در این پایان نامه یک رده جدید از روش ها برای حل عددی دستگاه های معادلات دیفرانسیل سخت ارائه می کنیم، که در آن ضرب های ماتریس-بردار بین توابع نمایی ماتریسی و بردارها با استفاده از روش های زیرفضای کریلف تقریب می شوند. امکان انتخاب طول گام بزرگ تر از مقدار مشخص شده بوسیله شرط پایداری برای روش های صریح و سرعت همگرایی بیشتر تصویرهای زیرفضای کریلف از مزیت های روش های انتشار نمایی است. این روش برای محاسبه جواب دستگاه های سخت بزرگ در یک بازه زمانی طولانی، روشی کارا است. کارایی روش جدید را با مثال های عددی و مقایسه جواب به دست آمده با روش های صریح و ضمنی استاندارد بررسی می کنیم.

در این پایان نامه یک رده جدید از روش ها برای حل عددی دستگاه های معادلات دیفرانسیل سخت ارائه می کنیم، که در آن ضرب های ماتریس-بردار بین توابع نمایی ماتریسی و بردارها با استفاده از روش های زیرفضای کریلف تقریب می شوند. امکان انتخاب طول گام بزرگ تر از مقدار مشخص شده بوسیله شرط پایداری برای روش های صریح و سرعت همگرایی بیشتر تصویرهای زیرفضای کریلف از مزیت های روش های انتشار نمایی است. این روش برای محاسبه جواب دستگاه های سخت بزرگ در یک بازه زمانی طولانی، روشی کارا است. کارایی روش جدید را با مثال های عددی و مقایسه جواب به دست آمده با روش های صریح و ضمنی استاندارد بررسی می کنیم.

در این پایاننامه روش تجزیه آدومیان، روش تکرار تغییراتی و روش اختلال هموتوپی را برای یافتن جواب تقریبی معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل جزئی و مسائل مقدار مرزی مرتبه شش بکار می بریم. از آنجاکه حل دسته وسیعی از مساءل ذکر شده در حالت کلی مشکا است و عموما جواب تحلیلی برای آنها موجود نمیباشد لذا در صدد یافتن روشهای تقریبی تحلیلی برای اینگونه معادلات هستیم که استفاده از روشهای مذکور یک جواب تقریبی تحلیلی را ارائه میدهد. مسائل مقدار مرزی مرتبه شش را با هر سه روش حل کرده و نتایج حاصل را با هم مقایسه میکنیم.

در این پایان نامه روش های تکرار تغییراتی، اختلال هموتوپی و آنالیز هموتوپی برای حل معادله کاواهارا اصلاح شده به کار برده می شوند. هر سه روش دقت قابل ملاحظه ای را برای تقریب جواب های دقیق فراهم می کنند. نتایج عددی نشان می دهد که این روش ها شیوه کارایی را برای حل معادله کاواهارا اصلاح شده فراهم می کنند.

در این پایان نامه به مطاله روش رانگ-کوتای مرتبه چهار از نوع تفاضلات پسرو نیوتن بر اساس تقریب های چبیشف برای حل مسایل مقدار اولیه سخت می پردازیم.همچنین نشان می دهیم که روش را می توان به شکل روش رانگ-کوتای مرتبه چهار فرمول بندی کرد.مزیت روش بی کران بودن ناحیه پایداری است.

در این پایان نامه، برازش نمایی روشهای نوع bdf و bdf-runge-kutta را برای حل دستگاههای سخت مطالعه می کنیم. روشهای متعارف چند گامی خطی مانند bdf و تک گامی مانند رانگ-کوتا چنان ساخته می شوند که برای معادلات دیفرانسیل با جوابهای چند جمله ای، دقیق عمل کنند. روشهای پیشنهاد شده در این پایان نامه، می توانند برای معادلات دیفرانسیلی که جواب آنها ترکیب خطی از یک تابع نمایی با پارامتر a و چند جمله ای است، دقیق عمل کند. در ادامه خصوصیات سازگاری، پایداری و همگرایی روشهای جدید را مطالعه می کنیم و نشان می دهیم که این دسته روشها برای حل مسائل سخت مناسب هستند.

در این پایان ?? وریتم شبه فوق رهایی متوال ?? است، طبق ال (ssor) متقارن ?? روشتکراری فوق رهایی متوال بریم. تحت شرایط مناسب بر ???? کار م ?? افزوده تنک به ?? برای حل دستگاه معادلات خط (sor) رایی ?? کنیم و پارامتر تکرار بهینه و عامل هم ???? م ?? رایی روش را بررس ?? روی پارامتر تکرار، هم کنیم. ???? م ?? بهینه را

در این پایان نامه که بر مبنای روش آنالیز هموتوپی پایه گذاری شده است یک الگوریتم قوی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخطی مرتبه کسری بسط داده می شود الگوریتم پیشنهاد شده روش ساختن مجموعه توابع پایه را معرفی می کند و معادله تغییر شکل مرتبه بالا را در یک فرم ساده می هد.متفاوت از همه روشهای تحلیلی دیگر این الگوریتم یک روش ساده فراهم می سازد تا ناحیه همگرایی سری جواب را با معرفی یک پارامتر کمکی h تنظیم و کنترل کنیم.

با بررسی برخی خواص مفید توابع هیبرید ماتریس های عملیاتی انتگرال و حاصل ضرب برای این توابع ساخته می شود و با استفاده از آنها معادلات انتگرال ولترا و فردهلم خطی را حل می کنیم. حل معادلات ذکر شده با استفاده از توابع هیبرید منجر به یک سیستم خطی می شود. بعلاوه تخمین خطای جواب تقریبی نیز برای روش ها بررسی می شود و اعمال این روش ها برای محاسبه جواب های عددی چنین توابعی نتایجی قابل قبول ارائه می دهد.

بهبود همگرایی روش تفکیک چندگانه ssor برای یک h-ماتریس

مسائل کمترین مربعات‏، مسائل محاسباتی با اهمیت بالایی هستند که در سال‎‎ های اخیر مورد توجه زیادی قرار گرفته اند. این گونه مسائل‏، در بخش های تحقیقی و عملی همانند آمار‏، اقتصاد‏، ژنتیک‏، معادلات دیفرانسیل‏، مطالعات زلزله شناسی‏، ساختمان های مولکولی‏، توموگرافی و پردازش تصویر مورد استفاده قرار می گیرند. بررسی های زیادی راجع به روش هایی که مسائل کمترین مربعات را حل می کنند‏، صورت گرفته اند. این پایان نامه‏، مسائل کمترین مربعات با رتبه ی ناقص را مورد بررسی قرار می دهد که قبلا توسط روش هایی از قبیل تجزیه ی ‎‎‎‎qr‎‎ و روش تجزیه ی مقدار تکین (svd‎) مورد‎ بررسی قرار گرفته اند. سپس با استفاده از روش ‎‎s‎‎‎‎sor‎‎ بلوکی در صدد حل مسائل مزبور برمی آید. بنابراین در این پایان نامه‏، روش های بلوکی ‎‎‎‎sor‎ متقارن را برای حل مسائل کمترین مربعات با رتبه ی ناقص ارائه می دهیم. ابتدا‏، روش های ‎sor‎‎ دو بلوکی ‎‎متقارن و ‎‎‎‎sor‎ سه بلوکی متقارن را بیان می کنیم. سپس همگرایی این روش ها را مورد بررسی قرار می دهیم و پارامتر بهینه را در هر روش تعیین می کنیم. و در نهایت‏، با استفاده ‎‎از مثال های عددی‏، روش های ‎‎‎‎sor‎‎ دو بلوکی متقارن و ‎‎‎‎sor‎‎ سه بلوکی متقارن را مقایسه می کنیم.

در این رساله، جواب های عددی و تقریبی کلاس هایی از معادلات انتگرال و انتگرال دیفرانسیل غیر خطی را مورد مطالعه قرار خواهیم داد. با بیان قضایای وجود و منحصربفردی، روشهای پیشرفته عددی مانند هم محلی، تبدیل دیفرانسیل و خطی سازی را بری حل معادلات انتگرال ولترا-فردهلم غیر خطی، معادلات انتگرال منفرد و معادلات انتگرال دیفرانسیل دو بعدی غیر خطی با اعمال برخی شرایط قابل اثبات روی هسته معادلات و توابع غیر خطی مسئله به همراه آنالیز خطا و همگرایی این روش ها، مورد تحلیل قرار می دهیم. نهایتا" کارایی این روش ها را با ارائه مثال های عددی نشان خواهیم داد.

در این پایانامه روش های فوق تخفیف موجی شکل غیر ایستا برای معادلات آبل معرفی می شوند و تحلیل همگرایی این روش ها مورد بررسی قرار می گیرند. سپس روش های فوق تخفیف موجی شکل موازی کامل به طور ویژه ای مورد بررسی قرار می گیرند و روش های ریچاردسون غیر ایستا برای بهینه کردن نسبت همگرایی ساخته شده و تخمین خطای آن بدست می آید. سپس با فرمول بندی جدید‏، روش فوق تخفیف موجی شکل غیر ایستا برای دستگاه معادلات با هسته های ثابت خطی بدست می آیند. برای رسیدن به این هدف تبدیل لاپلاس معادله را در نظر گرفته و از رابطه بازگشتی چندجمله ای چبیشف برای تسریع همگرایی استفاده می کنیم که در هر تکرار به ارزیابی انتگرال های پیچشی نیاز دارد و تنها تبدیل لاپلاس هسته معلوم می باشد. برای چنین محاسباتی می توان از الگوریتم پیچشی سریع استفاده کرد.

روش ژاکوبی-دیویدسن برای محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس های با بعد بزرگ و تنک استفاده می شود. در این روش ما یک معادله خاص بنام معادله تصحیح داریم که با روش های تکراری تصویری مثل ‎gmres‎ ‎ می توانیم آن را حل کنیم. در این پایان نامه، ما مسائل ویژه را به سه دسته ی خطی، تعمیم یافته و مسائل غیرخطی تقسیم بندی می کنیم درنتیجه برای هر یک از آن ها معادله تصحیح مخصوصی خواهیم داشت. با حل تقریبی معادله های تصحیح مسائل ویژه، می توانیم فضای جستجو را با جواب این معادلات تعمیم دهیم که این جواب، جهت تصحیح متعامد نامیده می شود و در آخر به مقدار ویژه مطلوب و بردار ویژه متناظرش در فضای مذکور دست می یابیم. بایستی توجه کنیم که روش ژاکوبی-دیویدسن بر دو اساس متعامدسازی (توسعه فضای جستجو با جهت تصحیح متعامد) و تبدیل ماتریس مسئله به یک ماتریس تنک استوار است.

هدف اصلی از این پایان نامه، فراهم آوردن یک روش عددی موثر برای معادلات دیفرانسیل کسری بر پایه روش طیفی تاو است. تعمیمی از روش تاو محاسباتی با پایه چند جمله ای های متعامد برای تبدیل معادلات دیفرانسیل کسری به شکل معادلات ماتریسی آن ها پیشنهاد شده است. مشتقات کسری به مفهوم مشتق کاپوتو در نظر گرفته شده است. سرعت طیفی همگرایی برای روش پیشنهادی در ‎$‎l^2‎$‎-‎نرم برقرار‎ شده است. روش را بر روی چندین مثال آزمایش و مشاهده کردیم که نتایج عددی حاصل‏، پیش بینی نظری در مورد سرعت همگرایی نمایی را تأیید می کند.

دستگاه های خطی با ماتریس ضرایب ‎$m$-‎ماتریس با بعد بزرگ در زمینه های مختلف علوم مانند فیزیک، مسائل عمران شبیه مقاومت مصالح، برق، زیست شناسی و... ظاهر می شوند. در این پایان نامه، حل دستگاه خطی ‎$ax=b$‎ با استفاده از روش تکراری دو پارامتری پیش حالت ساز شده با ماتریس پیش حالت ساز ‎$p=i+l+u$‎ که در آن ‎$a$‎ یک ‎$m$-‎ماتریس یا ‎$l$-‎ماتریس است، ارائه می شود. سپس با ارائه قضایای مقایسه ای نشان داده می شود که ماتریس پیش حالت ساز جدید، سرعت همگرایی روش ‎$aor$‎ را افزایش می دهد. سپس برای نشان دادن کارایی روش، نتایج حاصله را با نتایج حاصل از روش های پیش حالت ساز شده ی مطرح شده ی پیشین، مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه، ابتدا مفاهیم اولیه سیستم های دینامیکی در دو حالت پیوسته و گسسته را معرفی می کنیم. سپس کاربرد سیستم های گسسته را جهت بررسی رشد تک گونه ایها بیان می کنیم. بدین منظور مدل های رشد نمایی، رشد لجستیک و مدل ماتریسی لسلی را برای تک گونه ایها توضیح داده و رفتار دینامیکی سیستم را در دراز مدت توضیح می دهیم. همچنین تأثیر سیاست حذف و نگهداری را برای کنترل جمعیت های تک گونه ای بررسی می کنیم. سپس کاربرد سیستم های دینامیکی پیوسته را جهت بررسی رفتار کیفی جمعیت های دو گونه ای بیان می کنیم. ابتدا با ساده ترین مدل شکار-شکارچی شروع کرده و سپس تعمیم هایی را با ترکیب مدل های دیگر، ارائه می کنیم. در نهایت تعمیمی بر مدل لسلی-گاور را برای مسأله شکار-شکارچی شامل یک حفاظت شکاری، بیان کرده و برای تعیین رفتار کیفی مدل، نقاط بحرانی و پایداری آنها را مشخص می کنیم. سپس فضای تورینگ در دامنه فضایی را معرفی کرده و دینامیک فضایی مدل مذکور را بررسی می کنیم. در پایان یک سری از شبیه سازی های عددی را به همراه بررسی رفتار کیفی الگوی تورینگ در آنها نمایش می دهیم.

با استفاده روش تکراری ?-بلوکی sor را برای حل دستگاه ax = b که در آن a یک ماتریس مختلط m*n با شرط m بزرگتر مساوی n و رتبه ماتریس a کمتر مساوی n می باشد a را تجزیه وروش تکراری aor به کار می بریم.و بعد شبه همگرایی روشهای aor , jor را مورد بررسی قرار می دهیم. و در نهایت شرایط لازم و کافی را برای شبه همگرایی توسعه می دهیم.وپارامتر بهینه و فاکتور پیوسته همگرایی روش را به دست مل آوریم.

موجک های چندگانه متعامد و دومتعامدی هموار، روی خط حقیقی به همراه بردارهای تابع مقیاسشان که دارای محمل [0,1]می باشند در ساختن پایه های موجک روی بازه[0,1]به کار برده می شوند.در این پایان نامه یک موجک چندگانه متعامد ‎‎‎‎‎c‎‎^‎2‎‎‎‎ متقارن با‎‎‎ چندگانگی ‎‎‎‎4‎‎‎‎ معرفی می گردد‏، به طوری که بردار تابع مقیاس متعامد آن دارای محمل ‎‎‎‎[0,1]‎‎‎‎ و دقت از مرتبه4 ‎‎‎ بوده و متعلق به فضای سوبولوف ‎‎‎‎w‎^{2/56288}‎‎‎‎ می باشد. هم چنین موجک های چندگانه دو متعامدی با چندگانگی ‎‎‎‎4‎‎‎‎ و ممان های صفر از مرتبه ‎‎‎‎4‎‎‎‎ طراحی شده است که بردار تابع مقیاس اولیه دارای محمل ‎‎‎‎[-1,1]‎‎‎‎ و خواص درونیاب هرمیتی بوده و متعلق به فضای سوبولوف ‎‎‎‎w‎^{3/63298}‎‎‎‎ می باشد و بردار تابع مقیاس دوگان دارای محمل ‎‎‎‎[-1,1]‎‎‎‎ و متعلق به‎‎‎‎‎‎‎ ‎‎‎‎w‎^{1/78533}‎‎‎ ‎است. در ادامه یک بردار تابع مقیاس دوگان پیوسته‏، برای بردار تابع مقیاس اولیه که دارای خواص درونیاب هرمیتی کاردینالی با چندگانگی ‎‎‎‎4 و محمل ‎‎‎‎[-1,1]‎‎‎‎ هستند‏، معرفی می گردد. در نهایت‏، براساس موجک های چندگانه متعامد و دومتعامد ساخته شده در روی خط حقیقی‎‎‏،‎‎ هر دو پایه ی موجک های‎ چند گانه متعامد و دومتعامد روی بازه ‎‎‎‎[0,1]‎‎‎ ارائه می شوند. چنین پایه های موجک چندگانه روی بازه ‎‎‎‎[0,1]‎‎‎‎ تقارن‏، محمل کوچک‏، ممان های صفر بالا‏، همواری خوب و ساختار ساده دارند.

روش های نوع ،‎bdf‎ مسائل مقدار اولیه سخت، ‎$-a(alpha)$‎پایداری، تقریبا ‎$-l$‎پایداری، روش خطوط } ‎egin{abstract}‎ ‎aselineskip = 7.7mm‎ در این پایان نامه، یک روش جدید نوع ‎bdf‎ بر اساس تقریب های چبیشف برای حل عددی دستگاه معادلات دیفرانسیل سخت به دست آمده از اعمال روش خطوط بر روی معادلات دیفرانسیل جزئی وابسته به زمان پیشنهاد شده است. این روش تقریباً ‎$-l$‎پایدار بوده واز مرتبه سه می باشد. مزیت روش، بی کرانی ناحیه پایداری بوده که برای مقادیر بزرگ ‎$alpha$‎، ‎$-a(alpha)$‎پایدار است. کارایی روش با اعمال آن روی چند دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی سخت نشان داده می شود.

در این پایاننامه روشهای gaor پیش شرط شده را برای حل مسائل کمترین مربعات خطی وزن دار ارائه می دهیم . دو نوع پیش شرط کردن که هر یک شامل سه پیش شرط هستند معرفی میکنیم. شعاع طیفی ماتریس های تکرار پیش شرط شده و روش اصلی را مقایسه میکنیم. مقایسه نتایج نشان میدهد که نرخ همگرایی روش های پیش شرط شده gaor بهتر از روش اصلی است در نهایت با ارائه یک مثال عددی نتایج به دست آمده تائید می شود.

در این پایان نامه روش های اختلال هموتوپی و آنالیز هموتوپی برای حل معادلات دیفرانسیل تکاملی و معادلات emden-fowler به کار برده می شوند. هر دو روش دقت قابل ملاحظه ای را برای معادلات فراهم می آورند.

در این پایان نامه ابتدا مفاهیم مقدماتی پیش نیاز برای موضوع مورد بحث ارائه می شود که عبارتند از معادلات انتگرال خطی فردهلم، معادلات انتگرال خطی ولترا، معادلات انتگرال-دیفرانسیل، موجک هار و روش برویدن. در فصل دوم به حل عددی معادلات انتگرال فردهلم غیر خطی نوع دوم با استفاده از موجک هار می پردازیم.به این صورت که ابتدا تقریب توابع ‎$ f(x) $‎, ‎$ k(x,t) $‎ و ‎$ u(x) $‎ با استفاده از موجک هار محاسبه می شود و سپس در معادله انتگرال جاگذاری می شوند که با حل آن به یک سیستم غیر خطی از معادلات جبری می رسیم.که برای حل این سیستم معادلات نیاز به محاسبه ‎$widetilde{u}$‎ است که در بخش ‎5.2‎ به آن پرداخته ایم.سپس به بحث مورد نظر یعنی روش عددی برای حل معادله انتگرال-دیفرانسیل با استفاده از موجک هار می پردازیم.حل مساله بدین گونه است که توابع ‎$ u $‎ و ‎$ k(x,t,u,u) $‎ با استفاده از موجک هار تقریب زده می شوند و از تابع زیر انتگرال, انتگرالگیری دقیق انجام می شود و با استفاده از نقاط درونیابی به یک دستگاه معادلات غیرخطی می رسیم. برای حل این دستگاه از هر دو روش نیوتن و برویدن استفاده می کنیم که روش برویدن موثرتر است. از این دستگاه مقادیر ‎$ u $‎ در نقاط هم محلی بدست می آید و با استفاده از آن مقادیر ‎$ u $‎ را در نقاط هم محلی بدست می آوریم. مثال های عددی برای نشان دادن عملکرد موثر روش آورده شده اند.

هدف اصلی از این پایان نامه، آن است که کارایی فیلتر کالمن خطی را به عنوان روشی برای برآورد فرآیند سینماتیکی مشاهده شده با تاکئومتر الکترونیکی ارزیابی کند. فرض اساسی این است که داده های سینماتیکی فقط با یک سیستم اندازه گیری، مشاهده شده اند و هیچ اندازه گیری تکرار نگردیده است. برای ارزیابی وضعیت مجهول سیستم و خصوصیات آماری آن به صورت آنی، روش هایی همچون فیلترها به جای تعدیل کلاسیک مورد استفاده قرار می گیرند. در این پایان نامه، کارایی مدل فیلتر کالمن خطی سه بعدی در ترکیب با قانون انتقال واریانس کوواریانس و آزمون های آماری بررسی می شود و علی رغم این که مشاهدات تکراری وجود ندارند، انتظار می رود که نتایج عددی آزمون ها، سازگاری مدل با اندازه گیری های ژئودتیکی برآورد شده را تایید کنند. فیلتر کالمن، وضعیت مجهول سیستم را از اندازه گیری های نویزی با استفاده از کمترین مربعات برآورد می کند، سپس مساله ی فیلترینگ بهینه را برای سیستم بررسی می نماید.

دستگاه های سیلوستر جفتی تعمیم یافته نقشی اساسی در زمینه های مختلفی از جمله نظریه ی پایداری، نظریه ی کنترل، آنالیز اختلال و برخی زمینه های دیگر ریاضیات محض و کاربردی دارند‎.‎ روش تکراری یک راه مهم برای حل دستگاه های سیلوستر جفتی تعمیم یافته است. در این پایان نامه، روش تکراری متناهی برای حل معادلات ماتریسی سیلوستر جفتی تعمیم یافته و یک طرفه و مسئله ی تقریب بهین متناظر از روی جوابهای انعکاسی تعمیم یافته پیشنهاد می شود. در انتهای این پایان نامه، نتایج عددی برای نشان دادن اعتبار و کارآیی روش، ارائه می شوند.

در این پایان نامه یک روش تکراری برای پیدا کردن جواب های دومتقارن معادله ی ماتریسی ‎‎ ‎$ a_1x_1b_1+a_2x_2b_2+dots+a_lx_lb_l=c $‎ که ‎$ [x_1,x_2,dots,x_l] $‎ دسته ماتریس های حقیقی می باشد، ساخته شده است. به وسیله ی این روش تکراری، حل پذیری معادلات ماتریسی تشخیص داده می شود. زمانی که معادله ی ماتریسی سازگار است، برای هر دسته ماتریس دومتقارن اولیه ی ‎$ [x_1^{(0)},x_2^{(0)},dots,x_l^{(0)}] $‎، یک دسته جواب دومتقارن در غیاب خطای گرد کردن و با تکرار متناهی می توان به دست آورد. هم چنین کمترین نرم دسته جواب دومتقارن را به وسیله ی انتخاب یک نوع خاصی از دسته ماتریس اولیه می توان به دست آورد. در مجموع، با یافتن جواب دومتقارن کمترین نرم معادله ی ماتریسی ‎$ a_1 ilde{x_1}b_1‎+ ‎a_2 ilde{x_2}b_2+cdots‎ + ‎a_l ilde{x_l}b_l= ilde{c} $‎ که‎ $ ilde{c}=c-a_1ar{x_1}b_1‎- ‎a_2ar{x_2}b_2-cdots‎- ‎a_lar{x_l}b_l$‎، می توان دسته جواب دومتقارن تقریبی بهینه را با معلوم بودن ‎$ [ar{x_1},ar{x_2},cdots,ar{x_l}] $‎ در نرم فروبینوس به دست آورد. در انتهای این پایان نامه نتایج عددی برای نشان دادن کارایی روش ذکر شده، ارائه می شود.

در این پایان نامه دو روش تکراری برای به دست آوردن جواب های متقارن و پادمتقارن معادله ی ماتریسی خطی ‎$ axb+cyd=e $‎ ارائه می شود. به وسیله ی این دو روش تکراری، حل پذیری جواب های متقارن و پادمتقارن برای معادله ی ماتریسی خطی ‎$ axb+cyd=e $‎ به طور خودکار می تواند تعیین شود. زمانی که این معادله ی ماتریسی خطی جواب های متقارن ‎(پادمتقارن)‎ دارد، آن گاه برای هر جفت ماتریس متقارن ‎(پادمتقارن)‎ اولیه ی ‎$ x_0 $‎ و ‎$ y_0 $‎، جواب های متقارن ‎(پادمتقارن)‎ می توانند با گام های تکراری متناهی در غیاب خطای گردکردن، به دست آیند. همچنین جواب های با کمترین نرم را می توان به وسیله ی انتخاب نوع خاصی از ماتریس های اولیه به دست آورد. جواب تقریبی بهین یکتای ‎$ widehat{x} $‎ و ‎$ widehat{y} $‎را نیز می توان با داشتن ماتریس های ‎$ ar{x} $‎ و ‎$ ar{y} $‎ به وسیله ی یافتن جواب با کمترین نرم فروبنیوس معادله ی ماتریسی خطی جدید ‎$ awidetilde{x}b+cwidetilde{y}d=widetilde{e} $‎ که‎ $ widetilde{e}=e-aar{x}b-car{y}d $‎ را پیدا کرد. با مثال های عددی، کارآیی روش های تکراری نشان داده شده است.

روش های عددی متعارف برای حل مسأله ی مقدار اولیه عموماً به دو کلاس اصلی متعلق هستند: روش های چندگامی ‎(چندمقداری)‎ و روش های رانگ-کوتا (چندمرحله ای). روش های خطی عمومی ،‎(glms)‎ توسط بوچر به عنوان قالب واحد برای روش های متعارف معرفی شد. زیرکلاسی از ،‎glms‎ معروف به روش های انتگرال گیری چندمرحله ای ضمنی قطری ‎(dimsims)‎ توسط بوچر معرفی شد و سپس ژاسکویچ و رایت به مطالعه ی بیشتر این روش ها پرداختند. در این پایان نامه مباحث مربوط به پیاده سازی ‎dimsims‎ برای دستگاه های معادلات دیفرانسیل سخت مطالعه می شوند. این مباحث شامل ساخت روش ها، تخمین خطای گسسته سازی موضعی، تکنیک انتخاب و تغییر طول گام هستند.

انتگرال مقدار اصلی کوشی در روش های المان مرزی در حل انواع معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال منفرد ظاهر می شوند. برای محاسبه انتگرال مقدار اصلی کوشی روش های متعددی مورد بررسی قرار گرفته است. در این پایان نامه روش های نیوتن کاتس را برای محاسبه مقدار اصلی انتگرال کوشی در نظر می گیریم و فوق همگرایی نقطه وار ان را بررسی می کنیم، به این معنی که نشان می دهیم سرعت همگرایی روش های نیوتن کاتس وقتی که نقاط منفرد انتگرال بر نقاط گرهی منطبق هستند بیشتر از حالت معمولی است.

با استفاده از روش های تکراری پادمتقارن و معادلات ماتریسی متشابه جواب تقریبی بهینه را برای معادله ی ماتریسی axb=c را از روی ماتریس های معین a و b و c، پیدا می کنیم، به طوری که هدف تعیین ماتریس x می باشد.

به منظور دریافت یک نمایش تصویر کارآمد یک تبدیل موجک هار بهبود یافته معرفی ‎‎می شود،که به تبدیل تترولت معروف است. تترولت ها نوعی موجک هار هستند که توسط تترومینوهایی که به شکل چهار مربع هم اندازه متصل به هم هستند حمایت می شوند.

ساخت دسته جدیدی از روش های دو گامی محلی m-مرحله ای بررسی می شودکه بطور یکنواخت از مرتبه p=q هستند در این روش با کم کردن برخی شرایط درونیابی روش های a-پایدار و l-پایدار جستجو می شود. این روش ها برای دستگاه معادلات دیفرانسیل سخت مناسب می باشند که مثالهایی از این دسته روش ها با p=2,m=1و p=3,m=2بررسی می شوند.

در این پایان نامه ابتدا روش های لانکسوز و روش های تکراری را مطرح می کنیم و سپس روش های گرادیان مزدوج و مانده مزدوج را با جهتهای جستجو مطرح کرده و تعمیم می دهیم روش های bi-conjugat gradiant و bi-conjugat residual را مطرح کرده و نتایج عددی حاصل را بیان کرده و نتیجه میگیریم که bi-conjugat residual بهتر از bi-conjugat gradiant می باشند.

چکیده ندارد.

-