یک مساله استورم-لیوویل را در نظر می گیریم که بر یک بازه ی کراندار تعریف شده و نقاط پایانی بازه نقاط منفرد مساله هستند و مساله دارای یک نقطه برگردان در میان بازه است. با کمک جوابهای مساله و با استفاده از تابع مشخصه مقادیر ویژه را در این حالت به دست می آوریم. سپس تمامیت سیستم توابع ویژه و وابسته از مساله مقدار مرزی معرفی شده را در یک فضای باناخ اثبات میکنیم و قضیه ای مبنی بر گسترش سریهای به طور یکنواخت همگرا وابسته به سیستم توابع ویژه و وابسته از مساله مقدار مرزی را بیان و اثبات میکنیم. و در نهایت مساله را با در نظر گرفتن شرایط جدیدی در میان بازه معرفی کرده و مقادیر ویژه را در این مورد نیز تحقیق میکنیم.

روشهای کلاسیک برنامه ریزی ریاضی نامحدب، بر اساس یک تقریب موضعی، نمی تواند در بررسی و حل بسیاری از مسائل بهینه سازی عمومی مورد استفاده قرار گیرند و لذا تعمیم ابزارها و روشهای کلی برای حل این مسائل یک نیاز بدیهی به شمار می رود. بعضی از این روشها بر پایه تحدب مجرد بنا شده اند، یعنی بر اساس نمایش یک تابع نسبتا پیچیده بصورت غلاف بالایی یک مجموعه از توابع ساده متناسب. پایان نامه حاضر، شامل چهار فصل می باشد. در فصل اول، مفاهیم و تعاریف مقدماتی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند ارائه شده اند. در فصل دوم، توابع صعودی و بطور مثبت همگن (توابع iph) تعریف شده روی مخروطها در فضاهای موضعا محدب مورد بررسی قرار گرفته اند و با معرفی یک مفهوم تعمیم یافته معروف به توابع مقدماتی، ثابت شده است که توابع صعودی و بطور مثبت همگن تعمیم یافته می توانند بصورت غلاف های بالایی خانواده ای از یک چنین توابعی نمایش داده شوند.در فصل سوم، رده توابع صعودی و هم-تابش (توابع icr)، تعریف شده روی مخروط مجهز شده با یک ترتیب مرتبی که با ساختار مخروطی سازگار است مورد مطالعه قرار گرفته اند. بویژه، نمایشی از توابع icr بصورت توابع محدب مجرد بیان شده است. این نمایش مقدمه ای برای حدس زدن و بررسی بعضی مفاهیم قطبیت میان مجموعه ها می باشد که در انتهای فصل سوم آمده است. در فصل آخر نیز رابطه میان توابع icr و توابع iph نشان داده شده است.