این پایان نامه به مطالعه پاسخی برای این سوال می پردازد که : اگر n یک زیرمدول رادیکال از m باشد آن گاه شرط لازم و کافی برای n بطوریکه مدول m/n دارای بعد یکنواخت متناهی باشد چیست ؟ به دنبال پاسخ فوق این مطلب ثابت می شود که زیرمدول رادیکال n از مدول m برابر اشتراک متناهی از زیرمدول های اول است اگر m/n دارای بعد یکنواخت متناهی باشد. عکس مطلب فوق در حالت کلی درست نیست ولی اگر r یک حلقه گلدی چپ کاملا کراندار و m متناهی مولد باشد در این صورت برای یک زیرمدول رادیکال n از مدول m مدول m/n دارای بعد یکنواخت متناهی است اگر و فقط اگر n دارای تجزیه اول باشد . در این پایان نامه حلقه ها یکدار و مدول ها یکانی هستند. زیرمدول اول در این پایان نامه همان مفهوم تعریف شده توسط جانسون در سال 1953است . بعد یکنواخت یک مدول در واقع تعمیم بعد فضای برداری است .

در این رساله مفهوم مقسوم علیه صفر قوی در حلقه ها را معرفی کرده و سپس در یک حلقه دلخواه به بررسی خواص مجموعه مقسوم علیه های صفر قوی پرداخته ایم. در این بررسی نتایجی حاصل شده است که به خواص مجموعه مقسوم علیه های صفر در یک حلقه تعویض پذیر نزدیک است. به علاوه گراف مقسوم علیه صفر قوی را معرفی کرده و خواص و ویژگی های آن و هم چنین ارتباط آن با گراف مقسوم علیه صفر را بررسی کرده ایم. در ادامه به تعیین شرایط لازم و کافی برای تبدیل یک s – مدول به یک s – جبر، زمانی که s یک حلقه ی تعویض پذیر یکدار است پرداخته ایم. به ویژه زمانی که s حلقه ی اعداد صحیح باشد، شرایط لازم و کافی برای تبدیل یک گروه آبلی متناهی به یک حلقه بررسی و تعین شده است. هم چنین برنامه ای به زبان matlab نوشته ایم که در آن حلقه های ساخته شده روی گروه های آیلی متناهی را مشخص میکند. در پایان حلقه های تعویض پذیر یکدار که تعداد مقسوم علیه های صفر آنها عامل p5 ندارند و هم چنین حلقه های تعویض پذیر یکدارغیر موضعی که تعداد مقسوم علیه های صفر آنها عاملp8 ندارند را دسته بندی کرده ایم.

در این پایان نامه زیرمدول های خاصی از r-مدول چپ m تحت عنوان m-ایدال ها و m-ایدال های اول معرفی می شوند به طوری که به ترتیب تعمیمی از ایدال های دو طرفه و ایدال های اول حلقه ی r به مدول m هستند. همچنین مفهوم مدول m-اول مطرح و مورد مطالعه قرار گرفته است. به کمک این تعاریف شرایطی را روی مدول m بررسی می کنیم که منجر به برقراری یک تناظر یک به یک بین رده های یکریخت مدول های m-تزریقی تجزیه ناپذیر در ?[m] و m-ایدال های اول می شود. در ادامه چندین مفهوم دیگر از نظریه ی حلقه ها را به مدول ها تعمیم می دهیم به طوری که به نتایج مشابه در حلقه ها دست پیدا کنیم.

در این رساله که در پنج فصل تنظیم شده، تعمیم های دیگری از مفاهیم ایده آل های اولیه و شبه اولیه به مدول ها ارائه شده و خواص آنها مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین ارتباط بین مفاهیم جدید و مفاهیم قبلی بررسی می شود. در فصل اول مقدماتی از نظریه مدول ها بیان شده که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل دوم با استفاده از نوعی ضرب تعریف شده بین عناصر مدول های ضربی در [4]، امکان گسترش برخی از ساختارهای حلقه های تعویض پذیر به مدول ها مورد بررسی قرار می گیرد. در این فصل مفاهیم جدید تقسیم زیرمدول ها و مقسوم علیه صفر عناصر در یک مدول و همچنین زیرمدول اولیه ضعیف تعریف شده اند. فصا های سوم، جهارم و پنجم به معرفی و بررسی خواص زیرمدول های اولیه کلاسیک، شبه اولیه کلاسیک و شبه اولیه اختصاص دارد. در این فصول علاوه بر ارائه شرایط معادل متعددی برای اولیه کلایسک و شبه اولیه کلاسیک بودن یک زیرمدول، برخی از خواص این زیرمدول ها تحت موضعی سازی به دست می آید. همچنین به بررسی مدول ها و حلقه های اولیه سازگار و شبه اولیه سازگار پرداخته می شود. بر اساس تعریف مدول m اولیه سازگار (شبه اولیه سازگار) نامیده می شود درصورتی که مفاهیم زیرمدول اولیه و اولیه کلاسیک (شبه اولیه و شبه اولیه کلاسیک) در آن یکسان باشد. همچنین حلقه r اولیه سازگار (شبه اولیه سازگار) نامیده می شود هرگاه هر r-مدول، اولیه سازگار (شبه اولیه سازگار) باشد. بالاخره تجزیه زیرمدول ها به اشتراک تعداد متناهی زیرمدول اولیه کلاسیک، شبه اولیه کلاسیک و همچنین شبه اولیه روی مدول ها مورد بررسی قرار گرفته و قضایای یکتایی این تجزیه ها اثبات می شود. ضمن اینکه امکان تجزیه زیرمدول ها به زیرمدول های شبه اولیه؛ برخلاف بحث تجزیه مدول ها به زیرمدول های اولیه کلاسیک و شبه اولیه کلاسیک؛ روی حلقه های غیرنویتری مورد بررسی قرار گرفته و یکتایی چنین تجزیه هایی اثبات می شود. واژگان کلیدی: زیرمدول اول، زیرمدول اولیه، زیرمدول شبه اولیه، زیرمدول اولیه کلاسیک، زیرمدول شبه اولیه کلاسیک، تجزیه زیرمدول ها.

در این پایان نامه به مطالعه ی حلقه های منظم با خاصیت تقریباً مقایسه پذیری تعمیم یافته می پردازیم. ابتدا با بررسی ارتباط این حلقه ها با حلقه های منظمی که در خاصیت تقریباً مقایسه پذیری صدق می کنند نشان خواهیم داد چنین حلقه هایی دقیقاً به چه شکل هایی ظاهر می شوند. بعد از آن خواص جالب این حلقه ها بررسی می شود. به عنوان نمونه نشان می دهیم دارای خاصیت نفوذ ناپذیری اکید هستند و با شرط به طور مستقیم متناهی بودن در خاصیت حذف اکید نیز صدق می کنند. همچنین هر جمع مستقیم متناهی از مدول های تصویری و به طور مستقیم متناهی روی چنین حلقه هایی، به طور مستقیم متناهی است.

پایه های گربنر یکی از ابزارهای محاسباتی برای مطالعه ایدال های چندجمله ای است. مفهوم پایه گربنر فراگیر را میتوانیم توسیع پایه گربنر در حلقه چندجمله ایها با ضرایب پارامتری در نظر گرفت. در بسیاری کاربردها محاسبه این چنین ئایه ای ضروری است. به عنوان مثال در رباتیک، هندسه، شبکه الکتریکی و جبرخطی کاربردهای بارزی دارد. این مفهوم برای اولین بار توسط وایزفنینگ در سال 1992 معرفی شد و الگوریتم مناسب برای محاسبه آن در سال 2002 توسط مونتس ارایه گردید.

در این پایان نامه ابتدا بعد کرول دو- مدول ها مطالعه و بررسی شده است. به خصوص نتایجی از جبر تعویض پذیر تحت شرایطی به دو- مدول ها تعمیم داده شده است. مدول نا صفرm، ?-بحرانی ( ? عدد ترتیبی است ) نامیده می شود هرگاه k.dim(m)=? و به ازای هر زیرمدول ناصفر n از m، k.dim(m/n)<?. در ادامه دو- مدول های آرتینی وهمچنین مدول هایی که زیرمدول های کوچک آن دارای بعد کرول هستند بررسی شده اند. در پایان ارتباط بین بعد کرول و بعد کرول کلاسیک در مدول های ضربی روی حلقه های تعویض پذیر بررسی شده است. به خصوص اگر r حلقه ی تعویض پذیر و m مدول ضربی و دارای بعد کرول باشد آن گاه m دارای بعد کرول کلاسیک است و زیرمدول اول pm از m موجود است که cl.k.dim(m) = k.dim(m )= k.dim(m/pm) = cl.k.dim(m/pm).

چکیده در این پایان نامه مدول های تزریقی ضعیف مطالعه شده و چندین مشخصه سازی از آن ها ارائه شده است. یکی از نتایج جالب بدست آمده، وجود محکی برای این مدول ها است. در ادامه پوش-تزریقی ضعیف معرفی شده و نشان داده شده است که روی هر دامنه ی صحیح، هر مدولی پوش-تزریقی ضعیف دارد. مطالعه روی این مفهوم، نتیجه ای کاربردی را سبب می شود که عبارتست از بدست آوردن پوش-تزریقی ضعیف یک مدول از پوشش تختش و برعکس. دامنه ی صحیح r تقریباً کامل نامیده می شود، هرگاه برای هر ایدال ناصفر و سره i از حلقه ی r حلقه ی r/i کامل باشد. این دامنه ها به طریق مختلف توصیف شده اند، برای مثال روی این دامنه ها، مفهوم های هم-تاب ایناکس و هم-تاب متلیس بر هم منطبق هستند. یکی از اهداف مهم ما، توصیف دامنه های تقریباً کامل با استفاده از مفهوم تزریقی ضعیف است. رده بندی موضوعی:11c13. کلمات کلیدی : مدول h-بخش پذیر، مدول تزریقی ضعیف، مدول هم-تاب ایناکس و هم-تاب متلیس، بعدتزریقی ضعیف فراگیر، دامنه ی تقریباً کامل، پوشش تخت، پوش-تزریقی ضعیف، بعد ضعیف.

باز کردن مقاله بعد کرول مدول های تزریقی دکتر اسمیت و مقاله بعد اول کلاسیک مدول ها از دکتر بهبودی

تزریقی بودن نسبت به زیرمدول های بسته در این پایان نامه مدول های تزریقی را روی دامنه ی ددکیند مشخص می کنیم. برای این منظور نشان می دهیم که اگر r دامنه ی ددکیند باشد، آنگاه mمدول -c تزریقی است اگر و تنها اگر یکریخت با حاصل ضرب مستقیمی از مدول های نیم ساده ی همگن و مدول های تزریقی باشد. همچنین نشان می دهیم که دامنه ی نوتری جابجایی rددکیند است اگر و تنها اگر هر مدول ساده -c تزریقی باشد. کلمات کلیدی: مدول های خالصc -تزریقی، مدول های –pخالص-تزریقی، ایدآل های تقریبا اصلی، دامنه های ددکیند.

r-مدول m، سیگما-تزریقی نامیده می شود هرگاه m^((?))با هر عدد اصلی ? تزریقی باشد. در این پایان نامه مدول های سیگما-تزریقی معرفی شده و توصیف های جدیدی برای آن ها ارائه می شود. به عنوان یک قضیه نشان داده می شود که یک مدول تزریقی m، سیگما-تزریقی است اکر وتنها اگر عدد اصلی نامتناهی ? وجود داشته باشد به طوری که هر توسیع اساسی از m^((?)) حاصل جمع مستقیمی از مدول های تزریقی باشد. در ادامه به توسیع این قضیه پرداخته می شود. می توان مهم ترین هدف این پایان نامه را توسیع این قضیه دانست. این توسیع بر اساس حاصل جمع مستقیمی از مدول های تزریقی و تصویری بیان می گردد. هم چنین رابطه ی بین حلقه های نوتری راست و مدول های سیگما-تزریقی مورد مطالعه قرار می گیرد. این رابطه بیان می کند که حلقه ی r نوتری راست است اگر و تنها اگر هر r-مدول تزریقی، سیگما-تزریقی باشد. با ارائه ی این توصیف ها ، این رابطه نیز تعمیم می یابد. در این پایان نامه حلقه های نامنفرد راست معرفی شده و ارتباط بین این حلقه ها با مدول های سیگما-تزریقی بررسی خواهد شد و در پایان با معرفی مدول شبه-تزریقی و پوش شبه- تزریقی، معادلی برای مدول های سیگما-تزریقی ارائه شده به این صورت که فرض کنیم m یک r-مدول تزریقی باشد. در این صورت m سیگما-تزریقی است اگر و تنها اگر حلقه ی r نسبت به مدول m ، q. f.d. راست و هر توسیع اساسی ازm^((?.)) حاصل جمع مستقیمی از مدول های شبه- تزریقی یا تصویری باشد.

چکیده حلقه ی r نیم ساده ی محض چپ نامیده می شود، هرگاه هر -rمدول چپ حاصل جمع مستقیمی از مدول های متناهی تولید باشد. در این پایان نامه، مدول های پیش-تزریقی روی حلقه های نیم ساده ی محض چپ مطالعه شده اند. روی این حلقه ها دوگان موضعی، رابطه ای یک به یک و پوشا بین -rمدول های چپ پیش-تزریقی و -rمدول های راست پیش-تصویری ایجاد می کند. هر -rمدول چپ پیش-تزریقی پایه ی یک ریخت تقریباً شکافی چپ است. هر حاصل جمع مستقیم -rمدول های چپ پیش-تزریقی درون-آرتینی است. اگر هیچ همریختی ناصفری از مدول های پیش-تزریقی به مدول های تجزیه ناپذیر غیر پیش-تزریقی در رسته ی mod-r وجود نداشته باشد، آن گاه حاصل جمع مستقیم همه ی جمعوندهای تجزیه ناپذیر غیر پیش-تزریقی از حاصل ضرب -rمدول های چپ پیش-تزریقی، متناهی-تولید و کامل ضربی است. رده بندی موضوعی: 90d16; 70d16; 0g116

فرض‎‎ کنیم ‎r‎‏ حلقه ای یکدار ‏و شرکت پذیر‏، ‎‎‎‎m‎‎‏ یک ‎r‎‎‎‏-مدول راست ‎یکانی و ‎‎‎‎s=‎ ‎end_r(m)‎‏ حلقه ی ‎‎‎‎r‎‎‎‏-درون ریختی ها‏ ی ‎m‎‎‏ باشد. ‎حلقه ی ‎‎‎‎r‎‎‏ ریکارت راست نامیده می شود هرگاه پوچ ساز راست هر عضو ‎‎‎‎r‎‎‎‏‏ ‏یک جمعوند مستقیم ‎‎‎‎r‎‏ باشد. در این پایان نامه مفهوم ریکارت و خواص مربوط به آن ‏برای مدول ها تعمیم داده می شود. مدول ‎m‎‎‏ ریکارت نامیده می شود هرگاه به ازای هر عضو? ‎‎‎‏ از حلقه ی ‎‎‎‎s‎‎‎‏‏، r_m (?)?^? m‎‎‏. نشان داده شده است رده‏ ی حلقه هایی‎‏ که هر مدول راست روی آن ها ریکارت می باشد‏، با کلاس حلقه های نیم ساده ی آرتینی یکی است؛ در حالی که کلاس حلقه های ‎‎‎‎r‎‏ که هر ‎‎‎‎r‎‎‎‏-مدول آزاد‏ ریکارت باشد‏، با کلاس حلقه های موروثی راست برابر است. هم چنین نشان داده شده است خاصیت ریکارت توسط جمعوندهای مستقیم به ارث برده می شود. علاوه بر این‏، به بررسی ارتباط بین مدول های ریکارت و حلقه ی درون ریختی هایشان پرداخته و ثابت شده است که حلقه ی درون ریختی ها روی مدول های ریکارت نیز دارای این خاصیت است‏، اما عکس این مطلب در حالت کلی برقرار نمی باشد.‎‎‎‎ هم چنین مدول ریکارتی که حلقه ی درون ریختی هایش شامل هیچ مجموعه ی نامتناهی از عناصر خودتوان متعامد ناصفر نباشد یک مدول بائر است. به علاوه‏، اگر مدول ‎‎‎‎m‎‎‏ به صورت حاصل جمع مستقیم دلخواه از مدول های دوری روی دامنه ی ددکیند ‎‎‎‎r‎‎‏ باشد آن گاه ‎m‎‎‏ ریکارت است اگر و تنها اگر ‎‎‎‎m‎‎‏ نیم ساده یا از تاب آزاد باشد‏، اگر و تنها اگر‏، ‎end_r(m)‎ ‎‏ یک حلقه ی ریکارت راست باشد.

فرض کنیم ‎r‎ یک حلقه ی شرکت پذیر یکدار باشد. ‎r‎ را کوته ی چپ ‎(راست)‎ گوییم، هرگاه هر ‎-r‎مدول چپ ‎(راست)‎ جمع مستقیم مدول های دوری باشد. همچنین ‎r‎ را کوته گوییم، هرگاه هم کوته ی چپ و هم کوته ی راست باشد. در این پایان نامه ابتدا به بررسی حلقه های کوته ی چپ و حلقه های کوته در حالت تعویض ناپذیر و در حالتی که تمام خودتوان های ‎r‎ مرکزی باشند، پرداخته ایم. ثابت می کنیم که با شرط بالا اگر ‎r‎ حلقه ی کوته ی چپ باشد، آن گاه ‎r‎ یک حلقه ی ایدال اصلی راست آرتینی است. همچنین نتیجه می گیریم که ‎r‎ حلقه ی کوته است اگر و فقط اگر ‎r‎ یک حلقه ی ایدال اصلی آرتینی باشد. در ادامه به بررسی حلقه هایی چون ‎r‎ می پردازیم که هر ‎-r‎مدول راست جمع مستقیم مدول های توسیعی است. ‎r-مدول ‎m‎ را توسیعی گوییم، هرگاه هر زیرمدول ‎m‎ در یک جمعوند مستقیم ‎m‎ اساسی باشد. ثابت می کنیم که چنین حلقه هایی دقیقاً از نوع متناهی نمایش، از نوع هم-موضعی راست، آرتینی دوطرفه و زنجیری راست (نه لزوماً زنجیری چپ) می باشند و هر ‎-r‎مدول راست جمع مستقیمی از مدول های یکنواخت است. حلقه های کوته‎ و حلقه هایی که مدول ها روی آن ها جمع مستقیم مدول های توسیعی است، ارتباط نزدیکی به هم دارند به همین منظور در این پایان نامه به بررسی هر دو نوع حلقه در کنار هم پرداخته شده است.

فرض کنیم r‎ حلقه ی دلخواه باشد. مدول هایی که در شرط های زنجیر افزایشی یا کاهشی روی زیرمدول های غیرجمعوند متعلق به بعضی رده های خاص ‎?‎ صدق می کند، در نظر گرفته می شود. هدف این پایان نامه این است که نشان دهیم که مدول ‎m‎ در شرط زنجیر افزایشی ‎(کاهشی)‎ روی غیرجمعوندها صدق می کند اگر و تنها اگر ‎m‎ نیمساده یا نویتری ‎(آرتینی)‎ باشد. روی حلقه ی نویتری راست ‎r‎، ‎-‎rمدول راست ‎m‎ در شرط زنجیر افزایشی روی غیرجمعوندهای متناهی-تولید صدق می کند اگر و تنها اگر ‎m‎ در شرط زنجیر افزایشی روی غیرجمعوندها صدق کند. همچنین ‎-‎rمدول راست ‎m‎ در شرط زنجیر کاهشی روی غیرجمعوندهای متناهی-تولید صدق می کند اگر و تنها اگر ‎m‎ آرتینی موضعی باشد. برای عدد اصلی نامتناهی ?‎ و مدول راست یکانی ‎m‎ روی حلقه ‎r‎ نشان می دهیم که هر زنجیر افزایشی ‎(کاهشی)‎ خوش ترتیب از زیرمدول های اساسی ‎m‎، عدد اصلی کمتر از ‎?‎ دارد اگر و تنها اگر هر زنجیر افزایشی ‎(کاهشی)‎ خوش ترتیب از زیرمدول های ‎m/ soc (m) ‎، کمتر از ?‎ داشته باشد. از این قضیه استفاده کرده و نشان می دهیم که مدول توسیع یافته با ?-‎شرط زنجیر روی زیرمدول های اساسی، جمع مستقیم از یک مدول با شرط زنجیر یکسان روی همه ی زیرمدول ها و یک مدول نیمساده است. شرط های لازم و کافی برای مدول روی دامنه ی ددکیند مشخص می کنیم تا در شرط زنجیر افزایشی روی زیرمدول های n‎-مولد برای هر عدد صحیح مثبت ‎n‎ صدق کند. فرض کنیم ‎r‎ دامنه ی ددکیند باشد، هرگاه ‎m‎ یک ‎-‎rمدول با زیرمدول تابدار ‎t‎ باشد در این صورت ‎m‎ در ‎pand-acc‎ صدق می کند اگر و تنها اگر ‎t کاهش یافته باشد و هر زیرمدول از تاب آزاد به طور شمارا مولد از ‎m‎ تصویری باشد.

تا به حال تعمیم های متفاوتی از ایدآل های اول و مهچنین زیر مدول های اول بدست آمده و مورد مطالعه قرار گرفته است. در این پایان نامه فرض کنیم r یک حلقه تعویض پذیر یکدار و m یک r-مدول یکانی باشد. ایدآل سره i از r را به طور ضعیف اول گوییم هرگاه برای عناصر a و b عضو r، از عضویت ab در i منهای صفر، عضویت a یا b در i نتیجه شود. همچنین i را ایدآل به طور تقریبی اول گوییم هر گاه از عضویت ab در i - i*i بتوان عضویت a یا b در i را نتیجه گرفت. فرض کنیم f تابعی از مجموعه ایدآل های r به همین مجموعه به انضمام تهی باشد. ایدآل سره i از r را f-اول گوییم اگر از عضویت ab در i-f(i) عضویت a یا b در i نتیجه شود. حال اگر f تابع ثابت تهی باشد یک f-ایدآل، یک ایدآل اول خواهد بود. همچنین اگر f به ترتیب تابع ثابت صفر یا f(i) = i*i باشد f-ایدآل به ترتیب ایدآل به طور ضعیف اول و ایدآل به طور تقریبی اول خواهد بود. بحث تقریبا مشابهی روی زیر مدول های یک مدول نیز در این پایان نامه موجود است.

در این پایان نامه به معرفی و مطالعه یک توپولوزی روی طیف اول کلاسیک یک مدول می پردازیم که تعمیمی از توپولوژی زاریسکی rبهmاست و شبه توپولوژی زاریسکی mنامیده می شود. همچنین زیر مدول های به طور تقریبی اول را تعریف می کنیم که تعمیمی از زیر مدول های اول و زیر مدول های به طور ضعیف اول می باشد. در ادامه بر خی از خواص زیر مدول های به طور تقریبی اول و زیر مدول های به طور ضعیف اول شده راارائه می دهیم

و ارتباط بین این حلقه ها و حلقه های 2- اولیه، مستقیما متناهی و نیمه مرکزی چپ کمین را ، در این پایان نامه حلقه های باشد آن گاه حلقه ی است ولی عکس این مطلب برقرار نیست. اثبات می کنیم اگر ، بررسی می کنیم. هر حلقه ی مستقیما متناهی لزوما نیمه مرکزی چپ کمین نیستند. هم چنین حلقه های نیمه مرکزی چپ کمین است. ولی حلقه های هستند نشان می دهیم عکس این موضوع برقرار نیست. در ادامه تعمیمی از حلقه های برگشت پذیر که حلقه های برگشت پذیر ضعیف را معرفی نامیده می شود را معرفی می کنیم و این حلقه ها را مورد بررسی قرار می دهیم. هم چنین در این پایان نامه حلقه های پوچ مدول چپ ساده ی تکین چپ قوی است اگر و فقط اگر هر می کنیم و قضیه ی زیر را اثبات می کنیم. حلقه ی تزریقی باشد. از طرفی تعمیمی از حلقه های منظم که حلقه های منظم ضعیف نامیده می شود را معرفی می کنیم و به بررسی این حلقه ها می پردازیم.

فرض کنیم r یک حلقه ی تعویض پذیر با عضو همانی و n یک عدد صحیح مثبت باشد.ایدآل سره ی i از r یک ایدآل n-جاذب نامیده می شود هرگاه حاصل ضرب n+1 عنصر x_1,...,x_n+1 از r در ایدآل i قرار گیرد آن گاه nتا از x_iها موجود است که حاصل ضربشان در i است. همچنین ایدآل سره ی i از r ایدآل n-جاذب قوی نامیده می شود هرگاه حاصل ضرب n+1 ایدآل از r مشمول در i باشد آن گاه nتا از i_iها موجود باشند که حاصل ضربشان مشمول در i است.

در این رساله به مطالعه ی دنباله های (m,n)-دقیق محض به ویژه دنباله های fc –دقیق محض، i-دقیق محض می پردازیم. یک دنباله دقیق fc –دقیق محض (به ترتیب i-دقیق محض) نامیده می شود هرگاه هر مدول دوریِ با نمایش متناهی (به ترتیب (m,n) - نمایش ( دارای خاصیت تصویری بروی آن باشد. به طور مشابه مفاهیم زیرمدول، مدول تصویری، مدول تزریقی نیز برای این دنباله ها تعریف می شوند. در این رساله مشخص سازی هایی از بعضی حلقه ها توسط fc –محض و i-محض ارائه می دهیم. به ویژه ثابت می کنیم یک حلقه ی تعویض پذیر پروفر است اگر و تنها اگر هر دنباله ی fc –دقیق محض i-دقیق محض باشد. همچنین ثابت می کنیم هر r-مدول چپ مجموع مستقیمی از مدول های دوری است اگر و تنها اگر هر r-مدول چپ تجزیه ناپذیر، دوری با نمایش متناهی باشد اگر و تنها اگر r یک حلقه ی کوته باشد. همچنین ثابت می کنیم یک حلقه ی تعویض پذیر r ، شبه فروبنیوس است اگر و تنها اگر r آرتینی و i-تزریقی محض باشد اگر و تنها اگر r آرتینی و پوش تزریقی r مجموع مستقیمی از مدول های دوری باشد. همچنین در این رساله مفاهیم مدول های fc-تخت محض و i-تخت محض ارائه شده است و مشخص سازی هایی از آن ارائه گردید. در ادامه مفهوم (m,n)-فشرده ی جبری را مشابه با مفهوم فشرده ی جبری ارائه می کنیم و نشان می دهیم یک مدول، (m,n)-تزریقی محض است اگر و تنها اگر (m,n)-فشرده ی جبری باشد. حلقه هایی که هر r-مدول مجموع مستقیمی از r-مدول های دوری است به حلقه های کوته معروف هستند. این که چه حلقه های تعویض پذیری هستند که هر ایدآل آن مجموع مستقیمی از مدول های دوری است اولین بار توسط بهبودی و همکاران در سال 2011 برای حلقه هایی که حاصل ضربی از حلقه های موضعیِ نوتری هستند مورد بررسی قرار گرفت. در این رساله این حلقه ها را برای حالت موضعی بررسی می کنیم.

فرض کنید r حلقه ی جابه جایی یک دار باشد. در این پایان نامه ابتدا به ازای یک حلقه ی تقلیل یافته r خواص گرافی r® و ارتباط آنها با خواص توپولوژیکی spec® مورد مطالعه قرار می گیرد. متناظر با خواص جبری r یا خواص گرافی r® خواص توپولوژیکی متناظر مشخص می شود. به عنوان مثال نشان داده می شود که عدد خوشه ای گراف r®، عدد سلولی spec® و بعد گلدی حلقه r برابرند. همچنین ثابت می شود وقتی r شرط پوچ ساز را دارد و 2?z® ، r® تکمیل شده است اگر و تنها اگر min® فشرده باشد. در یک حلقه گلفاندنیم اولیه نتیجه می شود که عدد احاطه گر r® بین چگالی و وزن spec® قرار دارد. ثابت می شود r® مثلث بندی نمی شود و مجموعه مراکز r®، یک مجموعه ی احاطه گر است اگر و تنها اگر مجموعه نقاط تنهای spec® در spec® چگال باشد. سپس گراف های 6،7،...،14 راسی مورد مطالعه قرار می گیرند که می توانند به عنوان گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی یک دار در نظر گرتفه شوند و لیست همه حلقه ها (با تقریب یکریختی) که این گراف ها را تولید می کنند داده می شود. برای به دست آوردن گراف مقسوم علیه صفر روی n راس برای هر n>1 الگوریتمی برای یافتن همه ی حلقه های تقلیل یافته جابجایی یک دار با تقریب یکریختی ارایه شده است. همچنین گراف مقسوم علیه صفر حلقه ای جابجایی متناهی برای یافتن کران هایی روی مرتبه ی حلقه استفاده شده است.

در این رساله تعمیم های با ارزشی از چندین مفهوم مهم در نظریه ی حلقه ها به مدول ها ارایه می شود به طوری که به نتایج مشابه نظریه ی حلقه ها دست یابیم برای این منظور زیر مدول p از r –مدول چپ m را یک زیر مدول اول کلاسیک می نامیم اگر به ازای هر دو ایدال b,a از r و هر زیر مدول n از m , abn نتیجه بدهد an c p یا bn c زیر مدول نیم اول به طور مشابه تعریف می گردد. سپس مفهوم m- سیستم در حلقه ها را به مدول ها تعمیم می دهیم اشتراک تمام زیر مدول های اول کلاسیک m را رادیکال بیر –مککوی یا رایدکال اول کلاسیک ) m نامیده و با cl.radr نمایش می دهیم. هم چنین مهفوم عنصر قویا پوچ توان از حلقه ها را به مدول ها تعمیم داده و رادیکال بیر پایینی یک مدول m که آن را nil(m) نمایش می دهیم برابر مجموعه ی تمام عناصر پوچ توان قوی m در نظر می گیریم نشان خواهیم داد که دو رادیکال فوق (رادیکال بیر –مککوی و بیر پایینی) برای هر مدول تصویری هر مدول روی یک حوزه ی صحیح تعویض پذیر نوتری با بعد کرول کوچکتر یا مساوی 1 و هر مدول روی یک حلقه ی آرتینی چپ دلخواه بر هم منطبق هستند. به خصوص در حالت اخیر دو رادیکال مذکور برابر با اشتراک تمام زیر مدول های ماکسیمال m یعنی rad(m) است. در ادامه نشان خواهیم داد که روی یک حلقه گلدی چپ اول و کراندار چپ مطالعه ی رادیکال بیر –مک کوی مدول ها به مدول های تاب دار تقلیل می یابد. به ویژه برای یک حلقه ی اول نوتری چپ و کراندار چپ با 1<(r) dim مطالعه ی رادیکال بیر –مک کوی مدول ها به مدول های تابدار متناهی تولید تقلیل می یابد . به علاوه نشان خواهیم داد که در هر مدول روی یک fbn –حلقه ی اول با 1<(r) dim و یا روی دامنه ی تعویض پذیر 1<(r) dim هر زیر مدول نیم اول اشتراکی از زیر مدول های اول کلاسیک است.

در این پایان نامه ارتباط بین خواص جبری و خواص گرافی, گراف ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر بیان می شود. فرض کنیم r یک حلقه تعویض پذیر و یکدار باشد. در این صورت ایدآل‎ i از r‎ را ایده آل پوچ‏ساز می گوییم هرگاه ایده آل ناصفرj‎ از r‎ وجود داشته باشد به طوری که ij=(0)‎. مجموعه ی همه ی ایده آل های پوچ ساز حلقه ی ‎‎r را با ‎a(r) ‎ نشان می دهیم. گراف ایده آل پوچ کن گرافی است با مجموعه رئوس a( r ) (0) که این گراف را با ‎ag(r) ‎ نشان می دهیم و در این گراف دو رأس i و j‎ را مجاور می گوییم اگر و تنها اگرij= (0). این پایان نامه شامل4 فصل می باشد. فصل اول شامل مقدمه و تاریخچه است. فصل دوم شامل پیش نیاز هاست. در فصل سوم گراف های ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر رده بندی می شوند. در فصل چهارم رنگ آمیزی رئوس گراف های ایده آل پوچ کن حلقه ی کسرها و حاصل ضرب مستقیم حلقه ها را مطالعه می کنیم. همچنین در ادامه فرمول هایی را برای عدد خوشه ای و عدد رنگی حاصل ضرب مستقیم حلقه ها را فراهم می کنیم. ابتدا حلقه هایی را که گراف ایده آل پوچ کن آن ها کامل, مسیری, دوبخشی یا دوبخشی کامل هستند را فراهم می کنیم. در این راستا عدد طبیعی مثبت n یافت می شود به طوری که {ag}(r)‎‎‎ ‎cong ‎k‎_{n}. جایی که k‎_{n} یک گراف کامل از مرتبه ی n است. همچنین ثابت می شود که گراف ایده آل پوچ کن یک حلقه ی تعویض پذیر دو بخشی است اگر و تنها اگر گراف ایده آل پوچ کن فاقد مثلث باشد. به علاوه نتایجی درباره ی حلقه هایی که همه ی ایده آل های نابدیهی آن ها, ایده آل پوچ کن هستند مطرح می شود. به عنوان مثال نشان داده می شود که اگر حلقه ی r آرتینی و عدد رنگی گراف ایده آل پوچ کن آن برابر2 باشد آن گاه r یک حلقه ی گورنشتاین است. همچنین در این پایان نامه نتایجی درباره ی عدد خوشه ای و عدد رنگی گراف های ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر مطرح می شود. در بین نتایج دیگر نشان داده می شود که اگر عدد رنگی گراف مقسوم علیه صفر متناهی باشد آن گاه عدد رنگی گراف مقسوم علیه صفر نیز متناهی است. در بهبودی و راکعی حدس زده شد که کمر گراف ایده آل پوچ کن یک حلقه ی تقلیل یافته با بیش از دو ایده آل اول مینیمال برابر است. در این پایان نامه ثابت می شود که برای هر حلقه ی تعویض پذیر (نه لزوما تقلیل یافته) عدد رنگی گراف ایده آل پوچ کن آن بزرگتر یا مساوی تعداد ایده آل های اول مینیمال آن است. که نشان می دهد حدس بالا در حالت کلی درست است.

گراف مقسوم علیه صفر حلقه ی r که با t(r نمایش داده می شود، گرافی است با مجموعه رئوس که دو رأس a و b در ان مجاورند اگر ab=0. در این پایان نامه، ابتدا با بررسی مسطح بودن یا نبودن گراف مقسوم علیه صفر حلقه ها تعویض پذیر و یک دار، تمام حلقه هایی که برای آن ها t(r مسطح است،؛ مشخص خواهد شد. سپس گرافی را معرفی خواهیم کرد که معتقدیم بهتر گراف مقسوم علیه صفر، خواص حلقه را تعیین می کند. در این گراف که آْن گراف ایده آل پوچ کن حلقه ی r می نامیم و با ag(r نمایش می دهیم، رئوس گراف، ایده آل های غیر صفر جلقه ی r هستند که دارای پوچ ساز غیر صفر باشند. دو رأس i و j در ag(r متصل اند هر گاه (0)= ij مطالعه ی خواص این گراف و نتایج جالبی که به دست آمده است. صحت این ادعارا ثابت خواهد کرد.

در این پایان نامه، یک قاعده تحت عنوان "محکی برای تشخیص ایده آل های اول در یک حلقه ی تعویض پذیر" ارائه داده می شود که برخی ایده آل های اول در یک حلقه ی تعویض پذیر را شناسایی می کند. این محک نتایج شناخته شده و استاندارد روی ایده آل های اول در جبر تعویض پذیر را که توسط ریاضیدانانی از جمله: کرول، کوهن، کاپلانسکی، هرشتاین، ایساک، آدام، اندرسن و غیره بدست آمده اند را شامل می شود. به علاوه، شکل ساده ای از این محک ما را قادر به ارائه ی تعداد زیادی از نتایج ناشناخته در زمینه تشخیص ایده آل های اول می سازد. کلید اساسی برای شکل بخشیدن به این محک خانواده های اکا و خانواده های آک از ایده آل های یک حلقه ی تعویض پذیر است. که در این پایان نامه تعریف شده و به کار بسته شده اند.

به طور کلی در این پایان نامه همه ی حلقه ها تعویض پذیر و یکدار هستند و مدول ها را به صورت مدول چپ یکانی در نظر می گیریم، مگر این که خلاف آن ذکر شود. فرض کنید r یک حلقه و m یک r-مدول باشد. گوییم m، پادهاپفی است هرگاه m ساده نباشد و برای هر زیرمدول سره ی n از m داشته باشیم: m ?m/n. برای مثال گروه پروفر به عنوان z-مدول پادهاپفی است. ابتدا نشان می دهیم که هر مدول پادهاپفی تک زنجیری است. مدول تک زنجیری به مدولی گفته می شود که همه ی زیرمدول های آن با رابطه ی شمول مقایسه پذیر باشند. پس از آن مدول های پادهاپفی را روی برخی از حلقه های خاص در نظر می گیریم و در مورد مدول های پادهاپفی روی حلقه های تعویض پذیر اطلاعات بیشتری به دست می آوریم. فرض کنید ‎r‎ یک حلقه ی تعویض پذیر و ‎m‎ یک r-‎مدول نامتناهی و غیرساده باشد. در این صورت m‎ پادهاپفی است اگر و تنها اگر شبکه ی زیرمدول های m یکریخت با ?+1 باشد (که در آن ? اولین عدد ترتیبی نامتناهی است ). در ادامه مدول های پادهاپفی را روی حلقه های ارزه ی گسسته، دامنه های تقریبا ددکیند و دامنه های ددکیند مورد مطالعه قرار می دهیم. فرض کنید d‎ یک دامنه ی ددکیند، k ‎‎ میدان کسرهای d ‎و ‎p ایده ال اولی از d‎ باشد. می دانیم ‎k/d‎ یک ‎d-‎مدول تاب دار است. در این صورت ما ‎p-‎مولفه ی ‎k/d‎ را با ‎c(p^?)‎ نمایش می دهیم و عبارت است از اعضایی از k/d که توسط توانی از p صفر می شوند. ما نشان می دهیم که هر مدول پادهاپفی روی یک دامنه ی ددکیند یکریخت با c(p^?)‎ است. پس از آن مدول های hs را تعریف می کنیم. به مدول نامتناهی ‎m‎ روی حلقه ی ‎r «به طور تصویری کوچکتر»‎ ( به اختصار ‎hs‎ ) گوییم هرگاه برای هر زیرمدول ناصفر ‎n‎ از ‎m‎ داشته باشیم |m/n|<|m|. برای مثال میدان های نامتناهی و حلقه ی اعداد صحیح به عنوان مدول روی خودشان hs هستند. برای این که hs بودن مدولی بررسی کنیم کافی است تنها برای زیرمدول های دوری آن شرط hs را بررسی کنیم. در ادامه رده ی وسیع تری از مدول ها را معرفی می کنیم که تعریف آن توسیعی از مدول های پادهاپفی و مدول های hs است. فرض کنید ‎r‎ یک حلقه و m‎ یک ‎r-‎مدول یکانی نامتناهی باشد. گوییم ‎m «به طور تصویری متجانس»‎ ( به اختصار ‎hc‎ ) است هرگاه برای هر زیرمدول ‎n‎ از m با شرط |m/n|=|m| داشته باشیم: m ?m/n. در این پایان نامه به مطالعه ی مدول های ‎hc‎ روی حلقه های تعویض پذیر می پردازیم. پس از یک بازنگری نسبتا خوب برای جذابیت بیشتر موضوع، چند مثال ساده از مدول های ‎hc‎ را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس چندین نتیجه ی کلی را در مورد مدول های ‎hc‎ ثابت می کنیم.‏ از نتایج به دست آمده برای توصیف مدول های ‎hc‎ تک زنجیری‏ استفاده می کنیم. پس از آن مدول های ‎hc‎‏ را در حالت های نوتری و آرتینی مورد بررسی قرار می دهیم و در ادامه‎‎‎‎‎ به مشخصه سازی کامل مدول های ‎hc‎ روی دامنه های ددکیند می پردازیم. در آخر با چند سوال باز پایان نامه را به اتمام می رسانیم.

چکیده: تجزیه اولیه ی زیر مدول ها تعمیمی از مفهوم شناخته شده ی تجزیه اولیه ی ایده آل های یک حلقه می باشد. زیرمدول n از r-مدول m دارای تجزیه اولیه است اگر بتوان آن را به صورت اشتراک تعداد متناهی از زیرمدول های اولیه ی مدول m نوشت. اگر m مدولی متناهیاً تولید شده روی یک حلقه ی نوتری تعویض پذیر باشد، هر زیرمدول n از m دارای تجزیه اولیه است. در این پایان نامه تجزیه ی اولیه برای حلقه های نوتری چپ را مورد بررسی قرار می دهیم، که تعمیمی از تجزیه اولیه روی حلقه های نوتری تعویض پذیر می باشد. به این منظور ابتدا طیف چپ حلقه که تعمیمی از طیف اول حلقه در حالت تعویض پذیر است معرفی می شود و نشان می دهیم که اگر r حلقه ای تعویض پذیر باشد تناظری دوسویی بین طیف اول حلقه و طیف چپ حلقه برقرار است. پس از آن به بررسی اول های چپ وابسته به مدول به عنوان تعمیمی از اول های وابسته به مدول روی حلقه های تعویض پذیر می پردازیم. در ادامه تعمیم دیگری از تجزیه اولیه ی یک مدول یکانی نوتری روی یک حلقه ی دلخواه مطرح می کنیم و این تجزیه را برای خانواده ی بزرگتری از مدول ها تعمیم می دهیم. این خانواده از مدول ها را به طور یکنواخت متناهی می نامیم و نشان می دهیم که برای حلقه ی دلخواه r، هر مدول m با این ویژگی که هر خارج قسمت از آن دارای بعد یکنواخت متناهی باشد دارای تجزیه اولیه است. سپس به معرفی کوتاهترین تجزیه های اولیه و کوتاهترین تجزیه های اولیه ی ماکسیمال می پردازیم و ثابت می کنیم که برای هر زیرمدول از یک مدول به طور یکنواخت متناهی، کوتاهترین تجزیه اولیه وجود دارد و هر کوتاهترین تجزیه ی اولیه مشمول در یک کوتاهترین تجزیه اولیه ی ماکسیمال است. همچنین به بررسی تجزیه های یکنواخت می پردازیم و ثابت می کنیم که هر تجزیه اولیه می تواند به یک تجزیه ی یکنواخت تبدیل شود. در ادامه دو ساختار ارائه می کنیم که به ترتیب همه ی کوتاهترین تجزیه های اولیه و همه ی کوتاهترین تجزیه های یکنواخت را توصیف می کنند. این دو ساختار نشان می دهند که تجزیه های اولیه در حالت کلی بسیار غیر یکتا هستند. در نهایت طیف یکنواخت مدول m در ?[m] را به عنوان تعمیمی از طیف چپ مدول معرفی می کنیم. سپس اول های وابسته به مدول n در ?[m]را تعریف می کنیم و به کمک این مفاهیم به معرفی تجزیه اولیه برای زیرمدول ها در ?[m]می پردازیم. در آخر ساختاری برای توصیف همه ی کوتاهترین تجزیه های اولیه و کوتاه ترین تجزیه های یکنواخت زیرمدول ها در ?[m] ارایه می دهیم و نشان می دهیم در صورتی که r یک حلقه ی نوتری تعویض پذیر باشد و m = r این تجزیه اولیه با تجزیه اولیه ی کلاسیک مدول ها روی حلقه های تعویض پذیر در r?mod منطبق است.

گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه ‎s‎ که لزوما تعویض پذیر نیست و با ‎vec {?}(s) ‎ نمایش داده می شود، یک گراف ساده جهت دار است که در آن مجموعه مقسوم علیه های صفر ناصفر به عنوان رئوس در نظر گرفته می شوند و راس ‎a‎ به ‎b‎ توسط یک جهت به صورت ‎a ? b ‎ متصل است اگر و تنها اگر ‎ab=0‎. فرض می کنیم ‎r‎ یک حلقه تعویض پذیر یکدار و t_{n}(r)‎ حلقه ی ماتریس های بالا مثلثی ‎n×n‎ روی ‎r‎ باشد. در این پایان نامه گراف جهت دار مقسوم علیه صفر ‎ vec {?}( t_{n}(r)) ‎ از t_{n}(r)‎ را مطالعه می کنیم که در آن برخی خواص پایه ای نظریه گراف داده می شود که شامل تعیین کمر و قطر گراف است. سپس ساختار ‎ vec {?}( t_{n}(r)) ‎ را توصیف کرده و کرانی برای تعداد یال های آن داده می شود. بعد از آن زمانی که ‎r‎ یک حوزه صحیح متناهی باشد، ساختار ‎ vec {?}( t_{2}(r)) ‎ کاملا توصیف خواهد شد و یک فرمول برای تعداد یال های آن داده می شود‎.‎

فرض کنیمr یک حلقه تعویض پذیر ویکدار موضعی باشدو(j(r رایکال جیکوبسن r و(z(r مجموعه مقسوم علیه های صفر حلقه r باشد.گوییم r یک حلقه z- موضعی است هرگاه j(r)^2=. .همچنین برای یک حلقه تعویض پذیر r فرض کنیم c یک عنصر ناصفر از (z( r باشد با این خاصیت که cz( r)=0 گوییم حلقه موضعی r یک حلقه c - موضعی است هرگاه و{0 و z(r)^2={cو z(r)^3=0, نیز xz( r)=0 نتیجه دهد که x عضو {c,0 } است. در این پایان نامه ساختاری از یک کلاس از حلقه های z -موضعی را مشخص می کنیم.همچنین ساختار و طبقه بندی تحت یکریختی همه حلقه های c-موضعی متناهی تعویض پذیر با مرتبه بیش از 5^ 2را مشخص می کنیم.

حلقه هایی که هر مدول چپ با طول متناهی شان، نیم ساده است، تعمیمی از حلقه های نیم ساده هستند. هدف این پایان نامه مشخص سازی حلقه هایی است، که هر مدول چپ با طول متناهی شان نیم ساده است. در ابتدا نشان می دهیم برای حلق? r، هر r-مدول چپ با طول متناهی، نیم ساده است اگر و تنها اگر هر r-مدول چپ با طول ?، نیم ساده باشد. همچنین نشان داده می شود نیم ساده بودن هر مدول چپ با طول متناهی، یک خاصیت پایای موریتا برای حلقه ها می باشد. نشان می دهیم که اگر r یک v-حلق? چپ باشد، هر r-مدول چپ با طول متناهی، نیم ساده است و مثال هایی ارائه شده که نشان می دهد عکس این مطلب لزوماً همیشه برقرار نیست. ازاینرو به بررسی شرایطی می پردازیم که تحت آن، عکس مطلب فوق نیز برقرار باشد، و خواهیم دید که در fbn -حلقه های چپ و همچنین حلقه های نیم-آرتینی چپ عکس مطلب نیز برقرار است. نتیج? مهمی به دست آمده، که نشان می دهد در حلقه های نوتری تعویض پذیر، هر مدول چپ با طول متناهی، نیم ساده است اگر وتنها اگر هر مدول چپ، نیم ساده باشد. به عبارتی در حلقه های نوتری تعویض پذیر، کلاس حلقه های مورد بررسی ما، و کلاس حلقه های نیم ساده برهم منطبق اند.

فرض می کنیم r یک حلقه و m یک –r مدول چپ باشد . در این پایان نامه مفهوم ایده های –s اول از حلقه ها به مدول ها تعمیم داده می شود . در حقیقت ، زیر مدول سره ی p از m را یک زیر مدول –s اول می نامیم هر گاه برای هر ایده ال a از r و هر زیر مدول n از m ، اگر به ازای هر x? a ، عدد طبیعی مانند a موجود باشد به طوری کهxn?p، آنگاه n?p یا am ? p

در این پایان نامه مفهوم توسیع های هاپف-گالوایی را که می تواند به دید کلاف اساسی اساسی نیز در نطر گرفته شود، به مفهوم توسیع هم-جبری گالوایی تعمیم داده می شود. همچنین دوگان این مفهوم تحت عنوان هم-توسیع های جبری نیز تعریف می شود. نشان داده می شود برای هر توسیع هم-جبری گالوایی و هم چنین هر هم-توسیع جبری یک نگاشت به هم پیچنده ی یکتا وجود دارد. همچنین مفهوم کلاف اساسی هم-جبری نیز به عنوان تعمیم مفهوم کلاف اساسی ذره گروهی تعریف می شود. دوگان این مفهوم نیز تحت عنوان کلاف اساسی دوگان تعریف می شود. با استفاده از نگاشت به هم پیچنده برای توسیع های هم-جبری گالوایی و هم-توسیع های جبری گالوایی، کلاف های اساسی هم-جبری و کلاف اساسی دوگان به ترتیب با توسیع های هم-جبری گالوایی و هم-توسیع های جبری مرتبط می شوند.

به هر دو-مدول که روی یک طرف متناهی تولید شده و تصویری باشد می توان یک هم-حلقه نسبت داد که به هم-حلقه هم-ماتریسی معروف است. در این پایان نامه توصیف جدیدی از هم-حلقه های هم-ماتریسی آورده شده است. همچنین در این پایان نامه چگونگی انعکاس خصوصیات دو-مدول ها در هم-حلقه های هم-ماتریسی متناظر مورد مطالعه قرار گرفته است. برای مثال نشان داده شده است که اگر یک دو-مدول جدایی پذیر (فروبنیوس) باشد در این صورت هم-حلقه ی هم-ماتریسی متناظر با آن هم-جدایی پذیر (فروبنیوس) است. همچنین در این پایان نامه نشان داده شده است که دوگان یک دو-مدول جدایی پذیر است اگر و تنها اگر هم-حلقه ی هم-ماتریسی متناظر یک هم-حلقه ی هم-شکافتنی باشد.