در این پایان نامه دنباله ای تکراری توسط خانواده نگاشت های بسط ناپذیرارائه می شود و نشان داده می شود این دنباله روی فضای lp به نقطه ثابت مشترک این خانواده همگرای قوی است. همچنین شرطی که بیان می کند این همگرایی روی فضای lp برقرار است را بیان می کنیم. سپس روشهای تکراری نقطه ثابت مشترک خانواده شمارش پذیر از خود نگاشت های بسط ناپذیر و غیرخود نگاشت های بسط ناپذیر در فضای بطور یکنواخت محدب را بررسی می کنیم.

قضیه ی نقطه ثابت براوئر بیان می کند که هر خود نگاشت پیوسته ی fروی زیرمجموعه ی فشرده و محدب xاز فضای اقلیدسی متناهی البعد e باید دارای حداقل یک نقطه ی ثابت باشد. در این پایان نامه با متمرکز شدن روی قضیه ی نقطه ثابت براوئر، تعدادی از نتایج اصلی در نظریه ی نقطه ثابت توپولوژیک را ارائه می دهیم. در فصل اول تعدادی از مفاهیم مقدماتی که در ادامه به آن احتیاج خواهیم داشت بیان می کنیم. در فصل دوم اثبات های مختلفی ازاین قضیه با استفاده از ابزارهای مختلف ارائه می دهیم. این فصل را به دو بخش تقسیم می کنیم : روش های جبری و روش های آنالیزی. روش های آنالیزی یعنی این که دانشجو بتواند با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال و بعضی از مفاهیم آنالیز حقیقی به راحتی این اثبات ها را بفهمد. در سال 1912، براوئر اثباتی از قضیه ی نقطه ثابت براوئر منسوب به خود با استفاده از مفهوم درجه ی خودنگاشت پیوسته ی f روی sn-1ارائه نمود. همچنین در سال 1928 ، اسپرنر یک لم ترکیباتی ساده که با خصوصیات معین برچسب گذاری های رأس های یک مثلث بندی سر و کار داشت ، ارائه نمود. در سال 1929، کنستر، کوراتوفسکی و مازورکیه ویچ با استفاده از این لم، قضیه ی معروف kkm را اثبات کردند و سپس با استفاده از قضیه ی kkm، قضیه ی نقطه ثابت براوئر را نتیجه گرفتند. همچنین می توان قضیه ی نقطه ثابت براوئر را از راه های مختلفی تعمیم داد. در فصل سوم تعدادی از نکات اصلی در تعمیم این قضیه برای نگاشت های تک مقداری را مشخص می کنیم. تعمیم های اصلی، قضایای نقطه ثابت شودر و تیخونوف هستند. شودر این قضیه را به فضای باناخ و تیخونوف آن را به فضاهای برداری موضعاً محدب تعمیم دادند. همچنین ویژگی های نقطه ثابت را روی مجموعه های بسته و کراندار بر اساس شرایط مرزی و فرضیات ایجاب کننده ی فشردگی بیان می کنیم. در نتایج این فصل ما شرایط روی سه مولفه ی فضای e ، مجموعه ی x و خودنگاشت f روی x را تغییر داده و در هر حالت تعمیمی از قضیه ی نقطه ثابت براوئر به دست می آوریم. در فصل چهارم، مشابهی از قضیه ی نقطه ثابت براوئر و بعضی از نتایج فصل سوم، برای نگاشت های چند مقداری ارائه می دهیم. قضیه ی کاکوتانی گزاره ای در مورد نقاط ثابت زیرمجموعه های فشرده و محدب از rn است. تعمیم این قضیه به فضای باناخ توسط بوهنن بلاست و کارلین صورت گرفته و کی فن و گلیکسبرگ به طور مستقل این قضیه را به فضاهای برداری موضعاً محدب تعمیم دادند. در فصل آخر نیز تعدادی مختصری از کاربردهای زیاد قضیه ی براوئر را شرح می دهیم.

منظور از { r{an توپولوژی حلقه ای روی حلقه ی r است که در بین همه ی توپولوژی های حلقه ای روی r که در آن ها t-دنباله ی {an} به صفر همگرا است ماکزیمم باشد در این پایان نامه ابتدا با کمک پالایه ها قضیه ی مهمی راجع به کامل بودن { r{an بیان می کنیم و...

برای زیرمجموعه ی a از فضای متری (x,d)، یک ?-توسعه نسبت به متر d به این صورت تعریف می شود a^?:= {x ? x : d(x,a) <?{ زیرمجموعه a از x کراندار نامیده می شود هر گاه برای یک x ? x و r>0 داشته باشیم a ? {x}^r. همچنین، a کراندار کلی نامیده می شود، هر گاه برای هر ?>0، یک زیرمجموعه ی متناهی f از x وجود داشته باشد به طوری که a ? f^?. زیرمجموعه های d-کراندار از x را با bd(x)و زیرمجموعه های d-کراندارکلی x را با tbd(x)نمایش می دهیم.گاهی این دو خانواده بر هم منطبق میشوند، مثلا در فضای اقلیدسی متناهی بعد. در این پایان نامه دو سوال مهم واساسی را بررسی خواهیم کرد. 1)چه زمانی مترp هم ارز با d وجود دارد به طوری که bd(x) = tb?(x)؟ 2)چه زمانی متر p هم ارز با d وجود دارد به طوری که tbd(x) = b?(x)؟ هر دو سوال جواب های قابل ملاحظه ای دارند. برای حل سوال یک، دو روش جداگانه رابه کار می بریم که در یکی از آنها از قضیه ی نشاندن طبیعی برای فضای متری تفکیک پذیر x، به توی فضای دنباله ای r^n، مجهز به توپولوژی حاصل ضربی، استفاده می کنیم. در مورد سوال دو نیز ما یک اثبات قدیمی را با افزودن شرایطی تکمیل می کنیم. همچنین، نشان می دهیم که خانواده ی متشکل از زیرمجموعه های کراندار کلی فضای متری x، تشکیل یک بورنولوژی می دهند. یعنی، تحت گرفتن اجتماع متناهی و گرفتن زیرمجموعه بسته هستند و پوششی برای فضای متری x، تشکیل میدهند و سرانجام، با دو روش متفاوت نشان می دهیم، کدام بورنولوژی ها بر روی فضای مترپذیرx، بورنولوژی هایی از مجموعه های کراندار کلی هستند. روش اولی مستلزم وجود یک نوع خاص از نشاندن است در حالی که دومی بر اساس دنباله ی نرمال سازگار حل شده است. برای رسیدن به اهداف فوق، به ارائه مفاهیمی چون ساختارهای کرانداری متری، مدهای متری همگرابه بی نهایت، توابع تحمیلی و گسترش تک -نقطه ای می پردازیم و خواص مجموعه های کراندار کلی را بیان می کنیم.

در این طرح انواع فضاهای فشرده را تعریف کرده سپس با بیان فضای صفربعدی رابطه فضای clp-فشرده و فضای فشرده را بیان می کنیم. سپس رابطه ی بین انواع فضاهای فشرده با یکدیگر را به صورت قضیه مطرح می کنیم و در نهایت شبه مولفه و مولفه همبندیرا تعریف کرده و به قضایای مربوط به آن می پردازیم.