ترین و کوچکترین اندیس هوسویا را در میان گراف های بدون دور(درخت ها) مشخص می کنیم. در فصل دوم گراف های با بزرگترین و دومین بزرگترین اندیس هوسویا را در میان گراف های تک دوری مشخص می کنیم و مقدار اندیس هوسویای آن ها را محاسبه می کنیم. در فصل سوم با معرفی تبدیلات افزایشی، گراف های با بزرگترین اندیس هوسویا را در میان گراف های دودوری مشخص می کنیم. در فصل آخر نشان می دهیم که گراف های سه دوری به دقیقاٌ نوزده کلاس افراز می شوند و با کمک لم ها وقضایایی جهت افزایش اندیس هوسویا گراف(گراف های) با بزرگترین اندیس هوسویا را در میان این نوزده کلاس مشخص می کنیم.

در این پایان نامه به بررسی برخی شاخص های توپولوژیک می پردازیم.یکی از این شاخص ها شاخص توپولوژیک همبندی است که مقدار این شاخص روی اعمال گراف محاسبه شده است و مقادیر فرینه آن روی گراف های همبند به دست می آید. به علاوه شاخص فوق برای برخی نانولوله ها ونانوچنبره ها و نانومخروط ها محاسبه شده است. در ادامه شاخص حسابی هندسی نوع اول و دوم و سوم تعریف شده و مقدار آن برای برخی نانولوله ها محاسبه شده است.

در این پایان نامه ابتدا به بررسی یک نوع از اندیس های توپولیژیکی به نام اندیس رندیک و انواع دیگر آن اعم از اندیس رندیک عمومی، اندیس رندیک مرتبه صفر و اندیس رندیک عمومی مرتبه صفر می پردازیم. سپس برای برخی حالت های خاص، کران های بالا و پایین این اندیس را محاسبه می کنیم. این حالت ها شامل (n,m)-گراف ها، گراف هایی از مرتبه n و مینیمم درجه ی k، گراف های دوردار (حداکثر سه دور) و... می باشد که در این پایان نامه به بررسی آنها می پردازیم. در انتها نیز اندیس رندیک عمومی مرتبه صفر را برای گراف های دو دوری و سه دوری مورد بررسی قرار می دهیم.

در این رساله ابتدا کران هایی برای فاصله یک چندجمله ای دلخواه از مجموعه چندجمله ای های یک مقدار ویژه مضاعف معلوم هستند به دست می آوریم و سپس این مساله را بسط داده و برای فاصله یک چندجمله ای دلخواه از مجموعه چندجمله ای های دارای دو مقدار ویژه معلوم کران های بالا و پایین به دست می آوریم.

در این پایان نامه، دو نوع شبکه ی وابسته به زمان بررسی می شود. نوع اول، شبکه ی وابسته به زمانی است که در آن جریان، باید یک یال را در زمان مشخص طی کند. زمان عبور از یال وظرفیت یال، پارامترهای وابسته به زمان هستند. همچنین، جریان می تواند مدت زمانی را در یک راس بماند، که به ظرفیت آن راس بستگی دارد. همه ی این پارامترها، یعنی؛ زمان عبور، ظرفیت یال ها و ظرفیت رئوس توابع گسسته ای از زمان t هستند. مساله، پیدا کردن جواب بهینه برای فرستادن بیشترین جریان ممکن از مبدا به مقصد در زمان مفروض t است. به علاوه، مساله ی جریان جامع ماکزیمم را معرفی می کنیم که جواب بهینه را برای هر ?t t پیدا می کند. نوع دوم، شبکه های تولید جریان پویاست، که جریان به طور پویا در مبدا تولید شده و به طور پویا در مقصد مصرف می شود و کران های جریان یالی برحسب زمان تغییر می کنند. مساله ی ماکزیمم جریان پویا در این قبیل شبکه ها، در افق زمانی از پیش تعیین شده ی t، تعریف شده و به صورت جریان یال و مسیر فرمولبندی می شود. به دلیل ساختار خاصی که این مساله دارد، الگوریتم کلی برای حل آن ارائه می شود که مساله ی ماکزیمم جریان پویا را به صورت مساله ی کمترین هزینه ی غیر پویا حل می کند.

در این پایان نامه مساًله ی شبکه جریان با هزینه ی ثابت روی یال هارا درنظر گرفته و تابع هدف را با یک تابع قطعه ای خطی مقعر تقریب میزنیم. برای حل مساًله ی شبکه جریان با هزینه ی ثابت یک الگوریتم ابتکاری ارایه می دهیم، الگوریتم نیاز به یافتن جواب دقیق مساًله ی قطعه ای خطی مقعر دارد که np-سخت هستند، بنابراین نشان میدهیم که مساًله ی قطعه ای خطی مقعر معادل مساًله برنامه ریزی دو خطی است و...

در این پایان نامه، مسأله ی کمترین هزینه ی معکوس را در دو حالت بررسی می کنیم. در حالت اول، با کمترین تغییرات، بردار هزینه را اصلاح می کنیم تا جریان شدنی به شکل جریان کمترین هزینه درآید و این اصلاح را به وسیله ی فاصله ی همینگ وزن دار اندازه گیری می کنیم. برای این حالت، دو مورد تجمعی و min-max را در نظر می گیریم و برای مورد اول نشان می دهیم که apx-سخت است و برای مورد دوم الگوریتم قویاً چندجمله ای را ارایه می دهیم. در حالت دوم، مسأله ی کمترین هزینه ی معکوس ظرفیت را در نظر می گیریم که در آن با کمترین تغییرات بردار ظرفیت، جریان شدنی ، بهینه می شود. در این حالت دو اندازه فاصله ی و را درنظر می گیریم و نشان می دهیم که مسأله ی کمترین هزینه ی معکوس ظرفیت در حالت ، np-سخت است و برای نرم ، به وسیله ی الگوریتم حریص در زمان چندجمله ای قابل حل است. هم چنین در این پایان نامه، مسأله ی کمترین جریان معکوس را بررسی می کنیم. در مسأله ی کمترین جریان معکوس به دنبال کمترین تغییرات روی کران های پایین و بالای جریان روی یال ها هستیم به طوری که جریان شدنی داده شده، کمترین جریان شود و برای حل این مسأله، الگوریتم های قویاً و ضعیفاً چندجمله ای را پیشنهاد می دهیم.

در این پایان نامه الگوریتم سیمپلکس نقطه بیرونی شبکه(nepsa)و الگوریتم سیمپلکس نقطه بیرونی شبکه دوگان(dnepsa) برای مسأله شبکه جریان با کمترین هزینه(mcnfp)به طور تحلیلی ارائه می شود. nepsa یک اصلاح از الگوریتم سیمپلکس شبکه کلاسیک و تقریباً یک ترکیب مشترک از همه ی الگوریتم های نوع سیمپلکس است. این الگوریتم، دو جریان را محاسبه می کند که یک جریان اساسی است اما همیشه شدنی نیست و دیگری شدنی است اما همیشه اساسی نیست. برخلاف الگوریتم سیمپلکس اولیه شبکه npsa، جریان اساسی تشکیل دهنده در nepsa، همواره شدنی باقی نمی ماند. dnepsa، از یک درخت جواب شدنی دوگان شروع شده و مرحله به مرحله درخت جواب های جدید تولید می نماید که نشدنی بودن را کاهش داده و به جواب بهینه نزدیک می شود. برخلاف الگوریتم سیمپلکس شبکه دوگان (dnsa)، در dnepsa جواب درخت در هر تکرار لزوماً دوگان شدنی نیست، اما پس از تعدادی تکرار، الگوریتم به یک درخت جواب می رسد که هم اولیه شدنی و هم دوگان شدنی می باشد بنابراین جواب بهینه است. در این جا اثبات درستی الگوریتم های nepsa و dnepsa و هم چنین محاسبه ی رفتار آن ها به وسیله ی انجام مطالعه تجربی جهت تولید نمونه تصادفی پراکنده که از مولد مسأله شبکه معروف gridgen بوجود آمده است، نشان داده شده است.

در این رساله عدد وضعیت ماتریس واندرموند و وارونش را بررسی میکنیم.ابتدا نشان می دهیم که این ماتریس تجزیه qr دارد و به وسیله چند جمله ای چبیشف عدد وضعیت فروبنیوسی این ماتریس را روی زیر ماتریس های اصلی آن میابیم.سرانجام به وسیله تجزیه lu ماتریس واندرموند و ماتریسش عدد وضعیت بهینه تری برای ماتریس واررون واندرموند پیدا می کنیم.مسلما این عدد وضعیت برای ماتریس واندرموند نیز تلقی می شود.

برنامه ریزی نیمه معین، یکی از جذاب ترین تحولات برنامه ریزی ریاضی در دهه 90 میلادی محسوب می شود. در دهه اخیر بسیاری از مسائل بهینه سازی با استفاده از روش کارامد برنامه ریزی نیمه معین حل می شوند. در این پایان نامه به معرفی مسائل برنامه ریزی نیمه معین می پردازیم و کاربردهایی از این مسائل مورد بررسی قرار می گیرد. تبدیل تعدادی مسائل برنامه ریزی مهم از جمله مسائل برنامه ریزی خطی و مسائل درجه دوم با قیود درجه دوم به مسائل برنامه ریزی نیمه معین، معرفی خاصیت قوی دوگان برای این مسائل و شرایط لازم برای برقراری آن، روش های نقطه درونی برای حل آن ها و پیدا کردن یک جواب اکیدا شدنی اولیه برای این مسائل و کاربرد این مسائل در حل مسأله k-دسته از جمله مواردی است که در این رساله مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه مسأله ماکزیمم جریان در گرافهایی که در آنها یالها و رئوس دارای ظرفیت میباشند مورد بررسی قرار میگیرد. این مسأله برای گرافهای مسطح از اهمیت بیشتری برخوردار است. در حالت کلی اضافه کردن ظرفیت به رئوس، مسأله ماکزیمم جریان را مشکلتر نمیکند و با یک تبدیل ساده میتوانیم ظرفیت رئوس را حذف کنیم. اما این تبدیل مسطح بودن گراف را حفظ نمیکند. بنابراین الگوریتمی در زمان o(nlogn) برای پیدا کردن ماکزیمم جریان در گراف مسطح جهتدار معرفی میکنیم که علاوه بر یالها، رئوس نیز دارای ظرفیت میباشند. این الگوریتم برای گرافهای مسطح s-t در زمان o(n) اجرا میشود. برای حالت خاص گراف مسطح بی جهت به تازگی الگوریتمی با پیچیدگی یکسان ارائه شده است که در این پایان نامه الگوریتم را شرح میدهیم و اشکال آن را بیان میکنیم.

در این پایان نامه، الگوریتم هایی را برای حل مسأله ی ماکزیمم جریان معکوس تحت نرم یک، نرم بی نهایت و فاصله ی همینگ وزن دار ارائه می دهیم. در این الگوریتم ها با کاهش کران بالا و بعضاً افزایش کران پایین برای جریان موجود در شبکه، امکان افزایش جریان را از بین می بریم و این تغییرات اعمال شده باعث می شوند جریان موجود در شبکه ماکزیمم شود. همچنین پیچیدگی این الگوریتم ها که در زمان قویأ چندجمله ای اجرا می شوند، بررسی می شود.

در این پایان نامه ابتدا به بررسی رابطه ی بین مقادیر ویژه و قطر درخت ها پرداخته و به این ترتیب دومین بزرگترین مقدار ویژه ی آن ها را مورد بحث قرار داده ایم. سپس مقادیر ویژه ی گراف های یک دوری، دو دوری و سه دوری را بررسی کرده و گرف هایی را که دومین بزرگترین مقدار ویژه ی نا بیشتر از 1 داشته اند، تعیین کرده ایم.

.در این پایان نامه مسأله ماکزیمم جریان مقید را بررسی می کنیم.‎ در این مسأله در یک شبکه جهت دار با ظرفیت ‏و ‎‎با هزینه یال معین ، ماکزیمم جریان را روی مسیر جهت دار طوری ارسال می کنیم که مجموع جریان از بودجه ‎‎ تعیین شده d تجاوز نکند‎.‎ برای این منظور ‎‎چند الگوریتم بررسی می کنیم که بهترین آنها در زمان ‎ ‎‎‎ o(n^2 m lognc)) ‎ ‎اجرا‎ می شود.‎

دراین پایان نامه یک الگوریتم سیمپلکس شبکه موثر ارائه شده است که به طور قابل توجهی از الگوریتم های استفاده شده برای دو حل کننده ی برنامه ریزی خطی یعنی cplex و lp-solve سریعتر است. محاسبات عددی نشان می دهند که این روش به طور میانگین 27 بار سریعتر از cplex (با الگوریتم سیمپلکس دوگانش)است که به عنوان نزدیکترین رقیب الگوریتم ارائه شده در این پایان نامه است.