در این پایان نامه به طور کامل حلقه های تعویض پذیر موضعی مانند r را توصیف خواهیم کرد که در آنها ماتریس های مربعی به طور قوی خوش ترکیب باشند و این کار را از طریق تجزیه در حلقه ی چند جمله ای ها انجام می دهیم. همچنین نتایجی مشابه را بدست می آوریم که نشان می دهد برای هر چند جمله ای تکین مانند f به طور قوی خوش ترکیب بودن ماتریس همدم متناظر با چند جمله ای f معادل است با به طور قوی خوش ترکیب بودن همه ی ماتریس هایی که چند جمله ای مشخصه ی آنها چند جمله ای f می باشد.

عضو a در حلقه را n - خوش ترکیب گوییم اگر بتوان آن را به صورت حاصل جمع یک عضو خودتوان و n عضو یکال نوشت. یک حلقه را n - خوش ترکیب می نامیم اگر هر عضو آن n - خوش ترکیب باشد. همچنین یک حلقه را قویاً خوش ترکیب گوییم اگر هر عضو آن را بتوان به صورت حاصل جمع یک عضو خودتوان و یک عضو یکال که با هم جا به جا می شوند، نوشت. در این مقاله نشان می دهیم که اگر حلقه شرط (si) را داشته باشد، آن گاه حلقه چند جمله ای ها n - خوش ترکیب نیست، برای هر عدد صحیح مثبت n. همچنین شرایطی را بر روی حلقه موضعی r معرفی می کنیم که نشان می دهد حلقه ماتریس های بالا مثلثی قویاً خوش ترکیب است و ثابت می شود که این قضیه برای حلقه های تعویض پذیر موضعی r، مانند رده های دیگر حلقه های موضعی برقرار است.

در این نگارش، سعی بر این شده است که به مباحث اساسی و بنیادی در زمینه ی حلقه های خوش ترکیب پرداخته شود. حلقه ی خوش ترکیب که نخستین بار در سال 1977 توسط دبلیو.کیت.نیکلسون معرفی شد عبارت است از حلقه ای که بتوان هر عضو آن را به صورت مجموع یک عضو خودتوان و یک عضو یکال بیان نمود. دراین پژوهش به بررسی خواص حلقه های خوش ترکیب در سه حوزه ی حلقه های تعویضپذیر، حلقه های تعویض ناپذیر و حلقه های عمومی(حلقه ی نه لزوماً یکدار) پرداخته ایم. بررسی ها را در حوزه ی حلقه های تعویضپذیر با محوریّت حلقه های خوش ترکیب، حلقه های یکتا خوش ترکیب، حلقه های ضعیف خوش ترکیب و حلقه های تقریباً خوش ترکیب پیش برده ایم. درقلمروی حلقه های تعویض ناپذیر علاوه بر بررسی حلقه های خوش ترکیب، به شناسایی ویژگی های حلقه های یکتا خوش ترکیب، حلقه های به طور قوی خوش ترکیب، حلقه های پوچ خوش ترکیب و به طور قوی پوچ خوش ترکیب و نیز عملگرهای خطی شمارش پذیر و خاصیت خوش ترکیبی آن ها پرداخته ایم. در زمینه ی حلقه های عمومی نیز حلقه های خوش ترکیب و یکتا خوش ترکیب را بررسی کرده ایم. در بخش پایانی با استفاده از ایده ای که توسط پروفسور امیدعلی شهنی کرم زاده مطرح شد، دسته ی جدیدی ازحلقه ها راتحت عنوان حلقه های زیبا معرفی نموده ایم. حلقه ی زیبا عبارت است از حلقه ای که هر عضو غیرصفرآن به صورت مجموع یک عضو مقسوم علیه صفر و یک عضو منظم قابل بیان باشد. نشان داده ایم که اگر r یک حلقه ی تعویضپذیر زیبا باشد، آن گاه حلقه ی ماتریس های n*n روی r نیز زیبا است. همچنین اثبات کرده ایم که حلقه ی ماتریس های n*n روی یک حلقه ی تقسیم، یک حلقه ی زیبای چپ است و نیز یک حلقه ی آرتینی دوطرفه، زیبای چپ است اگر و فقط اگر با حاصل ضرب مستقیم متناهی از حلقه های تقسیم یکریخت باشد.

توسیع یکدار r?t از حلقه های تعویض پذیر را یک fip- توسیع (یا یک توسیع مینیمال) می نامیم هرگاه تعداد متناهی(هیچ) حلقه مثل s که? s ?t r ، موجود باشد. در این پایان نامه بررسی می کنیم که توسیع حلقه ای r?r[u] که u عضوی پوچ توان متعلق به توسیعی از حلقه ی r است، یک fip- توسیع است اگر و تنها اگر ???? u??? باشد. حلقه هایی که تعداد متناهی زیر حلقه دارند نیز مورد بررسی قرار می گیرند.

در این پایان نامه حلقه هایی را مشخص می کنیم که روی آنها هر مدول تصویری جمع مستقیمی از مدولهای متناهی تولیدشده است، و مثالهایی متنوّع از حلقه هایی با، و بدون این ویژگی ارائه می کنیم.

فرض کنیم rیک حلقه باشد.r-مدول xرا c-انژکتیو می نامیم هرگاه برای هر زیرمدول بسته ی lاز هرr-مدول mهر همریختی ازlبهxرا بتوانیم به یک همریختی ازl بهmتوسیع دهیم.در این پایان نامه ثابت می شود که اگر rیک دامنه ی ددکیند باشد آن گاه r-مدول c,x-انژکتیو است اگر و فقط اگر xبایک مجموع مستقیم از r-مدول های همگن نیم ساده و r-مدول های انژکتیو یک ریخت باشد.همچنین نشان خواهیم داد که هر حاصلضرب از r-مدول های ساده روی دامنه های ددکیند خود-c-انژکتیو است.همچنین ثابت می شود که اگر rیک دامنه ی جابه جایی نوتری باشد آنگاه rدامنه ی ددکیند است اگر و فقط اگر هر r-مدول سادهc-انژکتیو باشد.

این پایان نامه حاصل بررسی کامل دو مقاله عنوان شده در منابع می باشد. یک حلقه تماما اول حلقه ای است که هر ایدآل آن، اول است . در این پایان نامه نشان داده می شود، حلقه r تماما اول است ، اگر و تنها اگر، حلقه ای تماما خود توان باشد و مجموعه ایدآلهای آن مرتب کلی باشد، به علاوه مرکز هز حلقه تماما اول، اگر بدیهی نباشد، یک میدان است . هم چنین ثابت می شود خاصیت تماما اولی، از حلقه r به حلقه mn(r)، nen ، حلقه های موضعا ماتریسی روی r و ... منتقل می شود. یکی از قضایای مورد توجه در مقاله اول، قضیه 5.3.3 که ثابت می کند هر حلقه تماما اول و fbn راست ، ساده و آرتینی است . نگارنده با توجه به روند اثبات قضایا در مقاله دوم، قضیه 5.3.3 را با مفروضاتی کمتر در فصل 4 به اثبات رسانده است . در بخش دوم فصل 4، حلقه هایی بررسی می شوند که هر ایدال ناصفرشان اول است ، چنین حلقه هایی را تقریبا تماما اول می نامیم. در بخش مذکور نشان داده می شود که یک حلقه تعویضپذیر یا fbn راست که هر ایدال ناصفر آن اول است . حداکثر شامل دو ایدال سره و ناصفر است که ماکسیمال نیز می باشند.