در این پایان نامه برای فضای باناخ eو فراپالایه uفراتوان (e)_uرا معرفی می کنیم که یک فضای باناخ می باشد و eزیرفضایی از آن است. نشان می دهیم برای جبر باناخ a فراتوان (a)_uنیز یک جبر باناخ می شود.اصل انعکاس پذیری موضعی برای جبرهای باناخ بیان شده است روی مدول هاو جبر های باناخ توسیع می دهیم می دانیم که برای جبر باناخ aضرب های آرنز که آن ها را□ و ∆ نمایش می دهیم توسیعی از ضربa روی فضای دوگان دوم a^(**) هستند با استفاده از فراتوان ها ونتایج اصل انعکاس پذیری موضعی برای جبرهای باناخ ومدول ها نشان می دهیم متوان فرا پالایه u را چنان یافت که **a زیر فضایی از (a)_u باشد. از ضرب روی (a)_u استفاده کرده و ضرب جدید * را روی a^(**) تعریف می کنیم. این ضرب توسیعی از ضرب aروی a^(**) می باشد، اما در حالت کلی ممکن است شرکت پذیر نباشد. نشان می دهیم وقتی a آرنز منظم باشد ، می توان* را چنان یافت که ∆ = □ = * و به این ترتیب به یک تعریف متقارن تر از ضرب های آرنز روی **a می رسیم. یک جبر باناخ را دوگان گوییم هرگاه به طور مو لفه ای *w- پیوسته باشد نشان میدهیم a^(**) جبر باناخ دوگان است اگر وتنها اگر aآرنز منظم باشد و∆ = □ = * در انتها از روی فراتوان ها مفهوم فرامیانگین پذیری را برای جبر باناخ a تعریف می کنیمجبر باناخ aفرامیانگین پذیرگوییم هرگاه هر فراتوانa میانگین پذیرباشد معمولا به جای کار کردن مستقیم با تعریف میانگین پذیری با قطرهای تقریبی ومجازی کار میکنند ما در این پایان نامه یک ساختار مشابه رافرامیانگین پذیزی ارائه می دهیم.