موضوع این پایان نامه مطالعه ی خصوصیات گاماحلقه های اول ونیم اول می باشد. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل اصلی می باشد. یک فصل به ارائه ی مطالبی از نظریه ی گاماحلقه ها اختصاص دارد که بیشتر مطالب آن تعمیم های گوناگونی از بخش های متناظر با آنها در حلقه ها می باشد. در این فصل به بررسی گاماحلقه, زیرگاماحلقه, ایده آل, گاماهمریختی و گاماحلقه های اول ونیم اول پرداخته ایم. فصل دیگر این پایان نامه دربردارنده ی شیوه ی ساخت گاماحلقه ی خارج قسمتی و مرکز تعمیم یافته ی یک گاماحلقه ی نیم اول و بررسی بسیاری از ویژگی های آنها بوده است. یکی از نتایج مهم این فصل بیان واثبات منظم بودن مرکز تعمیم یافته ی هر گاماحلقه ی نیم اول است. بالاخره در فصل آخر این پایان نامه مفاهیم مشتق و مشتق سه گانه ی جابجایی و کاربرد آنها را در گاماحلقه های اول و نیم اول مطرح کرده ایم و بسیاری از قضایای را که بیان کننده ی ارتباط بین مشتق و جابجایی بودن یک گاماحلقه است را آورده ایم.

در این پژوهش یک رابطه ی هم ارزی بر روی مجموعه ی تمام زیرمجموعه های فازی گروه g تعریف کرده ایم. با توجه به این رابطه ی هم ارزی برای محاسبه ی تعداد زیرگروه های فازی متمایز گروه g کافی است تعداد زنجیرهای از زیرگروه های g که به g ختم می شوند را محاسبه کنیم. در این زمینه اصل شمول-عدم شمول دارای نقش اساسی است. در بسیاری از موارد از جمله در گروه دوری، p-گروه آبلی مقدماتی، رده ای خاص از گروه هامیلتونی، گروه دووجهی و گروه دودوری این اصل ما را به روابط بازگشتی می رساند. برخی از این روابط بازگشتی به آسانی قابل حل هستند. در مورد یک گروه دودوری با توجه به اینکه هر زیرگروه ماکسیمالش دوری یا دودوری است و تعداد زیرگروه های فازی متمایز یک گروه دوری را می توان محاسبه نمود، با استفاده از اصل شمول-عدم شمول یک رابطه ی بازگشتی را ارائه کرده ایم که در برخی از حالت های خاص از جمله زمانی که گروه دودوری یک گروه چهارگان تعمیم یافته است قابل حل می باشد.

در این پایان نامه گرافی به نام گراف رأس اول معرفی شده است که رأس های این گراف مقسوم علیه های اول درجه سرشت های تحویل ناپذیر گروه g است و در صورتی بین دو رأس از این گراف یال وجود دارد که حاصل ضرب این دو عدد اول درجه سرشتی تحویل ناپذیر از گروه g را بشمارد. در این پایان نامه ویژگی های این گراف در حالت هایی که گروه g حل پذیر و یا غیر حل پذیر است مورد مطالعه قرار گرفته است. در فصل 2 نشان داده شده که هرگاه گروه g حل پذیر وگراف رأس اول آن همبند باشد قطر آن حداکثر 3 است و زمانی که گراف نا همبند باشد تعداد مولفه های همبندی آن حداکثر 2 و هر مولفه همبندی گرافی کامل است. در فصل 3 نشان داده شده گروه غیرحل پذیری وجود دارد که گراف رأس اول آن دارای دو مولفه همبندی است که قطر یکی از مولفه ها برابر 2 است و از این رو گراف کامل نمی باشد، همچنین گروه غیر حل پذیری وجود دارد که گراف رأس اول آن دارای سه مولفه همبندی است.

در این پایان نامه ابتدا به بیان ارتباط ابرگروه ها و روابط n-تایی پرداخته و سپس ارتباط بین n-ابرگروه ها و روابط دوتایی را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس مطالب فوق را تعمیم داده و (n+1)-ابرگروه وارهای وابسته به روابط n-تایی که روی مجموعه ناتهی h تعریف می شود را بیان می کنیم. در ادامه با قرار دادن شرایطی ثابت می کنیم که چنین (n+1)-ابرگروه وارهایی یک h‎_{v}‎-گروه (n+1)-تایی، یک (n+1)-ابرگروه یا (n+1)-فضای الحاقی است. در ادامه با قرار دادن n=2، به بحث روی ابرگروه های خاص تحت عنوان c-ابرگروه ها پرداخته و رابطه ابرعملی که از یک ابرگروه وار غیرجزئی یا جزئی حاصل می شود، معرفی می کنیم. همچنین، یک طبقه بندی از تمام ابرگروه وارهای غیرجزئی یا جزئی ارائه می دهیم که این طبقه بندی بر پایه رابطه ابرعملی و c-ابرگروه وارهای غیرجزئی یا جزئی وابسته به روابط دوتایی روی مجموعه h می باشد. در پایان ابرعمل فازی و ابرگروه وار فازی وابسته به رابطه فازی را مطالعه کرده و شرط لازم و کافی برای این که ابرگروه وار فازی به ابرگروه فازی تبدیل شود را بیان می کنیم. علاوه براین، نشان می دهیم که رسته nfhg از ابرگروه های فازی نرمال در تمامی شرایط توپوس بجز اصل زیرشیء رده بندی شده صدق می کند.

در این رساله، ابتدا برخی تعاریف و قضایای مقدماتی (نیم)ابرگروه ها را بیان سپس مفهوم (نیم)ابرگروه های مرتب جزیی را تعریف می کنیم. در ادامه ?-نیم ابرگروه ها را که تعمیمی از ?-نیم گروه ها و نیم ابرگروه ها است را معرفی کرده و رابطه اساسی روی ?-نیم ابرگروه ها را به عنوان کوچک ترین رابطه هم ارزی منظم قوی، مطالعه می کنیم. همچنین ایده آل های اول و نیم اول یک ?-نیم ابرگروه را بررسی می کنیم. ?-نیم ابرگروه های وابسته به یک مجموعه از روابط دوتایی را معرفی کرده و شرط های لازم و کافی را ارایه می کنیم به طوری که s یک ?-نیم ابرگروه شود که در آن ? یک مجموعه از روابط دوتایی روی s است. در ادامه، مفهوم ?-نیم گروه های n-تایی را به عنوان تعمیمی از نیم گروه های n-تایی و ?-نیم گروه ها معرفی می کنیم. سپس نیم گروه n-تایی عملگر وابسته به یک ?-نیم گروه n-تایی را تعریف کرده و ارتباط بین آنها را بررسی می کنیم. روابط هم ارزی گرین را برای یک ?-نیم گروه n-تایی بیان و برخی خواص آن ها را اثبات می کنیم. در فصل آخر، ابرگروه های توپولوژیک از نوع مارتی و پلی گروه های توپولوژیک را مطالعه کرده و با در نظر گرفتن توپولوژی خارج قسمتی القا شده توسط رابطه اساسی، نشان می دهیم که اگر هر زیرمجموعه باز آن یک ابرگروه توپولوژیک یک بخش کامل باشد، آنگاه گروه اساسی آن یک گروه توپولوزیک است. در پایان، قضایای یکریختی را برای پلی گروه های توپولوژیک بیان و اثبات می کنیم.

این پژوهش بر روی نمایش گروه، نمایش های دوعضوی از گروه های سه تایی، گروه های چندتایی و چندتایی متناهی و در نهایت نمایش های دوعضوی از گروه های چندتایی بنا شده است. پس از بررسی و مطالعه نمایش گروه به بیان نمایش های دوعضوی از گروه های سه تایی می پردازیم. سپس مفهوم نمایش های گروه های چندتایی را معرفی و رابطه بین این نمایش ها و گروه های درون بر از آن ها و گروه های پوششی را بررسی می کنیم. با در نظر گرفتن این مفاهیم ثابت خواهیم کرد که یک تناظر یک به یک بین مجموعه های نمایش های تحویل ناپذیر از گروه های چندتایی و پوشش پست آن وجود دارد. با استفاده از این تناظر، برخی ویژگی های معروف از سرشت های تحویل ناپذیر گروه های متناهی را به گروه های چندتایی متناهی تعمیم می دهیم. در نهایت، به معرفی نمایش های دوعضوی از گروه های چندتایی می پردازیم.

در این پایان نامه ابتدا گاما-نیم گروه ها و گاما-نیم گروه های n-تایی معرفی می شوند. در ادامه با معرفی مفاهیم گاما-زیرنیم گروه ها و گاما-ایده آل های گوناگون از دو ساختار فوق به بررسی مجموعه های شهودی فازی در این زیر ساختارها می پردازیم. سپس با معرفی نوعی گاما-حلقه ی فازی جدید گاما-اید ه آل ها و گاما-حلقه ی خارج قسمتی این ساختا را مطالعه می کنیم. در پایان ساختار جبری جدیدی به نام گاما-حلقه ی n-تایی که تعمیمی از دو ساختار (n,m)-حلقه و گاما-حلقه است را تعریف می کنیم. گاما-اید ه آل های گوناگون این ساختار را تعریف کرده به بررسی خواص این ساختار می پردازیم.

چکیده در این رساله ابتدا رابطه ی اساسی tua^* ‎ را روی ابرگروه h چنان تعریف می کنیم به طوری که خارج قسمتی ^*h/tua (مجموعه تمام رده های هم ارزی) یک گروه حل پذیر شود. ‏بنابر این یک رده از گروه های حل پذیر را که با این رابطه ی منظم قوی به دست‎ می آید را مشخص کرده و چندین قضیه و نتیجه را در رابطه با این موضوع به دست می آوریم. هم چنین رابطه ی اساسی nu^*‎ را روی ابرگروه ‎h‎ معرفی کرده به طوری که خارج قسمتی *^h/nu (مجموعه تمام رده های هم ارزی) یک گروه پوچ توان می شود. به علاوه زیر پلی گروه مشتق یک پلی گروه را تعریف کرده و با آن پلی گروه حل پذیر و پوچ توان را معرفی می کنیم و به تجزیه و تحلیل آن ها می پردازیم. نتایج ارزشمندی را روی این موضوع جدید به دست می آوریم. در ادامه مفهوم پلی گروه کامل را تعریف کرده و با مثال های متعدد موضوع را بررسی می کنیم. هم چنین روی ابر ضرب tua -چند - نیم مستقیم یک پلی گروه بحث می کنیم‎.‎ در ‏پایان ابرگروه‎‏ های که توسط وارلت‎ و کُمر از مشبکه ها به دست آمده اند را مورد مطالعه قرار می دهیم‎‎‏‏، هم چنین وارلت- ابرگروه ها و کُمر- ابرگروه ها را به ترتیب با مرتبه کمتر از 50‎ و13‎ شمارش می کنیم.

در این پایان نامه، با استفاده از مفاهیم تساوی فازی و تابع فازی، مفهوم عمل گر هموار تعریف می شود. سپس یک ساختار جبری به نام گروه هموار تعریف شده و ویژگی های اساسی این ساختار بررسی می شود. همچنین مفاهیمی مثل زیرگروه و همریختی هموار تعریف شده و ویژگی های اساسی آن ها مورد مطالعه قرار می گیرد. در پایان زیرگروه تولید شده توسط یک زیرمجموعه ی معمولی از یک گروه هموار مورد مطالعه قرار می گیرد.

در این پایان نامه با استفاده از چند گروه آبلی، ابرگروه هایی ساخته می شود. ارتباط بین همریختی های گروهی این گروه ها با همریختی های ابرگروهی ابرگروه های ساخته شده بررسی می گردد. در ادامه ابرگروه m‎ -پلی متقارن معرفی شده، همریختی های ابرگروهی بین ابرگروه های ‎ -m‎‎پلی متقارن و ابرگروه های ‎ -m‎‎پلی متقارن مونوژن مورد مطالعه قرار می گیرد. در پایان با معرفی پلی گروه ها و پلی گروه های فازی، یکر‎‎یختی فازی و زیرپلی گروه های فازی خارج قسمتی مطالعه و بررسی می شود.

حلقه جابجاییrرایک حلقه تمیز گویند هر گاه هر عضو x ? r را بتوان به صورت مجموع یک عضو یکه و یک عضو خودتوان نوشت. هرگاه هر عضو x ? r را بتوان به طور یکتا به صورت مجموع یک عضو یکه و یک عضو خودتوان نوشت r را یک حلقه ی تمیز یکتا تعریف می کنند. در این پایان نامه ارتباط مفاهیم حلقه های تمیز و یکتای تمیز را با مفاهیم جبر جابجایی نظیر حلقه های شبه موضعی , حلقه های خارج قسمتی , حاصل ضرب مستقیم حلقه ها و ... را بررسی کرده و به بررسی و اثبات قضایایی پرداخته می شود که اهمیت حلقه های تمیز را نشان می دهند . در پایان نیز به معرفی حلقه های تمیز ضعیف , حلقه های تقریبا تمیز و حلقه های r-تمیز و بررسی برخی از ویژگی های انها پرداخته می شود .

پایان نامه حاضر شامل بر سه فصل است. در بخش اول از فصل اول به معرفی نمادها و همچنین مقدمات لازم برای فهم روابط به کاربرده شده در متن پرداخته شده است. در بخش دوم و سوم مختصری درباره توابع و عمل ها و همچنین سیستم های جبری توضیح داده شده است‎.‎‎ ‎ ‎ ‎ در بخش اول از فصل دو به تعاریف و مقدمات جبر منگر پرداخته شده است. در ابتدای این فصل جبر منگر به صورت مجرد معرفی شده است و در ادامه آن مثال ها و تعاریف مورد نیاز آورده شده است. در بخش دوم به معرفی جبرهای منگر ‎v‎-منظم پرداخته شده است. لازم به ذکر است که بسیاری از قضایای این فصل در مورد نیم گروه ها نیز صادق است زیرا در حقیقت این جبر منگر تعمیمی از نیم گروه ها است. در بخش سوم و چهارم نوع دیگری از جبرهای منگر را مورد بررسی قرار می گیرد. در بخش سوم آن دسته از جبرهای منگری که معادلات زیر در آن برای هر ‎ a_1‎، $‎a_0‎$ ‎‏، ... ‏، a_n ‏، ‎b ‎ و یک ‎ i ‎ ثابت جواب یکتا دارد و در بخش چهارم آن دسته از جبرهای منگری که برای آن معادلات زیر برای هر ‎i‎ جواب منحصر به فرد دارد را بررسی می گیرد. x[a_1...a_n] = ‎b‎‎‎‎‎,‎ ‎‎ ‎ ‎a_0[a_1...a_{i-1}x_i a_{i+1}...a_n] = ‎b.‎‎‎‎ در فصل سوم و در بخش اول آن نمایش هایی از مجموعه های توابع ‎$ n $-‎مکانی را که تحت ابرمکان های مان‎‎ بسته اند و در بخش دوم مجموعه های توابع چند مکانی که با توجه به مان و ابرمکان منگر بسته اند توصیف می شود. در‎‎ فصل آخر و در چند بخش مفهوم ابرجبرهای منگر معرفی می شود.

‎ در سال ‎1934‎مارتی‎‎‎‎ ‎[34]‎ در هشتمین کنفرانس ریاضیدانان اسکاندیناوی با ارائه ی مقاله ای، نظریه ی ابرساختارها را بنا کرد. مشابه ابرگروه ها که تعمیمی از مفهوم گروه ها هستند (ابرعمل جایگزین عمل دوتایی می شود)، ابرحلقه ها نیز تعمیمی از مفهوم حلقه ها هستند که در آن ها هردو عمل دوتایی یا تنها یکی از آن ها توسط ابرعمل ها جایگزین می شوند. ابرحلقه ها با توجه به نحوه ی جایگزینی ابرعمل ها انواع مختلفی دارند. اولین نوع ابرحلقه ها که به حلقه های معمولی نزدیک ترند توسط کراسنر ‎‎‎[23]‎‎‎ معرفی شد. در ابرحلقه ی کراسنر جمع یک ابرعمل با شرایطی خاص است در حالی که ضرب یک عمل دوتایی باقی می ماند. در آغاز دهه ی هفتاد شاگردان کراسنر‏ به ویژه میتاس‎ و استریتی گوپلس به بررسی این نوع ابرحلقه ها ‎[30,31,42]‎‎$‎ پرداختند. ناکاسیس‎در ‎‎‎[32]‎‎‎ به بررسی و مطالعه ی نظریه ی ابرحلقه ها و ابرمیدان ها پرداخت. نوع دوم ابرحلقه ها توسط روتا‎ ‎‎‎[39]‎‎‎ معرفی شد که در آن جمع همان عمل دوتایی باقی می ماند اما ضرب یک ابرعمل است. این نوع ابرحلقه ها کمتر مورد مطالعه قرارگرفته اند. نوع سوم ابرحلقه ها توسط میتاس کشف شد و آن را حلقه ی‏ عمومی نام گذاری کرد. در حلقه ی عمومی هردو عمل جمع و ضرب توسط ابرعمل ها جایگزین می شوند و ابرساختار جمعی یک ابرگروه کانونی است. در تعمیم حلقه ی عمومی ابرساختار جمعی یک ابرگروه دلخواه در نظر گرفته می شود که دراین صورت با نوع جدیدی از ابرحلقه ها رو به رو هستیم که اولین بار توسط اسپارتالیس ‎ ‎‎‎[40]‎‎‎ معرفی شدند.‎ هم چنین این ابرحلقه تعمیمی از تعریف ارائه شده توسط دسالوو‎‎ ‎[18]‎ نیز هست. یک مرورکلی روی نظریه ی ابرحلقه ها توسط دواز ‎ و لئورئانو- فوتیه ‎ در ‎‎‎[10]‎‎‎ ارائه شده است. ‎ ‎ مقالات بسیاری به مطالعه ی ابرحلقه ها،‎ تقریب در ابرحلقه ها ‎‎‎[11]‎‎‎, ‎ساخت ابرحلقه های خاص مانند‎ ‎(m,n)‎-ابرحلقه های کراسنر ‎‎‎[1,27]‎‎‎, ابرحلقه های فازی ‎‎‎[12]‎‎,‎‎‎ ابرحلقه های چینی ‎‎‎[20]‎‎‎,‎‎ همریختی های میان ‏ابرحلقه ها ‎[36]‎‎‎, روابط اساسی در یک ابرحلقه ‎[28]‎‎, ارتباط با فضای هندسی ‎[29]‎ و ... پرداخته اند. ‎‎ ابرحلقه های الحاقی ‎[36]‎, با تعریف ابرعمل هایی وابسته به روابط دوتایی در ساختارهای جبری می توان ابرساختارهای جبری جدیدی به دست آورد. شناخته شده ترین ابرگروه های به دست آمده از روابط دوتایی توسط روزنبرگ‎ ‎‎‎[38]‎‎ و کورسینی‎ ‎[3]‎‎‎ معرفی شدند و توسط کورسینی و لئورئانو ‎[5]‎‎‎, ‎دسالوو و لوفارو‎ ‎[13]‎‎‎, ‎کریستیا‎ و همکاران ‎[6,8,9]‎, اسپارتالیس ‎[41]‎‎‎, لئورئانو- فوتیه و روزنبرگ ‎[25]‎‎ و ... مورد مطالعه قرار گرفتند. علاوه براین، می توان با استفاده از لم پایانی ابرساختارهایی از ساختارهای مرتب جزئی به دست آورد. این روش توسط چوالینا ‎ ‎‎‎[2]‎‎‎ و بعداً توسط نوواک ‎[34]‎‎‎ بررسی شده است. فنگ ‎ در ‎‎‎[15]‎‎‎ ابرگروه وارهای فازی را با استفاده از روابط فازی تعریف کرد. روابط دوتایی کاربردهای فراوانی در نظریه ی جبری فازی دارند (برای مثال ‎‎‎[19]‎‎‎ را ببینید). به طورمشابه، می توان با استفاده از روابط دوتایی یا روابط فازی تعریف شده روی یک نیم گروه، یک ابرحلقه ساخت. این موضوع اخیراً توسط جانسیس-رزوویک‎در ‎[21]‎‎‎ مورد مطالعه قرارگرفته است. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل است. در فصل اول به معرفی تعاریف و مفاهیمی می پردازیم که در این پایان نامه به کار می روند. فصل دوم را با ساخت ابرگروه هایی با استفاده از ‎(نیم)‎ گروه های مرتب جزئی در بخش اول آغاز می کنیم. در بخش های دوم و سوم به بررسی ابرگروه وارهای وابسته به روابط دوتایی و بررسی اعمال روی ‎re(h)‎ می پردازیم و در بخش چهارم ابرگروه های کاهش یافته را مطرح می کنیم. در بخش اول ‏از فصل سوم با استفاده از یک رابطه ی ‎l‎-فازی به ساخت ابرحلقه و ‎h_v‎-حلقه می پردازیم. در بخش دوم به بررسی این موضوع می پردازیم که اگر ‎ و ‎s‎ روابط ‎l‎-فازی تعریف شده روی نیم گروه ‎h‎ باشند به طوری که ابرساختارهای مرتبط ‎(h,+_r,o_r)‎ و ‎(h,+_s,o_s)‎ ابرحلقه باشند آنگاه آیا ابرساختارهای مرتبط با اشتراک، اجتماع، ترکیب و ضرب دکارتی میان ‎r‎ و ‎s‎ نیز ابرحلقه هستند؟ درنهایت عکس این مطلب را مورد مطالعه قرار می دهیم. به عبارت دیگر فرض می کنیم ابرساختارهای متناظر با اجتماع یا ترکیب دو رابطه ی ‎‎‎‎l‎‎‎‏‎-فازی ابرحلقه های توزیع پذیر قوی هستند و به بررسی شرایطی می پردازیم که تحت برقراری آن ها ابرساختار متناظر با یکی از این دو رابطه ی ‎‎‎‎l‎‎‎‏‎-فازی نیز ابرحلقه ی توزیع پذیر قوی باشد. ‏متذکر می گردد که در سراسر این پایان نامه با ابرحلقه های تعریف شده توسط اسپارتالیس کار می کنیم.

در این پایان نامه نیم گروه ها با یک عمل گر یکتای c به نام بستار راست مورد بررسی قرار گرفته اند.‎‏ نیم گروه های بستا‏ر‎‎ ‏را می توان به عنوان تعمیم هایی از نیم گروه های وارون پذیر (نه لزوما منظم) در نظر گرفت. هم چنین در این پایان نامه ساختارهای مختلفی از نظریه نیم گروه های وارون پذیر به بعضی رده های مهم نیم گروه های بستار مانند نیم گروه های بستار وارون پذیر‏ و نیم گروه های بستار پیچیده‏ گسترش یافته است. به علاوه روابط هم نهشتی روی نیم گروه های بستار مورد مطالعه قرار گرفته است.