این پایان نامه از سه بخش تشکیل شده است، که در بخش ابتدایی، مفاهیم اساسی مسائل هدایت گرمایی معکوس را بیان می کنیم، که شامل تعاریف و کاربرد های آن و مثال های متعدد ی در این زمینه می باشد. در بخش دوم، به حل عددی معادلات با مشتقات جزئی سهموی می پردازیم. این بخش شامل روش های تفاضلات متناهی است، که همراه با مثال ارائه می شود. در ادامه به بررسی همگرایی، پایداری و سازگاری این روش ها پرداخته شده است. در انتهای این بخش، با ذکریک مثال، ارتباط بین همگرایی، پایداری و سازگاری مورد بررسی قرار گرفته شده است. اما در بخش انتهایی، که بخش اصلی این پایان نامه می باشد، یک الگوریتم عددی بر پایه روش های تفاضلات متناهی و روش کمترین مربعات برای حل یک مسئله هدایت گرمایی معکوس ارائه شده است. ابتدا از روش گسسته سازی تفاضلات متناهی برای الگوریتم عددی استفاده شده است.روش کار ارائه شده، بازآرایی شکل ماتریسی معادلات دیفرانسیل برای بدست آوردن ضرایب مجهول هدایت گرمایی می باشد. سپس با اتخاذ روش کمترین مربعات جواب را یافته، و با روش منظم سازی تیخونف به تقریب عددی پایداری از جواب می رسیم.

در این پایان نامه به مدل سازی ریاضی و بررسی عمل تصویربرداری از پدیده تشدید مغناطیسی (mri)در رگ های خونی پرداخته شده است. ابتدا در فصل اول عملکرد دستگاه هایی که توسط آنها mri انجام می شود، بررسی شده اند. در فصل دوم مقدمات مربوط به بررسی ریاضی mri ارائه شده است. در فصل سوم به مدل سازی ریاضی پدیده تشدید مغناطیسی در رگ های خونی پرداخته شده است. ملاحظه می شود که در نهایت مدل ریاضی نتیجه شده به صورت یک دستگاه معادلات دیفرانسیل، معروف به معادلات بلاک به دست می آید. در فصل چهارم معادله دیفرانسیل حاصل با چند روش تحلیلی از جمله با استفاده از معادلات بسل و روش wkb و چندجمله ایهای باباکر حل شده اند. در نهایت در فصل پنجم به بررسی معادله بلاک پرداخته شده است.

مسائل معکوس در شاخه های گوناگونی از علوم و مهندسی مطرح می شوند. مهندسان، ریاضی دانان، آماردانان و متخصصین در بسیاری از حوزه های دیگر همه به مسائل معکوس علاقه مند هستند. از جمله کاربردهای مسأله معکوس، عکس برداری بیومدیکال(زیست درمانی) ، حرارت درمانی ، مدلینگ سوخت و ساز ، نوارقلبی و بازسازی تصویر می باشد. در این پایان نامه ما به بررسی مسائل هدایت گرمایی معکوس که عموماً در طراحی سیستم های حرارتی (مسائل انتقال حرارت)، هنگام مواجهه با مشکلاتی در اندازه گیری و ایجاد وضعیت و شرایط مناسب رخ می-دهند، می پردازیم. مسأله ای که در عمل به وجود می آید در تئوری شامل تخمین درجه حرارت و شارگرمایی در فضای سطحی یک جامد رسانا (سفینه فضایی، مخازن احتراق، گرماسنج ها و...) است]3 [. در بسیاری از مطالعات نظری در طول40 سال گذشته (برای نمونه به ]4 [، ]20 [مراجعه شود) که برای حل مسائل هدایت گرمایی معکوس انجام شده اند ریاضیات مسأله را مورد توجه قرار داده اند و شرایط اضافی برای مدل کردن مسأله معرفی کرده اند ولی عموماً در مسائل عملی راضی کننده نیستند. در نتیجه درمسائل عملی، روش های عددی مفیدتر به نظر می رسند، هرچند آن ها پیچیده اند ونیاز به تغییر و پیدایش و تکنیک های قوی تری دارند. برای حل این مسائل نیازمند استفاده از الگوریتم محاسباتی معکوس می باشیم. در حالی که مسائل معکوس به طور فیزیکی امکان پذیرند، آن ها به طور ریاضی بد-وضع می باشند. به این دلیل که دادن اختلال در داده اندازه گیری شده می تواند باعث ناپایداری در جواب مسأله هدایت گرمایی معکوس شود. رفتارهای عددی مناسب باید به کار رود تا ناپایداری جواب این مسائل را برطرف کند. دراین پایان نامه دو روش برای پایداری جواب مسأله هدایت گرمایی معکوس استفاده می شود 1- روش منظّم سازی ]34-32 [، 2- روش تجزیه مقدار تکین ]5 [.

مفاهیم اساسی معادلات با مشتقات جزئی و مسائل هدایت گرمایی مستقیم و معکوس که شامل تعاریف و مفاهیم بنیادی این گونه مسائل است و نیز مثالی از کاربرد مسائل هدایت گرمایی معکوس در فصل اول ارائه می گردد، از طرفی چون حل مسائل هدایت گرمایی مستقیم اولین گام در حل مسائل هدایت گرمایی معکوس می باشد در فصل دوم این پایان نامه چند مورد از روش های حل تحلیلی و عددی این گونه مسائل را بیان می کنیم. با توجه به این که مسائل هدایت گرمایی معکوس مسائلی بد- وضع هستند لذا در فصل سوم به بررسی برخی روش های منظم سازی برای حل مسائل بد - وضع می پردازیم. در فصل چهارم به تعمیم یک روش عددی برای حل یک نوع مسأله هدایت گرمایی معکوس در فضای یک بعدی و دو بعدی از نوع خطی و غیرخطی پرداخته می شود و درنهایت در فصل پنجم چند مسأله هدایت گرمایی معکوس با شرایط مرزی مجهول معرفی و به روش عددی پیشنهاد شده در فصل چهارم حل می شوند.

از طرفی چون حل مسائل هدایت گرمایی مستقیم اولین گام درحل مسائل هدایت گرمایی معکوس می باشد در فصل دوم این پایان نامه چند مورد از روش های حل تحلیلی و عددی این گونه مسائل را بیان می کنیم. با توجه به این که مسائل هدایت گرمایی معکوس مسائلی بد-وضع هستند لذا در فصل سوم به بررسی برخی روش های منظم سازی برای حل مسائل بد-وضع می پردازیم. در فصل چهارم به تعمیم یک روش عددی برای حل مساله هدایت گرمایی معکوس در فضای دوبعدی پرداخته می شودو درنهایت در فصل پنجم چند مساله هدایت گرمایی معکوس با شرایط مرزی مجهول معرفی و به روش عددی پیشنهاد شده در فصل چهارم حل می شوند.

در این پایان نامه به مدل سازی ریاضی و بررسی رهش دارو از داخل نوع خاصی از سامانه های دارو رسانی پرداخته شده است. ابتدا در فصل اول مقدمات مربوط به بررسی ریاضی رهش دارو از سامانه های دارورسانی ارائه شده است. در ادامه در فصل دوم مسا‎‎ئل کران متحرک، رویکردهای عددی و تحلیلی حل این نوع مسائل بیان شده است. در فصل سوم فیزیک سامانه های دارورسانی، تجزیه و تحلیل مدل سینتیکی مربوطه، معادلات و قوانین انحلال و رهش دارو بررسی شده است. فصل چهارم مدل ریاضی رهش دارو از داخل سامانه های دارورسانی ارائه شده است. با اعمال شرایطی خاص روی رهش، مسائل مختلفی از آن نتیجه شده است. در فصل های پنجم و ششم معادلات دیفرانسیل حاصل در فصل چهارم در چند حالت به صورت تحلیلی و عددی مورد بررسی قرار گرفته اند.

در این پایان نامه حل معادله موج rlw به کمک روش عناصر متناهی براساس توابع b-اسپلاین مورد بررسی قرار می گیرد. ابتدا در فصل اول روش عناصر متناهی معرفی میشود و با ارایه چند مثال این روش بصورت مبسوط تشریح میشود. در فصل دوم توابع b-اسپلاین و قضایا و لم های مربوط به آن بیان میشود. فصل سوم مربوط به معرفی معادلات rlw میباشد. در نهایت در فصل چهارم با استفاده از روش عناصر متناهی بر اساس توابع پایه ای b-اسپلاین به حل عددی معادله rlw پرداخته میشودو نتایج عددی و تحلیلی برای چند مثال با هم مقایسه میشود.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی موجک ها و مقدماتی بر آن می پردازیم و در فصل های بعدی به معرفی انواع معادلات دیفرانسیل به خصوص معادلات سهموی و هذلولوی می پردازیم. و در نهایت روش حل این دسته از معادلات را با موجک هار بیان می کنیم. و نتایج عددی حاصل از روش معرفی شده را ذکر می کنیم.

در این پایان نامه‏ حل عددی یک مسأله ی هدایت گرمایی معکوس با استفاده از روش المان های کرانه ای مورد بحث قرار می گیرد. ‎‎‎‎‎‎‎روش المان های کرانه ای‏ یک روش عددی برای حل مسائل مدل بندی شده با معادلات دیفرانسیل بر پایه ی فرمول بندی آن ها به صورت معادله ی انتگرال کرانه ای می باشد‏. در فصل اول به بیان مفاهیم و قضایای مقدماتی در ارتباط با مسأله ی مورد بحث پرداخته می شود. در فصل دوم‏ فرمول بندی یک مسأله ی هدایت گرمایی مستقیم به صورت معادله ی انتگرال کرانه ای مکان-زمان مورد بحث قرار می گیرد. در ادامه‏،‏ ‎‎در فصل سوم پیاده سازی روش المان های کرانه ای روی یک مسأله ی هدایت گرمایی مستقیم مورد مطالعه قرار می گیرد.‎ فصل‎‎ چهارم این پایان نامه به معرفی مسأله ی هدایت گرمایی معکوس و روند عددی به کار رفته برای حل آن اختصاص دارد.‎ با توجه به این که مسائل هدایت گرمایی معکوس‏ مسائلی بدوضع هستند‏، حل این مسائل مستلزم استفاده از روش های منظم سازی می باشد. به همین دلیل‏‏ در پیوست الف‏ به طور مختصر به بررسی نحوه ی عملکرد روش های منظم سازی خواهیم پرداخت.

روش

آنالیز موجک یکی از دست آوردهای نسبتا جدید ریاضیات است. امروزه شاهد کاربردهای مهمی از آن در بسیاری از رشته های علوم و مهندسی هستیم. در این پایان نامه ابتدا موجک لژاندر را تعریف می کنیم و سپس به حل نوعی از معادلات با مشتقات جزیی با استفاده از روش موجک می پردازیم. برای اینکار بالاترین مرتبه ی مشتق را در نظر گرفته و بر حسب موجک لژاندر تقریب می زنیم.

اگر‎ پیشینه دمایی در سطح یک جسم معلوم باشد، در این صورت توزیع دمایی را در کل جسم می‎mbox{}‎توان محاسبه کرد. چنین مساله‎mbox{}‎ای در اصطلاح یک مساله مستقیم‎lt‎rfootnote{direc‎t ‎proble‎m‎‎}‎‎‎‎ ‎‎نامیده می‎mbox{}‎شود. اما در بسیاری از موارد نیاز داریم که پیشینه دمایی سطح جسم را از روی دمای اندازه‎mbox{}‎گیری شده در یک یا چند نقطه درون جسم تعیین کنیم؛ در این صورت این یک مساله معکوس‎ltrfootnote{invers‎e ‎problem‎‎}‎‎‎‎ خواهد بود. به خصوص در طول چند دهه گذشته حالت خاص تقریب زدن شرایط سطحی با استفاده از اندازه‎mbox{}‎گیری‎mbox{}‎های داخلی به عنوان مساله هدایت حرارتی معکوس‎ltr‎footnote{invers‎e ‎hea‎t ‎conductio‎n ‎problem‎ ‎‎‎(ihcp)}‎‎‎‎ شناخته شده است. مسایل معکوس متعددی وجود دارند، اما تنها این مساله خاص به این صورت نامگذاری شده است و در واقع موضوع اصلی این نوشتار نیز هست. جواب دادن به مساله هدایت حرارتی معکوس به صورت آنالیزی بسیار سخت‎mbox{}‎تر‎ از مساله مستقیم است. اما مساله مستقیم موانع دست و پاگیر آزمایشگاهی بسیاری را برای اندازه‎mbox{}‎گیری و مهیا کردن شرایط محیطی فراهم می‎mbox{}‎آورد. از آن جمله اینکه موقعیت فیزیکی سطح جسم برای نصب سنسور حرارتی، یا به عبارتی ترموکوپل، مناسب نیست، به این معنی که، دقت انداره‎mbox{}‎گیری‎mbox{}‎های انجام شده توسط سنسور در سطح جسم، بسیار پایین است و محاسبات را به شدت نامطمئن می‎mbox{}‎کند. زیرا شرایط محیطی در اطراف سطح جسم بر این اندازه‎mbox{}‎گیری‎mbox{}‎ها تاثیر خواهد گذاشت. لذا بهتر است که پیشینه دمایی را با دقت بالا، در مکانی داخل جسم یا بر روی سطحی که عایق‎mbox{}‎کاری شده، اندازه بگیریم. بنابراین ما ناچاریم که بین اندازه‎mbox{}‎گیری نادقیق یا یک مساله سخت‎mbox{}‎تر از نظر آنالیزی یکی را انتخاب کنیم. یک جواب دقیق برای مساله معکوس مهار شده، می‎mbox{}‎تواند تاثیر هر دوی این اشکالات را با هم کم کند. مساله هدایت گرمایی معکوس را به این صورت تعریف می‎‎mbo‎x{}‎کنیم: ihcp عبارت است از، تقریب پیشینه دمایی سطحی یک جسم رسانای حرارتی، که پیشینه دمایی یک یا چند نقطه درون آن اندازه‎mbox{}‎گیری شده است.

سائل هدایت گرمایی به دو دسته، مسائل هدایت گرمایی مستقیم و مسائل هدایت گرمایی معکوس تقسیم? ?می شوند. مسائل هدایت گرمایی معکوس در بسیاری از شاخه های علوم و مهندسی از جمله فیزیک ، ریاضی ،? ?و · · · مطرح می شود، مسائل هدایت گرمایی معکوس زیر شاخه ای از مسائل اندازه گیری غیرمستقیم است? در این گونه مسایل معمولایکی از شرایط فیزیکی مسپله مجهول می باشد ? که هدف از حل چنین مسائل? ?پیدا کردن شرایط مجهول با اندازه گیری برخی خواص معلوم مسأله می باشد. از آن جایی که مسائل معکوس جزو? ?مسائل بدوضع می باشد حل تحلیل و جواب دقیق ندارند. بنابراین معمولا از روشهای عددی برای حل چنین ?مسائل استفاده می شود ? در این پایان نامه با یک ?روش خاص به بررس وجود و پایداری جواب ی?ک مساله هدایت گرمایی معکوس می پردازیم.? ? ? ? ?واژه های کلیدی: مسائل هدایت گرمایی معکوس، ناپایداری.?

در‎‎‎‎‎‎‎ این پایان نامه به کمک الگوریتم ژنتیک به حل چندین مسأله ی هدایت گرمایی معکوس خواهیم پرداخت. نتایج نشان می دهد که یک تقریب خوب برای جواب، با پیاده سازی الگوریتم ژنتیک سریال در یک پردازنده ی تک هسته ای با سرعت ساعت 2.4 گیگا هرتز و الگوریتم ژنتیک موازی در یک پردازنده ی 16 هسته‎‎ ای با سرعت ساعت 2.4 گیگاهرتز برای هر کدام به دست می آید.

در این پایان نامه مسئله ی کوشی را برای معادله حرارت با جمله غیر خطی نمایی در فضاهای اورلیچ مطالعه می کنیم. ما وجود جوابهای سراسری را برای این معادله تحت شرط کوچکی داده ی اولیه در فضاهای اورلیچ ثابت می کنیم.

در این پایان نامه،روش عددی برای حل یک مساله هدایت گرمایی معکوس با داده های بدون اختلال و با داده های دارای اختلال مطرح می شود.یک جواب عددی پایدار برای این مسئله تعیین خواهد شد. به این منظور، یک مسئله هدایت گرمایی را در یک مسئله بهینه سازی خلاصه می کنیم، و آن را با روش موسوم به تابع فیلد حل می کنیم. نتایج عددی بدست آمده، بازده رویکرد موردنظر را در تخمین مجهولات مسئله معکوس نشان می دهد.

یک مساله رسانش گرمایی معکوس را وقتی که داده‏ ها را در ‎ x=1 داشته باشیم‏‏، در نظر می گیریم. این مساله یک مساله سهموی کناره ای نامیده می شود و به شدت بد وضع است. روش های استانداردسازی تیخونف و فوریه توسعه یافته اند، اما این روش‏ ها شامل مرز ابتدایی برای جواب ها در انتخاب پارامترهایشان هستند. یک مرز تخمینی بزرگ باعث ایجاد نتایج عددی نامناسب می شود. در اینجا رده دیگری از رو ش ‏های تکرار نیز برای جواب مساله رسانش گرمایی با ایده گرفتن از روش های استاندارد سازی تیخونف و فوریه و نیز روش تکرار لندوبر، معرفی می شود و ثابت می شود که این روش ها تحت هر دو قانون توقف استنتاجی و ابتدایی به صورت نمایی همگرا هستند. انتخاب مناسب یک پارامتر در روش تکرار کمک می کند تا گام های تکراری کاهش یابند و جواب تقریبی رضایت بخشی را به دست می دهد. به علاوه اگر از قاعده استنتاجی برای توقف گام های تکراری استفاده کنیم، می توان از انتخاب یک مرز ابتدایی جلوگیری کرد.

‏دستاورد‎‎ اصلی این پایان نامه مطالعه ی مسأله ی هدایت گرمایی معکوس در حل مسأله ی یک بعدی می باشد. مسائل هدایت گرمایی معکوس یک نمونه بارز از مسائلی هستند که چندین پارامتر مجهول از جمله منابع گرمایی ساکن و متحرک‏، شرایط اولیه‏، شرایط مرزی و ... همزمان قابل تخمین می باشد. در این پایان نامه‏، به محاسبه ی شرایط مرزی می پردازیم.‎‎‏‎ ابتدا مفاهیم اساسی معادلات با مشتقات جزئی ارائه می شود‏، سپس مسائل هدایت گرمایی معکوس و مثالهایی از کاربرد این مسائل مطرح می گردد و در فصل سوم روشهای حل مسائل هدایت گرمایی مستقیم ‏بحث خواهد شد و در فصل چهارم به معرفی الگوریتم ‎$ ‎pso‎ $‎‏ و کاربرد این الگوریتم در حل مسائل هدایت گرمایی معکوس پرداخته می شود و نهایتاً‎ در فصل پنجم‏، چند مسأله ی هدایت گرمایی معکوس با شرایط مرزی مجهول با روش پیشنهادی فصل چهارم حل می شود که نتایج به دست آمده نشان می دهد این الگوریتم راه حل مناسبی برای حل همچین مسائلی است.

تحلیل‎‎ مولفه های اصلی ‎‎‎‎ ‎‎‎(pca)‎یکی از روش‎‎ های چند متغیره ای است که داده ها را به ابعاد کمتر‎‎ی خلاصه می کند، به طوری که اطلاعات ضروری در آن حفظ می شود. گروه بندی محلی پیکسل ها (‎‎(lpg یک مسئله ی طبقه بندی است که در این پایان نامه از روش ‎‎تطبیق بلوک بهره گرفته شده است. این پایان نامه یک روش نویز زدایی با‎ استفاده از روش تحلیل مولفه های اصلی با گروه بندی محلی پیکسل ها ارائه می دهد. با انجام ‎‎تطبیق بلوک یک پیکسل و نزدیک ترین همسایه های آن به عنوان متغیر های برداری مدل سازی می شود. سپس تبدیل ‎‎pca‎‎ بر روی این متغیر های برداری اعمال می شود، با اعمال ‎‎تکنیک تخمین کمترین مربعات خطی ‎‎‎ lmmse‎‎ از مقدار نویز کاسته می شود. برای بهبود در نویز زدایی این اعمال می تواند تکرار شود، که با استناد بر نتایج تجربی بر روی تصاویر آزمون تست شده‎‎، می بینیم که روش ما به عملکرد مطلوبی در حفظ ساختار تصویر در مقایسه با الگوریتم های موجود دیگر دست یافته است.

الگوریتم های ریاضی زیادی در این حوزه مورد استفاده قرار گرفته اند‏، اگرچه که این روش های عددی‏، بسیاری از مسائل را با دقت مناسبی حل نموده اند، اما اغلب آن ها در مواجه با مسائل گسترده ای که دارای بهینه های محلی فراوانی هستند‏، دچار مشکل آشنای گیر افتادن در بهینه محلی می شوند. علاوه بر آن اغلب این روش ها دارای پیچیدگی های ریاضی زیادی هستند که استفاده از آن ها برای افرادی که اطلاعات ریاضی بالایی ندارند‏، سخت و در گاهی اوقات هم غیر ممکن خواهد بود و این یعنی تنها کسانی قادر به استفاده از این نوع از الگوریتم ها هستند که هم در زمینه طراحی روش های موثر حل(طراحی الگوریتم) و هم در زمینه تئوری ریاضیات و روش های حل عددی و مدل های ریاضی دارای تخصص باشند. مشکلات یاد شده از یک طرف و رشد سریع و چشمگیر الگوریتم های تکاملی از طرف دیگر‏، طراحان را به فکر استفاده از الگوریتم هایی کاراتر‏، قابل اطمینان تر‏ و محبوب تر(به لحاظ نیازمندی کمتر به اطلاعات ریاضی) نمود‏، و این یعنی استفاده از الگوریتم های تکاملی و اکتشافی در حل مسائل عددی ریاضی. در طول دهه گذشته برای غلبه بر نقص های محاسباتی الگوریتم های ریاضی، الگوریتم های تکاملی یا فرااکتشافی مانند الگوریتم ژنتیک و یا الگوریتم شبیه ساز سرد کردن فلزات ابداع شده اند. با این وجود، جستجوی الگوریتمی قدرتمندتر و موثرتر، هنوز هم یک چالش برای مهندسان است. hs ، الگوریتم جستجوی قدرتمندی برای یافتن جواب بهینه است. هارمونی به معنای هماهنگی است. در تولید یک موسیقی چندین موسیقی دان با سازهای مختلف با هم همکاری می کنند. هدف آن ها تولید یک موسیقی زیباست. در این روند همگی سعی می کنند در هر بار اجرای موسیقی‎‎‏، نت های مناسب تری انتخاب کنند، تا موسیقی بهتری ایجاد شود. در حقیقت زیبایی موسیقی در فرآیند تولید آن بهتر می شود. به طور کلی در فرآیند تولید موسیقی سعی می شود در هر مرحله از اجرا، موسیقی تکامل بیشتری داشته باشد، چنانچه در نهایت هماهنگی مناسبی بین نوازنده ها ایجاد شود.

?? انی ?? ،برق،م ?? ،ریاض ?? از جمله فیزی ?? معادلات با مشتقات جزیی در بسیاری از شاخه های علوم و مهندس این پدیده از روش های عددی ?? وجود ندارد و به ناچار جهت بررس ?? آن ها حل تحلیل ?? شود که برای بررس ?? مطرح م را که ?? شود. روش های عددی بسیاری برای این مسایل وجود دارد که دارای دقت های متفاوت هستند. روش ?? استفاده م از روش های موجود خطای کمتری داشته و به دلیل استفاده از نقاط کمتر، تقریب بهتری ?? دهیم نسبت به خیل ?? ارائه م دهد. ?? به دست م آوریم و با استفاده از آن مساله هدایت گرمایی ?? به دست م ?? وریتم ?? در این روش با استفاده از خواصاسپلاین ها ال شود. ?? معکوس را گسسته سازی کرده که منجر به ارائه جواب هایی با دقت بالا وخطای کمتری م

در این پایان نامه حل دقیق معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرخطی با استفاده از ‎روش تابع سینوس-کسینوس را که شامل قضیه، شرایط اولیه و همچنین مثال هایی از کاربرد این روش ها هستند را ذکر می کنیم. ابتدا مفاهیم اساسی معادلات با مشتقات جزئی را که شامل تعاریف و مفاهیم بنیادی این گونه مسائل است را مطرح می کنیم، سپس مسائل هذلولوی‎، بیضوی و مثال هایی از کاربرد این مسائل را بیان می کنیم و نهایتاً در فصل سوم، روش تابع سینوس-کسینوس را برای مسائل هذلولوی و سهموی مورد بررسی قرار می دهیم و مثال هایی برای این روش ذکر می کنیم.

در ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‏کاربردهای دنیای واقعی‏، داده های زیادی وجود دارند که مقدارشان به طور قطعی مشخص نیست و داده های ورودی را همواره نمی توان به طور دقیق تعیین کرد. یک روش برای بیان این گونه‏ داده ها‏، استفاده از اعداد بازه ای است.‎ ‎‎در ‏این پایان نامه‏، مسائل برنامه ریزی غیرخطی با داده های بازه ای را مورد مطالعه قرار خواهیم داد. اخیراً‏، هلادیک‏ روشی‎ را برای محاسب? محدود? مقدار بهینه برنامه ریزی خطی بازه ای ارائه کرده است‏ که روش فوق بر اساس خواص دوگان در برنامه ریزی خطی و چندین قضیه در سیستم های بازه ای خطی است.‎‏ ‎ما این روش را برای کلاس های متنوعی از مسائل برنامه ریزی غیرخطی با داده های بازه ای تعمیم خواهیم داد و یک چارچوب کلی برای حل مسائل برنامه ریزی غیرخطی با داده های بازه ای ارائه خواهیم کرد

‏روش دوخطی هیروتا برای بیان جواب های تحلیلی دقیق یک موج انفرادی از معادلات دیفرانسیل غیرخطی استفاده می شود. ‎‏در‎ ابتدا‏، سیستمی از معادله موج غیرخطی چند بعدی با قسمت واکنش دهنده به فرم چندجمله ای درجه سوم تعیین می کنیم که در واقع به منظور مشخص کردن سه بردار ثابت مجزا می باشد. در مرحله دوم‏، معادله موج منتشر شده در یک بعد را می سازیم. که در این حالت روش دوخطی برای به دست آوردن ریشه های بر‏دار از مشتق گیری استفاده می کند. این روش این امکان را می دهد که سرعت موج انفرادی با استفاده از گسترش آشفتگی هیروتا‏ ثابت شود.

در این پایان نامه‏، قصد بر آن است که روش های حل مسایل مینیمم سازی یک تابع هدف خطی با محدودیت های معادلات رابطه فازی با عملگرهای ترکیبی ماکزیمم‎‎‎‎-‎‎‎مینیمم و ماکزیمم‎‎‎‎-‎‎‎ضرب و نامعادلات رابطه فازی و نیز محدودیت های ماکزیمم‎‎‎‎-‎‎‎مینیمم دوقطبی مورد مطالعه قرار می گیرد. با توجه به اینکه مجموعه جواب های شدنی این نوع مسایل نامحدب است‏، لذا الگوریتم سیمپلکس و نقطه درونی برای حل آن ها ناکارا هستند. برای به دست آوردن جواب بهینه این مساله با عملگر ترکیبی ماکزیمم‎‎‎‎-‎‎‎مینیمم ابتدا آن را به یک مساله برنامه ریزی عدد صحیح ‎‎‎صفر-یک تبدیل کرده و آن را به کمک روش شاخه و کران حل می کنیم. در ادامه‏، این مساله را با عملگر ترکیبی ماکزیمم‎‎‎‎-‎‎‎ضرب و نامعادلات رابطه فازی بررسی می کنیم. در نهایت این مساله با محدودیت های ماکزیمم‎‎‎‎-‎‎‎مینیمم دوقطبی ارایه می شود و الگوریتمی کارا برای به دست آوردن جواب بهینه طراحی می شود.

معکوس زیرشاخه‎‎ای از مسائل انداز‎‎ه ‎‎گیری غیرمستقیم هستند که در شاخه‎‎های مختلف علوم و مهندسی کاربرد دارند. از آ‎ن جا‎یی که حل مسائل معکوس بسیار دشوار است و معمولاً جواب دقیقی ندارد، برای حل چنین مسائلی از روش های تقریبی، به ویژه روش های عددی استفاده می‎‎شود. در این پایان نامه به مطالعه مسائل هدایت گرمایی معکوس در حل مسائل یک بعدی می پردازیم.‎ در سال های اخیر چندین الگوریتم الهام گرفته شده از طبیعت معرفی شده است. کلونی مورچگان، دسته ای از پرندگان و یا ماهی ها نمونه هایی از این نوع الگوریتم هستند. الگوریتم ‎abc ‎ نیز ، یک الگوریتم الهام گرفته شده از رفتار جستجوگرانه ی طبیعی زنبور‎ها، برای پیدا کردن راه حل مطلوب است.‎ ‎‎‎‎ در این پایان نامه‏، ابتدا‎ مفاهیم اساسی معادلات با مشتقات جزئی ارائه می شود‏، سپس مسائل هدایت گرمایی معکوس و مثال هایی از کاربرد این مسائل مطرح می گردد و در فصل سوم روش های حل مسائل هدایت گرمایی مستقیم بحث خواهد شد و در فصل چهارم به معرفی الگوریتم ‎ ‎abc‎ ‎ و کاربرد این الگوریتم در حل مسائل هدایت گرمایی معکوس می پردازیم و نهایتاً در فصل پنجم‏، چند مسأله ی هدایت گرمایی معکوس با شرایط مرزی مجهول با روش پیشنهادی فصل چهارم حل می شود که نتایج به‎‎دست آمده نشان می دهد این الگوریتم راه حل مناسبی برای حل چنین مسائلی ا‎ست.

در این پایان نامه، دو روش نیمه تحلیلی برای مسائل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی خطی و غیرخطی مطرح می شود. به این منظور، روش ماتریسی تیلور برای حل معادلات خطی مرتبه دوم و روش ری توانی برای حل معادلات غیرخطی ارائه می شود. در این دو روش، ابتدا جواب عمومی معادله را با سری تقریب می زنیم سپس با استفاده از شرایط مقدار اولیه و مقدار مرزی، جواب خصوصی را به دست می آوریم.

در این پایان نامه یکی از دقیق ترین و جدیدترین روش های حل معادله غیرخطی برگرز ارائه شده است. ابتدا مشتقات جزیی معادله برگرز به وسیله ی تابع اساسی بی-اسپلاین مکعبی اصلاح شده تقریب زده می شود. در مرحله دوم، با حل دستگاه سه قطری حاصل با منظم سازی مرزی، ضرایب وزن تعیین می شود. بعد از جایگذاری این تقریب ها، معادله ی برگرز به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل می شود. در مرحله ی سوم، الگوی رانگ-کوتای به طور قوی پایدار، آن دستگاه را حل می کند. در نهایت، نتایج روش های مختلف حل معادله برگرز مقایسه شده است. .

مسائل هدایت گرمایی معکوس یک نمونه بارز از مسائلی هستند که چندین پارامتر مجهول از جمله منابع گرمایی ساکن و متحرک، شرایط اولیه، شرایط مرزی و ... همزمان قابل تخمین می باشد. در این پایان نامه، به محاسبه ی شرایط مرزی می پردازیم.

در این ‎‎‎‎ پایان نامه ما به بررسی وجود یکتایی و خاصیت منظم بودن جواب های مثبت معادله حرارت در حوزه کراندار با شرایط دیریکله روی مرز می پردازیم. داده های اولیه منفرد و جمله غیرخطی از نوع مقعر- محدب هستند. ‎به علاوه‎ مسئله معکوس را برای این معا‎‎دله حرارت با ضرایب وابسته به زمان ‎‎تخمین می زنیم.

در این پایان نامه برخی روش های عددی برای حل مسائل هدایت گرمایی معکوس مورد بررسی قرار می گیرد. در قسمت اول پایان نامه ، مفاهیم اساسی مسائل هدایت گرمایی معکوس را بیان می کنیم که شامل تعاریف ، قضایا و برخی روش های حل تحلیلی و عددی اینگونه مسائل می باشد. همچنین برخی از کاربردهای صنعتی مسائل هدایت گرمایی معکوس را ذکر می کنیم. از طرفی چون حل مسائل هدایت گرمایی مستقیم، اولین گام حل مسائل هدایت گرمایی معکوس می باشد، چند مورد از روش های حل تحلیلی و عددی مسائل هدایت گرمایی مستقیم را بیان می کنیم. از آنجا که مسائل هدایت گرمایی معکوس، مسائلی بد- وضع می باشند، به بررسی برخی روش های منظم سازی عددی برای حل مسائل بد- وضع گسسته می پردازیم. در قسمت دوم پایان نامه ، یک مسأله هدایت گرمایی معکوس از نوع خطی مورد بررسی قرار می گیرد، و یک روش عددی برای حل این مسأله تعمیم داده می شود. در روش حل، ابتدا با توجه به ناحیه جواب، این مسأله به دو مسأله، مستقیم و معکوس، به روی دو زیر ناحیه تبدیل می شود. سپس با اضافه کردن شرطی که از حل مسأله مستقیم به دست می آید، مسأله معکوس مورد نظر را به یک مسأله کوشی تبدیل کرده و با استفاده از جواب تحلیلی مسأله، روش حل مسأله ارائه می شود. در ادامه، یک مسأله هدایت گرمایی معکوس با ضریب هدایت گرمایی مجهول مورد بررسی قرار می گیرد. برای حل عددی این مسأله، ابتدا توزیع گرمایی را تقریب زده، و سپس با استفاده از تقریب تفاضلات متناهی، مسأله را گسسته سازی می کنیم و ضریب هدایت گرمایی مجهول را به دست می آوریم. در نهایت یک مسأله هدایت گرمایی معکوس با ضریب مجهول مورد بررسی قرار می گیرد و یک روش عددی برای حل این مسأله ارائه می گردد.

در این پایان نامه روشهای بهینه سازی، آدمیان و تفاضلات متناهی برای حل مسائل هدایت گرمای معکوس تک بعدی در نظر گرفته شده است. اساس حل روش بهینه سازی بر حوزه فرکانسی و مشاهده گر پایه ریزی شده است مشاهده گر بهترین وضعیت را بین دو منبع خطا مشخص می کند که منبع اول خطا حساسیت تخمینها به نویز می باشد و منبع دوم خطا انحراف قطعی است.روش دیگر روش تجزیه آدمیان می باشد که این روش برای بحث در مورد داده های ورودی نویزی و بدست آوردن یک تقریب پایدار از آنها بکار می رود. در این پایان نامه روش جدید برای حل عددی مسائل هدایت گرمایی معکوس ارائه می شود که این روش، روش تفاضلات متناهی با توابع پایه چبیشف می باشد. در نهایت نتایج عددی این روش با جواب تحلیلی آدمیان مقایسه خواهد شد.