فرض کنیم a یک جبر باناخ جابجایی، یکدار و نیم ساده باشد. در این پایان نامه بعد از بیان مختصری از تئوری گلفند، ابتدا اعضایی مانندa را مشخص می کنیم که توپولوژی نرم کامل a را تعیین می کنند. در ادامه نشان می دهیم که اگر x یک فضای باناخ جدایی پذیر باشد، عملگر خطی کرانداری روی آن وجود دارد که توپولوژی نرم کامل آن را تعیین می کند.و همچنین نشان می دهیم که هر جبر باناخ جابجایی، یکدار و نیم ساده که جدایی پذیر بوده و فضای ایده آل ماکسیمال آن هیچ نقطه تنها ندارد شامل عضوی مانندa است که توپولوژی نرم کامل a را تعیین می کند. در انتها نیز تعیین کننده های توپولوژی نرم کامل فضاهای c(k) برای k فشرده، هاسدورف و بدون نقطه تنها را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل آخر نیز ثابت می کنیم که عملگرهای پوچ توان و عملگرهای ریز غیر یک به یک قادر به تعیین توپولوژی نرم کامل نیستند.

فرض کنید g یک گروه فشرده باشد. اگر نمایش بدیهی g به طور ضعیف در نمایش مرتب چپ g روی(l_0^2(g مشمول نبوده و x یا (l^p(g برای p بزرگتر از یک و کمترمساوی بینهایت و یا(c(g باشد آن گاه در این پایان نامه نشان میدهیم که هر نرم کامل |.| که انتقال از (x,|.|)به خودش را پیوسته می سازد به ترتیب با p_||.|| یا ?_||.|| معادل است. اگر p بزرگتر از یک و کمترمساوی بینهایت باشد و هر تابعک خطی پایای چپ روی (l^p(g مضرب ثابتی از انتگرال هار باشد آن گاه نشان خواهیم داد که هر نرم کامل |.| روی (l^p(g که انتقال از ((l^p(g,|.|)به خودش را پیوسته و نگاشت t ? l_t از g به ((l(l^p(g را کران دار میسازد با p_||.|| معادل است.

در این رساله به معرفی و بررسی ضربهای آرنز پرداخته و نظم آرنز را مورد مطالعه قرار می دهیم. در ادامه به بررسی نظم آرنز در دو نمونه از جبرهای باناخ نیم ساده خواهیم پرداخت. در هر مورد در ابتدا قضایای مقدماتی ارائه و سپس به بحث اصلی پرداخته و در نهایت به نتایجی مرتبط با بحث اشاره خواهیم کرد و هر مورد را با ارائه سوالات باز به پایان می رسانیم.

قضیه کلاینیکه شیروکف و تعمیمهای آن خاصیتی از برد نگاشت هایی موسوم به اشتقاق را بیان می کنند که با پیوستگی این نگاشت ها درارتباط است. دراین رساله نشان می دهیم که برای اشتقاق دلخواه dاگر داشته باشیم d^2a=0 آنگاه daشبه پوچ توان است. همچنین برای اشتقاق پیوسته dاگر داشته باشیم ada=da.aآنگاه daشبه پوچ توان است. و در پایان یک حالت موضعی از این قضیه اثبات می شود.

تعریف متر روی فضاهای توپولوژیک بخصوص فضاهای حالت و *c-جبرهای یکانی

نشان می دهیم که هر اشتقاق لی روی یک c^*-جبر به شکل استاندارد است، یعنی می تواند به طور یکتا به مجموع یک اشتقاق لی و یک اثر مرکز مقدار تجزیه شود. کلمات کلیدی: اشتقاق، اشتقاق لی، c^*-جبر.

در این نوشتار فضاهای باناخ با جبرهای کالکین کوچک و مفاهیم مرتبط با آن مانند عملگرهای غیراساسی و فضاهای تجزیه ناپذیر را بررسی می کنیم. مفهوم جبر کالکین نخستین بار توسط ج. کالکین برای عملگرهای فشرده ی فضاهای هیلبرت بیان شده است. اگر h یک فضــای هیلبرت باشد، جبـر خارج قسمتی (b(h))?(k(h)) را جبـر کالکین متنـاظر با k(h) می نامیم. مفهوم جبرهای کالکین روی فضاهای باناخ توسط ب. یود گسترش داده شده است. در این گسترش عملگرهای فردهلم و قضیه ی آتکینسن نقش اساسی دارند. با کمک قضیه ی آتکینسن روش خوبی برای تشخیص عملگرهای فردهلم داریم. از آنجا که عملگرهای فردهلم با کمک زیرفضـاها تعریف می شوند، تعریف آن ها در فضاهای مختلف امکان پذیر است. با توجه به قضیه ی آتکینسن ایده ی زیر برای تعریف جبرهای کالکین به ذهن می رسد. ایده آل دوطرفه ی a(x) در b(x) را در نظر می گیریم که در این ویژگی صدق می کنند: عملگر t?b(x) فردهلم است اگر و تنها اگر t+a(x) در (b(x))?(a(x)) وارون پذیر باشد. در این حالت (b(x))?(a(x)) را جبر کالکین متناظر با ایده آل a(x) می نامیم. با این دیدگاه جبر کالکین یکتا نیست و ممکن است جبرهای کالکین متنوعی روی یک فضا داشته باشیم؛ در اینجـا علاقه مندیم تا با کمک ابزارهای مناسب به ویژه مفهـوم عملگـرهای غیـر اساسی رده ی مهم و ساده ای از جبرهای کالکین را که نسبتا کوچک هستند معرفی کنیم. مفهوم کوچک بودن در اینجا اشاره به بعد فضا دارد. در این پایان نامه نشان می دهیم که (b(x))?(a(x)) یک جبر کالکین است اگر و تنها اگر a(x) شامل بستار ایده آل عملگـرهای رتبه متنـاهی و مشمول در ایده آل عملگـرهای غیـراساسی باشـد. به عنـوان مثال هایی، ما فضای عملگـرهای فشـرده، عملگـرهای اکیدا تکین، عملگـرهای اکیدا هم تکین و عملگـرهای غیـراساسی را بررسی می کنیم. همچنین می توانیم رده های پراش در نظریه ی فردهلم را به عنوان مثال هایی برای ساختن جبرهای کالکین در نظر بگیریم.

مطالعات مربوط به نظریه ی خاصیت نقطه ی ثابت تقریبی ضعیف در فضاهای برداری توپولوژیک، [2]، توسط باروسو در سال (2009) آغاز شده است و خاصیت نقطه ی ثابت تقریبی ضعیف برای زیرمجموعه های محدب به طور ضعیف فشرده از فضاهای باناخ اثبات گردیده است. پس از آن باروسو و پی-کی-لین، [3]، در سال (2010) به بررسی این موضوع برای مجموعه های محدب، بسته و کراندار کلی از فضاهای باناخ و البته بیشتر با تاکید بر جنبه های هندسی آن پرداخته اند. پی-کی-لین و باروسو ثابت کردند که فضاهای اسپلاند دارای خاصیت نقطه ی ثابت تقریبی ضعیف می باشند. مطالب این تحقیق در راستا و ادامه ی کار نویسندگان مذکور است. بدین ترتیب که با معرفی یک مفهوم جدید در یک فضای باناخ مانند x، تحت عنوان l1-دنباله ها و هم چنین تعریف نگاشتی که در نگاه اول بسیار ساده به نظر می رسد، متناظر با هر l1-دنباله، شروع به کار می کنیم و در نهایت ارتباط جالبی را به صورت یک شرط لازم و کافی برای اینکه فضای باناخ x دارای خاصیت نقطه ی ثابت تقریبی ضعیف باشد و اینکه یک کپی یکریخت با l1 را شامل نباشد، برقرار می کنیم. در نهایت سعی می کنیم تا نتایج نقطه ی ثابتی را برای فضاهای باناخ به دست آوردیم، ابتدا به فضاهای برداری توپولوژیک موضعا محدب مترپذیر و سپس برای برخی از فضاهای برداری توپولوژیک موضعا محدب مترناپذیر تعمیم دهیم.

این پایان نامه شامل سه فصل است. در فصل اول، تعاریف اوایه و قضایایی را بیان می کند که در روند تحقیق به کار گرفته شده و آشنایی با آن ها برای مطالعه و درک مطلب مفید است. فصل دوم شامل دو بخش است که هم زمان مثلثی شدنی گردایه هایی از عملگرها را که تشکیل جبر یا نیم گروه می دهند روی فضاهای بابعد متناهی مورد بررسی قرار گرفته شده است. فصل سوم نیز شامل دو بخش است که مطالب اصلی پایان نامه در آن گنجانده شده و ابتدا به بیان مختلط سازی و ارائه ی قضایایی از آن می پردازیم. هم چنین ثابت می کنیم برای زیر حلقه ی r از اعداد حقیقی، یک r-جبر از عملگرهای فشرده مثلثی شدنی است اگر وتنها اگر هر عضو از جبر مثلثی باشد و ثابت می کنیم هر نتیجه ی مثلثی شدنی گردایه ای از عملگرهای فشرده که روی یک فضای باناخ (هیلبرت) مختلط برقرار است مشابه آن روی یک فضای باناخ (هیلبرت) حقیقی نیز برقرار است.

در این پایان نامه فشردگی اشتقاق ها روی جبرهای باناخ جابجایی را بررسی می کنیم‎،‎ نشان می دهیم اگر هیچ اشتقاق فشرده ازجبر باناخ جابجایی ‎aبتوی دوگان مدولش وجود نداشته باشد‎،‎ آنگاه هیچ اشتقاق فشرده از جبر باناخ جابجایی ‎aبتوی- aدو مدول متقارن وجود ندارد‎. همچنین نتایج مشابهی برای اشتقاق های ضعیف فشرده و اشتقاق های کران دار از رتبه متناهی اثبات می کنیم‎.‎

در این پایان نامه به معرفی توسیع (?,?)-اشتقاق های ناکاجیما و برشار می پردازیم. روابط همولوژیکی بین مدول توسیع (?,?)-اشتقاق ناکاجیما و مدول (?,?)-اشتقاق را بررسی می کنیم. همچنین یکریختی مدول های (?,?)-اشتقاق های ناکاجیما و برشار و گسترش آن به جبرهای یکدار شده را به کمک ?-ضربگر ها مورد بررسی قرار می دهیم. انواع دیگری از این اشتقاق ها با نام های جردن و لی را معرفی کرده و مورد مطالعه قرار می دهیم. در پایان روابط پیوستگی بین اجزای توسیع (?,?)-اشتقاق روی جبرهای باناخ بررسی شده اند.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی فضاهای d- متریک و ساختار توپولوژی روی آن پرداخته هم چنین ویژگی های توپولوژی روی این فضاها را بررسی می کنیم. پس از آن با آوردن مثال هایی نشان می دهیم که اساس ادعاهای (دهاگه) مرتبط با ساختار توپولوژی این فضاها نادرست است و لذا بسیاری از نتایج مرتبط با این فضاها رد شده و فضای متریک تعمیم یافته اصلاح شده ای به نام فضای g- متریک معرفی می شود و برخی قضایای نقطه ثابت در فضاهای g- متریک کامل مورد بررسی قرار می گیرد.

چاترجیا، مفهوم نگاشت‎ c-انقباضی را ارائه داد و ثابت کرد که، اگر x یک فضای متریک کامل باشد، آنگاه هر نگاشتc-انقباضی روی x یک نقطه ثابت منحصربفرد دارد. همچنین چوهادری، تعریفی برای c-انقباضی ضعیف که تعمیمی از مفهوم نگاشت c-انقباضی است ارائه داد و ثابت کرد که، اگر x یک فضای متریک کامل باشد، آنگاه هر نگاشت c-انقباضی ضعیف روی x یک نقطه ثابت منحصربفرد دارد. در این تحقیق به بررسی نتایج فوق در فضای متری مرتب می پردازیم. هدف اصلی این تحقیق، معرفی بعضی از نتایج نقطه ثابت برای نگاشت های c-انقباضی ضعیف در فضای متری مرتب است. واژگان کلیدی: نقطه ثابت، فضای متری مرتب، c-انقباضی ضعیف

در این پایان نامه رده ی جدیدی از نگاشت های غیرخطی که در شرط (b) صدق می کنیم. همچنین، قضایای نقطه ثابت از نوع پزی، بالیُون و اصول نیم بسته را برای نگاشت های با شرط (b) مطالعه می نمائیم. بعلاوه، قضایای همگرایی ضعیف برای مسائل تعادل و نقاط ثابت نگاشت های با شرط (b) را بررسی می کنیم.

در حالت کلی یک همریختی کران دار و پوشا، خاصیت n - میانگین پذیری ضعیف را حفظ نمی‏کند، اما در این پایان نامه نشان می‏دهیم که اگر این همریختی، معکوس پذیر راست باشد، خاصیت n - میانگین پذیری ضعیف حفظ می‏شود. هم‏چنین بعضی از همریختی‏ها روی چندین جبر باناخ بررسی می‏شود. واژه‏های کلیدی: دوگان دوم، اشتقاق، میانگین پذیری ضعیف، n - میانگین پذیری ضعیف، جمع مستقیم جبر باناخ، ضرب‏های آرنز.

ما مفهوم مدول سه تایی ژوردن را معرفی می کنیم. و شرایط پیرس را تحت عنوان اینکه‏، هر اشتقاق از یک ‎‎‎‎jb^*‎‎‏ -سه تایی ‎‎‎‎e‎‎‏ به توی یک ‎‎‎‎e‎‎‏ -مدول سه تایی (ژوردن) باناخ پیوسته است‏،را تعیین می کنیم. به ویژه‏، هر اشتقاق از یک ‎‎‎‎jb^*‎‎‏ -سه تایی مختلط یا حقیقی به توی فضای دوگانش خود به خود پیوسته است. در ابتدا اثبات می کنیم که هر اشتقاق سه تایی از یک‎‎‎‎c^*‎‎‏ -جبر به یک ‎‎‎‎a‎‎‏-مدول سه تایی باناخ پیوسته است. به ویژه‏، هر اشتقاق ژوردن از ‎‎‎‎a‎‎‏ به ‎‎‎‎a‎‎‏-مدول باناخ یک اشتقاق است. این نتایج یک قضیه کاسیک بی جانسون ‎‎را کامل می کند و یک مسئله که ده سال باقی مانده بود حل می شود.

فرض کنید? یک تابع وزن پیوسته روی r^+ وl^1 (?) جبر پیچشی وزن دار نظیر باشد،براساس نتایج گرونبک، باده و دیلز، اشتقاق های پیوسته ازl^1 (?) به فضای دوگانش l^? (1/?)، به ازای یک تابع مناسب ??l^? (1/?)، دقیقا به فرم ?(d?_? f)(t)=?_0^??f (s) s/(t+s) ?(t+s)ds (t?r^+ ,f?l^1 (? ) )هستند. همچنین هرd_? یک توسیع یکتا به یک اشتقاق پیوستهm(?)?l^? (1/?):d ?_? ازجبراندازه متناظر دارد. نشان میدهیم که یک شرط مناسب روی ? ایجاب میکند کهd ?_?،?-w^*پیوسته است. برای مثال، اگر??l_°^? (1/?) آنگاه d ?_?،w^*-پیوسته خواهد شد. همچنین مثالهایی از توابع ? ارائه می دهیم که d ?_?،w^*-پیوسته نباشد. به طورمشابه ما نشان میدهیم کهd_?و d ?_?تحت شرایط مطلوب روی? ، فشرده هستند. برای مثال وقتی، ??c_° (1/?) با?(0)=0. سرانجام ما مثالهای مختلفی ازتوابع ? ارائه میدهیم به طوری که d_?وd ?_? فشرده نیستند.

یکی از مسائل اصلی نظریه اشتقاق ها، اثبات پیوستگی خود به خود اشتقاق ها و درونی بودن اشتقاق های پیوسته است. در این ارتباط بررسی وجود اشتقاق های غیرپیوسته و غیر داخلی روی جبرهای توپولوژیک مختلف از اهمیت ویژه ای برخوردار است. با تلفیق دو ایده ی مطرح شده در بالا، یک مسئله اساسی، مطالعه ی جبرهایی است که فقط اشتقاق های داخلی دارند. ما در نظر داریم که یک شرح کاملی از اشتقاق ها روی جبر (s(m متشکل از همه ی عملگرهای اندازه پذیر وابسته به یک جبر فون نیومن m، داشته باشیم. در این تحقیق درصددیم نشان دهیم، اگر m یک جبر فون نیومن متناهی و d : s(m) ! s(m) یک اشتقاق t- پیوسته باشد آنگاه d داخلی است. نتیجه ی مشابهی برای اشتقاق ها روی جبرهای s(m; ) متشکل از همه ی عملگرهای t- اندازه پذیر مجهز شده به توپولوژی t ثابت شده است.

در این پایان نامه نتایجی در مورد اشتقاق ‏و‏ تعمیم های آن روی c*‎‏- مدول های هیلبرت و فضاهای عملگری وابسته به آن داده می شود. سه مشخص سازی برای ابر اشتقاق ها برحسب عناصری که حاصلضربشان نقطه جداکننده یا فشرده یا صفر است, داده می شود. ‏مشخص سازی دیگری ‏برای ابر اشتقاق ها به کمک عناصر تصویر ‏یک ‏جبر فون ‏نیومن نیز ارایه می شود. یک مشخص سازی از ابر اشتقاق های سه تایی روی جبرهای سه تایی ‏ارایه شده و نشان داده می شود هر ابر اشتقاق سه تایی قوی روی یک ‎c*‎‏- مدول هیلبرت (به عنوان یک ‎c*‎‏- ‏جبر سه تایی) ‎‎‎‎‎خود به خود پیوسته است. ‎‏بعلاوه یک مشخص سازی از ابر اشتقاق های لی روی جبر ‏دلخواه ارایه شده و ثابت می شود هر ابر اشتقاق لی قوی روی یک c*‎‏- جبر‎,‎ استاندارد و ‎‏همین طور روی یک ‎‎c*‎‏- جبر با مرکز متناهی البعد خود به خود پیوسته است.‎

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

دانشگاه بیرجند دانشکده علوم خود توان ها و نگاشت های حافظ خودتوان امان ا.. اسدی، حسین زنگوئی گروه ریاضی دانشگاه بیرجند، [email protected] چکیده در این مقاله خود توان ها را در جبر های باناخ و بطور خاص در جبرهای باناخ b(x) و b(h) معرفی می کنیم و نشان می دهیم که می توان هر عضو از فضای b(h) را بصورت مجموع پنج تصویر یا ترکیب خطی شانزده تصویر متعامد نوشت. همچنین ساختار نگاشت های حافظ خودتوان در b(x) را مشخص خواهیم کرد که توسیعی از نتیجه آوچینیکوف در b(h) می باشد. واژه های کلیدی: تصویر؛ خودتوان؛ حافظ جابجایی مقدمه معمولاً هر جا که عمل ضرب قابل تعریف باشد خودتوان هم تعریف می شود ولی در این مقاله ما خودتوان را برای جبر باناخ تعریف می کنیم. تعریف1-1: اگر a یک جبر باناخ باشد عنصر e?a را خودتوان می گوییم هرگاه e^2=e. خودتوان های b(x) ( جبر عملگر های کراندار روی فضای باناخ x ) را تصویر می نامیم. در b(h) حالت خاص تری از تصاویر قابل تعریف هستند. تعریف1-2: عملگر p?b(h) را یک تصویر متعامد می نامیم هرگاه p^2=p وn(p)? r(p). تصاویر متعامد عملگر های خودالحاق و مثبت هستند. خاطر نشان می کنیم که همه تصاویر متعامد نیستند. ولی هر تصویر با یک تصویر متعامد، متشابه هست. تعریف1-3: دو تصویر p و q را نسبت به هم متعامد خوانیم اگر pq=qp=o و می نویسیم p?q. تعریف1-4: اگر p و q دو تصویر باشند گوییم عملگر p از q کوچکتر است(p? q) هرگاه pq=qp=p . بررسی خواص جبری تصاویر گزاره های زیر براحتی اثبات می شوند که ارتباط بین ترتیب و تعامد را با عمل های جبر نشان می دهند. گزاره2-1: اگر p و q دو تصویر متعامد در b(h) باشند آنگاه p+q تصویر متعامد است اگر و تنها اگر p?q . گزاره2-2: اگر p و q دو تصویر متعامد باشند، آنگاه p-q تصویر متعامد است اگر و تنها اگر q?p. قضیه2-3: فرض کنید p و q دو تصویر نه لزوماً متعامد در b(h) باشند اگر ? و ? دو عدد مختلط غیر صفر باشند و ?+??0 آنگاه معکوس پذیری ?p+?q مستقل از انتخاب ? و ? است. اثبات: [2] گزاره2-4: اگر p و q دو تصویر متعامد باشند آنگاه pq تصویر متعامد است اگر و تنها اگر p و q با هم جابجا شوند. قضیه2-5: فرض کنید p_j (1?j?r) تصاویر متعامد روی زیر فضاهای بسته m_j از فضای هیلبرت h باشند و فرض کنید p_m تصویر متعامد روی m=m_1? ? m?_2…? m_r باشد اگر t=p_r p_(r-1)…p_1 آنگاه دنباله {t^k} به p_m همگرای قوی است وقتی که k?? . اثبات:[4] همانطور که دیده می شود، وقتی دو تصویر متعامد جابجا نمی شوند حاصل ضرب آنها تصویر متعامد نیست ولی دنباله توانی آن به یک تصویر متعامد همگرا می شود. در ادامه نشان می دهیم که تصاویر سنگ بنای سایر عملگرها هستند. یعنی می توان سایر عملگرها را در حالت کلی بر حسب تصاویر نوشت. استمفلی (1963) نشان داد که هر عملگر کراندار روی فضای هیلبرت جدایی پذیر از بعد نامتناهی را می توان به صورت مجموع 8 تصویر نوشت. اما بعد از سه سال پیرسی و تاپینگ موفق شدند این تعداد را به پنج تصویر کاهش دهند. قضیه 2-6: هر عملگر روی h مجموع پنج تصویر است. آنها همچنین ثابت کردند که قضیه2-7: هر عملگر خودالحاق در ? ترکیب خطی حقیقی 8 تصویر متعامد است. اثبات:[6] در نتیجه هر عملگر دلخواه b(h) را می توان بصورت ترکیب خطی شانزده تصویر متعامد نوشت. نگاشت های حافظ خودتوان در سال 1993 پیتر شمرل نشان داد که در جبر ماتریسها عملگرهای حافظ تصویر روی m_n (جبر همه ماتریس های n×n مختلط ) همان همریختی های ژوردان هستند[1]. ولی هدف اصلی ما پرداختن به نگاشت های دوسویی حافظ تصاویر می باشد. در این قسمت x فضای باناخ و p(x)? b(x) مجموعه همه ی تصاویر خواهد بود. برای بررسی نگاشت های حافظ تصویر در حالت کلی تر ابتدا تعاریف زیر را بیان می کنیم. تعریف3-1: نگاشت دو سویی ?? p(x)? p(x) را حافظ ترتیب در هر دوسو می نامیم هرگاه به ازای هر p,q?p(x) ، p?q اگر و تنها اگر ?(p)??(q). تعریف3-2: نگاشت دو سویی ?? p(x)? p(x) را حافظ تعامد در هر دوسو می نامیم هرگاه به ازای هر p,q?p(x) ، p ? q??(p)??(q). در سال 1993 آوچینیکوف ثابت کرد که اگر dim?(h)?3 و p(h) مجموعه مرتب جزئی متشکل از همه تصویر های جبر باناخ b(h) باشد، آنگاه هر خودریختی? روی p(h) یک نگاشت دو سویی است که حافظ ترتیب در هر دو جهت می باشد و نمایشی به صورت p?ap^* a^(-1) یا p?apa^(-1) دارد که در آن a نیم خطی دو سویی است هنگامی که h متناهی البعد است و یا این که a عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار است هنگامی که h نا متناهی البعد است. [5] ابتدا کار آوچینیکوف بصورت زیر توسیع یافت. قضیه 3-3: فرض کنید xیک فضای باناخ نامتناهی البعد و ?? p(x)? p(x) یک نگاشت دوسویی حافظ تعامد در هر دوسو باشد. آنگاه عملگر خطی یا (در حالت مختلط) مزدوج خطی معکوس پذیر کراندار t? x?x وجود دارد بطوری که ?p ?p(x) ?(p)= tpt^(-1) یا یک عملگر خطی یا (در حالت مختلط) مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x^*?x وجود دارد بطوری که ?p ?p(x) ?(p) = tp^* t^(-1) ?? که در این حالت باید x بازتابی باشد. [7] امّا پیتر شمرل ثابت کرد نگاشت های حافظ ترتیب و تعامد یکسانند بدین صورت اثبات دیگری از نتایج آوچینیکوف ارایه شد. همچنین از دیدگاه حافظ جابجایی به نگاشت های حافظ تصویر پرداخت. تعریف3-4: نگاشت دوسویی ?? p(x)? p(x) را حافظ جابجایی در هر دو طرف خوانیم هرگاه pq = qp??(p)?(q) = ?(q)?(p) به ازای هر p,q ? p(x) . فرض کنید ?? p(x)?{0,1} نگاشتی دارای این ویژگی باشد که به ازای هر p? p(x)،? (p) = 1?? (i-p) =1 . اکنون نگاشت ?? p(x)? p(x) را با ضابطه ی ?(p) = ? (p)p + (1-?(p))(i ??-p) تعریف می کنیم. این نگاشت را تبدیل متعامد روی p(x) می نامیم برای هر p?p(x) این نگاشت هر یک از p و i-p را به خودش یا دیگری تصویر می کند. بسادگی دیده می شود که این نگاشت دوسویی و حافظ جابجایی در هر دو جهت می باشد. قضیه اصلی ما این است که نشان دهیم هر نگاشت دوسویی حافظ جابجایی روی p(x) ترکیبی از این نگاشت ها می باشد. قضیه3-5: فرض کنید xیک فضای باناخ نامتناهی البعد مختلط و ? : p(x)? p(x) یک نگاشت دوسویی حافظ جابجایی در هر دوسو باشد. آنگاه یک تبدیل متعامد ?? p(x)? p(x) و عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x ? x وجود دارد بطوری که به ازای هر p ?p(x) داریم ?(p) = t?(p)t^(-1) ?? یا یک عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x^*?x بطوری که ?(p) = t??(p)?^* t^(-1) ?? و در این حالت باید x بازتابی باشد. اثبات:[8] از آنجا که ثابت می شود هر نگاشت حافظ تعامد حافظ جابجایی نیز هست بی درنگ نتیجه ی زیر از دو قضیه بالا گرفته می شود که خود اثبات دیگری از نتایج آوچینیکوف می باشد. نتیجه3-6: فرض کنید xیک فضای باناخ نامتناهی البعد مختلط و ? : p(x)? p(x) یک نگاشت دوسویی حافظ ترتیب در هر دوسو باشد. آنگاه عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t: x?x وجود دارد بطوری که به ازای هر p ?p(x) داریم ?(p) = tpt^(-1) ?? یا یک عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x^*?x بطوری که ?(p) = tp^* t^(-1) ?? و در این حالت باید x بازتابی باشد. references [1] m. bre?ar, p. ?emrl, mappings which preserve idempotents, can. j. math. vol. 45 (3), (1993), 483-496. [2] h. k. du, x. y. yao, c. y. deng, invertibility of linear combinations of two idempotents, amer. math. soc. 134 (2006), 1451–1457. [3] n. j. kalton, sums of idempotents in banach algebras, canad. math.bull. vol. 31 (1988), 448-451. [4] a. netyanun, d. c. solmon, iterated products of projections in hilbert space, the mathematical association of america, [ monthly 113 august-septamber 2006], 644-648 [5] p. g. ovchinnikov, automorphisms of the poset of skew projections, j. funct. anal. 115 (1993), 184-189. [6]c. pearcy, d. topping, sums of small numbers of idempotents, michigan math. j. 14 (1967), 453–465. [7] p. ?emrl, non-linear commutativity preserving maps, acta sci. math. (szeged) 71 (2005), 781-819. [8] p. ?emrl, maps on idempotents, studia mathematica 169 (1) (2005), 21-44.

فضاهای lp از جمله مثال های عمده و اساسی در بحث فضاهای باناخ هستند، از این رو تعمیم یا شناخت هر چه بیشتر آنها می تواند به درک بهتر فضاهای باناخ کمک کند. مثال معمول فضای lp (?,µ) عبارت است از خانواد? کلاس های هم ارزی توابع مختلط مقدار مثل ¢ f: ?که نسبت به اندازه µاندازه پذیر بوده ,وdµ<? p? f ? .? برای تعمیم این مفهوم خانواد? توابعی را در نظر گرفته اند که مقدار خود را در یک فضای باناخ x (بجای ¢) اختیار می کنند. بنابراین طبیعتاً برای معنا بخشیدن به dµ p? f ? ?به ابزاری نیازمندیم که تابع برداری مقدار x f: ?را به تابعی مختلط مقدار مرتبط سازد. از این رو ناگزیر انتگرال توابع ?? (0) f?? و*(f) x (که* x * x) مورد نیاز واقع می شود که هر کدام از آنها نوعی از انتگرال پذیری را باعث می شوند. در این تحقیق هدف عمده شناخت این -lp ی تعمیم یافته براساس lp کلاسیک است.تا بدین وسیله بتوانیم فضای حاصل ضرب تانسوری را بهتر شناسایی و بررسی کنیم.