در این پایان نامه ابتدا اشاره مختصری به نتایج اساسی در خصوص دستگاههای خطی و غیرخطی نمودیم و مقیاس زمان را تعریف و قضایا و نتایج مربوط به آن را برای آگاهی بیشتر آوردیم. در فصل دوم پایداری جواب های معادلات دیفرانسیل و تفاضلی تأخیری روی مقیاس های زمان مورد بررسی قرار گرفت و نتایجی در این خصوص به دست آمد. همچنین در فصل سوم نوسان جواب های معادلات دیفرانسیل روی مقیاس های زمان مورد بررسی قرار گرفت و نتایج مربوطه ارائه گردید.

روی فضای برداری ماتریس های متناهی البعد m درn نرم های مختلفی قرار داده و ثابت های تعادلی بین این نرم ها را بدست آورده ایم. سپس بعد ماتریس ها را بی نهایت در نظر گرفته و فضاهای دنباله ای را مطرح نموده و مسائل شناسایی، نشاندن و نگاشت ماتریسی را مورد مطالعه قرار داده ایم.

در این رساله، به بررسی معادله انتگرال-تابعی غیر خطی ولترا که ابزاری اساسی برای مطالعه جوابهای معادلات دیفرانسیل-تفاضلی است میپردازیم. در ادامه به بررسی کلی معادلات دیفرانسیل خطی از نوع تأخیری و تفاضلی با ضرایب ثابت پرداخته، قضیه وجود و یکتایی برای این دسته از معادلات را بررسی و جوابی برای یک معادله دیفرانسیل-تفاضلی توسط روشهای لاپلاس ارائه میدهیم. در نهایت قضیه وجودی برای معادلات دیفرانسیل-تفاضلی را بیان و به بررسی چند قضیه اساسی درباره وجود، یکتایی و ارتباط پیوستگی جوابهای یک معادله دیفرانسیل-تفاضلی معین از مرتبه دیفرانسیل و تفاضل یک، میپردازیم.

معادلات غیر خطی است. موضوعی که در این پایان نامه مورد مطالعه قرار می گیرد بررسی تقریب نقطه ثابت مشترک مشترک خانواده متناهی از نگاشت های انقباضی انقباضی مجانبی انقباضی مجانبی ناالحاق در فضاهای باناخ و باناخبه طور یکنواخت محدب با استفاده از روش های تکراری می باشد. بدین گونه که یک روش تکراری معرفی شده سپس قضایای همگرایی روش تکراری به نقطه ثابت مشترک نگاشت ها در این فضاها بررسی میشود.

نظریه نقطه ثابت یکی از شاخه های آنالیز غیر خطی است که ابزار مهمی برای حل معادلات غیر خطی به شمار می رود. موضوع مورد مطالعه در این پایان نامه,بررسی تقریب تکراری برای جواب نگاشتهای لیپ شیتز,لیپ شیتز تعمیم یافته و کراندار در فضاهای q-به طور یکنواخت هموار می باشد.در این راستا یک روش تکرار معرفی نموده,سپس به بررسی قضایای همگرایی در این فضاها می پردازیم.

مجموعه ی توابع اکیداً شبه انقباضی زیر مجموعه ای از مجموعه ی توابع شبه انقباضی هستند که در سال ???? توسط براودر و پترشاین معرفی شدند. آنها قضایای همگرایی را برای چنین نگاشت هایی در فضاهای هیلبرت بررسی کردند که جزئیات کامل این بحث در این پایان نامه آورده شده است. در سال ???? اوسه لایک و یودومن همگرایی ضعیف نگاشتهای اکیداً شبه انقباضی را از فضاهای هیلبرت به فضای باناخ q-یکنواخت هموار و بطور یکنواخت محدّب توسعه دادند. در این پایان نامه همگرایی ضعیف نگاشت های اکیداً شبه انقباضی را به یک نقطه ی ثابت از نگاشت، در فضاهای باناخ یکنواخت هموار و بطور یکنواخت محدّب را بررسی می کنیم.

تقریب نقاط ثابت نگاشت های ناانبساطی و تعمیم های آن ها در چند ده? ‏اخیر رشد و نمو چشمگیری یافته است و هم اکنون یکی از زمینه های پژوهشی فعال و داغ محسوب می شود. توسع? کلاس نگاشت ها و تعمیم فضاهای مورد بحث‏‏، دو مسأل? مهم در این شاخ? پژوهشی می باشند. هدف این پایان نامه در راستای مسأل? اول‏‏، تقریب نقاط ثابت نگاشت های ‎‎‎‎‎(i)‎ ‎‎ مجانباً ناانبساطی ‎‎‎‎‎(ii) ‎‎‎‏ ناانبساطی چند مقداری ‎‎‏‎‎‎‎(iii)‎ ‎ *-‎ناانبساطی چند مقداری در فضاهای باناخ می باشد. در راستای مسأل? دوم‏، نقاط ثابت نگاشت های ناانبساطی را در فضاهای ‎‎cat(0)‎‎‏‎ ‎‎‎ تقریب زده و نابرابری های ‎‏وردشی را برای نگاشت های اکیداً انقباضی نما مورد مطالعه قرار می دهیم. با الهام از یک نابرابری برای نگاشت های ناانبساطی توسط بروک‏‏، نابرابری هایی از نوع ز‏ارانتنلو برای تعمیم های ‎(iii)-(i)‎‏‎ به دست می آوریم. با استفاده از این نابرابری ها‏، اصول نیم بست? مربوط به این نگاشت ها را ثابت می کنیم که نقش مهمی در مطالع? قضایای همگرایی الگوریتم های تکراری ایفا می کنند. دو الگوریتم تکراری با آشفتگی، یکی ضمنی و دیگری صریح، برای تقریب نقاط ثابت نگاشت های ناانبساطی در فضاهای ‎‏‎‎‎‎cat(0)‎ ‎‎ معرفی می کنیم. در تلاش برای اثبات قضایای همگرایی الگوریتم های پیشنهادی‏، به نتایج مهمی در فضاهای ‎‏‎‎‎‎cat(0)‎ ‎‎ پی می بریم. در این میان، یک مشخص سازی برای تصویر متریک به دست می آوریم. به علاوه، قضی? آسپلوند را به فضاهای ‎‏‎‎‎‎cat(0)‎ ‎‎ تعمیم می دهیم که نگاشت دوگانی را به عنوان زیردیفرانسیل تابع محدب متر توصیف می کند. یک فرمول بندی مناسب از نابرابرهای وردشی را در فضاهای متریک معرفی می کنیم. ‎‏به علاوه‏، وجود و تقریب جواب چنین نابرابری ها را برای نگاشت های اکیداً انقباضی نما در فضاهای ‎‏‎‎‎‎cat(0)‎ ‎‎ مورد مطالعه قرار می دهیم.

ابتدا چند خاصیت یکنوایی را برای توابع محدب عملگری به دست می آوریم. با استفاده از این نتایج‏، نامساوی هرمیت‏-آدامارد عملگری را تظریف نموده و سپس ‏یک توسیع عملگری برای نامساوی های آلزر و بنِت روی فضاهای هیلبرت ارایه می دهیم. ‏در ادامه‏، به مطالعه جامع توابع m‎‎‏-محدب عملگری می پردازیم.‎ ‏فرض کنیم m∈[0,1] و j=[0,b] که در آنb∈r‎‎ ‎ یا j=[0,∞]. تابع پیوسته φ:j→r را m‎‎‏-محدب عملگری نامیم اگر به ازای عملگرهای خود الحاق a,b∈b(h) با طیف مشمول در j و هر t∈[0,1] داشته باشیم φ(ta+m(1-t)b)≤tφ(a)+m(1-t)φ(b) در روند مطالعه توابع m‎‎‏-محدب‏‏،‎‎ ابتدا نامساوی مشهور ینسن را برای توابع m‎‎‏-محدب پیوسته‏ ‏برای عملگرها‏ی روی فضای هیلبرت تعمیم داده و سپس با استفاده از تابع وزن مناسب‏، تظریف های وزن داری از آن را به دست می آوریم. همچنین با معرفی مفهوم m‎‎‏-تحدب ‎عملگری‏، نامساوی چوی-دیویس-ینسن را برای توابع m‎‎‏-محدب ‎عملگری‎ توسیع می دهیم. ‏به علاوه‏، صورتی عملگری از نامساوی ینسن-مرسر را برای توابع m‎‎‏-محدب ارایه داده و این نامساوی را برای توابع m‎‎‏-محدب عملگری‏، میدان عملگرهای پیوسته و نگاشت های خطی مثبت یکانی تعمیم می دهیم. در پایان با استفاده از نامساوی عملگری ینسن-مرسر برای توابع m‎‎‏-محدب عملگری‏، تابعک عملگری m‎‎‏-‎‎‏ینسن را تعریف کرده و برای آن کران بالای سراسری به دست می آوریم.

دراین پایان نامه قضایای پایداری هایرز-اولام-راسیاس معادلات تابعی را ثابت می کنیم.

چکیده ندارد.

هدف اصلی این پایان نامه بررسی انواعی از توابع محدب نظیر توابع محدب تقریبی، محدب میانی، محدب میانی تقریبی، شبه محدب، شبه محدب میانی، m-محدب و (alpha,m)-محدب است. در این راستا با ارائه ی تعاریف و قضایا سعی می نماییم علاوه بر بیان مفاهیم، به ذکر خواص اصلی این گونه توابع مانند پیوستگی و کران داری آن ها بپردازیم و نامساوی های تحدب گونه ای را که هر کدام از این توابع به وسیله ی آن ها تعریف می شوند، معرفی نماییم. همچنین مقایسه ای از حیث قضایایی که برای هر نوع از توابع محدب برقرارند، به عمل خواهیم آورد. در انتها نامساوی های انتگرالی نوع هرمیت- هادامارد جدیدی را برای توابع (alpha,m)-محدب به دست می آوریم. لازم به توضیح است که این نامساوی ها از تعمیم نامساوی های ذکر شده در بخش هفتم فصل اول به دست می آیند.