در این پایان نامه با فرض اینکه (x,d) یک فضای متری فشرده باشد، ابتدا به معرفی و بیان برخی از ویژگی های جبرهای لیپشیتس و جبرهای کوچک لیپشیتس می پردازیم. سپس ایده آل های ماکسیمال این جبرها را بررسی می کنیم.همچنین برخی از ویژگی های درونریختی های جبرهای لیپشیتس را مورد مطالعه قرار می دهیم.در ادامه زیر فضاهای چگال فضاهای کوچک لیپشیتس بر یک فضای متری غیر بحرانی را تعیین خواهیم کرد. در آخر به بیان درونریختی های ریس و شبه فشرده جبرهای باناخ پرداخته و ویژگی های درونریختی های ریس و شبه فشرده جبرهای لیپشیتس را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه با فرض این که (x,d) یک فضای متریک فشرده باشد ابتدا به معرفی و بیان برخی از ویژگی های جبرهای لیپشیتس می پردازیم. سپس با این فرض که x یک مجموعه ی صفحه ای فشرده باشد زیرجبرهای مشخصی از جبرهای لیپشیتس را معرفی می کنیم. در ادامه همریختی های فشرده یکانی بین زیرجبرهای یکنواخت طبیعی جبرهای تحلیلی توسیع یافته و همچنین همریختی های فشرده یکانی بین زیرجبرهای تایعی باناخ طبیعی جبرهای لیپشیتس تحلیلی توسیع یافته را مورد بررسی قرار می دهیم.سپس همریختی های فشرده و شبه فشرده بین جبرهای لیپشیتس توابع متناهی بار مشتق پذیر را مطالعه می کنیم و در آخر به بررسی درونریختی های شبه فشرده و فشرده توانی جبرهای لیپشیتس توابع تحلیلی می پردازیم.

در این پایان نامه وجود نقطه ثابت برخی توابع را روی یک فضای متریک کامل مورد بررسی قرار می دهیم و با در نظر گرفتن برخی قضایای نقطه ثابت برای توابع تک مقداری آن ها را برای توابع مجموعه ای مقدار توسعه می دهیم.

در این پایان نامه یک شرط لازم و کافی برای فشردگی ترکیبی بر فضاهای لیپشیتس توابع تخلیلی و فضاهای لیپشیتس توابع متناهی بار مشتق پذیر مطرح می کنیم

در این پایان نامه ابتدا به معرفی جبرهای لیپشیتس می پردازیم و برخی از خواص آن ها را بیان می کنیم. در ادامه نگاشت های ضربی - محیطی بین جبرهای لیپشیتس را مورد بررسی قرار می دهیم و ثابت می کنیم هر نگاشت ضربی - محیطی بین جبرهای لیپشیتس یک عملگر ترکیبی موزون است. در پایان نگاشت های پوشای ضعیفاً ضربی محیطی بین جبرهای لیپشیتس برجسته را مورد مطالعه قرار می دهیم و نشان می دهیم هر نگاشت پوشای ضعیفاً ضربی محیطی بین جبرهای لیپشیتس برجسته یک عملگر ترکیبی موزون است.

یکی از مسائل مهم در نظریهً نقطهً ثابت تعیین فضاهای باناخی است که خاصیت نقطهً ثابت دارندیا ندارند.گوییم یک فضای باناخxخاصیت نقطهً ثابت دارد به ازای هر مجموعهً ناتهی محدب بستهً کراندار eدرxهرنگاشت غیر انبساطی tازeبهeنقاط ثابت ناتهی باشند. در این پایانامه بررسی می کنیم که یک جبر باناخ تعویض پذیر یکانی تحت شرایطی خاصیت نقطهً ثابت ندارد. به عنوان نتایجی از این بررسی ما در مورد جبر توابع پیوسته حقیقی -مقدار (مختلط -مقدار)احکامی بدست می آوریم کهxفضای توپولوژیکی فشرده ی هاسدورف است وخاصیت نقطه ثابت ندارد.

دراین پایان نامه ابتداتبدیل گلفاندفشرده جبرهای باناخ تعویضپذیررامعرفی وبرخی ازخواص آن رابیان میکنیم.سپس یک شرط کافی برای فشردگی تبدیل گلفاند جبرهای تابعی باناخ بدست می آوریم.همچنین یک شرط لازم وکافی برای فشردگی تبدیل گلفاند یک جبر تابعی باناخ طبیعی ارائه میدهیم.درادامه،نشان میدهیم که ضرب تانسوری تصویری دوجبر باناخ باتبدیل گلفاندفشرده،یک جبرباناخ باتبدیل گلفاندفشرده است.بعلاوه،اگرضرب تانسوری تصویری دوجبر باناخ یک جبرباناخ باتبدیل گلفاندفشرده باشدآنگاه هریک ازآنهاباتبدیل گلفاندفشرده است.سپس نشان می دهیم که هر جبر تابعی باناخ با تبدیل گلفاند فشرده را می توان در یک جبر لیپشیتس بر یک فضای متریک نشاند.درانتها،ابتداتبدیل گلفاندضعیفا?فشرده جبرهای باناخ تعویضپذیررامعرفی وبرخی ازخواص آن رابیان میکنیم.سپس نشان میدهیم که یک جبر باناخ تعویضپذیر میانگین پذیر با تبدیل گلفاند ضعیفا?فشرده است اگروفقط اگر ایده آل ماکسیمال آن جبر متناهی باشد.

فرض کنیم ‎x‎ ‎ و ‎ ‎k‎ ‎ مجموعه های صفحه ای فشرده باشند به طوری که‎. k ? x بستار یکنواخت توابع چند جمله ای بر ‎ ‎k‎ را با ‎ ‎p(k)‎ ‏، بستار ‎‎‎یکنواخت توابع گویا بر ‎ k ‎ که قطب هایش خارج از ‎k‎ است را با ‎ ‎r(k)‎ و جبر متشکل از توابع پیوسته بر ‎ ‎k‎ ‎ که بر ‎ ‎int(k)‎ تحلیلی هستند را با ‎ ‎a(k)‎ ‎ نشان می دهیم. ‎ p(x , k) ‎‏، ‎‎ ‎r‎(x , ‎k)‎‎‎‎‎و ( ‎a‎(x , ‎k ‎ را مجموعه های از توابع در ‎ ‎c(x)‎ ‎ تعریف می کنیم که تحدید آنها بر ‎k‎‏، به ترتیب، به ‎p(k)‎‎‎ ‎ ‏، ‎ ‎r‎(k)‎‎‎ ‎ و ‎ ‎a‎(k)‎‎‎ ‎ تعلق دارد‏. ‎‎فرض کنیم a‎ یک جبر تابعی باناخ بر ‎x ‎ باشد. مجموعه نقاط قله ای aنسبت به ‎x را با ‎ ‎s‎?‎(a , x)‎ ‎ نشان می دهیم. ‎‎فرض کنیم ‎ s ‎ و ‎ ‎t‎ زیر مجموعه‎های فشرده از ‎ ‎x‎ ‎ باشند.‎ ‎‎ نشان می دهیم احکام زیر معادلند: (الف) r(x , s) = r(x , t)، (ب) s ‎ t‎ ‎‎? ‎s‎?(r(x ,‎ ‎s) ,‎ ‎x)‎ و t ‎ s ‎‎? ‎s‎?(r(x ,‎ ‎t) ,‎ ‎x) ، (ج) ‎‎برای هر مجموعه ی فشرد‎ه‎ی k ‎? s‎ ‎‎?‎t، ‎r(k) =‎ ‎c(k)‎، (د) ‎‎برای هر مجموعه‎ی باز u در ?، ‎ r(x ,‎ s‎ ? ‎‎u ? ) = r(x , ‎t‎‎ ‎‎? u ?‎‎ ‎‎) (ه) برای هر p ? x، قرص بازی مانند d_p به مرکز p وجود دارد به طوری که ‎r( x ,‎ s‎ ‎‎? (d_p ) ? ) = r( x , ‎t‎‎ ‎‎? (d_p ) ? ‎)‎ ‎ ‎. در انتها‏، توسیع قضیه ی ویتوشکین را با نشان دادن اینکه احکام زیر معادل هستند‏، اثبات می کنیم. (الف) a‎(x , s) = r(x , t)، (ب) برای هر قرص بسته d ? در ?، a( x ,‎ s‎ ‎‎? d ? ) = r( x , ‎t‎‎ ‎‎? d ? ‎)‎ (ج) ) برای هر p ? x، قرص بازی مانند d_p به مرکز p وجود دارد به طوری که ‎a( x ,‎ s‎ ‎‎? (d_p ) ? ) = r( x , ‎t‎‎ ‎‎? (d_p ) ? ‎)‎ ‎ ‎.

در این پایان نامه با فرض اینکه(x, d) یک فضای متریک کامل و مرتب باشد، به معرفی نگاشتهای چند مقداری و ویژگی های آن ها پرداخته ایم. سپس با بیان و اثبات یک قضیه اساسی به بررسی قضایای نقطه ثابت برای نگاشتهای چند مقداری می پردازیم. در ادامه قضیه نقطه ثابت ترکیبی برای نگاشتهای چند مقداری روی فضاهای متریک مرتب را بیان و اثبات می کنیم و با استفاده از این قضایا یک معادله دیفرانسیل هذلولی را بررسی می کنیم. در انتها قضایای اساسی برای نقاط ثابت و پایداری معادلات دیفرانسیل را بیان می کنیم و یک قضیه اصلی را اثبات کرده و به عنوان یک کاربرد، معادلات دیفرانسیل خطی خنثی را مورد بررسی قرار می دهیم.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه با فرض این که ‎(x,d)‎یک فضای متریک نافشرده است، ابتدا به معرفی جبرهای لیپشیتس ‎lip(x,d^{alpha})‎، جبرهای کوچک لیپشیتس ‎lip(x,d^{alpha})‎ و جبرهای برجست? لیپشیتس ‎lip_{0}(x,d^{alpha})‎ برای ‎0<alpha leq 1 می پردازیم و برخی از خواص اساسی آن ها را بیان می کنیم. سپس برخی از قضایای مربوط به فضای متریک r-همبند را بیان می کنیم. در ادامه برخی از ویژگی های فضاهای توابع لیپشیتس بر فضای متریک r-همبند را مورد بررسی قرار می دهیم. در آخر نشان می دهیم علمگر ترکیبی c_{phi}‎ بر فضاهای باناخ توابع لیپشیتس ‎lip_{0}(x,d)‎ و ‎lip(x,d) و ‎lip(x,d) فشرده است اگرو تنها اگر ‎phi یک نگاشت ابرانقباضی بوده و ‎phi(x) یک مجموع? کلاً کراندار در فضای متریک ‎$(x,d)$‎ باشد. سپس طیف این عملگرها را تعیین می کنیم.

در این پایان نامه، به اثبات قضیه های پایداری اولام- هایرز تعمیم یافته با استفاده از روش مستقیم وروش نقطه ثابت می پردازیم. 2f(x + y/2)+ f(x -y/2)+ f(y - x/2()= f(x) + f(y) همچنین به مطالعه پایداری اولام - هایرز تعمیم یافته همریختی های تصادفی در جبر های نرم دار تصادفی می پردازیم.

در این پایان نامه، به اثبات قضیه های پایداری اولام- هایرز تعمیم یافته با استفاده از روش مستقیم وروش نقطه ثابت می پردازیم. 2f(x + y/2 )+ f(x - y/2 )+ f(y - x/2 )= f(x) + f(y): همچنین به مطالعه پایداری اولام - هایرز تعمیم یافته همریختی های تصادفی در جبر های نرم دارتصادفی می پردازیم

در این پایان نامه نوع جدیدی از طیف را که طیف شرطی نامیده می شود& معرفی می کنیم. انتظار می رود که این طیف در حل معادلات عملگری مفید باشد. این طیف در واقع حالت خاصی از طیف تعمیم یافته معرفی شده توسط رانسفورد می باشد.

فرض کنیم x و y فضاهای فشرده هاسدورف بوده و a و b به ترتیب جبرهای یکنواخت بر x و y باشند.هم چنین فرض کنیم از a به b یک عملگر پوشا باشد نشان می دهیم اگر در شرط ضربی-محیطی ;b((f)(g)) = ;a(fg); صدق کند که در آن؛ ;a(f) = f 2 a(f) : jj = maxfjwj : w 2 a(f)gg; آن گاه یک یکریختی جبری طولپای از a بروی b است. یکی از نتایج این حکم این است که هر یک یکریختی جبری ?? عملگر یکانی، پوشا و ضربی که بردهای محیطی اعضای جبر را حفظ می طولپای است. به علاوه، ما ساختار کلی عملگرهای ضربی - محیطی و پوشا بین جبرهای یکنواخت را توصیف می کنیم که لزوماً یکانی نیستند. ??

ض کنیم (d ,x) یک فضای متریک فشرده و ( ? . ? , e ) یک فضای باناخ باشد. در این پایان نامه ابتدا به معرفی فضاهای توابع لیپشیتس بردار - مقدار (e ,(d? ,x))lip برای [1 ,0) ? ? و (e ,(d? ,x))lip برای (1 ,0) ? ? میپردازیم. سپس با تعریف یک نرم مناسب بر این فضاها، نشان میدهیم که این فضاها، فضاهای باناخ هستند. در ادامه شرایط لازم وکافی برای کرانداری و فشردگی عملگرهای ترکیبی موزون بین فضاهای توابع لیپشیتس بردار- مقدار را ارائه میدهیم. همچنین نشان میدهیم که هر عملگر خطی جداساز کراندار بین فضاهای توابع لیپشیتس بردار- مقدار، یک عملگر ترکیبی موزون است

فرض کنیم فضاهای فشرده ی هاوسدرف باشند، aیک زیر فضای خطی-مختلط نیم x و y فضاهای فشرده ی هاوسدرف باشند، aیک زیر فضای خطی-مختلطc (x ) باشد که به نرم یکنواخت مجهز شده است و t: a c (y) یک نگاشت خطی –حقیقی طولپای باشد. هدف ما در این پایان نامه مشخص کردن ساختار t تحت شرایط خاصی بر aو t(a) است. بالاخص، در حالتی که a یک فضای تابعی یکنواخت بر x است و t(a) یک زیر فضای خطی-حقیقی c(y) است که در خاصیت تفکیک پذیری خاصی صدق کند. همچنین ساختار نگاشت های خطی-حقیقی طولپای بین فضاهای توابع لیپشیتس بر فضاهای متریک فشرده را تعیین می کنیم که به نرم کامل خاصی مجهز شده اند.

فرض کنیم ‎ x ‎ و ‎ ‎y‎ ‎ فضاهای فشرده ی هاوسدورف باشند‏، ‎ ‎a‎ ‎ و ‎ ‎b‎ ‎ به ترتیب جبرهای یکنواخت بر ‎ ‎x‎ ‎ و ‎ ‎y‎ ‎ باشند‏‎a‎_{1}‎‎ ‎ یک زیر مجموعه ی ‎a‎ ‎ باشد و ‎ ‎ ho :‎ ‎a‎_{1} ‎ ightarrow ‎a‎ ‎‏،‎‏‎ ‎‎‎‎‎‏‎‎‎‎‎‎ au :‎ ‎a‎_{1}‎‎ ‎ ightarrow ‎a‎‎ ‎‎‎‏‏، ‎‎‎‎ s‎ :‎ ‎‎a‎_{1}‎‎ ‎ ightarrow ‎b‎‎ ‎ ‎ ‏و ‎ t‎ :‎ ‎‎a‎_{1} ‎ ightarrow b‎‎ ‎ ‎ نگاشت های باشند به طوری که‎$ ho(a‎_{1}‎)‎ ‎ ‎‎ و ‎ au ‎(a‎_{1}‎) ‎‎‎‎‎ ‎‎ زیر نیمگروه های ضربی حاوی ‎ ‎exp ‎a‎ ‎ و ‎s‎ ‎(a‎_{1}‎)‎ ‎‎ و ‎ ‎t‎ ‎(a‎_{1}‎)‎‎‎ ‎ زیر نیمگروه های ضربی حاوی ‎‎‎‎‎‎ ‎exp ‎b‎ ‎‎‎‎ هستند. ‎ ‎همچنین فرض کنیم ‎ e‎_{1} ‎in ‎a‎_{1}‎‎ ‎ ‏ به طوری که ‎ ‎ ho ‎(e‎_{1}‎) =‎ ‎1‎ ‎ ‏، ‎ s(e‎_{1}‎)‎^{‎-1‎}‎ ‎in ‎s(a‎_{1}‎)‎^{s}‎_{‎t‎}‎‎‎‎‎ ‎ و ‎ ‎alpha‎ ‎ یک عدد مختلط ثابت ناصفر باشد‏، به علاوه فرض کنیم به ازای هر ‎ ‎f,g ‎in ‎a‎ ‎؛ ‎ ‎vert ‎s(f) ‎t(g) -‎ ‎‎alpha ‎1‎_{y}‎‎ ‎vert‎_{‎y‎} =‎ ‎‎vert‎‎ ‎ ho(f)‎ ‎ au(g) -‎ ‎‎alpha ‎1‎_{x}‎‎ ‎vert‎_{‎x‎}‎.‎ ‎‎ ‎‎در این صورت یک یکریختی جبری-حقیقی مانند ‎ ‎ ilde{s} :‎ a‎ ‎‎ ightarrow ‎b‎ ‎ و یک همسانریختی‎‎linebreak‎‎‎‎ ‎ ‎ ‎‎phi‎ :‎ ‎m‎_{‎b‎}‎‎ ‎ ightarrow ‎m‎_{‎a‎}‎‎ ‎ وجود دارند به طوری که به ازای هر ‎ f‎ ‎in ‎a‎ $‎ و هر ‎ ‎eta ‎in ‎m‎_{b}‎‎ ‎ ‏؛ ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ ‎ ‎‎‎widehat{‎‎ ilde{s}‎(f)‎‎‎}‎(eta) =‎‎‎ ‎leftlbrace ‎egin{array}{cc} ‎(‎widehat{‎f}‎ophi)(‎eta)‎‎‎‎ & ‎‎‎‎‎ ‎‎eta ‎in‎ ‎egin{large} ‎kappa,‎ ‎end{‎large}‎‎ ‎‎‎‎‎‎ ‎overline{‎(‎widehat{‎f}‎ophi)(‎eta)‎‎‎}‎ & ‎‎qquad ‎‎;‎‎‎ ‎‎eta ‎in m‎_{b} ‎‎‎ackslash ‎ ‎egin{large}‎‎‎ ‎‎kappa‎.‎ end{‎large}‎ ‎‎‎‎‎ ‎end{‎array}‎‎ ‎ ‎ که‎ lbrace‎‎ ‎eta ‎in ‎m‎_{‎b} :‎ ‎widehat{‎s(i‎_{x}‎)‎}‎(eta) =‎ i‎ ‎ brace‎,‎ ‎ ‎‎egin{‎large‎} ‎‎kappa ‎end{‎large‎‎}‎ همچنین ‎به‎ ازای هر ‎ f in a‎_{1}‎ $‎‏؛ ‎‎‎‎ ‎ ilde{s}‎(‎ ho(f)) =‎ (‎ s‎ ‎(e‎_{1}‎))‎^{-1}‎s(f) ‎. ‎‎

فرض کنیم x و y فضاهای موضعاً فشرده ی هاوسدورف باشند، a و b به ترتیب جبرهای تابعی یکنواخت بسته بر x و y باشند و t : a ?b یک نگاشت خطی - حقیقی طولپای از a بروی b باشد. در این صورت یک نگاشت پیوسته مانند k :ch(b , y) ? ? با شرط , k(ch(b , y)) ? { z ? ?: ? z ?=1}, یک زیرمجموعه ی بسته و باز ch(b , y) مانند k (که ممکن است تهی باشد.) و یک همسانریختی مانند ? : ch(b , y) ? ch(a , x) وجود دارند به طوری که به ازای هر f ? a و هر y ? k داریم (tf)(y)=fo?(y) و به ازای هر f ? a و برای هر y ? ch(b,y) k داریم (tf)(y)=k(y) overline{fo?(y))}.

فرض کنیم x یک فضای فشرده ی هاوسدورف و a یک جبر یکنواخت طبیعی بر x باشد. فرض کنی?_a (f)م طیف f?a باشد. یکی از اهداف ما تعمیم قضیه ی مولنار به صورت زیر است: فرض کنیم ?:a?a نگاشتی پویا باشد که در شرط زیر صدق کند: ?(fg)=?(?(f)?(g) ) (?f,g?a) در این صورت یک همسانریختی a:x?x وجود دارد به طوری که ?(f)(?(x) )=(?(1_x ) )(x)f(x) (? f?a,? x?x) هدف دیگر ما تعمیم قضیهی مولنار و تعمیم قضیه ی رائو و روی است که به ترتیب در سال های 2002 و 2005 بدست آمده اند. این تعمیم به صورت زیر است: فرض کنیم a یک جبر یکنواخت بر فضای فشرده ی هاوسدورف x و t یک نگاشت پوشا از a به جبر یکنواخت b بر فضای فشرده ی هاوسدورف y باشد. هم چنین فرض کنیم (fg)(x)=(t(f)t(g) )(y) (?f,g?a). در این صورتt یک یکریختی طولپای از a بر روی b است.

در این پایان نامه با فرض این که (x,d) یک فضای متری فشرده باشد، ابتدا به معرفی و بیان برخی از ویژگی های جبرهای لیپشیتس lip?(x,d) برای 1 < ? ?0 و جبرهای کوچک لیپشیتس lip?(x,d) برای 1 < ? < می پردازیم. سپس ایده آل های ماکسیمال این جبر ها را بررسی می کنیم. هم چنین وجود نگاشت های خطی، همریختی ها و مشتق های ناپیوسته بر lip?(x,d) را اثبات می کنیم. در ادامه با فرض این که (x,d) و(y,?) دو فضای متری فشرده باشند، با معرفی عملگرهای خطی حافظ مجزایی از lip?(x,d) به lip?(y,?)، وجود این نوع عملگرها را اثبات نموده و حالت هایی که این عملگرها پیوسته یا ناپیوسته اند، را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه بخش های گلیسون جبرهای تابعی یکنواخت را معرفی می کنیم. سپس همریختی های فشرده ی ضعیف بین جبرهای باناخ یکنواخت را مورد مطالعه قرار می دهیم و نشان می دهیم که بیشتر آنها فشرده اند. هم چنین نشان می دهیم که یک همریختی از بک جبر با اندازه نمایشگر یکتا به توی جبر توابع با مشتق پیوسته فشرده است. سرانجام طیف درونریختی های فشرده ی جبر با اندازه نمایشگر یکتا تعریف شده بر یک فضای همبند فشرده ی هاسدورف x را مشخص می کنیم.

قضیه نمایش طیفی عملگرهای نرمال فضای هیلبرت مختلط اهمیت فوق العاده ای در نظریه عملگرها دارد. با به کار بردن این قضیه می توان برخی از زیر فضای های غیر بدیهی پایای این فضاها تحت این عملگرها را مشخص نمود .در این پایان نامه ، ابتدا بر اساس مقالات اس.اچ کولکارنی و سوشوما آگراوال در سالهای 1994 و 1998 میلادی و با بکار بردن تکنیک هایی از جبرهای باناخ حقیقی ، قضیه نمایش طیفی برای عملگرهای نرمال فضاهای هیلبرت حقیقی بیان و اثبات می شود . سپس رابطه ی ساده ای بین طیف یک عملگرد نرمال برای یک فضای هیلبرت حقیقی و تجزیه طیفی آن بدست می آید . بابکاربردن آن، نشان می دهیم که در یک فضای هیلبرت حقیقی با بعد بزرگتر از 2 ، هر عملگر نرمال یک زیر فضای بسته غیر بدیهی و پایا تحت آن عملگر مشخص می کند.

در این رساله مفهوم جبرهای (تابعی) یکنواخت حقیقی را تعمیم می دهیم و رده ی بزرگتری به نام جبرهای تابعی باناخ حقیقی را معرفی می کنیم. سپس نشان می دهیم که هر جبر تابعی باناخ مختلط را می توان با معرفی یک برگشت توپولوژیکی ‏‎t‎‏ به عنوان یک جبر تابعی باناخ حقیقی در نظر گرفت. لذا رده های جبرهای تابعی باناخ حقیقی بزرگتر از رده ی جبرهای تابعی باناخ مختلط است.