در یک گراف درجه متوسط موضعی یک راس میانگین حسابی درجات همسایه های آن راس و درجه متوسط سراسری آن گراف میانگین حسابی کل درجات می باشد. یک راس را گروپی می نامیم اگر درجه متوسط موضعی آن از درجه متوسط سراسری گراف کمتر نباشد. در این پایان نامه به بررسی وجود راس های گروپی در گراف های مختلفمی پردازیمو همچنین نسبت های موضعی و سراسری را در گراف های دوبخشی، بویژه درخت ها مورد مطالعه قرار می دهیم که در آن منظور از نسبت موضعی، نسبت درجه متوسط موضعی هر راس به درجه متوسط سراسری گراف می باشد که مهمترین مساله در این محث این است که کوچک ترین نسبت موضعی در یک گراف به چه بزرگی می تواد باشد و برای این امر تابع f(n) تعریف و بررسی می شود. سپس درجات متوسط موضعی مکرر را تعریف می کنیم و در مورد آنها نتایجی را با استفاده از قضیه اساسی زنجیر مارکف به دست می آوریم و در نهایت به تخمین تعداد راس های گروپی در گراف های تصادفی می پردازیم

در این رساله رنگ آمیزی رنگین کمانی گرافها را مورد مطالعه قرار می دهیم. یک رنگ آمیزی رنگین کمانی از گراف g عبارت از تخصیص رنگ ها به راس های گراف g است به طوری که در همسایگی بسته ی هر راس g رنگها متمایز از هم باشند. به طور معادل یک رنگ آمیزی رنگین کمانی از گراف g یک رنگ آمیزی مجذور گراف g است و برعکس . با این رهیافت رنگ آمیزی رنگین کمانی تورها واستوانه ها و چنبره ها را مورد بررسی قرار می دهیم . در ادامه بر روی گراف های زیرمکعبی اعم از مسطح و غیر مسطح با اندازه ی کمر 3 و4 و 5 متمرکز می شویم و نشان می دهیم مجذور این دسته از گراف ها 8- رنگ پذیر است . سرانجام به دنبال پیدایش راهبردی این مفوم با احاطه گری عدد محاطی گراف های پترسن تعمیم یافته را محاسبه و رده بندی این دسته از گراف ها با عدد محاطی ماکسیمم را کامل می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی مفهوم مونوپولی های پویا(دینامو) و چند روش بمنظور بررسی این مساله برای گراف ها با ساختار های متفاوت می پردازیم. سپس مفاهیم مرتبط با مونوپولی های پویا همراه با کاربرد های آنها که در شاخه های مختلف علوم کامپیوتر مورد استفاده قرار می گیرد را معرفی می کنیم. از میان کاربردهای بسیار مهمی که با استفاده از مونوپولی های پویا وجود دارد به دو مساله ی اصلی در این رساله اشاره می کنیم که یکی از آنها رسیدن به توافق در سیستم های توزیعی و دیگری پاک سازی شبکه های آلوده با استفاده از عامل های خارجی می باشد. در این کاربرد ها پارامترهای اصلی مساله دینامو به شکل دیگری بیان می شوند که هدف در اینجا نیز بدست آوردن یک مقدار بهینه برای این پارامترها است. در هر کدام از کاربرد ها پس از مطالعه ی تحلیلی مساله و ارائه ی چند الگوریتم، به معرفی و بررسی مدل های جدید در آنها می پردازیم که حاصل مطالعه و نتایج اصلی این رساله هستند.

گسترش تاثیر یک رای و یا یک عقیده در شبکه های اجتماعی مسئله ایست که امروزه مورد توجه علوم مختلف واقع شده است. شناسایی افرادی که می توانند در فرآیندهای تاثیر، بیشترین تاثیر را بر روی افراد، در شبکه های اجتماعی بگذارند مسئله ی مهمی است. در این پایان نامه چندین مدل گسترش تاثیر در شبکه های اجتماعی مورد بررسی و مطالعه قرار می گیرد که از این میان دو مدل مستقل آبشاری و آستانه ای خطی دارای بیشترین اهمیت هستند. در این راستا، ما مسئله ی شناسایی بهترین k راس تاثیرگذار در شبکه ی اجتماعی را از دیدگاه الگوریتمی مورد بحث قرار داده و نشان خواهیم داد که این مسئله -npسخت می باشد. همچنین الگوریتم هایی برای تقریب این مسئله ارائه می شود، که در این بین الگوریتم های حریصانه تقریب خوبی از مسئله ارائه می کنند ولی زمان اجرای این الگوریتم ها بالاست. برای رفع این مشکل الگوریتم های ابتکاری ارائه می شود که زمان اجرای بسیار کمی دارند و در آن ها سعی می شود تا جوابی نزدیک به جواب الگوریتم های حریصانه ارائه شود. در پایان، کاربردی از مسئله بیشینه سازی تاثیر بر روی بلاگ ها نشان داده می شود که هدف آن انتخاب مجموعه مناسبی از بلاگ ها برای گسترش اخبار است، به طوری که این وبلاگ ها در سریعترین زمان ممکن بیشترین تاثیر را بر روی بلاگ های دیگر بگذارند. به عبارت دیگر، این اخبار و اطلاعات در سریعترین زمان ممکن تاثیر خود را بر روی بخش وسیعی از اینترنت بگذارند.

-

بررسی گروه?های اجتماعی، به دلیل اهمیت آن در کشف ارتباطات اجتماعی میان افراد،از طریق شناسایی گروه?های مختلف، و در نتیجه کمک به تصمیم گیری بهتر، به تازگی مورد توجه زیادی قرار گرفته است. شناسایی گروه?های اجتماعی می تواند در تعیین اعتبار هر عضو از گروه براساس الگوی رفتاری آن گروه مفید باشد. هدف این پایان نامه، معرفی یک سیستم توصیه کننده ی ترکیبی جهت پیشنهاد کردن افراد متخصص است بطوریکه ویژگی های سیستم توصیه کننده ی content-based را در سیستم توصیه-کننده ی collaborative filtering مبتنی بر شبکه های اجتماعی ترکیب کرده است. هدف اصلی از ارائه این سیستم بهبود کیفیت پیشنهادات با بهره گیری از رفتارهای اجتماعی افراد متخصص است. برای این منظور، ابتدا با استفاده از منابع الکترونیکی برای هر فرد متخصص یک پرونده شخصی ساخته می شود. سپس دانش زمینه از ویکیپدیا استخراج شده و در یک هسته ی معنایی ذخیره می شود. پرونده ی شخصی متخصصین با استفاده از هسته ی معنایی غنی سازی شده و براین اساس شبکه اجتماعی معنایی متخصصین ساخته می شود. در شبکه ی اجتماعی ساخته شده گروه های اجتماعی با استفاده از تحلیل شبکه های اجتماعی و در نظر گرفتن معیارهایی از قبیل تجربه، دانش و غیره تشخیص داده می شوند و برای هر گروه نماینده ای با استفاده از معیار مرکزیت eigenvector تعیین می شود. در پایان، سیستم توصیه کننده ای ساخته می شود که در آن موارد اطلاعاتی که بیان کننده ی نیازهای کاربران هستند به افراد متخصص پیشنهاد می شوند. سیستم ارائه شده نه تنها برای کاربران، بلکه برای افراد متخصص نیز سیستمی مفید است. از دیدگاه کاربران، گروهی از افراد خبره که مناسبترین افراد جهت پاسخگویی به نیازهایشان به آنها پیشنهاد می شوند. از دیدگاه افراد متخصص، موارد اطلاعاتی ای به که به آنها پیشنهاد می شود با دانش و تجربه شان هماهنگ است.

در بازارهای مالی یک سرمایه گذاری با مطالبات مشروط روبه رو است که می خواهد این ریسک را پوشش دهد و این پوشش ریسک برای سرمایه گذاری غالبا هزینه ی زیادی به همراه دارد. در این پایان نامه برای پوشش ریسک مطالبات مشروط از روش پوشش ریسک چندکی استفاده می کنیم که یک موضوع مهم در ریاضیات مالی به حساب می آید. زمانی که پوشش ریسک به طور کامل امکان پذیر نیست این روش نقش مهمی در بازارهای نا کامل ایفا می کند.

شبکه اجتماعی ساختاری اجتماعی است که از گره هایی تشکیل شده است که توسط یک یا چند نوع خاص از وابستگی به هم متصل شده اند. منظور از رأی گیری در شبکه اجتماعی عبارت است از مجموعه ای از قواعد که افراد جامعه اختیار می کنند تا به یک تصمیم جمعی دست بیابند. رأی گیری در اغلب موارد به دو منظور انجام می شود. 1-انتخاب کردن یک گزینه از بین لیستی از گزینه ها توسط تمام اعضای جامعه که بدان دموکراسی مستقیم اطلاق می شود. 2- انتخاب کردن گروهی از نماینده ها که به جای سایرین تصمیمات لازم را بگیرند که به دموکراسی نماینده وار موسوم است. روش دیگری وجود دارد که ترکیبی از روش اول و دوم می باشد. به این صورت که یک رأی دهنده در انتخابات دو راه دارد، یکی اینکه خودش رأی بدهد یا اینکه رأی خود را به یک نماینده منتقل کند که او به جایش رأی بدهد که به آن رأی گیری وکالتی می گویند. در این رساله الگوریتمی برای انتخاب کردن گروهی از نماینده ها که به جای سایرین تصمیمات لازم را بگیرند، ارائه شده است. این الگوریتم شامل سه مرحله است. در مرحله ی اول گرافی که نشان دهنده ی شبکه اجتماعی است را با کمک روشهای خوشه بندی گراف، به اجتماعات موجود در آن تقسیم بندی می کنیم. در این رساله از اجتماعات تعبیر به حزب می شود. علت تقسیم بندی گراف به حزب ها این است که می خواهیم نماینده ها به طور یکنواخت از کل گراف انتخاب شوند و فقط محدود به یک قسمت خاص نباشد. روش های متعددی برای خوشه بندی گراف وجود دارد که چند روش را در فصل سوم این رساله توضیح می دهیم. مرحله ی بعدی الگوریتم این است که سهم هر اجتماع را در انجمن مشخص کنیم، اینکه از هر اجتماع(خوشه) چند نفر باید عضو انجمن باشند. برای انجام این کار از قوانین dhondt استفاده کردیم که شرح آن در فصل سوم می باشد. مرحله ی پایانی الگوریتم مشخص کردن افراد است، این که دقیقا چه کسانی از هر اجتماع انتخاب شوند. برای انجام این کار از الگوریتم های که میزان اهمیت افراد را در شبکه ی اجتماعی مشخص می کنند، مثلا از الگوریتم های تحلیل لینک های صفحات وب، استفاده کرده ایم. در مورد روش های مربوط به مرحله ی پایانی الگوریتم در فصل دوم به تفصیل توضیح داده شده است. در طی این سه مرحله افراد را انتخاب می کنیم و به انجمن می فرستیم و این افراد در مواقع لزوم تصمیمات لازم را اتخاذ می کنند.

یکی از راه های انجمن یابی، انجمن یابی سلسله مراتبی می باشد که در آن نیاز به وجود معیار شباهتی بین رئوس گراف و همچنین بین انجمن های گراف می باشد تا رئوس شبیه به هم در داخل انجمن های یکسان قرار گیرند و در ادامه، انجمن های شبیه به هم برای یافتن انجمن های واقعی گراف در هم ادغام شوند. تعداد دوستان مشترک بین دو راس یکی از راه های محاسبه معیار شباهت بین دو راس می باشد که با استفاده از فرمولی به اسم cosine می تواند به صورت یک عدد نرمال (عدد اعشاری بین صفر و یک) تبدیل شود. بعد از به دست آوردن میزان شباهت بین رئوس، می بایست رئوس شبیه به هم در یک انجمن قرار می گیرند و سپس در مرحله بعد که به ادغام انجمن ها معروف است، انجمن های مشابه در هم ادغام می شوند. میزان شباهت بین دو انجمن به طور ساده می تواند تعداد یال های ارتباطی بین آن دو باشد. برای اینکه معین کنیم که آیا میزان شباهت دو انجمن به حدی است که بتوان آن دو را در هم ادغام کرد یا نه، نیاز به تعریف یک آستانه می باشد که این آستانه را تعداد یال های هر انجمن می توان در نظر گرفت .عمل ادغام انجمن ها، log(n) بارانجام می شود ودر بین این تعداد خروجی، آن انجمن بندی ای که بهترین کیفیت را دارد به عنوان خروجی برنامه انتخاب می شود. معیار کیفیت هم ماژولاریتی می باشد که توسط آقای نیومن ارائه شد و عددی بین صفر و یک است و هرچقدر که به سمت یک نزدیک تر باشد نشان دهنده کیفیت بهتر الگوریتم انجمن یابی روی یک گراف یکسان می باشد. برای بررسی کیفیت الگوریتم انجمن بندی ارائه شده می بایست روش خود را با روش های دیگران بر روی گراف های benchmark پیاده سازی کرد و کیفیت روش خود را با روش دیگر محققان از نظر ماژولاریتی مقایسه کرد. زمان اجرا و حافظه مورد نیاز الگوریتم از دیگر معیارهای قابل قیاس هستند. با در نظر گرفتن عدد n به عنوان تعداد رئوس یک گراف، الگوریتم ارائه شده برای گرافهای خلوت از نظر زمان اجرا به سمت o(n.log(n)) میل می کند و همچنین حافظه مورد نیاز برای این الگوریتم برای گراف های خلوت برابرo(n) می باشد.

در این پایان نامه به بررسی برخی مسائل اکستریمال در نظریه ماینورهای گراف میپردازیم. مسأله اصلی این پایان نامه عبارتست از یافتن کرانی بالا برای تعداد یالهای گرافی ‎$ ‎n‎ $‎ رأسی که ماینوری از یک گراف خاص را ندارد. این مسأله را برای گراف هایی که ماینوری ‎‎ ‎از ‎$ ‎k‎_{‎t‎} $‎ یا ‎$ ‎k‎_{2,‎t‎} $‎ یا ‎$ ‎k‎_{‎s‎,‎t‎} $‎ ندارند بررسی میکنیم و کران های مربوطه به همراه اثبات کامل آن را ارائه میکنیم. همچنین ارتباط کران برای نداشتن ماینوری از ‎$ ‎k‎_{‎s‎,‎t‎} $‎ و حدس ضعیف شده ی هادویگر به همراه اثبات بررسی میشود. در فصل آخر نیز به مرور و بررسی مسائل مهم نظریه ماینورهای گراف میپردازیم.

پدیده های گسترش تأثیر به وفور در شبکه های اجتماعی یافت می شود.به عنوان مثال می توان از گسترش یک بیماری یا یک عقیده و رأی نام برد. برای مدل سازی این پدیده ها از نظریه ی ‎گراف و مفهومی به اسم مونوپلی دینامیک استفاده می شود.‎ ‎‎ بدین منظور شبکه ی اجتماعی با یک گراف)‎ ‎‎‎ ‎g=(v‎,e‎‎‎‎‎‎ نشان داده می شود به طوری که گراف‎‎ ‎g‎ ‎‎‎‎‎‎ دارای یک تابع آستانه ی n ?v(g)‎‎‎‎ ? روی رأس ها می باشد. فرض کنید g یک گراف با مجموعه رئوس v(g) باشد و n ?v(g)‎‎‎‎ ? تابع آستانه? منصوب به مجموعه ی v(g) باشد? زیر مجموعه ی d از مجموعه رئوس v(g) را مونوپلی دینامیک گوییم? هرگاه بتوان v(g) را به زیر مجموعه های ‎ ,‎d ,...,‎d d افراز کرد به طوری =d dوبرای هر i:1,…k-1 هر رأس مانند v در d دارای حداقل t(v‎)‎ همسایه در d . . .‎ dباشد. اندازه ی کوچکترین مونوپلی دینامیک را با dyn(g)‎‎‎‎ نمایش میدهیم.در کل این پایان نامه منظور از d مونوپلی دینامیک با کوچکترین اندازه می باشد . ‎‎ این مسأله را برای گرافها در حالت کلی مورد بررسی قرار داده و به مطالعه ی مدل ترکیبیاتی این مسئله و نتایج بدست آمده به روش ترکیبیاتی برای این موضوع می پردازیم و نیز نتایج الگوریتمی و پیچیدگی محاسبه این موضوع را بیان می کنیم.‎‎‎‎ سپس نتایج بدست آمده ‎را برای این مسئله در حالتهای خاص از جمله توابع آستانه ای متفاوت و نیز گرافهای خاص مورد بحث قرار می دهیم.‎ در فصل پایانی نتایج احتمالاتی با استفاده از روش های احتمالاتی روی مسئله‎ی مونوپلی های دینامیک را مورد مطالعه قرار می دهیم و نیز به مطالعه ی حالتی که آستانه ی رئوس به صورت تصادفی انتخاب می شود, می پردازیم.‎ ‎‎‎‎‎‎‎

چکیده ی فارسی یک رنگ آمیزی رأسی سره از گراف ‎g‎ را یک bرنگ آمیزی از گراف ‎ g‎ می نامند هرگاه هر کلاس رنگی دارای رأسی باشد که این رأس در تمام کلاس های رنگی دیگر همسایه داشته باشد. هر رنگ آمیزی از گراف ‎g‎ با ‎chi(g)‎ رنگ، یک bرنگ آمیزی از‎ g‎ است. به بزرگ ترین عدد طبیعی‎ k‎ که یک bرنگ آمیزی از گراف‎ g‎ با‎ k رنگ وجود داشته باشد، عدد b رنگی ‎گراف‎g‎ می گویند و آن را با phi (g) نمایش می دهند. گراف‎g را b‎ پیوسته گویند هرگاه برای هر عدد طبیعی ‎k‎ که ‎chi (g) ? k ? phi (g)، یک b رنگ آمیزی از گراف ‎g ‎با ‎k ‎ رنگ وجود داشته باشد. در این پایان نامه، ابتدا ارتباطی بین همریختی های گراف ها و b‎ ‎ رنگ آمیزی های گراف ها می یابیم و با استفاده از این ارتباط، نشان می دهیم که برای هر عدد طبیعی ‎k‎، گراف کنسر‎kg(2k+1,k)‎، b‎ پیوسته ‎است. سپس به بررسی عدد b رنگی گراف های dمنتظمی که دور به طول ‎4‎ ندارند می پردازیم. نشان می دهیم که برای هر گراف dمنتظم‎ g‎ که دور به طول‎ 4 نداشته باشد، phi(g) ? lfloorfrac{d+3}{2} floor. همچنین نشان می دهیم که اگرg‎ یک گراف d منتظم باشد که دور به طول‎4‎ نداشته باشد و ‎diam(g) ? 6‎، آن گاه phi(g)=d+1‎ . ثابت می کنیم برای هر گراف d منتظم ‎g‎ که دور به طول ‎4‎ ندارد و ‎kappa(g) ? frac{d+1}{2}‎، رابطه ی ‎varphi(g)=d+1‎ برقرار است، که ‎kappa(g) ‎ بیانگر همبندی رأسی گراف ‎g‎ است. همچنین نشان می دهیم که هر گراف d منتظم که ‎ c_{4}‎ را به عنوان زیرگراف در بر نداشته باشد و فراهمبند یالی نیز نباشد، دارای عدد b رنگی‎d+1‎ است. یک رنگ آمیزی رأسی سره از گراف ‎g‎ را یک رنگ آمیزی برگ ریزان از گراف ‎g‎ می نامند هرگاه هر رأس، تمام رنگ ها را در همسایگی بسته ی خود ببیند. هر رنگ آمیزی برگ ریزان، یک bرنگ آمیزی است. در انتها، رنگ آمیزی های برگ ریزان رده های خاصی از گراف ها را بررسی خواهیم کرد. کلمات کلیدی : bرنگ آمیزی، b‎ پیوسته، همریختی نیمه-موضعی-پوشا، رنگ آمیزی برگ ریزان.

چکیده در یک گراف عدد رنگی گراف برابر با کمترین تعداد در کلاس های افراز در افراز مجموعه راس های گراف به مجموعه های مستقل راسی است. همچنین منظور از یک مجموعه احاطه گر مجموعه ای است که هر راس گراف که خارج ازآن مجموعه است دارای حداقل یک همسایه داخل آن مجموعه باشد. در سال های اخیر ارتباط بین رنگ آمیزی و مجموعه احاطه گری مورد مطالعه قرار گرفته اند. به طور خاص، استفاده از آن ها در مدل سازی برخی مسائل کاربردی منجر به پیدایش موضوعات و مباحث پژوهشی با تلفیق ایده های رنگ آمیزی و احاطه گری شده است. در این پایان نامه به بررسی برخی از مسائل مهم دراین زمینه خواهیم پرداخت. از جمله این مسائل عدد ? - رنگ آمیزی احاطه گر، عدد رنگ احاطه گر مینیمم و عدد رنگ آمیزی احاطه گر است که کران هایی برای این پارامترها ارائه داده و برای برخی از گراف ها مقدار عددی این پارامترها را محاسبه می کنیم. همچنین ارتباط رنگ آمیزی احاطه گری را با افراز خوشه ای امن، بررسی خواهیم کرد و اثبات خواهیم کرد که عدد ? - رنگ آمیزی احاطه گری و رنگ آمیزی احاطه گری، جز مسائل np – کامل هستند. واژه های کلیدی: عدد ? - رنگ آمیزی احاطه گری، عدد رنگ احاطه گر مینیمم، عدد رنگ آمیزی احاطه گری، افراز خوشه ای امن، گراف های تعمیم یافته ی پترسن

مسأله ی گسترش خطا در محاسبات توزیع یافته و نیز در شبکه ای از کامپیوترها بسیار کاربردی و حائز اهمیت است. در این پایان نامه، به طور کلی نمونه ای از گسترش خطا را در محاسبات توزیع یافته و شبکه های ارتباطی مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. مونوپلی دینامیک یا دینامو، مجموعه رأس هایی از گراف $ g $ است که در ابتدا فعال می شوند تا همه ی رأس های گراف $ g $ را در تعداد متناهی مرحله ی زمانی فعال کنند. نخست، به مطالعه ی محاسبات توزیع یافته در شبکه های کامپیوتری پرداخته و سپس مسأله ی فوق را از طریق نظریه ی گراف و با بهره گیری از مفاهیم مجموعه های مونوپلی دینامیک مدل سازی خواهیم کرد. تمرکز ما روی اکثریت برگشت ناپذیر ساده است که در آن یک رأس در دوره ی زمانی مشخص هنگامی به طور پایدار فعال می شود که حداقل نصف همسایه های آن در مرحله های زمانی قبل فعال شده باشند. این مسأله را برای شبکه های مسطح، استوانه و چنبره مورد مطالعه قرار داده و در ادامه ی متن کران هایی برای مینیمم اندازه ی دینامو را برای این گراف ها را ارائه خواهیم کرد. در پایان نیز دو فرم خاص از دیناموها، برگشت ناپذیری و یکنواختی، را برای چنبره های مختلف مانند گوردالیسی و مارپیچی را بررسی کرده و برای مینیمم اندازه ی آن ها کران هایی به دست خواهیم آورد.

مجموعه های مونوپلی دینامیک و مجموعه هایی از رأس ها در یک گراف که با هر دور گراف اشتراک دارند و به مجموعه های بی دورکننده موسوم هستند، در سال های اخیر جز فعالیت های پژوهشی در نظریه ی گراف به شمار می رود. مخصوصا مدل سازی و تحلیل شیوع و گسترش تأثیر در شبکه های اجتماعی نظیر یک بیماری یا یک باور مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته است. بدین منظور مجموعه های مونوپلی دینامیک در نظریه ی گراف معرفی و مطالعه شده است. در این پایان نامه ابتدا مجموعه های مونوپلی دینامیک را در حاصل ضرب دکارتی، حاصل ضرب تانسوری گراف ها و شبکه ها مورد مطالعه قرار می دهیم سپس مجموعه های بی دورکننده را در حاصل ضرب دکارتی گراف های دلخواه و کامل و در حاصل ضرب قوی گراف هایی مانند دورها، مسیرها، ستاره ها و گراف های کامل مورد بررسی قرار می دهیم.

فرض کنید g = (v,e) یک گراف ساده باشد. مجموعه ی s? v را اتحاد تهاجمی گوییم، هرگاه برای هر راس در s n(s) ? داشته باشیم |n[v] ?s|?|n[v]?s|. همچنین s را یک اتحاد تهاجمی فراگیر گوییم، هرگاه شرط فوق برای هر راس در v ?s برقرار باشد. یافتن یک اتحاد تهاجمی فراگیر در گراف، یک مساله ی np-سخت است. بنابراین برای به دست آوردن پارامترهای اتحاد تهاجمی فراگیر یعنی ?_o (g) و ?_o ? (g)، نیاز داریم تا کرانهایی برحسب پارامترهای گوناگون گراف از جمله تعداد راس ها، تعداد یالها، عدد استقلال، عدد احاطه گری، شعاع طیفی لاپلاسین و ... داشته باشیم. به دست آوردن این کرانها و بهبود کرانهای اولیه، هدف اصلی فصل دوم، سوم و چهارم است. فصل نهایی این پایان نامه، به مفهومی تحت عنوان مونوپولی اختصاص می یابد. مجموعه ی d? v را مونوپولی گوییم، هرگاه هر راس v ?d v ?، حداقل deg?(v)?2 همسایه در d داشته باشد. همچنین مجموعه ی d را مونوپولی اکید گوییم هرگاه d یک مونوپولی باشد و به علاوه، هر راس زوج در v ?d حداقل ((deg?(v)+1))?2 همسایه در d داشته باشد. مونوپولی اکید، همان اتحاد تهاجمی فراگیر است. همچنین ثابت می کنیم مطالعه ی مونوپولی اکید در گراف ها، به راحتی به مطالعه ی مونوپولی در گراف ها کاهش می یابد. در سایر بخش های این فصل، کرانهایی برای مونوپولی اکید برحسب عدد تطابق و اندازه ی کمر گراف ارائه می دهیم.

در این پایان نامه به بررسی مفهوم عدد احاطه گری علامت دار در گراف ها می پردازیم. اگر به هر راس گراف وزن ? یا ?- اختصاص می دهیم به طوری که هر راس v از گراف? مجموع وزن همسایه هایش و وزن خود راس v بزرگتر یا مساوی ? باشد. عدد احاطه گری علامت دار? ?_(s(g))?کمترین مقدار مجموع وزن راس های گراف است به طوری که برای هر راس شرایط احاطه گری علامت داربرقرار باشد. برای عدد احاطه گری علامت دار? کران هایی به دست آمده است که این کران ها در گراف های متفاوت را مورد بررسی و مطالعه قرار داده ایم. سپس به مطالعه عدد احاطه گری علامت دار برخی شبکه ها در گراف و کران هایی که برای آن ها به دست آمده می پردازیم. همچنین با تعمیم مفهوم احاطه گری علامت دار، به بررسی انواع دیگر احاطه گری علامت دار مانند k-زیراحاطه گری و احاطه گری علامت دار کلی می پردازیم وسپس به مطالعه کران هایی که برای عدد احاطه گری علامت دار کل و عددk-زیراحاطه گری به دست آمده اند می پردازیم.

فرض کنید g یک گراف و ?:v(g)?? یک تخصیص آستانه ها به راس های گراف باشد، منظورازانتخاب مجموعه ی هدف برای گراف gعبارت از یافتن زیرمجموعه ای از راس های g است که بتواند به صورت پویا تمام راس های گراف را فعال سازد. کمترین تعداد راس های یک مجموعه ی هدف را با min-seed(g,?) نمایش می دهیم. در حقیقت، مساله ی انتخاب مجموعه ی هدف همان مونوپلی پویاست. در حالت کلی، این مساله نه تنها یک مساله ی np-سخت است، بلکه تقریب زدن آن نیز بسیار سخت است. در فصل دوم، این مساله را تحت آستانه ی اکثریت اکید که در آن هر راس دارای آستانه ی ? ? (v) = (d(v)+ 1)/ 2 است در نظر می گیریم و روی گراف جایگشت دوری، گراف پترسن تعمیم یافته و چنبره ی کوردالیس تمرکز می کنیم. هدف اصلی فصل سوم از این پایان نامه، مطالعه ی مساله ی انتخاب مجموعه ی هدف با آستانه های معین و داده شده روی گراف کاکتوس بلوکی، گراف وتری و گراف همینگ است. همچنین الگوریتم های موثری برای آنها ارایه می دهیم. در فصل پایانی، حالت تعمیم یافته ی مساله ی انتخاب مجموعه ی مجموعه ی هدف را که در آن به هر راس، رنگی از یک مجموعه ی متناهی از رنگ ها اختصاص داده می شود، روی خانواده ها ی خاصی از گراف ها از جمله شبکه ی چنبره ای، چنبره ی کوردالیس و چنبره ی مارپیچی بررسی می کنیم. کلمات کلیدی: انتخاب مجموعه ی هدف، مونوپلی پویا، آستانه ی اکثریت اکید

مجموعه رأسی بی دور کننده در گراف همبند g، عبارت است از زیرمجموعه ای از رأس های g، چنان که حذف آن ها گراف را به یک جنگل تبدیل کند. با استفاده از نتایج شناخته شده برای رنگ آمیزی بدون دور برخی خانواده های بزرگ گراف ها، می توان کران های پایین و بالای جدیدی برای اندازه ی مینیمم مجموعه رأسی بی دور کننده در این خانواده ها بدست آورد. در فصل دوم علاوه بر پرداختن به این موضوع، با استفاده از یک الگوریتم، کران بالای دیگری برای مینیمم مجموعه رأسی بی دور کننده در گراف های مسطح برحسب ماکزیمم تعداد دورهای رأس مجزا، تعیین می کنیم. مفاهیم تباهیدگی و دینامیک مونوپولی را در فصل سوم مورد بررسی قرار داده و الگوریتمی با رشد چندجمله ای برای تشخیص kـ تباهیدگی گراف ارائه می دهیم، سپس به بررسی ارتباط بین دینامیک مونوپولی و تباهیدگی گراف پرداخته و در نهایت از قضیه های ارائه شده، برای تخمین اندازه ی ماکزیمم زیرگراف القایی kـ تباه شدنی در گراف های معمولی و منتظم استفاده می کنیم. در فصل چهارم با فرض اینکه (alpha_{d}(g نمایش ماکزیمم تعداد رأس های زیرگراف d ـ تباه شدنی القایی گراف g باشد، کران های پایین دقیقی برای(alpha_{d}(g بر حسب دنباله ی درجه های g بدست آورده، سپس مینیمم تعداد یال های گراف n رأسی g را که alpha_{d}(g)leq m، به خصوص برای هر mleq n، تعیین می کنیم.

‎‎‎‎چکیده مونوپولی دینامیک در گراف ها یکی از ابزارهایی است که برای مطالعه ی گسترش تأثیر در یک شبکه ی اجتماعی مورد استفاده قرار می گیرد. یک شبکه ی اجتماعی به صورت گرافی مانند ‏ نمایش داده می شود. فرض کنید هر رأس ‎v?v(g)‎‎‏ دارای آستانه ی ?(v)?n‎‎‎‏ باشد که در آن ‎‎‎ nمجموعه ی اعداد طبیعی است. ‎‏مجموعه ی ‎‎‎d?v(g)‎‎‏ یک ? ‎‎‎‏-مونوپولی دینامیک است اگر ‎‎‎v(g)‎‎‏ را به مجموعه های‎‎‎d_0=d,d_1,…,d_k ‎‎‏ افراز کند به ‎‏طوری که به ازای هر ‎‎‎i‎‎‏‏، هر رأس مانند ‎‎‎v‎‎‏ در‏ di‎‎ حداقل‏ ?(v)‎‎‏‎ همسایه در ‎‎‎d_0?…?d_(i-1) داشته باشد. در گراف ‎‎‎g‎‎‎‏‏، مجموعه ی d?‎‎‎ v(g)‎‎‏ یک ?‎‎‎‏-مونوپولی نامیده می شود اگر هر رأس ‎‎‎v?v(g)d حداقل?(v) همسایه در ‎‎‎d‎‎‏ داشته باشد. ‏مونوپولی ها مواردی خاص از مونوپولی های دینامیک هستند. در این پایان نامه به بررسی رابطه ی بین مونوپولی و تطابق در برخی گراف ها می پردازیم. مونوپولی های دینامیک برای بررسی پدیده های گسترشی که با فرآیندهای قرنطینه کردن همراه هستند، مناسب نیستند. برای این منظور‏، در این پایان نامه‏، مدل جدیدی تحت عنوان مونوپولی دینامیک ضعیف را برای پرداختن به این نوع گسترش تأثیر در جامعه ارائه می دهیم. مجموعه ی ‎‎‎ d?‎‎‎ v(g) یک ‎‎‎ ? ‎‎‎‏-مونوپولی دینامیک ضعیف در گراف ‎‎‎g‎‎‏ نامیده می شود اگر ‎‎‎d‎‎‏ مجموعه ی ‎‎‎v(g)‎‎‏ را به مجموعه های ‎‎‎d_0=d,d_1,…,d_tافراز کند به طوری که برای هر ‎‎‎i‎‎‎‏‏، هر رأس ‎‎v‎‎‎‎‏ در ‎‎‎d_i‎‎‏ حداقل ‎‎‎ ?(v)همسایه در ‎‎‎d_(i-1)‎‎‏ داشته باشد. ‎‎‎t‎‎‏ در این تعریف‏، زمان اجرای مونوپولی دینامیک ضعیف نامیده می شود. در این پایان نامه‏،‏ به بررسی مونوپولی های دینامیک ضعیف در گراف ها پرداخته و به علاوه کران هایی برای زمان اجرای یک مونوپولی دینامیک ضعیف ارائه می دهیم. در این میان‏، مجموعه ی ‎‎‎m? v(g)‎‎‏ یک مجموعه ی ‎‎‎?‎‎‎‏-مقاوم در ‎‎‎g‎‎‏ است اگر برای هر رأس ‎‎‎v? m‎‎‏‏، ‎‎‎?(v)?d(v)-d_m (v)+1 که در آنd_m (v) ‎‎‎درجه ی رأس ‎‎‎v‎‎‏ در ‎‎‎m‎‎‏ را نشان می دهد. اندازه ی کوچکترین ‎‎‎?‎‎‎‏-مقاوم در ‎‎‎g‎‎‏ را با ‎‎‎?_? (g)نمایش می دهیم. برای هر مقدار صحیح ‎‎‎s‎‎‏ با شرط ‎‎‎|g|?s?2|e(g)|، ?_s^* (g) را به صورت زیر تعریف می کنیم.‎ ?_s^* (g)=?max?_(?:?_(v?v(g))???(v)?) ?_? (g). در اینجا به مطالعه ی خواص ‎‎‎? ??_s^* (g)به عنوان تابعی بر حسب ‎‎‎s‎‎‏ می پردازیم. هم چنین‏، ‎‎?_s^* (k_n)را به ازای هر مقدار صحیح ‎‎‎s‎‎‏ محاسبه می کنیم. واژه های کلیدی : مونوپولی‏، مونوپولی دینامیک‏، مونوپولی دینامیک ضعیف‏، زیرمجموعه ی مقاوم‏، تابع آستانه ای.

گسترش تاثیر در شبکه ها به شکل گرافی مدل سازی می شود که نشان دهنده ی اعضا و ارتباط بین آن ها می باشد و هر عضو برای تاثیر نپذیرفتن دارای آستانه ای است. اگر تعداد اعضای مرتبط با عضوی که قبلا تحت تاثیر پدیده بوده اند، حداقل به اندازه ی آستانه اش باشد، آنگاه این عضو نیز تاثیر می پذیرد. گسترش تاثیر بسته به این که تنها در یک مرحله انجام گیرد یا اینکه رئوسی که در مرحله ای فعال شده اند خود در مراحل بعد در فعال شدن رئوس دیگر تاثیر داشته باشند، مونوپولی ایستا یا پویا نامیده می شود. در این رساله کران های پایینی برحسب اندازه ی کمر زوج و فرد گراف برای مونوپولی های ایستا ارائه شده است. برای گراف های جهتدار با آستانه های ثابت $ 2 $ و آستانه ی اکثریت مطلق نشان داده شده است که مساله ی تعیین اندازه ی کوچکترین مونوپولی پویا مساله ای np -سخت می باشد. همچنین کران بالای نصف تعداد رئوس را برای اندازه ی کوچکترین مونوپولی پویای اکثریت مطلق در گراف های جهتدار بدون یال چندگانه، که بهترین کران یافته شده در این زمینه می باشد، به دست آورده ایم. پس از آن به معرفی مونوپولی های پویا با آستانه گذاری های احتمالاتی پرداخته ایم و برای اندازه ی کوچکترین مونوپولی آن ها خاصیت تجمعی حول امید ریاضی اش را نشان داده ایم و از آن کران بالایی که بهترین کران ممکن است، به دست آورده ایم. در ادامه کران های پایینی برای اندازه ی مونوپولی های پویای گراف ها با آستانه های احتمالاتی ثابت شده است. در پایان اندازه ی کوچکترین مونوپولی ایستا و همچنین پویا با آستانه ی متوسط داده شده را برحسب اندازه ی کوچک ترین پوشش راسی جزئی فرمول بندی کرده ایم و np -سخت بودن تعیین اندازه ی کوچک ترین پوشش راسی جزئی را روی گراف های دوبخشی، مسطح و وتری نشان داده ایم و از آن np -سخت بودن تعیین اندازه ی کوچک ترین مونوپولی ایستا و پویا با آستانه ی متوسط داده شده را روی این دسته از گراف ها به دست آورده ایم.

در این رساله به بررسی مساله گسترش تاثیر در شبکه ها می پردازیم. در این رساله به بررسی حالتی که ا?ستانه هر راس برابر با تعداد نیمی از همسایگانه اش باشد پرداخته و برای ا?ن کران هایی معرفی می کنیم و نشان می دهیم کرانهای حاصله در زمان چندجمله ای قابل احراز هستند. سپس رابطه مونوپلی با مجموعه تطابق در گراف را بررسی کرده و کرانهایی برای مونوپلی و مونوپلی پویا بر حسب عدد تطابق گراف ارائه می دهیم. گسترش تاثیردرگرافها، مونوپلی، ، تطابق، انتخاب مجموعه هدف

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه ابتدا مقدماتی در مورد ماتریس های هادامارد همراه با چند نوع ماتریس هادامارد آورده شده است. سپس با تکیه بر مفاهیم جبر محاسباتی، مفهوم ایده آل هادامارد برای ماتریس های هادامارد با یک و دو هسته ی چرخشی ارائه شده است. در ادامه نشان می دهیم که برای هر عدد به فرم 4k ماتریس هادامارد با یک هسته ی چرخشی لزوما موجود نمی باشد در حالی که هنوز مشخص نیست که آیا عددی به صورت 4k موجود هست که برای آن ماتریس هادامارد با دو هسته ی چرخشی موجود نباشد یا نه. در ادامه از دو الگوریتم فراابتکاری ژنتیک و جستجوی ممنوع برای یافتن ماتریس هادامارد با دو هسته ی چرخشی تا مرتبه ی حداکثر 116 استفاده شده است. فصل آخر نیز به ارتباط ماتریس های هادامارد با طرح های بلوکی و مجموعه های تفاضلی تکمیلی اختصاص دارد.