هدف از این پایان نامه معرفی جبرهای هاپف ضربگری و ضربگری گروه- هم مدرج و بررسی ساختار شبه مثلثی روی آنها و همچنین بررسی مضاعف درینفلدی ساخته شده روی جفت سازی غیر بدیهی از آنها می باشد. برای ضربگر u، بررسی شده است که عنصر معکوس پذیر 1 - (u) s = g یک عنصر شبه گروه است و نهایتا فرمول رادفورد برای توان چهارم نگاشت متقاطر مورد محاسبه قرار گرفته است. همچنین از مثال غیر بدیهی و نامتناهی غیر جابجایی توسیع اره i ?? ?m(kc) برایc یک گروه دوری نامتناهی و k یک میدان با مشخصه صفر، صحبت به میان آمده است و ثابت شده است که یک جبر هاپف شبه مثلثی برای حالت 1=i و1=?و2=m می باشد. این یک مثال مهم است به طوری که ما از یک جبر جابجایی یک جبر ناجابجایی می سازیم و سپس ساختارهای مورد بحثمان را بر روی آن قرار می دهیم. و نهایتا مضاعف درینفلدی روی جفت سازی از جبرهای هاپف ضربگری گروه هم-مدرج، مطابق با آنچه در [7] مورد بررسی قرار گرفته است، ساخته می شود.

چکیده هدف این پایان نامه مطالعه ی روش هایی برای توصیف متناهی گروه هاست به طوری که آن گروه با این توصیف در حد ایزومورفیسم به صورت یکتا مشخص گردد. به طور مشخص دو روش برای چنین توصیفی از گروه دلخواهی چونg به دست داده شده است. الف- گروهی دلخواه چونg ، قابل نمایش به وسیله ی یک اتوماتون متنناهی است اگروفقط اگر اعضای آن را بتوان به وسیله ی دنباله هایی روی یک الفبای متناهی نمایش داد به طوری که مجموعه ی دنباله های نمایشی از اعضای گروه و به خصوص رابطه ی تساوی بین آنها را بتوان با یک اتوماتون متناهی آزمود و به علاوه عمل گروه نیز به ازای هر دو عضو از آن قابل تشخیص با این اتوماتون باشد. ب- یک گروه نامتناهی با تولید متناهی شبه متناهیا اصل پذیر است اگر وفقط اگر با دانستن نامتناهی بودن و متناهی التولید بودن آن، جمله ی درجه اولی در زبان آن گروه چنان موجود باشد که آن را با تقریب یک ریختی به صورت یکتا توصیف کند. در پایان نامه سعی شده است، ابتدا شرح مختصری از اتوماتون های متناهی برای نیل به قضایا و تعاریف روش اول و مفاهیم منطقی برای نیل به قضایا و تعاریف روش دوم ارائه شود. محدودیت ها و پیچیدگی این دو روش نیز تا حدودی بررسی شده است. منبع اصلی این پایان نامه مقاله ی زیر می باشد: andré nies, describing groups, the bulletin of symbolic logic, volume 13, number 3, sept. 2007, 305 ? 339.

در این رساله، مباحثی از توزیع مقادیر توابع حسابی مطالعه شده است. دو نتیجه به دست آمده است. نتیجه نخست درباره مشتق تابع تعریف شده با رابطه است. نشان می دهیم که در هر نقطه به فرم xm = ?(m)/m که در آن m عددی صحیح و زوج است این تابع مشتق ناپذیر می باشد. نتیجه دوم درباره چگالی به پیمانه واحد برخی از دنباله های مرتبط با مقادیر میانگین rn = ?(n2+1)/(n2+1) می باشد. در بین نتایج مختلف نشان می دهیم که دنباله و همین طور دنباله چگال به پیمانه واحدند. اثبات ما از این نتیجه بر اساس روشهای غربال است که اجازه می دهد اندازه عوامل اول اعداد به شکل n2 + 1 را کنترل کنیم.

در این پایان نامه به مطالعه معادلات تعریف کننده ی یک اسکرول می پردازیم.

مجتمع های سادکی ترکیبیاتی در اواسط دهه ی ?? میلادی توسط هاکستر و استنلی مطرح شدند و با کمک حلقه هایی موسوم به حلقه های استنلی-رایزنر که به صورت جداگانه توسط استنلی و رایزنر معرفی شدند، ارتباطی میان مفاهیم جبر جابجایی و ترکیبیات برقرار کردند. سپس استنلی از آن ها برای اثبات حدس کران بالایی کره های سادکی کمک گرفت. در واقع شهرت حلقه های استنلی-رایزنر نیز مربوط به استفاده ی آن ها در اثبات حدس کران مذکور است. در این پایان نامه، خاصیت های عمومی درایه های f-بردار یک مجتمع سادکی دلخواه مورد بررسی قرار گرفته است. در حالت خاصی از مجتمع های تعادلی، که مجتمع های تعادلی کوهن-مکالی می باشند، با استفاده از روش های ساده ای از جبر جابجایی می توان شرایطی قوی را روی اعداد f-بردار پیدا کرد.

در این پایان نامه بعد از معرفی مغاهیم الگوریتمی چون پیچیدگی و مرتبه ,به تعریف مباحثی چون تابع هیلبرت وسری هیلبرت-پوانکاره پرداخته می شود.سپس سه الگوریتم جهت محاسبه صورت کسر اسن سری معرفی و مقایسه میشوند.

در این پایان نامه الگوریتم هایی برای محاسبه سری هیلبرت؛ بعد و چندگانگی ایده آل های تک جمله ای را مطالعه می کنیم. این پایان نامه در راستای کارهای بایر و استیلمن ‎(????)‎، بیگاتی ‎(????)‎ ، بیگاتی، کابوارا،روبیانو‎(????)‎ و کروزر و روبیانو‎(????)‎ است‎.‎ هدف این پایانامه بررسی الگوریتم های مختلف برای محاسبه سری هیلبرت و چند گانگی ایده آل های تک جمله ای در حلقه چند جمله ایهااست. نشان داده می شود که پیچیدگی الگوریتم ارائه شده در مرجع ‎مود نظر‎ در سطح مطلوب می باشد. در این پایان نامه سری هیلبرت ایده آل های تک جمله ای خالی از مربع قطعه الفبایی به صورت کامل محاسبه شده است.

در این پایان نامه به محاسبه سری هیلبرت ایده الهای قطعه الفبایی با دو و سه متغیر می پردازیم. در ابتدای کار تابع هیلبرت و سری هیلبرت را معرفی کرده و سپس خواص آنها را بیان می کنیم. در ادامه به معرفی ایده الهای قطعه الفبایی می پردازیم.چون با ایده الهای قطعه الفبایی صفر بعدی سر و کار داریم آنها را معرفی می کنیم. هدف اصلی معرفی ایده ال قطعه الفبایی در حلقه چندجمله ای ها با دو و سه متغیر و همچنین به دست آوردن آنها با استفاده از یک فرمول ساده می باشد.

چکیده ی فارسی یک رنگ آمیزی رأسی سره از گراف ‎g‎ را یک bرنگ آمیزی از گراف ‎ g‎ می نامند هرگاه هر کلاس رنگی دارای رأسی باشد که این رأس در تمام کلاس های رنگی دیگر همسایه داشته باشد. هر رنگ آمیزی از گراف ‎g‎ با ‎chi(g)‎ رنگ، یک bرنگ آمیزی از‎ g‎ است. به بزرگ ترین عدد طبیعی‎ k‎ که یک bرنگ آمیزی از گراف‎ g‎ با‎ k رنگ وجود داشته باشد، عدد b رنگی ‎گراف‎g‎ می گویند و آن را با phi (g) نمایش می دهند. گراف‎g را b‎ پیوسته گویند هرگاه برای هر عدد طبیعی ‎k‎ که ‎chi (g) ? k ? phi (g)، یک b رنگ آمیزی از گراف ‎g ‎با ‎k ‎ رنگ وجود داشته باشد. در این پایان نامه، ابتدا ارتباطی بین همریختی های گراف ها و b‎ ‎ رنگ آمیزی های گراف ها می یابیم و با استفاده از این ارتباط، نشان می دهیم که برای هر عدد طبیعی ‎k‎، گراف کنسر‎kg(2k+1,k)‎، b‎ پیوسته ‎است. سپس به بررسی عدد b رنگی گراف های dمنتظمی که دور به طول ‎4‎ ندارند می پردازیم. نشان می دهیم که برای هر گراف dمنتظم‎ g‎ که دور به طول‎ 4 نداشته باشد، phi(g) ? lfloorfrac{d+3}{2} floor. همچنین نشان می دهیم که اگرg‎ یک گراف d منتظم باشد که دور به طول‎4‎ نداشته باشد و ‎diam(g) ? 6‎، آن گاه phi(g)=d+1‎ . ثابت می کنیم برای هر گراف d منتظم ‎g‎ که دور به طول ‎4‎ ندارد و ‎kappa(g) ? frac{d+1}{2}‎، رابطه ی ‎varphi(g)=d+1‎ برقرار است، که ‎kappa(g) ‎ بیانگر همبندی رأسی گراف ‎g‎ است. همچنین نشان می دهیم که هر گراف d منتظم که ‎ c_{4}‎ را به عنوان زیرگراف در بر نداشته باشد و فراهمبند یالی نیز نباشد، دارای عدد b رنگی‎d+1‎ است. یک رنگ آمیزی رأسی سره از گراف ‎g‎ را یک رنگ آمیزی برگ ریزان از گراف ‎g‎ می نامند هرگاه هر رأس، تمام رنگ ها را در همسایگی بسته ی خود ببیند. هر رنگ آمیزی برگ ریزان، یک bرنگ آمیزی است. در انتها، رنگ آمیزی های برگ ریزان رده های خاصی از گراف ها را بررسی خواهیم کرد. کلمات کلیدی : bرنگ آمیزی، b‎ پیوسته، همریختی نیمه-موضعی-پوشا، رنگ آمیزی برگ ریزان.

در این پایان نامه، ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع در حلقه چندجمله ای های s=k[x1, …, xn] را مورد مطالعه قرار می دهیم. با توجه به نتیجه جالب وفابل توجهی که از بایر و استیلمن به دست آمده است و نیز با توجه به تکنیک قطبی سازی، مساله دسته بندی ایدآل های همگن از حلقه s که دارای تحلیل خطی هستند، هم ارز با مساله دسته بندی ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع است که دارای تحلیل خطی می باشند. در هر صورت، مساله دسته بندی ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع که دارای تحلیل خطی می باشند، یک مساله خیلی مشکل به نظر می رسد. زیرا با توجه به قضیه ایگن-رینر، حل این مساله هم ارز با حل مساله دسته بندی ایدآل های (تک جمله ای خالی از مربع) از حلقه s می باشد که حلقه s/i کوهن-مکالی می باشد. شایان ذکر است که، ایدآل های تک جمله ای خالی از مربع از حلقه s، از یک سو در تناظر یک به یک با حلقه های استنلی-رایزنر از مجتمع های سادکی، و از سوی دیگر در تناظر با ایدآل های نسبت داده شده با ابر گراف ها هستند. این تناظر، ریاضی دانان را بر آن داشت تا از خواص ترکیبیاتی و هندسی این اشیا (مجتمع های سادکی و ابر گراف ها) استفاده کرده تا نتایج جبری دلخواه خود را استنتاج کنند. دسته بندی ایدآل های همگن ازحلقه s که دارای تحلیل 2-خطی هستند، توسط فروبرگ در سال 1990 انجام شد. فروبرگ دریافت که ایدآل متناظر با گراف ها، دارای تحلیل 2-خطی هستند اگر و تنها اگر گراف مورد نظر قطری باشد؛ بدین معنی که گراف مورد نظر دارای دور القایی با طول بیشتر از 3 نباشد. در [em, thvt, vtv, w]، مولفان تعمیمی جزئی از قضیه فروبرگ را ارائه نمودند. آنها تعریف های متفاوت از ابر گراف های قطری ارائه کردند و ثابت کردند که ایدآل متناظر با این دسته از ابر گراف ها، دارای تحلیل خطی می باشد. با در نظر گرفتن دورها به عنوان اشیا هندسی (مثلث بندی از خم های بسته)، در این پایان نامه تلاش می کنیم که مفهوم دورها در گراف ها را به مفهوم مثلث بندی شبه منیفلدها گسترش دهیم و یک تعمیم از قضیه فروبرگ را برای ابر گراف های از بعد بیشتر از 2 به دست آوریم. همه نتایج فصل های 4 و 5 و نیز برخی از نتایج فصل 3، نتایج جدید در این پایان نامه می باشند.

همولوژی و کوهمولوژی گروه ها در بسیاری از شاخه های ریاضی همچون هندسه، جبر، هندسه جبری، توپولوژی جبری و حتی آنالیز ظاهر می شوند. به همین دلیل مطالعه آن ها به عنوان مفاهیمی جبری و همچنین یافتن ارتباط آن ها با شاخه های دیگر ریاضی دارای اهمیت زیادی است. هدف این پایان نامه معرفی و مطالعه همولوژی و کوهمولوژی گروه ها با ضرایب در مدول های خاص است. یکی از ابزارهای مهم و ابتدایی این نظریه، تابعگون های ناوردا و هم ناوردای متناظر با یک g-مدول m است که g یک گروه دلخواه است.در قضیه اساسی این پایان نامه، ما همولوژی و کوهمولوژی یک گروه آبلی a با ضرایب به ترتیب در مدول هم ناوردای و ناوردای m از یک a-مدول m را بررسی خواهیم کرد.

در این رساله، مشابه نظریه گالوای کلاسیک در نظریه میدانها، نظریه گالوا برای پو شش های توپولوژ یک توسعه داده می شود و قضیه اساسی گالوا ثابت می شود. با استفاده از این قضیه، میتوان پوشش های توپولوژیک فضای زمینه را بر حسب گروه بنیادی آن فضای زمینه رده بندی کرد. همچنین قضایای پیش رو و پس رو برای حلقه های توابع پیوسته ثابت می شود و توسیع های صحیح نیز در این حلقه ها مطالعه مگردد. با استفاده از خواص جبری حلقه های توابع پیوسته و خواص جبر های بول ثابت می شود که فضای مولفه های همبندی یک فضای توپولوژیک فشرده و هاسدورف یک فضای پیش متناهی است. سپس با استفاده از این قضیه می توان نشان داد که کاتگوری فضاهای پیش متناهی در کاتگوری فضاهای تیخونوف انعکاسی است.

در این پایان نامه ایدآل یالی دوجمله ای وابسته به یک گراف ساده gو ویژگی های جبری آنها مورد مطالعه قرار می گیرد. دسته ای از گراف را که مولدهای اید آل دوجمله ای متناظر با آنها تشکیل یک پایه گروبنر می دهند، رده بندی می کنیم. نشان داده می شود که این گراف ها خالی از پنجه و قطردار هستند. همچنین یک پایه گروبنر خالی از مربع تحویل یافته برای ایدآل یالی دوجمله ای گراف ها در حالت کلی معرفی می شود. در ادامه شرایط لازم و کافی برای کوهن-مکالی بودن ایدآل یالی دوجمله ای گراف های بسته و غیربسته ارائه می شود.

چکیده فرض کنید pg ایدآل توریک از گراف ساده و غیر جهت دارg باشد. در این پایان نامه ویژگی اشتراکی کامل pg را از دو روش الگوریتمی و ترکیبیاتی مطالعه می کنیم. اگر g گرافی همبند و pg اشتراکی کامل باشد آن گاه زیرگراف های القایی r و c از g وجود دارند که مجموعه رأس های گراف g اجتماعی از مجموعه ی رأس های r و c است که r گراف حلقوی دوبخشی و c یکی از گراف های، تهی، دور اولیه فرد یا شامل دو دور اولیه فرد همبند است. در آخر اگر r ?-همبند و c همبند باشد خانواده ای از گراف هایی که ایدآل توریک آن ها اشتراکی کامل است را بدست می آوریم.

در این پایان نامه برای یک مجتمع سادکی یا به طور کلی مجتمع سلولی بولیδ، رفتاراف- بردار واچ- بردار تحت زیر تقسیم بری سنتریک بررسی می شود. نشان داده می شود اگرδ ، اچ-بردار غیر منفی داشته باشد، آن گاه اچ-چند جمله ای زیر تقسیم بری سنتریک آن صفرهای ساده حقیقی دارد. از این مطلب نتیجه می شود که حدس چارنی-دیویس برای دسته ای از مجتمع های سلولی که زیر تقسیم بری سنتریک هستند، برقرار است. ریشه های اچ -چند جمله ای زیر تقسیم های متوالی بری سنتریک یک مجتمع سادکی رفتار همگرا دارند. در واقع یکی از ریشه ها به بی نهایت و بقیه به یک مجموعه ی (d-1 )-تایی ثابت همگرا هستند.

گرادیه ای از l1 خط عمومی l1 .......l1 را در صفحه تصویری در نظر بگیرید. به مجموعه ای از نقاط که توسط همه اشتراک های دو به دو از این خطوط ایجاد می شود، ساختار ستاره ای گفته می شود و آن را با نمایش می دهیم. در این پایان نامه برای هر عدد صحیح نا منفی مانند d ، بعد خانواده ای از خم های درجه ی d که شامل یک ساختار ستاره ای هستند، محاسبه می شود.

در این پایان نامه تلاش بر این است که انواع مختلف درونیابی را برای منطق های زیرساختی بررسی شود و با استفاده از ویژگی ادغام و گسترش های آن تعبیر جبری برای این درونیابی ها ارائه شود. به صورت کلی، منطق های زیرساختی جبری پذیر هستند ولی برخی از ویژگی های منطقی که منطق وجهی و منطق فراشهودی دارا هستند را ندارند. در این زمینه بررسی دقیقی نیاز است تا نوع رابطه ای که بین ویژگی های منطقی و جبری برقرار است مشخص شود. پس برای روشن کردن دقیق این موضوع از انواع درونیابی و ویژگی های جبری مرتبط به آنها استفاده می کنیم. به دلیل عمومیت مطالبی که در اینجا مطرح می شود، نتایج مطرح شده نه تنها برای منطق های زیرساختی بلکه قابل گسترش برای موضوعات عمومی تر مانند منطق جبری مجرد نیز است.

بخش اول این رساله مربوط به نتایجی در حلقه های تقسیم می باشد که شامل فصل های دوم‏، سوم و چهارم است. بخش دوم مربوط به نتایجی در گراف های چند بخشی و ابرگراف های 3-بخشی 3-یکنواخت می باشد و شامل فصل های پنجم و ششم است. فصل اول این رساله شامل پیش نیازها از جمله تعاریف و نتایجی در حلقه های تقسیم و گراف ها می باشد که در فصل های بعدی مورد نیاز خواهند بود. در‎‏ فصل دوم جابجاگرهای ضربی یک حلقه تقسیم را بررسی می کنیم. در فصل سوم ایده آل های لی در حلقه ها را بررسی می کنیم. برگن هرشتاین و لانسکی نشان دادند که اگر یک حلقه دارای یک تابع مشتقی‎‎‎‎ باشد که تصاویر ناصفر آن وارون پذیرند آنگاه این حلقه یا یک حلقه تقسیم است یا حلقه ماتریس های ‎‎دو در دو‎‎‎‏ روی یک حلقه تقسیم است یا به صورت ‎‎$‎‎frac{d[x]}{(x^2)}‎$‎‎‎‏ می باشد که ‎‎$‎d‎$‎‏ یک حلقه تقسیم دارای شرایط خاص است‏. نشان می دهیم که اگر یک حلقه دارای یک ایده آل لی باشد که همه عناصر غیر صفر آن وارون پذیرند آنگاه این حلقه یک حلقه تقسیم است. با استفاده از این قضیه یک شرط کافی برای جابجایی بودن یک جبر ارائه می دهیم. در ادامه نشان می دهیم که تنها ایده آل لی رادیکال غیر مرکزی یک جبر ناجابجایی ‎$r‎$‎‎‏ برابر ‎‎$‎[r,r]‎$‎‏ می باشد. در فصل چهارم این رساله حلقه های تقسیم دارای یک تابع برگشت‎ را بررسی می کنیم. در این فصل با استفاده از ایده ناوردایی قضیه-کارتان-براور-هوا نشان می دهیم که اگر حلقه تقسیم ‎$d‎$‎‎‏ دارای یک تابع پیچش ‎‏‎باشد و ‎‎$‎m‎$‎‎‎‏ یک زیرفضای ‎‎$‎s‎$‎‎‏-ناوردای ‎‎$‎d‎$‎‎‏ باشد آنگاه یا ‎$‎‎‎m‎$‎‏ در مرکز ‎‎$‎d‎$‎‏ قرار دارد یا یک ایده آل لی ‎‎$‎d‎$‎‏ است. در فصل پنجم ‏گراف های چند بخشی کوهن-مکالی را مطالعه می کنیم. در واقع نشان می دهیم که ‏‎ در یک گراف ‎‎$‎r‎$‎‎‏-بخشی کوهن-مکالی با پوشش خوشه ای مینیمال‎‏‏، یک راس از درجه ‎‎$‎r-1‎$‎‏ وجود دارد. همچنین به عنوان نتیجه ای از این قضیه نشان می دهیم که این پوشش یکتاست. در فصل ششم ابرگراف های 3-بخشی 3-یکنواخت را بررسی می کنیم. در این فصل نشان می دهیم که اگر ابرگراف ‎$mathcal{f}$‎ خوش پوش باشد آنگاه یک جورسازی کامل در ‎$mathcal{f}$‎ وجود دارد.

بشر از زمانی که محل ثابتی برای اسکان انتخاب کرد، به فکر پوشاندن دیوارها و کف آن محل و سپس زیبایی این پوشش ها افتاد. از همان زمان مسئله کاشی کاری آغاز می شود. در این پایان نامه تعریف ریاضی کاشی کاری ارائه شده و تحت شرایطی تعداد کاشی کاری های ممکن محاسبه می شود. بررسی ها محدود به کاشی کاری با چندضلعی های منتظم و ستاره ای است. حرکات صلب در صفحه که منجر به کاشی کاری ها می شوند، تشکیل یک گروه می دهند که همان گروه تقارن ها است. گروه تقارن ها نیز در مورد کاشی کاری های مطرح شده بررسی می شود. به عنوان یک تمرین عملی، کاشی کاری های بنای سلطانیه بررسی شده است.

$ delta $ مجتمع سادکی محض از بعد $(m-1) $ روی مجموعه راس $[n] $ باشد. $ j_{delta} $ ایدآل تولید شده توسط کهاد های $ [a_{1}...a_{m}] $ از ماتریس ژنریک $x=(x_{ij}) $، به ازای $ (1leq i leq m , 1leq jleq n) $ است،که در آن $ {a_{1},...,a_{m}} $ یک فاسیت از $ delta $ است. این ایدآل را ایدآل فاسیتی دترمینانی گویند. در این پایان نامه ایدآل فاسیتی دترمینانی را مطالعه می کنیم و شرایطی را بررسی می کنیم که چه موقع $ j_{delta} $ ایدآل اول است و هچنین نشان می دهیم مولد های ایدآل فاسیتی دترمینانی $ j_{delta} $ به شکل یک پایه ی گربنر هستند اگر و تنها اگر $delta $

هدف این پایان نامه مطالعه نتایج اخیر در موضوع ”اندیس زیر جبر های ورونزه” است. اندیس گرین-لازارسفلد تعداد گام های خطی تحلیل مینیمال آزاد را برای یک مدول دلخواه را بررسی میکند. در این پایان نامه نتایج موجود در این موضوع جمع آوری و دوباره اثبات شده است.

چکیده ندارد.

گوردن-وب و والپر در سال 1991 توانستند به کمک قضیه سونادا اولین مثال های نقض برای سوال معروف کاک با عنوان "آیا می توان شکل یک طبل را شنید؟" در صفحه را ارائه دهند. در مسیر تلاشهایی که از آن به بعد برای ساخت مثالهایی خاص تر و جدیدتر از طبلهای ریاضیاتی غیر یکسان انجام گرفتند, در این رساله سعی شده است تا به معرفی ساختارهای جدیدی تحت اعمال شرایط مرزی مرکب دیریکله- نویمن پرداخته شود. به کمک این مثالها دایره گسترده تری از مثالهای نواحی صفحه ای هم طیف غیر ایزومتر قابل ارائه اند. مثالهایی از قبیل نواحی صفحه ای غیر یکسان همبند و غیر همبند؛ مثالهایی غیر یکسان هموار و غیر هموار؛ مثالهایی بیشتر از دو ناحیه همبند غیر ایزومتر و همچنین به عنوان بخش مهم دیگری به معرفی ساختارهایی مشابه برای مثالهایی با عنوان نواحی همطیف غیر ایزومتر تحت جابجایی شزط دیریکله- نویمن پرداخته می شود.

در این پایان نامه جبرهای پوشش راسی مجتمع های سادکی وزن دار معرقی و مطالعه می شود.این جبرها حالت خاصی از جبرهای ریس نمادین هستند .نشان داده می شود که جبرهای ریس نمادین ایده آل های تک جمله ای، متناهی مولد هستند و چنین جبرهایی نرمال و کوهن مکالی می باشند اگر ایده آل تک جمله ای خالی از مربع باشد. ثابت می شوی برای هر گراف ساده جبر پوشش راسی آن که توسط عناصری از درجه 2 تولید می شود، مدرج استاندارد است اگر و تنها اگر گراف دوبخشی باشد.هم چنین کران بالایی برای درجه ماکسیمال مولدهای جبرهای پوشش راسی ارائه داده می شود

سری هیلبرت یک مدول مدرج به صورت یک سری توانی تعریف می شود . در حالتی که m یک جبر استاندارد باشد، این سری یک شکل گویا دارد که در آن چندجمله ای صورت یک چندجمله ای با ضرایب صحیح است. محاسبه سری هیلبرت و شکل گویای آن مسئله پیچیده ای است که تلاش های زیادی را به خود معطوف کرده است. در این پایان نامه محاسبه شکل گویای سری هیلبرت یک ایده آل تک جمله ای مطالعه شده و همچنین سری هیلبرت یک حلقه موضعی آرتینی از نقص بعد دو بررسی شده است. منبع اصلی این پایان نامه مرجع [2] می باشد مسئله یافتن سری هیلبرت یک مدول مدرج داده شده و همچنین تشخیص این که آیا یک سری عددی داده شده سری هیلبرت یک مدول مدرج است یا نه، دو مسئله قدیمی هستند که تا به حال ریاضیدانان زیادی روی آن کار کرده اند.

مساله یافتن یک تحلیل آزاد مینیمال به طور صریح برای دسته های خاصی از ایده آل های تک جمله ای، یکی از جریان های تحقیقی اصلی برای برخی از تیم های پژوهشی در جبر جابجایی و هندسه جبری می باشد. با یافتن یک تحلیل آزاد مینیمال، بسیاری از ناورداهای عددی ایده آل و یا واریته متناظر با آن به دست آمده و در شناسایی ایده آل یا واریته کمک زیادی می کند. در این پایان نامه نحوه ساختن یک تحلیل آزاد مینیمال برای حلقه خارج قسمتی روی ایده آل های تک جمله ای خالی از مربع متقاطع مورد مطالعه قرار می گیرد

ایده آل پرمننت یک ماتریس هنکل با درایه های روی حلقه چندجمله ای ها همانند ایده آل دترمینان آن تعریف می شود با این تفاوت که چندجمله ای های پرمننت های r*rاین ماتریس تشکیل یک ایده آل می دهند که به آن ایده آل پرمننتهایr*r ماتریس هنکل گویند.پرمننت یک ماتریس همانند دترمینان آن ماتریس محاسبه می شود با این تفاوت که همه علامت های موجود در بسط دترمینان مثبت هستند.در این پایان نامه پایه های گربنر ایده آل پرمننتهای 2*2 ماتریس هنکل محاسبه شده و یک تجزیه اولیه برای این ایده آل پیدا شده است و همچنین ایده آل های اول وابسنه به آن محاسبه شده است. در ادامه نیز ایده آل های اول مینیمال ایده آل پرمننتهای 3*3 ماتریس هنکل محاسبه شده اند.

نتایج اصلی این رساله را می توان در سه قسمت خلاصه کرد: الف) به دست آوردن پایه گربنر ایدآل کهادهای ماتریس n×2 کلی با درایه های خطی از m متغیر و بررسی خواص این پایه و محاسبه پایه گربنر معادلات نقاط نیشگونی معمولی. ب) ارائه تحلیل آزاد برای ایدآل کهادهای ماتریس n×2 کلی با درایه های خطی از m متغیر روی یک میدان جبری بسته و مطالعه مشخصات این تحلیل. ج) ارائه تحلی آزاد مینیمال برای ایدآل کهادهای ماتریس دو سطری با بلوکهای جردن از طول 2 و با ویژه مقدارهای مساوی، بر حسب همبافت کزول و قضایای پیشنیاز که می توانند به طور مستقل نیز مورد توجه باشند.

در این پایان نامه به بررسی ایده آلهای کهادهای ماتریس های هنکل می پردازیم. در حالتی که ایده آل توسط کهادهای ماکزیمال تولید می شود. قضایای اساسی و کارگشایی در مورد اول بودن ایده آل مذکور ثابت شده است . مسئله جالب توجه در این زمینه ، یافتن تجزیه اولیه ای برای توانهای این ایده آلهاست که با انجام این کار قادر خواهیم بود تا جبرهای ریز وابسته به این ایده الها را مطالعه کنیم. مفاهیم اولیه شامل تعاریف ، قضایا و نتایج مورد احتیاج را در فصل اول می آوریم . در فصل دوم با معرفی ماتریس های هنکل ، ثابت می کنیم که کافیست ایده آلهایی را در نظر بگیریم که توسط کهادهای ماکزیمال تولید می شوند. در ادامه برای یافتن یک تجزیه اولیه برای توانهای این ایده آلها ، قانون امتدادی را برای ‏‎‎‏‏‎k(x)‎‏ ثابت می کنیم. در فصل سوم تعمیمی از ماتریس های هنکل ارائه و با معرفی نمودن دو عدد صحیح مثبت ملاکی برای تشخیص اینکه آیا ایده آل تولید شده توسط کهادهای 2*2 این ماتریس ، اول است یا خبر می یابیم . در صورتی که ایده آل اول نباشد، بطور صریح تجزیه اولیه ای برای آن خواهیم یافت. در فصل چهارم تعمیمی دیگر از ماتریس های هنکل را مد نظر قرار می دهیم وثابت می کنیم که برای مطالعه ایده آل هایی که توسط کهادهای این ماتریس ها تولید می شوند، کافیست ایده الهایی را در نظر بگیریم که توسط کهادهای ماکزیمال تولید تولید می شوند.

پایه گربنر یکی از اساسی ترین ابزارها در جبر جابجایی و هندسه جبری محاسباتی است . یکی از روشهای بدست آوردن پایه گربنر برای یک ایده آل استفاده از دو تابلوهای یانگ و ایجاد تناظر کنوت - رابینسون - شنستد بین تکجمله ایها و دو تابلوهای یانگ می باشد. در فصل اول این پایان نامه سعی شده مفهوم پایه گربنر همراه با بیان قضایای اساسی بطور کامل ارائه شود. در فصل دوم تابلوی یانگ و تناظر کنوت - رابینسون - شنستد معرفی شده اند. در فصل سوم به معرفی کهادهای و ایده آلهای دترمینانی و مفهوم جبرهای با قانون امتداد به همراه بیان قضایای اساسی پرداخته شده است . فصل چهارم به محاسبه پایه گربنر برای ایده آل تولید شده توسط کهادهای ماتریس ژنریک اختصاص یافته است . در فصل پنجم با استفاده از تناظر کنوت - رابینسون - شنستد مفاهیم ‏‎in- krs‎‏ و ‏‎g-krs‎‏ معرفی و ‏‎-krs‎‏ ناورداهای توابع عددی روی ایده آل دترمینانی تعریف شده اند. در این فصل همچنین ثابت شده است اگر در ایده آلی عضویت یک چند جمله ای را بتوان بوسیله شکل دو تابلوی مربوط به آن معین کرد آنگاه کهادهای متناظر با دو تابلوهای استاندارد تشکیل یک پایه گربنر برای ایده آل می دهند.

هدف اصلی در این پایان نامه حل مساله ای برای ایده ال تک جمله ای ژنریک می باشد.