در این پایانامه واژه های قویاً تصویری گرنشتاین، قویاً انزکتیو گرنشتاین و قویاً یکدست گرنشتاین توسط محدو و بنیس معرفی شده اند و آنها به سوالاتی از قبیل اینکه چرا این مجموعه ها تحت جمعوندهای مستقیم و حدهای مستقیم و ضرب هی مستقیم و غیره بسته اند پاسخ داده اند.در بین ویژگیهای زیاد این مجموعه های جدید، نشان داده شده است که مجموعه مدولهای قویاً تصویری، انژکتیو و یکدست گرنشتاین تشکیل یک مجموعه ی میانی در بین مدول های تصویری، انژکتیو و یکدست و مدول های تصویری، انژکتیو و یکدست گرنشتاین می دهند.

در ابتدا مدولهای تمیز1 و نسبتاٌ تمیز به عنوان توسیعی از مدولهای تمیز2 معرفی و مطالعه می شوند. سپس نشان می دهیم که مدولهای نسبتاٌ تمیز دنباله ای کوهن- مکالی 3هستند. در ادامه به عنوان توسیع طبیعی از مجتمع های سادکی، مجتمع های چندگانه5 معرفی و مطالعه می شوند. نشان می دهیم که مجتمع چندگانه پوسته پذیر6 است اگروتنهااگرk-جبر متناظر با آن نسبتاٌ تمیز باشد. واژه های کلیدی: فیلتر، نسبتاٌ تمیز، دنباله ای کوهن –مکالی، پوسته پذیر، مجتمع های چندگانه.

در جبر جابجایی، یک نظریه مهم از ایده آلهای اول وابسته و تجزیه اولیه وجود دارد. نظریه دوگان ایده آلهای اول چسبیده و نمایش ثانویه در 1973 به وسیله مک دونالد معرفی شده بود. با توجه به وجود ایده آلهای اول وابسته روی حلقه ی دلخواه یکدار، نظریه مک دونالد را به محیط غیرجابجایی تعمیم می دهیم.

در این تحقیق جبر پوشش رأسی از مجتمع های سادکی وزن دار مورد بررسی قرار گرفته است. این جبر رده خاصی از جبرهای ریس نمادین می باشد. نشان می دهیم جبر ریس نمادین از ایده آل های تک جمله ای متناهی مولد است و این جبر نرمال و کوهن- مکالی است اگر و تنها اگر ایده آل تک جمله ای خالی از مربع باشد. برای یک گراف ساده، جبر پوشش رأسی تولید شده بوسیله عناصر حداکثر از درجه دو می باشد واستاندارد مدرج است اگر و تنها اگر گراف دوبخشی باشد. بطور کلی یک کران بالا برای ماکسیمال درجه از مولدهای جبرهای پوشش رأسی داده می شود.

چکیده دراین پایان نامهفرضمی کنیمکهa‎یکمدولآرتینیرویحلقه یجابه جاییویکدارr‎و?‎یکمجموعه یبستهضربیازایده آل هایغیرصفر‎r‎باشد‎.‎سپسمفاهیم?-کاهشیافتهو?‎-بستارایده آل هاراکهقبلا‎ً‎ًرویحلقه هاینوتریبیانشدهاست‎،‎نسبتبهمدولآرتینیa‎ارائهمی دهیم‎.‎ واژهایکلیدی:?‎کاهشیافته‎،?-بستارایده آل‎.‎ یم

این پایان نامه در ارتباط با ایده آل ها در حلق? جابجایی نوتری r از مشخص? اول است. در این پایان نامه نشان خواهیم داد که بستارهای فروبنیوس از ایده آل های معین تولید شده توسط رشته های منظم، یک نوع مطلوب از رفتار یکنواخت را نشان می دهند. ابزار فنی عمد? استفاده شده نتیج? اثبات شده توسط هارتشورن و اسپیزر می باشد، در حالتی که r حلقه ای موضعی و شامل میدانی است که کامل است. و در ادامه لیوبزنیک این نتیجه را برای مدول های چپ روی حلق? چندجمله ای مورب r[x,f]، در حالتی که r یک حلق? موضعی با مشخص? عدد اول است اثبات نموده است.

چکیده دراین پایان نامه به بررسی برخی خواص ایده آل های کاهش یافته ، بستارهای صحیح، بستارهای دلتایی و بستارهای راتلیف – راش می پردازیم. بدین منظور فرض می کنیم r حلقه ای نوتری، i و h ایده آل هایی از آن باشند. ابتدا قضایایی درباره بستارهای دلتایی و راتلیف – راش روی حلقه ی متناهی و نامتناهی بیان می کنیم سپس نتیجه می گیریم اگر ایده آل i از حلقه r پوچ توان باشد آنگاه بستاردلتایی i با بستار راتلیف – راتلیف آن برابر است. همچنین اگر r حلقه ای موضعی و i ایده آلی از آن باشد به طوریکه 1?(i)ht و h راتلیف – راش کاهش یافته از i باشد آنگاه h شامل مینیمال راتلیف – راش کاهش یافته g از i است و هر پایه مینیمال از g می تواند به پایه مینیمال از h توسیع یابد. به علاوه در فصل آخر چهار نتیجه روی بستارهای صحیح از ایده آل ها را بدست می آوریم که روی بستارهای دلتایی برقرار نیست. کلمات کلیدی: کاهش یافته، بستارهای صحیح، دلتا بستار وبستارهای راتلیف – راش

در این پایان نامه کوشش خواهیم کرد که علاوه بر ارائه اطلاعاتی مفید و قضایایی مهم در رابطه با حدس سینگر-ورمر و بیان تعمیم های مختلفی از آن در جبرهای باناخ به صورت کلی، در حالت خاص نیز به بررسی این حدس در مورد مشتق های درونی، درونی تعمبم یافته و تعمیم یافته، پرداخته و نتایج مهمی را نیز در این راستا ارائه نماییم.

چکیده در این پایان نامه، فرض می شودrیک حلقه جابجایی نوتری و موضعی وl،lهر دوr-مدول باشند شرایطیازفانکتورهای?ext?_r^i (l,-)و?tor?_i^r (l,-)بررسی می شود. از جمله: اگرl،l’هر دوآرتینی باشند آنگاه?tor?_i^r (l,l)آرتینی و?ext?_r^i (l,l)نوتری رویr ?هستند. اگرlآرتینیوl’انعکاسی ماتلیس باشند، آنگاه?ext?_r^i (l,l^ )،?ext?_r^i (l,l)و?tor?_i^r (l,l)انعکاسی ماتلیسهستند. همچنین صفرشدن فانکتورهای?ext?_r^i (l,-)و?tor?_i^r (l,-)بررسی می شود. واژگان کلیدی:مدول های آرتینی، مدول های مینی ماکس، مدول های انعکاسی.

در این پایان‏نامه، مفهوم مدول‏های gc-تصویری روی حلقه‏های جابجایی (درصورت امکان غیر نوتری)، معرفی و بررسی شده‏است که در آن‏ها c یک مدول نیم‏دوگانه‏شده است. این کار، گسترش مفهوم مدول‏های تصویری c-گرنشتاین یورگنسن و هولم به جایگاه غیر نوتری و تعمیم مدول‏های تصویری و تصویری گرنشتاین در درون این جایگاه است. سپس، مدول‏های بدست آمده با بعد gc-تصویری، بررسی شده‏اند. به‏ویژه، نشان داده شده است که این مدول‏ها، رزولوشن‏های تقریبا gc-تصویری را ایجاب می‏کنند. به‏علاوه، روی یک حلقه‏ی موضعی، شرط‏های لازم و کافی برای اینکه یک رزولوشن تقریبا gc-تصویری، مینیمال باشد فراهم شده است.

گرافهای وابسته به مدولها که در این پایان نامه مطالعه میگردند، در سه نوع دسته بندی میشوند که با توجه به نوع مدولی که برای آن تعریف شده اند دارای خواص و ویژگی های متنوعی میگردند. با مطالعه و بررسی این خواص، ویژگی های تازه ای در ارتباط با این گرافها حاصل میگردد.

این پایان نامه ادامه مطالعه گراف ایده آل پوچساز حلقه های جابجایی معرفی شده در [6] می باشد. فرض کنید r یک حلقه جابجایی با a(r) مجموعه ایده آل ها با پوچساز غیر صفر و z(r) مجموعه ای از مقسوم علیه های صفر باشد. گراف ایده آل پوچساز حلقه r به عنوان گراف (بی جهت) ag(r) که رأس های آن a(r)* = a(r) {(0)} تعریف می شود که در آن برای تمام رأس های مجزای i و j، i—j یک یال است اگر و تنها اگر ij = 0. در ابتدا قطر گراف ag(r) مورد مطالعه قرار می گیرد. یک توصیف کامل برای قطر، به طور منحصر به فرد در روابط ایده آل های r داده می شود هنگامیکه، یا حلقه r یک حلقه نوتری باشد یا z(r) یک ایده آل از حلقه r نباشد. سپس، رنگ آمیزی گراف های ایده آل پوچساز مورد مطالعه قرار می گیرد و همچنین ?(ag(r)) ? 2 یا حلقه r تقلیل یافته و?(ag(r)) ? ? را مشخص می کنیم. این نتایج نشان می دهند که برای هر حلقه تقلیل یافته r، ?(ag(r)) = cl(ag(r)). علاوه بر این، اگر ?(ag(r)) متناهی باشد، آن گاه حلقه r تعداد متناهی ایده آل اول مینیمال دارد و اگر n این عدد باشد، آن گاه ?(ag(r)) = cl(ag(r)) = n. در آخر، نشان داده می شود که برای یک حلقه نوتری r، cl(ag(r)) متناهی است اگر و تنها اگر برای هر ایده آل i از r با i^2=0، i تعداد متناهی r – زیر مدول داشته باشد.

فرض کنید rیک حلقه جابحایی وa(r) مجموعه ای از ایدال ها با پوچساز مخالف صفر باشد. در این مقاله و دنباله اش گراف ایدا پوچسازr را که باag(r) نشان داده می شود معرفی و بررسی می شود. گراف ایدال پوچساز یک گراف غیر جهت داراست با رأس های a(r)*=a(r)/{(0)}و دو رآس متمایزi و jمجاورند اگر و تنها اگرij=(0) . ابتدا بعضی از شرایط متناهی بودن ag(r)را بررسی می کنیم. به عنوان مثال نشان داده می شود که اگر r یک حوزه صحیح نباشد آنگاهag(r) روی رأس هایش دارای شریط زنجیر صعودی(به ترتیب شرط زنجیر های نزولی) خواهد بود اگر و تنها اگرr نوتری(به ترتیب ارتینی) باشد.به علاوه مجموعه رئوس ag(r)و مجموعه ایدا های سره ناصفر r عدد اصلی یکسانی دارند هنگامی کهr یک حلقه آرتینی و یا یک حلقه قابل تجزیه باشد . با این نتیجه برای حلقه r،ag(r)دارای nتا رآس (n>1)خواهد بود اگر و تنها اگر rدارای nتا ایدال سره ناصفر باشد. سپس همبندی ag(r)را بررسی خواهیم کرد. نشان داده خواهد شدag(r) که یک گراف همبند است و diam(ag(r))<3 و اگر ag(r)شامل یک دور باشد آنگاهgr(ag(r<4))و همچنین حلقه های rکه در آنag(r)یک گراف کامل یا ستاره و نیز حلقه های r که در آن هر راس ag(r)یک ایدا اول (ماکسیمال) است بررسی خواهد شد.

در این پژوهش مطالبی درباره بستارهای صحیح ,راتلیف-راش وبستارهای دلتایی از ایده آلها را بررسی میکنیم

گراف های وابسته به مدول ها که در این پایان نامه مطالعه می گردند، در سه نوع دسته بندی می شوند که با توجه به نوع مدولی که برای آن تعریف شده اند دارای خواص و ویژگی های متنوعی می گردند. با مطالعه و بررسی این خواص، ویژگی های تازه ای در ارتباط با این گراف ها حاصل می گردد.

این پایان نامه را با بررسی برخی از خواص حلقه های که رارای عضو همانی چپ اند، شروع می کنیم. بخصوص ساختار ایده آلها و رادیکال جکوبسون این حلقه ها را مشخص شده است. و با استفاده از نتایحبدست امده ساختار ایده آلها و رادیکال حکوبسون حلقه ی ماتریسی بالامثلثی و همچنین ساحتار مشتق این حلقه ماتریسی که حلقه هایی با همانی ضربی زچپ تشکیل شده است ، مشخص شده است و در ادامهساختار ایده آلها و رادیکالهای حلقه ی ماتریسی بالامثلثیکه حلقه ای یکدار است مشخص شده است.همچنین به مشتق جردن و مشتق سه تایی جردن تعمیم یافته روی حلقه های نیمه اول که از مشخصه 2 نیستند، پرداخته شده است.