در این پایان نامه ما پایای عددی جدیدی به گروه g نظیر می کنیم. این پایا در واقع تظزیفی از بُعد کوهمولوژیکی است. ما این بُعد را مورد مطالعه قرار داده و خواص اساسی آن را بررسی می کنیم. در نهایت، ارتباط این بُعد را با کوهمولوژی نسبی گروه ها و کوهمولوژی تیت گروه ها بررسی می کنیم.

شباهت هایی که همواره بین گروهها و جبرهالی وجود دارد ما را بر آن داشت که درستی روابطی را که بین گروهها وجود دارد برای جبرهای لی هم بیازماییم. نتایج بدست آمده هم نشان می دهد در این راه به خطا نرفته ایم. یکی از اهداف ما در این پایان نامه معرفی ضربگر پوچ توان و جفت جبر های لی می باشد. در ادامه خواصی چند از این دو جبر لی را مورد بررسی قرار می دهیم. یکی دیگر از مباحث تحقیقاتی در این پایان نامه معرفی ناوردای بئر تعمیم یافته از زوج گروه ها می باشد. در این بررسی چندین نامساوی رابرای ناوردای بئر تعمیم یافته زوج گروه ها به دست می آوریم. علاوه بر این تعویض حد مستقیم با ناوردای بئر تعمیم یافته زوج گروه ها را ثابت می کنیم.

با قرار دادن شرایطی روی گروه می توان کران هایی برای اندازه زیرگروه مشتق بدست آورد. در هر گروه متناهی زیرگروهی از مشتق آن به نام باقیمانده پوچتوان وجود دارد. باقیمانده پوچتوان کوچکترین زیرگروه نرمال از گروه است که خارج قسمت آن پوچتوان است. برای یک گروه متناهی ارتباط بین اندازه باقیمانده پوچتوان و مرکز گروه را مطالعه میکنیم و ثابت میکنیم اگر گروه حل پذیر باشد به طوری که زیرگروه فراتینی و مرکز آن بدیهی باشد آنگاه اندازه باقیمانده پوچتوان آن در مقایسه با اندازه گروه بزرگ است و چون باقیمانده پوچتوان زیرگروه مشتق است پس به وضوح تحت همان شرایط اندازه زیرگروه مشتق نیز در مقایسه با اندازه گروه بزرگ است. سپس بدون فرض بدیهی بودن زیرگروه فراتینی و مرکز و همچنین بدون فرض حل پذیر بودن گروه و فقط با فرض غیرپوچتوان بودن آن زیرگروههای خارج قسمتی ازگروه را پیدا میکنیم که دارای باقیمانده پوچتوان بزرگ می باشند .

فرض کنیم دو زیرگروه دلخواهh , k از یک گروه متناهی g و g in g دادخ شده باشند احتمال اینکه جابه جاگر یک زوج دلخواه که مولفه اول آن در h و مولفه دوم آن در k باشدبرابر g شود عبارت است از pr_g(h,k)