بررسی توپولو‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ژی رویه های هم انرژی سیستم های هامیلتونی یکی از مباحث جالب و بروز سیستم های دینامیکی می باشد که مفاهیم فیزیکی و توپولوژیکی را‍‍ به یکدیگر مربوط می سازد . در این پایان نامه حرکت دورانی جسم صلب در فضای سه بعدی r^3 را تحت یک ایزومورفیسم مناسب به سیستم دینامیکی تعریف شده روی جبرهای لی (e(3 و (so(4 انتقال داده و پس از رسم دیاگرام انشعاب توپولو‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ژی رویه های هم انرژی نواحی مختلف آنرا بررسی می نماییم . این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل بصورت زیر است : فصل اول آن مفاهیم مقدماتی چون کلاف های فیبره ای و برداری ، لم مورس و نتایج آن ،گراف های ریب ، فضاهای سیمپلکتیک ، کروشه پواسون و برگ سازی و انتگرال پذیری لیوویلی را در بر دارد . در فصل دوم حرکت دورانی جسم صلب در فضای سه بعدی و قضیه s.smale را بیان می کنیم . فصل سوم به بررسی توپولو‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ژی رویه های هم انرژی هامیلتونین های مختلف روی جبر لی (e(3 می پردازد . در فصل چهارم نیز توپولو‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ژی رویه هارا در جبر لی (so(4 مطالعه می نماییم .

در این پایان نامه، با استفاده از ساختار مدل های آسرمن مختلط, خمینه های آسرمن مختلط مطالعه می شوند؛ شرایط لازم و کافی برای اینکه یک مدل، آسرمن مختلط باشد، به دست آمده و نشان داده می شود که تحت این شرایط، مدل لزوماً اینشتینی است. همچنین با رده بندی ساختارهای کلیفوردی و مطالعه ی ساختار مقادیر ویژه روی مدل هایی با تانسور خمیدگی جبری مجهز به یک ساختار کلیفوردی، بررسی می شود که تحت چه شرایطی مدل، آسرمن مختلط است.

چکیده: در این پایانامه برای هر یک از حالتهای آفین, ریمانی, تقریبا هرمیتی,تقریبا پاراهرمیتی,تقریباکواترنیونی, تقریباپاراکواترنیونی, هرمیتی و پاراهرمیتی یک مدل جبری محض معرفی می کنیم. نشان می دهیم که هر یک از مدل های جبری یک مدل خمیدگی برای خمینه های فوق می باشند. همچنین مسائلی را در حالت ایوانف – پتروا برحسب تحقق خمیدگی بیان می کنیم. در فصل اول تعاریف مقدماتی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرد آورده شده است. درفصل دوم خمینه آفین را در نظر می گیریم و یک مدل جبری برای آن معرفی می کنیم سپس تحقق هندسی را برای حالت های مختلف خمینه آفین بررسی می کنیم. همچنین خمینه شبه ریمانی و مدل جبری مربوطه و تحقق هندسی خمینه شبه ریمانی را در نظر می گیریم. در فصل سوم مدل جبری هرمیتی (پاراهرمیتی) را در نظر می گیریم. حال یک خمینه تقریبا هرمیتی (تقریبا پاراهرمیتی) برای مدل جبری فوق معرفی می کنیم. فرض می کنیم (m,g)خمینه ریمانی (شبه ریمانی ) و j یک ساختار تقریبا هرمیتی (تقریبا پاراهرمیتی) روی (m,g) باشد. در این صورت خمینه (m,g,j) یک خمینه تقریبا هرمیتی(تقریبا پاراهرمیتی) می باشد. نشان می دهیم که مدل جبری یک مدل خمیدگی برای یک خمینه تقریباهرمیتی (تقریبا پاراهرمیتی) می باشد, به عبارتی فضای مماس tpm همان مدل جبری می باشد. سپس با اعمال شرط اضافی انتگرال پذیری از نظر هندسی روی خمینه وتبدیل آن به یک خمینه هرمیتی (پاراهرمیتی)یک شرط اضافی از نظر جبری روی تانسور خمیدگی اعمال می شود و آن اتحاد گری (پارا گری) می باشد. نشان می دهیم مدل جبری یک مدل خمیدگی برای یک خمینه هرمیتی (پاراهرمیتی) است اگر وتنها اگر تانسور خمیدگی در اتحاد گری(پاراگری) صدق کند. همچنین تحقق هندسی مدل خمیدکی تقریبا کواترنیونی (تقریباپاراکواترنیونی) را مطالعه می کنیم بدون اینکه شرط اضافی انتگرال پذیری را اعمال کنیم. در فصل چهار ابتدا مدل جبری ایوانف – پتروا را معرفی می کنیم سپس خمینه ایوانف – پتروا را با اعمال یک شرط روی خمینه ریمانی می سازیم و شرط عبارتست از اینکه مقادیر ویژه عملگر پادمتقارن r(?) روی گراسمان 2- صفحه جهتدار شده ?(?=span{x,y}) ثابت می باشد. همچنین مثالهایی از خمینه ایوانف – پتروا و مدل جبری مربوط به آن مطرح کرده و به تحقق هندسی خمینه ایوانف – پتروا می پردازیم.

فرض کنیم m یک ابررویه ی ایزوپارامتریک در فضای تصویری مختلط باشد و k تصویر وارون m تحت نگاشت هاف باشد. با استفاده از رابطه ی بین مقادیر ویژه ی عملگر m و k اثبات می کنیم که m همگن است اگر و تنها اگر g و l ثابت باشند که g تعداد خمیدگی های اصلی متمایز m و l تعداد فضاهای ویژه ی غیر افقی از عملگر شکل روی k باشند.

انتگرال پذیری به مفهوم لیویل و قضیه لیویل در مطالعات ما نقش اساسی بازی میکنند. در این رساله به تعریف سیستم انتگرال پذیر هامیلتونی میپردازیم و با معرفی مغادلات حرکت جسم صلب روی جبر لی (3)e بعنوان یک سیستمهامیلتونی حالت انتگرال پذیر آن معادله را بیان میکنیم وسپس دیاگرام انشعاب برای نگاشت ممانی رسم کردهونیز انشعاب چنبره های لیویل را در تصویر وارون نقاط بحرانی دیاگرام انشعاب mبررسی میکنیم و در نهایت حالت انتگرال پذیر sokolov روی جبر لی (4)so مطالعه کرده و دیاگرام انشعاب نگاشت میسازیم.

برای بسیاری از سیستم های هامیلتونیدر قالب نظریه رده بندی فومنکو نقاط تکین مشخصشده اند، اما سیستم هایی نیز وجود دارند که نقاط تکین آنها ناشناخته است. در ابتدا هدف ما تعیین تمام نقاط تکین برای یک سیستم مشخصاست.در ادامه تلاش خواهیم نمود تمام حقایق موجود را از دیدگاه ناورداهای فومنکو بررسی کنیم. و در این میان روی همسایگی های چهار بعدی نقاط تکینی اشان متناظرشان متمرکز خواهیم شد.

اخیراً هندسه دانان عصر حاضر زیرخمینه های کشی-ریمان حاصلضرب دو پیچشی در خمینه های موضعاً همدیس کاهلری را مطرح کرده اند و برخی نامساوی درباره اندازه فرم اساسی دوم و خمیدگی متوسط را بدست آورده اند. در این پایان نامه نامساوی دیگری از اندازه فرم اساسی دوم زیرخمینه های کشی-ریمان حاصلضرب دو پیچشی در خمینه موضعاً همدیس کاهلری را بدست می آوریم. پس از آن حالت تساوی از این نامساوی را بررسی می کنیم. در فصل اول تعاریف و مفاهیم مقدماتی که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند آورده شده است. در فصل دوم خمینه موضعاً همدیس کاهلری را معرفی کرده و یک التصاق خطی تاب آزاد (التصاق وایل) روی آن تعریف می کنیم. همچنین زیرخمینه های کشی-ریمان در خمینه های موضعاً همدیس کاهلری را مطالعه می کنیم و شرایط انتگرال پذیری توزیع پایای ‎ d ‎ و توزیع ناپایا را بررسی کرده و در واقع نشان می دهیم که توزیع ناپایا انتگرال پذیر است و انتگرال پذیری توزیع پایای d ‎تحت یک شرط اضافی برقرار است. در فصل سوم زیرخمینه های کشی-ریمان ‎ ‎m‎ در یک خمینه موضعاً همدیس کاهلری مطالعه می شود به طوریکه ‎ ‎m‎ ‎ یک زیرخمینه کشی-ریمان به صورت حاصلضرب دو پیچشی یک زیرخمینه هولومرفیک و یک زیرخمینه تماماً حقیقی واقع در خمینه موضعاً همدیس کاهلری می باشند. در فصل چهارم ابتدا یک نامساوی کلی از اندازه ‎فرم اساسی دوم زیرخمینه کشی-ریمان حاصلضرب دو پیچشی در خمینه موضعاً همدیس کاهلری را بدست می آوریم و سپس نشان می دهیم اگر حالت تساوی در نامساوی بدست آمده برقرار شود در این صورت زیرخمینه هولومرفیک ‎ و زیرخمینه تماماً حقیقی ‎ هر دو زیرخمینه های تماماً نافی در خمینه موضعاً همدیس کاهلری خواهند بود. در انتها با ارائه یک مثال شرایط نامساوی را در آن بررسی می کنیم

در این پایان نامه خمینه های کنموتسوی ?-ریچی متقارن را مطالعه می کنیم. هر خمینه کنموتسوی ?-متقارن، ?-ریچی متقارن است. نشان می دهیم یک خمینه کنموتسو ?-ریچی متقارن است اگر وتنها اگر انیشتینی باشد. در نهایت نشان می دهیم cr-ابر رویه های ?-متقارن فضا فرم کنموتسو دارای عملگر شکل d-موازی هستند. همچنین نشان می دهیم عملگر شکل cr-ابر رویه های فضا فرم کنموتسو با شرط c ? -1 d-موازی نیستند. بنابراین cr-ابر رویه های ?-متقارن فضا فرم کنموتسو با شرط c ? -1 وجود ندارند.

یک سیستم همیلتونی روی یک خمینه ی پواسون m در صورتی انتگرال پذیر نامیده می شود که شامل تعداد کافی انتگرال اول f_1...f_s باشد که این انتگرال ها دو به دو جا به جا می شوند و تقریبا همه جا روی m مستقل تابعی باشند. در این پایان نامه ساختار مجموعه ی تکین k که در آن دیفرانسیل های f_1...f_s وابسته ی خطی می شوند را مطالعه می کنیم و نشان می دهیم در سیستم های دو هامیلتونی،این ساخنار با با ویژگی های دسته براکت های پواسون سازگار متناظر ارتباط تنگاتنگی دارد. هدف اصلی ما شرح این ارتباط است بدی منظور که نشان دهیم رویکرد دوهامیلتونی در مطالعه ی تکینگی های سیستم های انتگرال پذیر بسیار موثر است، به ویژه در حالت هایی با درجه ی آزادی بالا که استفاده از دیگر روش ها، منجر به مشکلات محاسباتی می شود. از آنجا که ساختار دو-هامیلتونی، یک تعبیر جبری طبیعی دارد، فناوری به کار رفته در این پایان نامه به ما اجازه می دهد که مسائل توپولوژیکی و تحلیلی مربوط به پویایی های سیستم را به زبان جبری محض فرمول بندی کنیم، که منجر به پاسخ های ساده می شود.

آ.ت. فومنکو به هر سیستم هامیلتونی انتگرالپذیر،یک گراف خاص w رابه عنوان ناوردای توپولوژیکی سیستم نسبت دادکه مولکول نامیده می شود.که به واسطه این ناوردا،می توان بطور کامل ساختار برگ بندی رویه های هم انرژی در چنبره های لیوویلی ناوردا و درنتیجه رده بندی هم ارزی لیوویلی را توصیف کرد. آ.ت. فومنکو و اچ .زیشانگ مولکول مارک دار *w ‎ را به عنوان ناوردای نهایی معرفی کردند.‎‎این ناوردای *w ‎بطور طبیعی می تواند به عنوان تصویری از سیستم هامیلتونی انتگرال پذیر درنظر گرفته شود ،که حاوی اطلاعات مفید و کاربردی روی آن است. در اینجا ما روشهای توپولوژیکی کلی رابرای تحلیل سیستم های دینامیکی خاص (بدون نیاز به هندسه جبری) ،که ابزاری قدرتمندبرای مطالعه خواص کیفی سیستمهای انتگرالی جبری مثل برگ بندی لیوویلی،انشعاب چنبره و... می باشد را مورد بررسی قرار می دهیم.

خم های بیضوی و رتبه آن ها نقش مهمی در سیستم های رمزنگاری ایفا می کنند. تعیین رتبه جزء مسائل پیچیده بوده و تاکنون هیچ الگوریتم کلی برای حل آن ارائه نشده است. در این رساله ابتدا الگوریتم ساده ای برای محاسبه رتبه یک خم بیضوی ارائه می کنیم. سپس به توسعه الگوریتم برای محاسبه رتبه خم هایی به فرم y^2=x^3-bxمی پردازیم. تمام این دسته از خم ها دارای گروه تاب z/2z و پایای مدولار j=1728 می باشند. روش ارائه شده را برای جستجوی خم های رتبه بالا از این خانواده از خم ها بکار می بریم و 4 خم از رتبه 13 و 22 خم با رتبه 12 پیدا می کنیم.

در این پایان نامه به نظریه هندسه دیفرانسیل در مورد زیر خمینه های فضا فرم های مختلط بحث شده است که زیر فضای مماس هولمورفیک از ثعد ماکزیمال می باشد. در این نوع خمینه ها یک ساختار تقریبا کنتاکت از فضای زمینه القا می شود با استفاده از شرط معین روی ساختار تقریبا کنتاکت آن را تبدیل به ساختار کنتاکت می کنیم و همچنین شرط معین روی فرم اساسی دوم به یک کلاس بندی جدید از این نوع زیر خمینه ها می رسیم.در این پایان نامه یک دسته بندی تازه از لیست تاکاکی اراءه شده.

چکیده: در این پایان نامه هدف مطالعه خمینه های کنموتسو با شرایط زیرمی باشد: r.r=lr q (g, r) , r.r=l q(s, r) , r.w=lw q (g, w) نشان می دهیم که هر خمینه نیم متقارن ، نیم متقارن ریچی ؛ هر خمینه شبه متقارن ، شبه متقارن ریچی ؛ هر خمینه نیم متقارن ریچی ، شبه متقارن ریچی؛همچنین هر خمینه نیم متقارن وایل ، شبه متقارن وایل است . ولی عکس این احکام درست نیستند . همچنین نتایج جالبی به صورت زیر به دست می آوریم : (i) هر خمینه کنموتسو mn و3n ?، یک خمینه شبه متقارن به صورت: r.r= - q (g, r) است. (ii) هر خمینه کنموتسو mnو3n ?، یک خمینه شبه متقارن ریچی به صورت: (r.s= - q (g, s است. (iii) هر خمینه کنموتسو mnو4n ?، یک خمینه شبه متقارن وایل به صورت: r.w= - q (g, w) است.

فرض می کنیم m یک ابررویه حقیقی با ساختار تقریبا کنتاکت روی فضا فرم مختلط که باشد . در این پایان نامه ثابت می کنیم اگر رابطه روی mبرقرار باشد . آنگاه mیک ابررویه هاف در است . که و دررابطه فوق بیانگر عملگر ژاکوبی و مشتق لی نسبت به میدان برداری ساختاری است . همچنین در این پایان نامه ابررویه های هاف روی را طبقه بندی می کنیم

در این پایان نامه خمینه های کنموتسوی ?-برگشتی را مطالعه می کنیم. ثابت می کنیم هر خمینه کنموتسوی ?-برگشتی، ‎-?انیشتنی است همچنین خمینه های کنموتسوی ‎3-بعدی موضعاً ‎?-برگشتی را بررسی کرده و مثالی از یک خمینه کنموتسوی 3-‎بعدی موضعاً ?-برگشتی را ارائه می دهیم.در نهایت نشان می دهیم که فضا-زمان کنموتسوی موضعاً ‎برگشتی، فضا-زمان رابرتسون-والکر می باشد

این نتایج در دستگاه گریاچو وگریاچو چاپلین تاپ،برای آن چه ما به عنوان روش صریح برای به دست آوردن مختصات مجزا و روابط مجزا ارائه می کنیم، کاربرد دارد.

در این پایان نامه به مطالعه ابر رویه های فضا فرم های ساساکی پرداخته و این ابر رویه ها را در شرایطی چون خمیدگی ثابت هولومرفیک ضعیف، عملگر شکلی برگشتی، ‎d‎-برگشتی، موضعا متقارن بودن و همچنین با عملگر ژاکوبی تعویض پذیر روی میدان برداری مشخصه را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. بعلاوه ابررویه هایی با شرط خمیدگی هولومرفیک ضعیف ثابت را در فضای مختلط تصویری بررسی می کنیم. همچنین ابررویه های فضای کنموتسو را در حالت کلی مورد بررسی قرار می دهیم. در آخر زیر خمینه هایی با ضربهای پیچشی در ‎3-‎ساختارهای ساساکی را مطالعه می کنیم.

در این پایان نامه خمینه های تقریبا کنموتسو،صادق در دو نوع خاص از شرایط پوچی را مورد بررسی قرار میدهیم که وابسته به دو تابع هموار ? و µ هستند.برای حالتی که 1-=? این شرایط همان شرایط ? پوچی خواهند بود که نشان میدهیم با تعریف ?-انیشتین معادل است. بنابراین فرض میکنیم 1- > ?. علاوه براین ، با ساختن مدل های موضعی به یک توصیف کامل از ساختار این نوع خمینه ها میپردازیم که خمینه های موردنظر بطور موضعی ایزومورف با مدل های مربوطه هستند.همچنین مثال هایی از خمینه های تقریبا کنموتسوی صادق در شرایط پوچی تعمیم یافته با توابع هموار ناثابت ارائه شده است.

در این پایان نامه به مطالعه ی فضافرم های ساساکی1 تعمیم یافته موضعا φ-متقارن وفضافرمهای با تانسور ریچی -φبرگشتی و -φموازی می پردازیم.همچنین فضا فرم های شبه ساساکی2 سه بعدی و فضافرم های ساساکی3 تعمیم یافته -φبرگشتی نیز بررسی شده اند.

فانکتورهای کوهمولوژی موضعی و حد معکوس و کامپلیشن و مدول ها و حلقه های کوهن-مکالی یادآوری شده m-رشته های غیر شرطی در بعد بزرگتر از sو متناهی بودن ایده آل های اول وابسته برخی مدول های کوهمولوژی موضعی بررسی می شوند. سپس مدول های کوهن-مکالی در بعد بزرگتر از sبررسی شده و برخی نتایج از محمل ها و متناهی بودن ایده آل های اول وابسته مدول های کوهمولوژی موضعی را ارائه می دهیم برخی از قضیه های هلاس 2001 و زمانی 2003 و نهان و مورالز 2006 را توسیع می دهیم. بویژه نتایجی را برای مدول های کوهن-مکالی در بعد بزرگتر از s بدست می آوریم که مشابه نتایج بیان شده برای مدول های کوهن-مکالی هستند.

در فضاهای مختلط تصویری مختلط و هذلولوی مختلط نشان خواهیم داد که زیر منیفلد های اریب زیادی و سپس معادلات دیفرانسیلی مربوط به این زیر منیفلدها را بدست آورده و با حل آنها و بدست آوردن جواب خصوصی این زیر منیفلد ها را شناسایی خواهیم کرد. نشان می دهیم که در هر فضا فرم مختلط سطوح اریب حقیقی مینیمال نیستند.

در این پایان نامه یک مدول پیش دوری برای جبرهای هاپف ضربگری منظم معرفی می شود. با استفاده از این ساختارها کوهمولوژی پیش دوری و کوهمولوژِ هوخشیلد برای جبرهای هاپف ضربگری منظم تعریف می شوند. همچنین یک مفهوم از خاصیت برای سیستم های دینامیک معرفی می شود. یک گروه وار نسبت به هر منیفلد هموار ساخته می شود و در مورد منیفلد های با بعد یک نشان داده می شود که این گروه وار یک گروه وار لی است.

یکی از اساسی ترین سوالات در رابطه با خم های بیضوی، چگونگی ساختار گروهی آن روی میدان ‎$q$‎ است. بنا به قضیه مردل-ویل ‎، گروه نقاط یک خم بیضوی روی یک میدان اعداد‎ ‎ ، متناهی-مولد‎ ‎ است. میزور،‎ ‎$15$‎ گروه متناهی ارائه کرد و نشان داد بازای هر خم بیضوی دلخواه روی ‎$q$‎، زیر گروه تاب‎ فقط با یکی از این ‎$15$‎ حالت یکریخت است. در حالی که محاسبه زیر گروه تاب هر خم بیضوی کار چندان دشواری نیست، به دست آوردن مولدهای مستقل قسمت آزاد‎ آن که تعداد آن ها رتبه ‎ نامیده می شود بسیار چالش برانگیز است. به طور کلی هیچ راه حل کلی که بتوان رتبه همه خم ها را به کمک آن محاسبه کرد وجود ندارد. باور کلی بر این است: بازای هر عدد طبیعی ‎$m$‎، می توان یک خم بیضوی پیدا کرد که رتبه آن برابر ‎$m$‎ باشد. متاسفانه دلایل کافی برای اثبات این حدس وجود ندارد‎. ‎ این رساله شامل چهار فصل می باشد. فصل اول را به مفاهیم و مقدمات اولیه از خم های بیضوی اختصاص داده ایم. ‎‎ ‎‏در فصل دوم خانواده ای از خم های بیضوی برآمده از چهارضلعی های براگما گوپتا را ساخته و به بررسی چگونگی افزایش رتبه این خم ها پرداخته ایم. ‎یک‎‎ چهارضلعی براگما گوپتا ‎‎ یک چهار ضلعی محاطی می باشد که همه ضلع ها، قطرها و مساحتش مقادیری صحیح می باشند. در این فصل ما مفهوم براگما را که توسط ساستری ‎‎‎ با استفاده از خم های بیضوی معرفی شده است توصیف می کنیم. از چهار ضلعی براگما گوپتا استفاده می کرده و خانواده ای نامتناهی از خم های بیضوی با گروه تاب ‎‎ $mathbb z/2mathbb z imes mathbb z/2mathbb ‎z$‎‎ می سازیم به طوری که دارای رتبه های بالای حداقل 4و5و6 باشد. سپس با تخصیص سازی مثال هایی از این خم های بیضوی با رتبه 9 را مثال می زنیم.‎در فصل سوم به روش حل معادلات دیوفانتی ‎‎‎$ ‎ ‎x_1^‎i‎+x_2^i+x_3^i+x_4^i=2y_1^i+2y_2^i ‎ $‎‎‎ ‎‏برای وقتی که ‎$ ‎i=3,6‎ $‎می پردازیم. در این فصل با استفاده از نظریه خم های بیضوی روشی برای حل این دسته از معادلات دیوفانتی ارائه می دهیم.‎ در فصل چهارم ابتدا رابطه‎ میان چهارضلعی های محاطی و خم بیضوی را بیان می کنیم و در ادامه، سپس به بررسی خواص جبری خم بیضوی تولید شده به این چهارضلعی ها می پردازیم و در نهایت دو حالت خاص از این خم ها یعنی خم های عدد همنهشت و خم های بیضوی با گروه تاب ‎$ z/2z $‎ را در نظرگرفته و نتایحی را درمورد آنها بیان می کنیم.

در این پایان نامه ابر رویه حقیقی هاف خمینه گراسمن مختلط (g2(cm+2 مطالعه می شوند. نشان می دهیم ابر رویه های حقیقی هاف (g2(cm+2 با شرط عملگر ژاکوپی ساختاری جابه جایی یعنی r?i = ?ir به ازای i=1,2,3 وجود ندارند.

دراین پایان نامه به ارائه ی مسأله ای از سیستم های انتگرال پذیر طبیعی روی منیفلدهای ریمانی q مطابق طرح نظری هندسه دو-هامیلتونی می پردازیم. مفهومی از دو بردارهای پواسون طبیعی روی منیفلدهای ریمانی بطورمختصرمرور می شود. طبقه بندی سیستم های دوانتگرال پذیرروی فضاهای اقلیدسی ازبعد پایین بحث می شود. دو بردارهای طبیعی پواسون را روی کرهsn معرفی می کنیم و بالاخره تعمیم های ممکن از دو-بردارهای پواسون طبیعی بررسی می گردد.

در این پایان نامه مفهومی از ابررویه های برگشتنی در گرسمن های دوبعدی مختلط داده می شود و عدم وجود ابررویه ی هاف در گرسمن های دوبعدی مختلط با عملگرشکل برگشتنی نشان داده می شود.

در نظری? دستگاههای هامیلتونی انتگرال پذیر مطالعه های زیادی چه از نظر هندسی و چه از نظر مکانیکی انجام یافته است و ریاضیدانان بسیاری از دیدگاه های مختلف به این نظر پرداخته اند‎.‎ در این رساله، برخی دستگاههای انتگرال پذیر را از نظر توپولوژیکی مورد بررسی قرار می دهیم و برخی نتیجه های جدید در دستگاههای انتگرال پذیر را تشریح می کنیم. در دستگاه هامیلتونی انتگرال پذیر در حالت ساکالف بر جبر لی ‎$so(4)$‎ هم? ناورداهای فومنکو-زیشانگ و ماتریسهای چسب مولکولهای رویه های هم انرژی بدست می آیند. در دستگاه هامیلتونی انتگرال پذیر در حالت باریسف-مامایف-ساکالف بر جبر لی ‎$so(4)$‎ توپولوژی هم? رویه های هم انرژی دیاگرام انشعاب بدست می آید. همچنین توپولوژی برگ بندی لیوویل برای حالت انتگرال پذیر باریسف-مامایف-ساکالف بر جبر لی ‎$so(4)$‎ مورد مطالعه قرار می گیرد‎.